1．（3 分）下列圖案中，是中心對稱圖形的是()
A． B． C． D． 2．（3 分）在如圖的各事件中，是隨機事件的有()
A．1 個B．2 個C．3 個D．4 個
3．（3 分）如圖，PA ，PB 是?O 的兩條切線，切點分別是 A ，B ，已知 ?P ? 60? ，OA ? 3 ，則?AOB 所對的弧長為()
A． 2?B． 3?C． 5?D． 6?
4．（3 分）如果反比例函數(shù) y ? 1 ? 2m 的圖象在所在的每個象限內(nèi) y 都是隨著 x 的增大而減
x
小，那么 m 的取值范圍是()
m ? 1
2
m ? 1
2
m? 1
2
m? 1
2
5．（3 分）方程 x2 ? 8x ? 17 ? 0 的根的情況是()
A．沒有實數(shù)根B．有一個實數(shù)根
C．有兩個相等的實數(shù)根D．有兩個不相等的實數(shù)根
6．（3 分）點(3, ?2) 在反比例函數(shù) y ? k 的圖象上，則下列說法正確的是()
x
A． k ? 6B．函數(shù)的圖象關(guān)于 y ? x 對稱
C．函數(shù)的圖象經(jīng)過點(6,1)D．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱
7．（3 分）如圖， ?O 的直徑 AB 垂直于弦 CD ，垂足為 E ， ?A ? 22.5? ， OC ? 4 ， CD 的長為()
2
A． 2
C． 4
D．8
2
8．（3 分）用一條長 40cm 的繩子圍成一個面積為64cm2 的長方形．設(shè)長方形的長為 x cm ，則可列方程為()
A． x(20 ? x) ? 64
B． x(20 ? x) ? 64
C． x(40 ? x) ? 64
D． x(40 ? x) ? 64
9．（3 分）如圖，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑為 r ，扇形的圓心角等于120? ，則圍成的圓錐模型的高為()
C． 10r
2 2rB． rD． 3r
10．（3 分）已知拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 如圖，下列說法正確的有()
① a ? b ? c ? 0 ，② a ? b ? c ? 0 ，③ b ? 0 ，④ c ? ?1 ．
個B．2 個C．3 個D．4 個二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分。）
11．（3 分）拋物線 y ? x2 ? 2x ? 3 有最 點（填寫“高”或“低” ) ，這個點的坐標(biāo)是 ．
12．（3 分）點 A 是反比例函數(shù) y ? k (k ? 0) 在第一象限內(nèi)的圖象上一點，過點 A 作 AB ? x 軸，
x
垂足為點 B ， ?OAB 的面積是 1，則 k ? ．
13．（3 分）如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成 3 個大小相同的扇形，標(biāo)號分別為 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三個數(shù)字．指針的位置固定，轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在 指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€扇形的交線時，當(dāng)作指向右邊的扇形）．指針指向扇形Ⅰ的概率是 ．
14．（3 分）如圖， AB 是?O 的直徑， AB ? AC ， BC 交?O 于點 D ， AC 交?O 于點 E ，
?BAC ? 45? ，則?EBC ?? ．
15．（3 分）為了估計魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者首先從魚塘中打撈 100 條魚，在每一條魚身上做好記號后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈 10 條魚．如果在這 10 條魚中有 1 條魚是有記號的，那么估計魚塘中魚的條數(shù)為 條．
16．（3 分）如圖，在銳角?ABC 中， ?BAC ? 60? ， AE 是中線， BF 和CD 是高，則下列結(jié)論中，正確的是 （填序號）．
① BC ? 2DF ；
② ?CEF ? 2?CDF ；
③ ?DEF 是等邊三角形；
④ (CF ? CD) : (BD ? BF ) ? (BD ? BF ) : (CF ? CD) ．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
17．（4 分）解方程： (x ? 3)2 ? 25 ? 0 ．
18．（4 分）一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(?1, 0) ，(0, 6) ，(3, 0) 三點．求：這個二次函數(shù)的解析式．
19．（6 分）如圖， AB 為?O 的直徑， AC 平分?BAD 交?O 于點C ，CD ? AD ，垂足為點
D ．求證： CD 是?O 的切線．
20．（6 分）已知函數(shù) y ? (k ? 2)xk?2 為反比例函數(shù)．
求這個反比例函數(shù)的解析式；
這個函數(shù)的圖象位于第象限；在每一個象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而；
當(dāng)?3?x? ? 1 時，函數(shù)的最大值為，最小值為．
2
21．（8 分）如圖，?ABC 是以 AB ? a 為斜邊的等腰直角三角形．其內(nèi)部的 4 段弧均等于以 BC
為直徑的 1 圓周．求圖中陰影部分的面積．
4
22．（10 分）為落實“雙減”，進一步深化白云區(qū)“數(shù)學(xué)提升工程”，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，
2021 年 12 月 3 日開展“雙減”背景下白云區(qū)初中數(shù)學(xué)提升工程成果展示現(xiàn)場會，其中活動型作業(yè)展示包括以下項目：①數(shù)獨挑戰(zhàn)；②數(shù)學(xué)謎語；③一筆畫；①24 點；⑤玩轉(zhuǎn)魔方．為了解學(xué)生最喜愛的項目，隨機抽取若干名學(xué)生進行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果繪制成兩個不完整的統(tǒng) 計圖，如圖．
木次隨機抽查的學(xué)生人數(shù)為 人，補全圖（Ⅰ）；
參加活動的學(xué)生共有 500 名，可估計出其中最喜愛“①數(shù)獨挑戰(zhàn)”的學(xué)生人數(shù)為人， 圖（Ⅱ）中扇形①的圓心角度數(shù)為度；
計劃在“①，②，③，④”四項活動中隨機選取兩項作為重點直播項目，請用列表或 畫樹狀圖的方法，求恰好選中“①，④”這兩項活動的概率．
23．（10 分）一個菱形兩條對角線長的和是10cm ，面積是12cm2 ，求菱形的周長．
24．（12 分）已知拋物線 y ? x2 ? mx ? n 與 x 軸的負、正半軸分別交于 A ， B 兩點，與 y 軸的負半軸交于點 D ，點C 是拋物線的頂點．
若OA ? OB ? 2 ，求該拋物線的對稱軸；
在（1）的條件下，連接 AD ， CD ，若 AD ? CD ，求該拋物線的解析式；
若OA ? OB ? 2 p ，點 D 的坐標(biāo)為(0, ? | p |) ，請判斷點C 是否存在最高點或最低點，若存在，求該點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
25．（12 分）如圖，已知在?ABC 中，?A 是鈍角，以 AB 為邊作正方形 ABDE ，使?ABC 正方形 ABDE 分居在 AB 兩側(cè)，以 AC 為邊作正方形 ACFG ，使 ?ABC 正方形 ACFG 分居在 AC 兩側(cè)， BG 與CE 交于點 M ，連接 AM ．
求證： BG ? CE ；
求： ?AMC 的度數(shù)；
若 BG ? a ， MG ? b ， ME ? c ，求： S?ABM : S?ACM （結(jié)果可用含有 a ， b ， c 的式子表示）．
2021-2022 學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分。在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的。）
1．（3 分）下列圖案中，是中心對稱圖形的是()
A． B． C． D．
【分析】一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180? ，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：選項 A 、 B 、C 不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180? 后與原圖重合，所以不是中心對稱圖形；
選項 D 能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180? 后與原圖重合，所以是中心對稱圖形；
故選： D ．
【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn) 180 度后與原圖重合．
2．（3 分）在如圖的各事件中，是隨機事件的有()
A．1 個B．2 個C．3 個D．4 個
【分析】根據(jù)隨機事件的概率值即可判斷．
【解答】解：因為不可能事件的概率為 0， 0 ? 隨機事件的概率? 1 ，必然事件的概率為 1， 所以在如圖的各事件中，是隨機事件的有：事件 B 和事件C ，共有 2 個，
故選： B ．
【點評】本題考查了隨機事件，弄清不可能事件的概率，隨機事件的概率，必然事件的概率 是解題的關(guān)鍵．
3．（3 分）如圖，PA ，PB 是?O 的兩條切線，切點分別是 A ，B ，已知 ?P ? 60? ，OA ? 3 ，
則?AOB 所對的弧長為()
A． 2?B． 3?C． 5?D． 6?
【分析】由切線的性質(zhì)可以求出?OAP ? ?OBP ? 90? ，再由條件就可以求出?AOB 的度數(shù)， 再由弧長公式就可以求出其值．
【解答】解：? PA 、 PB 是?O 的切線，切點分別是 A 、 B ，
??OAP ? ?OBP ? 90? ，
??P ? 60? ，
??AOB ? 120?
? OA ? 3 ，
? ?AB ? 120?? 3 ? 2?．
180
故選： A ．
【點評】此題考查了切線的性質(zhì)與弧長公式．解決本題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng) 用．
4．（3 分）如果反比例函數(shù) y ? 1 ? 2m 的圖象在所在的每個象限內(nèi) y 都是隨著 x 的增大而減
x
小，那么 m 的取值范圍是()
m ? 1
2
m ? 1
2
m? 1
2
m? 1
2
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得1 ? 2m ? 0 ，再解不等式即可．
【解答】解：?反比例函數(shù) y ? 1 ? 2m 的圖象在所在的每個象限內(nèi) y 都是隨著 x 的增大而減
x
小，
?1 ? 2m ? 0 ，
解得： m ? 1 ，
2
故選： B ．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)．對于反比例函數(shù) y ? k ，當(dāng) k ? 0 時，在每一個
x
象限內(nèi)，函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而減??；當(dāng) k ? 0 時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值 y 隨
自變量 x 增大而增大．
5．（3 分）方程 x2 ? 8x ? 17 ? 0 的根的情況是()
A．沒有實數(shù)根B．有一個實數(shù)根
C．有兩個相等的實數(shù)根D．有兩個不相等的實數(shù)根
【分析】先求出根的判別式△的值，再判斷出其符號即可得到結(jié)論．
【解答】解：? x2 ? 8x ? 17 ? 0 ，
?△ ? 82 ? 4 ?1?17 ? ?4 ? 0 ，
?方程沒有實數(shù)根． 故選： A ．
【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根與△
? b2 ? 4ac 的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
6．（3 分）點(3, ?2) 在反比例函數(shù) y ? k 的圖象上，則下列說法正確的是()
x
A． k ? 6B．函數(shù)的圖象關(guān)于 y ? x 對稱
C．函數(shù)的圖象經(jīng)過點(6,1)D．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征對 A 、C 進行判斷；根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對 B 、 D 進行判斷．
【解答】解： A 、點(3, ?2) 在反比例函數(shù) y ? k 的圖象上，則 k ? 3? (?2) ? ?6 ，故錯誤；
x
B 、函數(shù)的圖象關(guān)于 y ? ?x 對稱，故錯誤；
C 、函數(shù)圖象經(jīng)過點(6, ?1) 或(?6,1) ，故錯誤； D 、函數(shù)圖象關(guān)于原點成中心對稱，故正確， 故選： D ．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：反比例函數(shù) y ? k (k ? 0) 的圖象是雙曲線；當(dāng) k ? 0 ，
x
雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi) y 隨 x 的增大而減?。划?dāng) k ? 0 ，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi) y 隨 x 的增大而增大．
7．（3 分）如圖， ?O 的直徑 AB 垂直于弦 CD ，垂足為 E ， ?A ? 22.5? ， OC ? 4 ， CD 的長為()
2
A． 2
B．4C． 4
D．8
2
【分析】根據(jù)圓周角定理得?BOC ? 2?A ? 45? ，由于?O 的直徑 AB 垂直于弦CD ，根據(jù)垂
徑定理得CE ? DE ，且可判斷?OCE 為等腰直角三角形，所以CE ?
用CD ? 2CE 進行計算．
【解答】解：??A ? 22.5? ，
??BOC ? 2?A ? 45? ，
??O 的直徑 AB 垂直于弦CD ，
?CE ? DE ， ?OCE 為等腰直角三角形，
2 OC ? 2
2
2
，然后利
?CE ?
2 OC ? 2，
2
2
2
?CD ? 2CE ? 4．
故選： C ．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于 這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和垂徑定理．
8．（3 分）用一條長 40cm 的繩子圍成一個面積為64cm2 的長方形．設(shè)長方形的長為 x cm ，則可列方程為()
A． x(20 ? x) ? 64
B． x(20 ? x) ? 64
C． x(40 ? x) ? 64
D． x(40 ? x) ? 64
【分析】本題可根據(jù)長方形的周長可以用 x 表示寬的值，然后根據(jù)面積公式即可列出方程．
【解答】解：設(shè)長為 xcm ，
?長方形的周長為 40cm ，
?寬為? (20 ? x)(cm) ，
得 x(20 ? x) ? 64 ． 故選： B ．
【點評】本題考查了一元二次方程的運用，要掌握運用長方形的面積計算公式 S ? ab 來解題
的方法．
9．（3 分）如圖，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑為 r ，扇形的圓心角等于120? ，則圍成的圓錐模型的高為()
C． 10r
A． 2 2rB． rD． 3r
【分析】首先求得圍成的圓錐的母線長，然后利用勾股定理求得其高即可．
【解答】解：?圓的半徑為 r ，扇形的弧長等于底面圓的周長得出 2?r ． 設(shè)圓錐的母線長為 R ，則120?R ? 2?r ，
180
解得： R ? 3r ．
根據(jù)勾股定理得圓錐的高為 2 2r ， 故選： A ．
【點評】本題主要考查圓錐側(cè)面面積的計算，正確理解圓的周長就是扇形的弧長是解題的關(guān)
鍵．
10．（3 分）已知拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 如圖，下列說法正確的有()
① a ? b ? c ? 0 ，② a ? b ? c ? 0 ，③ b ? 0 ，④ c ? ?1 ．
A．1 個B．2 個C．3 個D．4 個
【分析】由拋物線經(jīng)過(1, 0) 判斷①，由 x ? ?1 時 y ? 0 可判斷②，根據(jù)拋物線開口方向及對
稱軸位置可判斷③，由拋物線與 y 軸交點判斷④．
【解答】解：?拋物線經(jīng)過點(1, 0) ，
? a ? b ? c ? 0 ，②錯誤．
? x ? ?1時， y ? 0 ，
? a ? b ? c ? 0 ，②正錯誤，
?拋物線開口向上，
? a ? 0 ，
?拋物線對稱軸在 y 軸右側(cè)，
?? ?b ? 0 ，
2a
?b ? 0 ，③正確．
?拋物線與 y 軸交點坐標(biāo)為(0, ?1) ，
? c ? ?1 ，④正確． 故選： B ．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次 函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分。）
11．（3 分）拋物線 y ? x2 ? 2x ? 3 有最 低 點（填寫“高”或“低” ) ，這個點的坐標(biāo)是．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)， a ? 0 ，二次函數(shù)有最小值解答．
【解答】解：拋物線 y ? x2 ? 2x ? 3 ? (x ?1)2 ? 2 ，
? a ? 1 ? 0 ，
?該拋物線有最小值， 即拋物線有最低點， 此點坐標(biāo)為(1, 2) ，
故答案為：低， (1, 2) ．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，比較簡單，熟記二次項系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系是 解題的關(guān)鍵．
12．（3 分）點 A 是反比例函數(shù) y ? k (k ? 0) 在第一象限內(nèi)的圖象上一點，過點 A 作 AB ? x 軸，
x
垂足為點 B ， ?OAB 的面積是 1，則 k ? 2．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義進行解答即可．
【解答】解：由題意得，
S?AOB
? 1 | k |? 1 ，
2
又? k ? 0 ，
? k ? 2 ，
故答案為：2．
【點評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義，掌握反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義是正確解答的關(guān)鍵．
13．（3 分）如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成 3 個大小相同的扇形，標(biāo)號分別為 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三個數(shù)字．指針的位置固定，轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在 指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€扇形的交線時，當(dāng)作指向右邊的扇形）．指針指向扇形Ⅰ的
概率是1．
3
【分析】根據(jù)隨機事件概率大小的求法，找準(zhǔn)兩點：
①符合條件的情況數(shù)目；
②全部情況的總數(shù)．
二者的比值就是其發(fā)生的概率的大小．
【解答】解：?轉(zhuǎn)盤分成 3 個大小相同的扇形，標(biāo)號分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三個數(shù)字，
?指針指向扇形Ⅰ的概率是 1
3
故答案為： 1 ．
3
【點評】本題考查概率的求法與運用，一般方法為：如果一個事件有 n 種可能，而且這些事
件的可能性相同，其中事件 A 出現(xiàn) m 種結(jié)果，那么事件 A 的概率 P （A） ? m ．
n
14．（3 分）如圖， AB 是?O 的直徑， AB ? AC ， BC 交?O 于點 D ， AC 交?O 于點 E ，
?BAC ? 45? ，則?EBC ? 22.5? ．
【分析】先根據(jù)圓周角定理得到?AEB ? 90? ，則?ABE ? 45? ，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出?ABC ? 67.5? ，再計算?ABC ? ?ABE 即可．
【解答】解：? AB 是?O 的直徑，
??AEB ? 90? ，
??BAC ? 45? ，
??ABE ? 45? ，
? AB ? AC ，
??ABC ? ?C ? 1 ? (180? ? 45?) ? 67.5? ，
2
??EBC ? ?ABC ? ?ABE ? 67.5? ? 45? ? 22.5? ． 故答案為：22.5．
【點評】本題考查了圓周角定理：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角， 90? 的圓周角所對的弦是直徑．
15．（3 分）為了估計魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者首先從魚塘中打撈 100 條魚，在每一條魚身上做好記號后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈 10 條魚．如果在這 10 條魚中有 1 條魚是有記號的，那么估計魚塘中魚的條數(shù)為 1000 條．
【分析】根據(jù)樣本中有記號的魚所占的比例等于魚塘中有記號的魚所占的比例，即可求得魚
的總條數(shù)．
【解答】解：估計魚塘中魚的條數(shù)為100 ? 1
10
? 1000 （條) ，
故答案為：1000．
【點評】本題考查了統(tǒng)計中用樣本估計總體的思想，關(guān)鍵是根據(jù)用樣本中有記號的魚所占的 比例等于魚塘中有記號的魚所占的比例解答．
16．（3 分）如圖，在銳角?ABC 中， ?BAC ? 60? ， AE 是中線， BF 和CD 是高，則下列結(jié)論中，正確的是 ①②③④ （填序號）．
① BC ? 2DF ；
② ?CEF ? 2?CDF ；
③ ?DEF 是等邊三角形；
④ (CF ? CD) : (BD ? BF ) ? (BD ? BF ) : (CF ? CD) ．
【分析】通過證明點 B ，點C ，點 F ，點 D 四點在以 BC 為直徑的圓上，由圓周角定理可得?CEF ? 2?CDF ，故②正確，通過證明?ABC∽?AFD ，可得 DF ? AD ，由直角三角形
BCAC
的性質(zhì)可得 AC ? 2 AD ， 可得 BC ? 2DF
， 故① 正確； 由直角三角形的性質(zhì)可得
DE ? EF ? DF
， 可 證
?DEF
是 等 邊 三 角 形 ， 故 ③ 正 確 ； 由 勾 股 定 理 可 得
BD2 ? CD2 ? BC 2 ? CF 2 ? BF 2 ，可判斷④正確，即可求解．
【解答】解：? AE 是中線，
? BE ? EC ，
? BF ? AC ， CD ? AB ，
??BFC ? ?BDC ? 90? ，
?點 B ，點C ，點 F ，點 D 四點在以 BC 為直徑的圓上，
?點 E 是圓心，
??CEF ? 2?CDF ，故②正確，
?四邊形 BDFC 是圓內(nèi)接四邊形，
??ADF ? ?ACB ， ?AFD ? ?ABC ，
??ABC∽?AFD ，
? DF ? AD ，
BCAC
??BAC ? 60? ， CD ? AB ，
??ACD ? 30? ，
? AC ? 2 AD ，
? DF ? 1 ，
BC2
? BC ? 2DF ，故①正確；
??BFC ? ?BDC ? 90? ， BE ? EC ，
? DE ? EF ? 1 BC ，
2
? DE ? EF ? DF ，
??DEF 是等邊三角形，故③正確；
??BFC ? ?BDC ? 90? ，
? BD2 ? CD2 ? BC 2 ? CF 2 ? BF 2 ，
?CF 2 ? CD2 ? BD2 ? BF 2 ，
?(CF ? CD)(CF ? CD) ? (BD ? BF )(BD ? BF ) ，
?(CF ? CD) : (BD ? BF ) ? (BD ? BF ) : (CF ? CD) ，故④正確， 故答案為①②③④．
【點評】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，
直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓的有關(guān)知識，證明相似是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
17．（4 分）解方程： (x ? 3)2 ? 25 ? 0 ．
【分析】先把方程變形為解(x ? 3)2 ? 25 ，然后利用直接開平方法解方程．
【解答】解： (x ? 3)2 ? 25 ，
x ? 3 ? ?5 ，
所以 x1 ? 2 ， x2 ? ?8 ．
【點評】本題考查了解一元二次方程? 直接開平方法：形如 x2 ? p 或(nx ? m)2 ? p( p?0) 的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
18．（4 分）一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(?1, 0) ， (0, 6) ， (3, 0) 三點．求：這個二次函數(shù)的解析式．
【分析】設(shè)一般式 y ? ax2 ? bx ? c ，再把三個點的坐標(biāo)代入得到關(guān)于 a 、b 、 c 的方程組， 然后解方程組求出 a 、b 、 c 即可．
【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為 y ? ax2 ? bx ? c ，
?a ? b ? c ? 0
?
根據(jù)題意得： ?9a ? 3b ? c ? 0 ，
?
?c ? 6
?a ? ?2
?
解得： ?b ? 4 ，
?
?c ? 6
所以拋物線的解析式為 y ? ?2x2 ? 4x ? 6 ．
【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地， 當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與 x 軸有兩個交點時， 可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．
19．（6 分）如圖， AB 為?O 的直徑， AC 平分?BAD 交?O 于點C ，CD ? AD ，垂足為點
D ．
求證： CD 是?O 的切線．
【分析】連接OC ，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)得出?DAC ? ?ACO ，根據(jù)平行線的判定得出OC / / AD ，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出OC ? DC ，再根據(jù)切線的判定得出即可．
【解答】證明：連接OC ，
? AC 平分?DAB ，
??DAC ? ?BAC ，
? OC ? OA ，
??BAC ? ?ACO ，
??DAC ? ?ACO ，
?OC / / AD ，
? CD ? AD ，
?OC ? DC ，
? OC 過圓心O ，
?CD 是?O 的切線．
【點評】本題考查了切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，能熟 記經(jīng)過半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線是解此題的關(guān)鍵．
20．（6 分）已知函數(shù) y ? (k ? 2)xk?2 為反比例函數(shù)．
求這個反比例函數(shù)的解析式；
這個函數(shù)的圖象位于第 二、四 象限；在每一個象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而；
當(dāng)?3?x? ? 1 時，函數(shù)的最大值為，最小值為．
2
【分析】（1）首先根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得 k ? 2 ? ?1，且 k ? 2 ? 0 ，解出 k 的值即可；
根據(jù) k ? 2 ? 0 ，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
根據(jù) y 隨 x 增大而增大可得當(dāng) x ? ?3 時， y 最小，當(dāng) x ? ? 1 時， y 最大，代入求值即
2
可．
【解答】解：（1）由題意得： k ? 2 ? ?1，且 k ? 2 ? 0 ，解得： k ? ?3 ，
? k ? 2 ? ?5 ，
?這個反比例函數(shù)的解析式為 y ? ?5 ；
x
（2）??5 ? 0 ，
?圖象在第二、四象限，在各象限內(nèi)， y 隨 x 增大而增大；
故答案為：二、四；增大；
（3）當(dāng) x ? ?3 時， y最小
? ?5 ? 5 ；
?33
當(dāng) x ? ? 1 時， y? ?5 ? 10 ；
2最大? 1
2
故答案為：105
； ．
3
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的形式為
y ? k (k 為常數(shù)， k ? 0) 或 y ? kx?1(k 為常數(shù)， k ? 0) ．
x
21．（8 分）如圖，?ABC 是以 AB ? a 為斜邊的等腰直角三角形．其內(nèi)部的 4 段弧均等于以 BC
為直徑的 1 圓周．求圖中陰影部分的面積．
4
【分析】根據(jù)題意得出陰影部分的面積等于半圓的面積? 正方形CEDF 的面積的 2 倍．
【解答】解：連接 AC 的中點 F 與弧的交點 D ， BC 的中點 E 與弧的交點 D ，如圖，
??ABC 是等腰直角三角形， AB ? a ，
? AC ? BC ?
?CE ? CF ?
2 a ，
2
2 a ，
4
S陰影 ? 2 ?S半圓 ? S正方形CEDF ?
? 2 ?[ 1?? ( 2 a)2 ?2 a ? 2 a]
2444
? 2 ? ( ? a2 ? 1 a2 )
168
(
? ? ? 1 )a2 ．
84
【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形面積的計算，明確陰影部分的面積等于半
圓的面積? 正方形CEDF 的面積的 2 倍是解題的關(guān)鍵．
22．（10 分）為落實“雙減”，進一步深化白云區(qū)“數(shù)學(xué)提升工程”，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，
2021 年 12 月 3 日開展“雙減”背景下白云區(qū)初中數(shù)學(xué)提升工程成果展示現(xiàn)場會，其中活動型作業(yè)展示包括以下項目：①數(shù)獨挑戰(zhàn)；②數(shù)學(xué)謎語；③一筆畫；①24 點；⑤玩轉(zhuǎn)魔方．為了解學(xué)生最喜愛的項目，隨機抽取若干名學(xué)生進行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果繪制成兩個不完整的統(tǒng) 計圖，如圖．
木次隨機抽查的學(xué)生人數(shù)為 60 人，補全圖（Ⅰ）；
參加活動的學(xué)生共有 500 名，可估計出其中最喜愛“①數(shù)獨挑戰(zhàn)”的學(xué)生人數(shù)為人， 圖（Ⅱ）中扇形①的圓心角度數(shù)為度；
計劃在“①，②，③，④”四項活動中隨機選取兩項作為重點直播項目，請用列表或 畫樹狀圖的方法，求恰好選中“①，④”這兩項活動的概率．
【分析】（1）由②的人數(shù)除以所占百分比求出抽查的學(xué)生人數(shù)，即可解決問題；
由該校人數(shù)乘以最喜愛“①數(shù)獨挑戰(zhàn)”的人數(shù)所占的比例得出該校學(xué)生最喜愛“①數(shù) 獨挑戰(zhàn)”的人數(shù)，再用360? 乘以最喜愛“①數(shù)獨挑戰(zhàn)”的人數(shù)所占的比例即可；
畫樹狀圖，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次隨機抽查的學(xué)生人數(shù)為： 18 ? 30% ? 60 （人) ，則喜愛⑤玩轉(zhuǎn)魔方游戲的人數(shù)為： 60 ? 15 ? 18 ? 9 ? 6 ? 12 （人) ，
補全圖（Ⅰ）如下：
故答案為：60；
估計該校學(xué)生最喜愛“①數(shù)獨挑戰(zhàn)”的人數(shù)為： 500 ? 15 ? 125 （人) ，
60
圖（Ⅱ）中扇形①的圓心角度數(shù)為： 360?? 15 ? 90? ，
60
故答案為：125，90；
畫樹狀圖如圖：
共有 12 個等可能的結(jié)果，恰好選中“①，④”這兩項活動的結(jié)果有 2 個，
?恰好選中“①，④”這兩項活動的概率為 2 ? 1 ．
126
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖；通過列表法或樹狀圖法 展示所有等可能的結(jié)果求出 n ，再從中選出符合事件 A 或 B 的結(jié)果數(shù)目 m ，然后根據(jù)概率公式求出事件 A 或 B 的概率．
23．（10 分）一個菱形兩條對角線長的和是10cm ，面積是12cm2 ，求菱形的周長．
【分析】先設(shè)菱形的一條對角線為 xcm ，則另一條對角線為(10 ? x)cm ，再利用菱形的面積
? 對角線乘積的一半，即可列方程，解出得到兩條對角線長，再利用菱形的性質(zhì)和勾股定理即可求得邊長，從而得到周長．
【解答】解：如圖設(shè)菱形的一條對角線為 xcm ，則另一條對角線為(10 ? x)cm ，
1 x(10 ? x) ? 12 ，
2
解得 x1 ? 4 ， x2 ? 6 ，
即 BD ? 4 ， AC ? 6 ，
OA2 ? OB2
32 ? 22
13
在Rt?AOB 中， AB ???，
13
所以菱形的周長為 4．
【點評】本題主要考查菱形的性質(zhì)、菱形的面積公式，熟練掌握菱形性質(zhì)和菱形的面積公式 是關(guān)鍵．
24．（12 分）已知拋物線 y ? x2 ? mx ? n 與 x 軸的負、正半軸分別交于 A ， B 兩點，與 y 軸
的負半軸交于點 D ，點C 是拋物線的頂點．
若OA ? OB ? 2 ，求該拋物線的對稱軸；
在（1）的條件下，連接 AD ， CD ，若 AD ? CD ，求該拋物線的解析式；
若OA ? OB ? 2 p ，點 D 的坐標(biāo)為(0, ? | p |) ，請判斷點C 是否存在最高點或最低點，若存在，求該點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）令 y ? 0 ，則 x2 ? mx ? n ? 0 ，則 x ? x ? ?m ，再由OA ? OB ? ?(x ? x ) ? m ? 2 ，
1212
即可求 m 的值；
（2）過點C 作CE ? y 軸交于點 E ，求出 D(0, n) ，C(?1, n ?1) ，則可求?CDE ? ?ADO ? 45? ， 得到 A(n, 0) ，再將 A 點代入解析式可得 n ? ?3 ，即可求 y ? x2 ? 2x ? 3 ；
（3）由題意可得 y ? x2 ? mx ? n ? (x ? p)2 ? p2 ? | p |，則C(? p, ? p2 ? | p |) ，所以當(dāng) p ? 0 時，
p2 ? | p | 有最大值 0，此時拋物線為 y ? x2 ，拋物線與 x 軸只有一個交點，不符合題意，故點C 不存在最高點或最低點．
【解答】解：（1）令 y ? 0 ，則 x2 ? mx ? n ? 0 ，
? x1 ? x2 ? ?m ，
? OA ? OB ? 2 ，
??(x1 ? x2 ) ? m ? 2 ，
? y ? x2 ? 2x ? n ? (x ? 1)2 ? ?1 ? n ，
?對稱軸為直線 x ? ?1 ；
過點C 作CE ? y 軸交于點 E ，
? y ? x2 ? 2x ? n ，
? D(0, n) ， C(?1, n ?1) ，
? DE ? n ? n ? 1 ? 1 ，
??CDE ? 45? ，
? AD ? CD ，
??ADC ? 90? ，
??ADO ? 45? ，
? AO ? DO ，
? A(n, 0) ，
? n2 ? 2n ? n ? 0 ，
? n ? 0 （舍) 或 n ? ?3 ，
? y ? x2 ? 2x ? 3 ；
不存在，理由如下：
? OA ? OB ? 2 p ，
? m ? 2 p ，
?點 D 的坐標(biāo)為(0, ? | p |) ，
? n ? ? | p | ，
? y ? x2 ? mx ? n ? x2 ? 2 px? | p |? (x ? p)2 ? p2 ? | p | ，
?C(? p, ? p2 ? | p |) ，
?| p | ?0 ，
?? p2 ? | p |?0 ，
?當(dāng) p ? 0 時， ? p2 ? | p | 有最大值 0，
此時拋物線為 y ? x2 ，拋物線與 x 軸只有一個交點，不符合題意，
?點C 不存在最高點或最低點．
【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 25．（12 分）如圖，已知在?ABC 中，?A 是鈍角，以 AB 為邊作正方形 ABDE ，使?ABC 正方形 ABDE 分居在 AB 兩側(cè)，以 AC 為邊作正方形 ACFG ，使 ?ABC 正方形 ACFG 分居在 AC 兩側(cè)， BG 與CE 交于點 M ，連接 AM ．
求證： BG ? CE ；
求： ?AMC 的度數(shù)；
若 BG ? a ， MG ? b ， ME ? c ，求： S?ABM : S?ACM （結(jié)果可用含有 a ， b ， c 的式子表示）．
【分析】（1）由題意畫出圖形，利用 SAS 公理判定?BAG ? ?EAC 即可得出結(jié)論；
（ 2 ） 利用全等三角形的性質(zhì)可得 ?BGA ? ?ECA ， 利用三角形的內(nèi)角和定理可得
?GMN ? ?CAN ? 90? ，利用正方形的性質(zhì)可得?AGC ? 45? ，證明 A ， M ，G ． C 四點共圓，利用同弧所對的圓周角相等即可得出結(jié)論；
（3） ) 由?BAG ? ?EAC 可得 BG ? EC ? a ， S?BAG ? S?EAC ；利用同高的三角形的面積比等
于底的比可得用 a ， b ， c 的式子表示出的 S?ABM : S?BAG 和 S?ACM : S?EAC ，將兩個式子聯(lián)立即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）由題意畫出圖形，如下圖，
?四邊形 ABDE 是正方形，
? AB ? AE ， ?BAE ? 90? ．
?四邊形 ACFG 是正方形，
? AG ? AC ， ?GAC ? 90? ．
??BAG ? ?BAE ? ?EAG ? 90? ? ?EAG ，
?EAC ? ?GAC ? ?EAG ? 90? ? ?EAG ，
??BAG ? ?EAG ． 在?BAG 和?EAC 中，
?BA ? EA
?
??BAG ? ?EAC ，
?
? AG ? AC
??BAG ? ?EAC (SAS ) ．
? BG ? CE ．
解：（2）? ?BAG ? ?EAC ，
??BGA ? ?ECA ．
設(shè) EC 與 AG 交于點 N ，
??MNG ? ?ANC ，
??GMN ? ?CAN ．
?四邊形 ACFG 是正方形，
??GAC ? 90? ，
??GMC ? 90? ．
??BMC ? 90? ． 連接GC ，如圖，
?四邊形 ACFG 是正方形，
??AGC ? 45? ．
??GMC ? ?GAC ? 90? ，
? A ， M ， G ． C 四點共圓．
??AMC ? ?AGC ? 45? ． 解：（3）? ?BAG ? ?EAC ，
? BG ? EC ? a ， S?BAG ? S?EAC ．
? S?ABM
S?BAG
? BM ? BG ? MG ? a ? b ，
BGBGa
S?ACM S?EAC
? CM ? CE ? ME ? a ? c ，
CECEa
? S?ABM
? a ? b S a
a ? b
?BAG
， S?ACM
? a ? c S a
?EAC ．
? S?ABM
? a ? a ? b ．
S?ACM
a ? c
a
a ? c
【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，四點共圓的判定與性質(zhì)， 三角形的面積，準(zhǔn)確找到圖形中的全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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