1．（3 分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是()
A． B． C． D． 2．（3 分）函數(shù) y ? x2 ? x ? 2 的圖象與 y 軸的交點坐標是()
A． (?2, 0)
B． (1, 0)C． (0, ?2)
D． (0, 2)
3．（3 分）平面內(nèi)有兩點 P ， O ， ?O 的半徑為 5，若 PO ? 4 ，則點 P 與?O 的位置關系是
()
圓內(nèi)B．圓上C．圓外D．圓上或圓外4．（3 分）下列函數(shù)中， y 是關于 x 的反比例函數(shù)的是()
A． y ? ?3x ? 6
y ? x2
y ? 5
x2
y ? 6
x
5．（3 分）下列式子為一元二次方程的是()
A． 5x2 ? 1
C． 4x( 1 ? 2) ? 25
x
6．（3 分）下列事件是必然事件的為()
購買一張體育彩票，中獎
經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈C．2022 年元旦是晴天
B． 4a2 ? 81
D． (3x ? 2)(x ? 1) ? 8 y ? 3
D．在地面上向空中拋擲一石塊，石塊終將落下 7．（3 分）下列各點中，關于原點對稱的兩個點是()
A． (?5, 0) 與(0,5)B． (0, 2) 與(2, 0)
C． (?2, ?1) 與(?2,1)D． (2, ?1) 與(?2,1)
8．（3 分）下列是對方程 2x2 ? 2 2x ? 1 ? 0 實根情況的判斷，正確的是()
A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有一個實數(shù)根
C．有兩個相等的實數(shù)根D．沒有實數(shù)根
9．（3 分） ?O 是四邊形 ABCD 的外接圓， AC 平分?BAD ，則正確結論是()
AB ? AD
BC ? CD
?AB ? B?D
?BCA ? ?DCA
10．（3 分）正比例函數(shù) y ? x 與反比例函數(shù) y ? 1 的圖象相交于 A 、C 兩點．AB ? x 軸于 B ，
x
CD ? x 軸于 D （如圖），則四邊形 ABCD 的面積為()
A．1B． 3
2
C．2D． 5
2
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分。）
11．（3 分）方程 x2 ? 3x ? 2 ? 0 兩個根的和為 ，積為 ．
12．（3 分）在一個暗箱里放入除顏色外其它都相同的 1 個紅球和 11 個黃球，攪拌均勻后隨機任取一球，取到紅球的概率是．
13．（3 分）直線 y ? x ? 2 關于原點中心對稱的直線的方程為 ．
14．（3 分）把一副普通撲克牌中的 13 張黑桃牌洗勻后正面向下放在桌子上，從中任意抽取一張，抽出的牌點數(shù)小于 5 的概率是．
15．（3 分）在?O 中，圓心角?AOC ? 120? ，則?O 內(nèi)接四邊形 ABCD 的內(nèi)角?ABC ? ．
16．（3 分）如圖，在Rt?ABC 中，?C ? 90? ，?A ? 30? ， BC ? 2 ，?C 的半徑為 1，點 P 是斜邊 AB 上的點，過點 P 作?C 的一條切線 PQ（點Q 是切點），則線段 PQ 的最小值為．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。） 17．（4 分）如圖，在方格紙中，已知頂點在格點處的?ABC ，請畫出將 ?ABC 繞點C 旋轉180?得到的△ A?B?C? ．（需寫出△ A?B?C? 各頂點的坐標）．
18．（4 分）解方程： x2 ? 1 ? 4 ? 2x ．
19．（6 分）已知二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象與 y 軸相交于點 A ， y 與 x 的部分對應值如
下表：
直接寫出拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標及點 A 的坐標；
在給出的坐標系中畫出該函數(shù)圖象的草圖．
20．（6 分）如圖， AB 、CD 是?O 的兩條弦， ?AB ? C?D ， OE ? AB ， OF ? CD ，垂足分別為 E 、 F ．求證OE ? OF ．
x
?1
0
1
2
3
y
0
■
?4
?3
0
21．（8 分）一個不透明的口袋中有 4 個完全相同的小球，把它們分別標號為 1，2，3，4．隨機摸取一個小球后，不放回，再隨機摸出一個小球，分別求下列事件的概率：
兩次取出的小球標號和為奇數(shù)；
兩次取出的小球標號和為偶數(shù)．
22．（10 分）參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩場比賽．共要比賽 90 場．共有多少個隊參加比賽？
23．（10 分）如圖所示，已知 A(?1, 0) ， B(0,1) ，直線 AB 與反比例函數(shù) y ? m (m ? 0) 的圖象
x
在第一象限交于C 點， CD 垂直于 x 軸，垂足為 D ，且OD ? 1 ．
當 y ? 1 時，求反比例函數(shù) y ? m 對應 x 的值；
x
當1 ? y ? 4 時，求反比例函數(shù) y ? m 對應 x 的取值范圍．
x
24．（12 分）如圖， AB 、CD 是?O 中兩條互相垂直的弦，垂足為點 E ，且 AE ? CE ，點 F
2
是 BC 的中點，延長 FE 交 AD 于點G ，已知 AE ? 1 ， BE ? 3 ， OE ?．
求證： ?AED ? ?CEB ；
求證： FG ? AD ；
5
若一條直線l 到圓心O 的距離 d ?，試判斷直線l 是否是圓O 的切線，并說明理由．
25．（12 分）如圖，拋物線 y ? mx2 ? 4mx ? 5m(m ? 0) 與 x 軸交于 A 、B 兩點，與 y 軸交于C點．
求拋物線頂點 M 的坐標（用含 m 的代數(shù)式表示）， A ， B 兩點的坐標；
證明?BCM 與?ABC 的面積相等；
是否存在使 ?BCM 為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；若不存在，請說明理由．
2021-2022 學年廣東省廣州市黃埔區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分。在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的。）
1．（3 分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是()
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解： A 、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B 、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤； C 、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤； D 、是中心對稱圖形，故本選項正確． 故選： D ．
【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉 180 度后兩部分重合．
2．（3 分）函數(shù) y ? x2 ? x ? 2 的圖象與 y 軸的交點坐標是()
A． (?2, 0)
B． (1, 0)C． (0, ?2)
D． (0, 2)
【分析】將 x ? 0 代入函數(shù)解析式，求出相應的 y 的值，即可得到二次函數(shù) y ? x2 ? x ? 2 的圖象與 y 軸的交點坐標．
【解答】解：?二次函數(shù) y ? x2 ? x ? 2 ，
?當 x ? 0 時， y ? ?2 ，
即二次函數(shù) y ? x2 ? x ? 2 的圖象與 y 軸的交點坐標是(0, ?2) ， 故選： C ．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確 二次函數(shù)與 y 軸的交點，就是求 x ? 0 時對應的函數(shù)值．
3．（3 分）平面內(nèi)有兩點 P ， O ， ?O 的半徑為 5，若 PO ? 4 ，則點 P 與?O 的位置關系是
()
圓內(nèi)B．圓上C．圓外D．圓上或圓外
【分析】已知圓O 的半徑為 r ，點 P 到圓心O 的距離是 d ，①當 r ? d 時，點 P 在?O 內(nèi)，
②當 r ? d 時，點 P 在?O 上，③當 r ? d 時，點 P 在?O 外，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．
【解答】解：??O 的半徑為 5，若 PO ? 4 ，
? 4 ? 5 ，
?點 P 與?O 的位置關系是點 P 在?O 內(nèi)， 故選： A ．
【點評】本題考查了點與圓的位置關系的應用，注意：已知圓O 的半徑為 r ，點 P 到圓心O
的距離是 d ，①當 r ? d 時，點 P 在?O 內(nèi)，②當 r ? d 時，點 P 在?O 上，③當 r ? d 時， 點 P 在?O 外．
4．（3 分）下列函數(shù)中， y 是關于 x 的反比例函數(shù)的是()
A． y ? ?3x ? 6
y ? x2
y ? 5
x2
y ? 6
x
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的一般形式即可作出判斷．
【解答】解： A 、該函數(shù)是一次函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故本選項不符合題意；
B 、該函數(shù)是二次函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故本選項不符合題意；
C 、該函數(shù)不是反比例函數(shù)，故本選項不符合題意；
D 、該函數(shù)是反比例函數(shù)，故本選項符合題意． 故選： D ．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點是將一般式 y ? k (k ? 0) 轉化為 y ? kx?1(k ? 0)
x
的形式．
5．（3 分）下列式子為一元二次方程的是()
A． 5x2 ? 1
C． 4x( 1 ? 2) ? 25
x
B． 4a2 ? 81
D． (3x ? 2)(x ? 1) ? 8 y ? 3
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次 數(shù)是 2 的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解： A ． 5x2 ? 1 是代數(shù)式，不是方程，故本選項不合題意；
B ． 4a2 ? 81 是一元二次方程，故本選項符合題意；
C ． 4x( 1 ? 2) ? 25 不是整式方程，故本選項不合題意；
x
D ． (3x ? 2)(x ?1) ? 8 y ? 3 ，含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項不合題意； 故選： B ．
【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵．
6．（3 分）下列事件是必然事件的為()
購買一張體育彩票，中獎
經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈C．2022 年元旦是晴天
D．在地面上向空中拋擲一石塊，石塊終將落下
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【解答】解： A 、購買一張體育彩票，中獎，是隨機事件，不符合題意； B 、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件，不符合題意； C 、2022 年元旦是晴天，是隨機事件，不符合題意；
D 、在地面上向空中拋擲一石塊，石塊終將落下，必然事件，符合題意； 故選： D ．
【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下， 一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
7．（3 分）下列各點中，關于原點對稱的兩個點是()
A． (?5, 0) 與(0,5)B． (0, 2) 與(2, 0)
C． (?2, ?1) 與(?2,1)D． (2, ?1) 與(?2,1)
【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)，可得答案．
【解答】解： A ．(?5, 0) 與(0,5) ，不符合題意關于原點對稱點的性質，故此選項不合題意；
B ． (0, 2) 與(2, 0) ，不符合題意關于原點對稱點的性質，故此選項不合題意；
C ． (?2, ?1) 與(?2,1) ，不符合題意關于原點對稱點的性質，故此選項不合題意；
D ． (2, ?1) 與(?2,1) ，符合題意關于原點對稱點的性質，故此選項符合題意； 故選： D ．
【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，正確掌握關于原點對稱點的性質是解題關鍵．
8．（3 分）下列是對方程 2x2 ? 2 2x ? 1 ? 0 實根情況的判斷，正確的是()
A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有一個實數(shù)根
C．有兩個相等的實數(shù)根D．沒有實數(shù)根
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式， 即可得出△ ? 0 ， 進而即可得出方程
2x2 ? 2 2x ? 1 ? 0 有兩個相等的實數(shù)根．
2
【解答】解：? a ? 2 ， b ? ?2， c ? 1，
?△ ? b2 ? 4ac ? (?2 2)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 ，
?方程 2x2 ? 2 2x ? 1 ? 0 有兩個相等的實數(shù)根． 故選： C ．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根與△ ? b2 ? 4ac 有
如下關系：當△ ? 0 時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△ ? 0 時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△ ? 0 時，方程無實數(shù)根．
9．（3 分） ?O 是四邊形 ABCD 的外接圓， AC 平分?BAD ，則正確結論是()
AB ? AD
BC ? CD
?AB ? B?D
?BCA ? ?DCA
【分析】利用角平分線得到?BAC ? ?DAC ，再根據(jù)圓周角定理得到 B?C ? D?C ，然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關系得到 BC ? DC ．
【解答】解：? AC 平分?BAD ，
??BAC ? ?DAC ，
? B?C ? D?C ，
? BC ? CD ． 故選： B ．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于 這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓心角、弧、弦的關系．
10．（3 分）正比例函數(shù) y ? x 與反比例函數(shù) y ? 1 的圖象相交于 A 、C 兩點．AB ? x 軸于 B ，
x
CD ? x 軸于 D （如圖），則四邊形 ABCD 的面積為()
A．1B． 3
2
C．2D． 5
2
【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍
成的直角三角形面積 S 的關系即 S ? 1 | k | ，得出 S
2
?AOB
? S?ODC
? 1 ，再根據(jù)反比例函數(shù)的
2
對稱性可知： OB ? OD ，得出 S?AOB ? S?ODA ， S?ODC ? S?OBC ，最后根據(jù)四邊形 ABCD 的面積? S?AOB ? S?ODA ? S?ODC ? S?OBC ，得出結果．
【解答】解：根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知： OB ? OD ， AB ? CD ，
?四邊形 ABCD 的面積? S?AOB ? S?ODA ? S?ODC ? S?OBC ? 1? 2 ? 2 ． 故選： C ．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù) y ? k 中 k 的幾何意義，即圖象上的點與原點所連的線
x
段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積 S 的關系即 S ? 1 | k | ．
2
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分。）
11．（3 分）方程 x2 ? 3x ? 2 ? 0 兩個根的和為 3，積為 ．
【分析】直接利用根與系數(shù)的關系求解．
【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關系 x2 ? 3x ? 2 ? 0 兩個根的和為 3，積為 2． 故答案為：3，2．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若 x ， x 是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的兩
12
根，則 x ? x ? ? b ， x x ? c ．
12a1 2a
12．（3 分）在一個暗箱里放入除顏色外其它都相同的 1 個紅球和 11 個黃球，攪拌均勻后隨
機任取一球，取到紅球的概率是1．
12
【分析】一共有11 ? 1 ? 12 （個) 球，隨機任取一個球，抓到每個球的可能性是相等的，所以
求取到是紅球的可能性是多 12 的幾分之幾，據(jù)此解答．
【解答】解：1 ? (1 ? 11) ? 1 ?12 ? 1 ，
12
故答案為： 1 ．
12
【點評】本題考查了簡單事件發(fā)生的可能性的求解，即可能性 ? 所求情況數(shù)? 總情況數(shù)或求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾用除法計算．
13．（3 分）直線 y ? x ? 2 關于原點中心對稱的直線的方程為 y ? x ? 2 ．
【分析】根據(jù)若兩條直線關于原點對稱，則這兩條直線平行，即 k 值不變；與 y 軸的交點關于原點對稱，即b 值互為相反數(shù)可以直接寫出答案．
【解答】解：線 y ? x ? 2 關于原點中心對稱的直線的方程為 y ? x ? 2 ．
故答案為： y ? x ? 2 ．
【點評】本題主要考查了一次函數(shù)得幾何變換，關鍵是利用數(shù)形結合來分析此類型的題，根 據(jù)圖形，發(fā)現(xiàn) k 和b 值之間的關系．也考查了關于原點對稱的點的坐標規(guī)律：關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．
14．（3 分）把一副普通撲克牌中的 13 張黑桃牌洗勻后正面向下放在桌子上，從中任意抽取
一張，抽出的牌點數(shù)小于 5 的概率是4．
13
【分析】抽出的牌的點數(shù)小于 5 有 1，2，3，4 共 4 個，總的樣本數(shù)目為 13，由此可以容易知道事件抽出的牌的點數(shù)小于 5 的概率．
【解答】解：?抽出的牌的點數(shù)小于 5 有 1，2，3，4 共 4 個，總的樣本數(shù)目為 13，
?從中任意抽取一張，抽出的牌點數(shù)小于 5 的概率是： 4 ．
13
故答案為： 4 ．
13
【點評】此題主要考查了概率的求法．用到的知識點為：概率? 所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
15．（3 分）在?O 中，圓心角?AOC ? 120? ，則?O 內(nèi)接四邊形 ABCD 的內(nèi)角?ABC ?
120? ．
【分析】先根據(jù)圓周角定理求得?D 的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質求出?ABC 的度數(shù)即可．
【解答】解：? ABCD 是?O 的內(nèi)接四邊形，且?AOC ? 120? ，
??ADC ? 1 ?AOC ? 60? ，
2
??ABC ? 180? ? ?ADC ? 180? ? 60? ? 120? ， 故答案為：120? ．
【點評】此題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質及圓周角定理，比較簡單，牢記有關定理是解答 本題的關鍵．
16．（3 分）如圖，在Rt?ABC 中，?C ? 90? ，?A ? 30? ， BC ? 2 ，?C 的半徑為 1，點 P 是
斜邊 AB 上的點，過點 P 作?C 的一條切線 PQ （點 Q 是切點），則線段 PQ 的最小值為
2
．
【分析】連接CP ，過點C 作CP? ? AB 于 P? ，根據(jù)切線的性質得到CQ ? PQ ，根據(jù)直角三角形的性質求出CP? ，根據(jù)勾股定理、垂線段最短解答即可．
【解答】解：連接CP ，過點C 作CP? ? AB 于 P? ，
? PQ 是?C 的切線，
?CQ ? PQ ，
CP2 ? CQ2
CP2 ?1
? PQ ??，
當CP ? AB 時， CP 最小，則 PQ 最小，
??ACB ? 90? ， ?A ? 30? ，
??B ? 60? ，
?CP? ? BC ? sin B ? 2?
? PQ 的最小值為：
3 ?，
3
2
( 3)2 ?1
2
?，
2
故答案為：．
【點評】本題考查的是切線的性質、直角三角形的性質、垂線段最短，掌握圓的切線垂直于 經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。） 17．（4 分）如圖，在方格紙中，已知頂點在格點處的?ABC ，請畫出將 ?ABC 繞點C 旋轉180?得到的△ A?B?C? ．（需寫出△ A?B?C? 各頂點的坐標）．
【分析】利用中心對稱的性質分別作出 A ， B ， C 的對應點 A? ， B? ， C? 即可．
【解答】解：如圖，△ A?B?C? 即為所求．
【點評】本題考查作圖 ? 旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換的性質，屬于中考?？碱}型．
18．（4 分）解方程： x2 ? 1 ? 4 ? 2x ．
【分析】先把方程轉化為一般形式，再用因式分解的辦法求解方程．
【解答】解：整理得 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ，
(x ? 3)(x ?1) ? 0 ，
? x ? 3 ? 0 或 x ? 1 ? 0 ，
? x1 ? ?3 ， x2 ? 1 ．
【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法是解決本題的關鍵．
19．（6 分）已知二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象與 y 軸相交于點 A ， y 與 x 的部分對應值如下表：
直接寫出拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標及點 A 的坐標；
在給出的坐標系中畫出該函數(shù)圖象的草圖．
x
?1
0
1
2
3
y
0
■
?4
?3
0
【分析】（1）由拋物線經(jīng)過點 (?1, 0) ， (3, 0) 可得拋物線對稱軸與頂點坐標，由拋物線的對稱性可得點 A 坐標．
（2）通過表格中的點作圖．
【解答】解：（1）?拋物線經(jīng)過點(?1, 0) ， (3, 0) ，
?拋物線對稱軸為直線 x ? 1 ，
由表格可得拋物線頂點坐標為(1, ?4) ，
??4 ? 0 ，
?拋物線開口向上，
?拋物線經(jīng)過(2, ?3) ，
?拋物線經(jīng)過點(0, ?3) ，
?點 A 坐標為(0, ?3) ，
綜上所述，拋物線開口向上，對稱軸為直線 x ? 1 ，頂點坐標為(1, ?4) ，點 A 坐標為(0, ?3) ．
（2）如圖，
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象的性質，
20．（6 分）如圖， AB 、CD 是?O 的兩條弦， ?AB ? C?D ， OE ? AB ， OF ? CD ，垂足分別為 E 、 F ．求證OE ? OF ．
【分析】連接OA 、OC ，證明Rt?OAE ? Rt?OCF(HL) ，可得結論．
【解答】證明：連接OA 、OC ，
? ?AB ? C?D ，
? AB ? CD ，
?OE ? AB ， OF ? CD ，
? AE ? 1 AB ， CF ? 1 CD ， ?AEO ? ?CFO ? 90? ，
22
? AE ? CF ，
又? OA ? OC ，
?Rt?OAE ? Rt?OCF(HL) ，
?OE ? OF ．
【點評】本題考查垂徑定理，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用 輔助線，構造全等三角形解決問題．
21．（8 分）一個不透明的口袋中有 4 個完全相同的小球，把它們分別標號為 1，2，3，4．隨機摸取一個小球后，不放回，再隨機摸出一個小球，分別求下列事件的概率：
兩次取出的小球標號和為奇數(shù)；
兩次取出的小球標號和為偶數(shù)．
【分析】（1）畫樹狀圖，共有 12 種等可能的結果，其中兩次取出的小球標號和為奇數(shù)的結
果有 8 種，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有 12 種等可能的結果，其中兩次取出的小球標號和為偶數(shù)的結果有
4 種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：
共有 12 種等可能的結果，其中兩次取出的小球標號和為奇數(shù)的結果有 8 種，
?兩次取出的小球標號和為奇數(shù)的概率為 8 ? 2 ；
123
（2）由（1）可知，共有 12 種等可能的結果，其中兩次取出的小球標號和為偶數(shù)的結果有
4 種，
?兩次取出的小球標號和為偶數(shù)的概率為 4 ? 1 ．
123
【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結 果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到 的知識點為：概率? 所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22．（10 分）參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩場比賽．共要比賽 90 場．共有多少個隊參加比賽？
【分析】設共有 x 個隊參加比賽，根據(jù)每兩隊之間都進行兩場比賽結合共比了 90 場即可得出關于 x 的一元一次方程，解之即可得出結論．
【解答】解：設共有 x 個隊參加比賽，
根據(jù)題意得： 2 ? 1 x(x ? 1) ? 90 ，
2
整理得： x2 ? x ? 90 ? 0 ，
解得： x ? 10 或 x ? ?9 （舍去）．故共有 10 個隊參加比賽．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)每兩隊之間都進行兩場比賽結合共比了 90
場列出關于 x 的一元一次方程是解題的關鍵．
23．（10 分）如圖所示，已知 A(?1, 0) ， B(0,1) ，直線 AB 與反比例函數(shù) y ? m (m ? 0) 的圖象
x
在第一象限交于C 點， CD 垂直于 x 軸，垂足為 D ，且OD ? 1 ．
當 y ? 1 時，求反比例函數(shù) y ? m 對應 x 的值；
x
當1 ? y ? 4 時，求反比例函數(shù) y ? m 對應 x 的取值范圍．
x
【分析】（1）先求得直線 AB 的解析式，進而求得C 的坐標，從而利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，把 y ? 1 代入，即可求得對應 x 的值；
（2）求得函數(shù)值為 4 時所對應的的 x 的值，即可得到當1 ? y ? 4 時，反比例函數(shù) y ? m 對應
x
x 的取值范圍是 1 ? x ? 2 ．
2
【解答】解：（1）設直線 AB 的解析式為 y ? kx ? b ，
?點 A(?1, 0) ， B(0,1) 在一次函數(shù) y ? kx ? b(k ? 0) 的圖象上，
?
? ??k ? b ? 0 ，
?b ? 1
?b ? 1
解得?k ? 1 ，
?
?直線 AB 的解析式為 y ? x ? 1 ，
? CD 垂直于 x 軸，垂足為 D ，且OD ? 1 ．
? C 的橫坐標為 1，
把 x ? 1 代入 y ? x ? 1 得， y ? 2 ，
?C(1, 2) ，
?點C 在反比例函數(shù) y ? m (m ? 0) 的圖象上，
x
? m ? 1? 2 ? 2 ，
?反比例函數(shù)為 y ? 2 ，
x
當 y ? 1 時， x ? 2 ，
?當 y ? 1 時，反比例函數(shù) y ? m 對應 x 的值為 2；
x
（2）把 y ? 4 代入 y ? 2 得， x ? 1 ，
x2
?當 y ? 1 時， x ? 2 ，
?當1 ? y ? 4 時，反比例函數(shù) y ? m 對應 x 的取值范圍是 1 ? x ? 2 ．
x2
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，待 定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式 是中學階段求函數(shù)解析式常用的方法，一定要熟練掌握并靈活運用．
24．（12 分）如圖， AB 、CD 是?O 中兩條互相垂直的弦，垂足為點 E ，且 AE ? CE ，點 F
2
是 BC 的中點，延長 FE 交 AD 于點G ，已知 AE ? 1 ， BE ? 3 ， OE ?．
求證： ?AED ? ?CEB ；
求證： FG ? AD ；
5
若一條直線l 到圓心O 的距離 d ?，試判斷直線l 是否是圓O 的切線，并說明理由．
【分析】（1）由圓周角定理得 ?A ? ?C ，由 ASA 得出?AED ? ?CEB ；
（ 2 ） 由直角三角形斜邊上的中線性質得 EF ? 1 BC ? BF ， 由等腰三角形的性質得
2
?FEB ? ?B ，由圓周角定理和對頂角相等證出?A ? ?AEG ? 90? ，進而得出結論；
（ 3 ） 作 OH ? AB
于 H ， 連 接 OB ， 由 垂 徑 定 理 得 出
AH ? BH ? 1 AB ? 2 ， 則
2
5
EH ? AH ? AE ? 1 ，由勾股定理求出 OH ? 1 ， OB ?，由一條直線 l 到圓心 O 的距離
5
d ?? ?O 的半徑，即可得出結論．
【解答】（1）證明：由圓周角定理得： ?A ? ?C ，
??A ? ?C
?
在?AED 和?CEB 中， ? AE ? CE，
?
??AED ? ?CEB
??AED ? ?CEB(ASA) ；
證明：? AB ? CD ，
??AED ? ?CEB ? 90? ，
??C ? ?B ? 90? ，
?點 F 是 BC 的中點，
? EF ? 1 BC ? BF ，
2
??FEB ? ?B ，
??A ? ?C ， ?AEG ? ?FEB ? ?B ，
??A ? ?AEG ? ?C ? ?B ? 90? ，
??AGE ? 90? ，
? FG ? AD ；
解：直線l 是圓O 的切線，理由如下： 作OH ? AB 于 H ，連接OB ，如圖所示：
? AE ? 1， BE ? 3 ，
? AB ? AE ? BE ? 4 ，
? OH ? AB ，
? AH ? BH ? 1 AB ? 2 ，
2
? EH ? AH ? AE ? 1 ，
OE 2 ? EH 2
( 2)2 ? 12
?OH ??? 1 ，
BH 2 ? OH 2
22 ? 12
5
?OB ???，
5
即?O 的半徑為，
5
?一條直線l 到圓心O 的距離 d ?? ?O 的半徑，
?直線l 是圓O 的切線．
【點評】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、垂徑定理、切線的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識；本題綜合性強， 熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關鍵．
25．（12 分）如圖，拋物線 y ? mx2 ? 4mx ? 5m(m ? 0) 與 x 軸交于 A 、B 兩點，與 y 軸交于C點．
求拋物線頂點 M 的坐標（用含 m 的代數(shù)式表示）， A ， B 兩點的坐標；
證明?BCM 與?ABC 的面積相等；
是否存在使 ?BCM 為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將拋物線化為頂點式 y ? m(x ? 2)2 ? 9m ，則拋物線頂點 M 的坐標為(2, ?9m) ， 令 y ? 0 ，解方程即可求出點 A 、 B 的坐標；
分別表示出?BCM 與?ABC 的面積即可證明；
用含 m 的代數(shù)式分別表示出 BC 2 、CM 2 、 BM 2 ，再根據(jù)?BCM 為直角三角形，分三種情況：當?BMC ? 90? 時， CM 2 ? BM 2 ? BC 2 ； ?BCM ? 90? 時， BC 2 ? CM 2 ? BM 2 ；當
?CBM ? 90? 時，由 25 ? 25m2 ? 4 ? 16m2 ，9 ? 81m2 ? 4 ? 16m2 ，此種不存在，分別進行列方程計算即可得出答案．
【解答】解：（1）? y ? m(x ? 2)2 ? 9m ，
?拋物線頂點 M 的坐標為(2, ?9m) ，
?拋物線與 x 軸交于 A 、 B 兩點，
?當 y ? 0 時， mx2 ? 4mx ? 5m ? 0 ，
? m ? 0 ，
? x2 ? 4x ? 5 ? 0 ，
解得 x1 ? ?1 ， x2 ? 5 ，
? A ， B 兩點的坐標為(?1, 0) 、(5, 0) ，
（2）當 x ? 0 時， y ? ?5m ，
?點C 的坐標為(0, ?5m) ，
? S?ABC
? 1 ? | 5 ? (?1) | ? | ?5m |? 15m ，
2
過點 M 作 MD ? x 軸于 D ，
則OD ? 2 ， BD ? OB ? OD ? 3 ， MD ?| ?9m |? 9m ，
? S?BCM ? S?BDM ? S梯形OCMD ? S?OBC ，
? 1 BD ? DM ? 1 (OC ? DM ) ? OD ? 1 OB ? OC ，
222
? 15m ，
? S?ABC ? S?BCM ，
（3）存在使?BCM 為直角三角形的拋物線．
過點C 作CN ? DM 于點 N ，則?CMN 為直角三角形， CN ? OD ? 2 ， DN ? OC ? 5m ，
? MN ? DM ? DN ? 4m ，
?CM 2 ? CN 2 ? MN 2 ? 4 ? 16m2 ，
在Rt?OBC 中， BC 2 ? OB2 ? OC 2 ? 25 ? 25m2 ， 在Rt?BDM 中， BM 2 ? BD2 ? DM 2 ? 9 ? 81m2 ．
①如果?BCM 是直角三角形，且?BMC ? 90? 時， CM 2 ? BM 2 ? BC 2 ，
即 4 ? 16m2 ? 9 ? 81m2 ? 25 ? 25m2 ，解得
? m ? 0 ，
m ? ? 6 ，
6
? m ?6 ．
6
?存在拋物線 y ?
6 x2 ? 2 6 x ? 5 6 使得?BCM 是直角三角形；
636
②如果?BCM 是直角三角形，且?BCM ? 90? 時， BC 2 ? CM 2 ? BM 2 ．
即 25 ? 25m2 ? 4 ? 16m2 ? 9 ? 81m2 ，解得
? m ? 0 ，
m ? ? 2 ，
2
? m ?2 ．
2
?存在拋物線 y ?
2 x2 ? 2 2x ? 5 2 使得?BCM 是 Rt △；
22
③? 25 ? 25m2 ? 4 ? 16m2 ， 9 ? 81m2 ? 4 ? 16m2 ，
?以?CBM 為直角的直角三角形不存在，
綜上，存在拋物線 y ?
形．
6 x2 ? 2 6 x ? 5 6 和 y ?
636
2 x2 ? 2 2x ? 5 2 使?BCM 是直角三角
22
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點式，勾股定理，用含參數(shù) m 的代數(shù)式表示各線段長，再運用分類思想是解題的關鍵．

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