1．（3 分）下列圖形中，不是中心對稱圖形的是()
A． B． C． D．
2．（3 分）若關(guān)于 x 的方程(m ?1)x2 ? mx ?1 ? 0 是一元二次方程，則 m 的取值范圍是()
m ? 1
m ? 1
m ? 1
m ? 0
3．（3 分）從拼音“ shuxue ”中隨機抽取一個字母，抽中字母u 的概率為()
1
3
1
4
1
5
1
6
4．（3 分）正十邊形的中心角是()
A．18?B． 36?C． 72?D．144?
5．（3 分）將拋物線 y ? 3x2 的圖象先向右平移 2 個單位，再向上平移 5 個單位后，得到的拋物線解析式是()
A． y ? 3(x ? 2)2 ? 5
B． y ? 3(x ? 2)2 ? 5
C． y ? 3(x ? 2)2 ? 5
D． y ? 3(x ? 2)2 ? 5
6．（3 分）一個不透明的盒子中有 100 個紅色小球，10 個白色小球，1 個黃色小球，現(xiàn)從中隨機取出一個球，下列事件是不可能事件的是()
A．取出的是紅色小球B．取出的是白色小球
C．取出的是黃色小球D．取出的是黑色小球
7．（3 分）已知?O 半徑為 4，圓心O 在坐標原點上，點 P 的坐標為(3, 4) ，則點 P 與?O 的位置關(guān)系是()
A．點 P 在?O 內(nèi)B．點 P 在?O 上C．點 P 在?O 外D．不能確定
8．（3 分）某超市銷售一種飲料．平均每天可售出 100 箱，每箱利潤 12 元．為了擴大銷售，
增加利潤，超市準備適當降價．據(jù)測算，若每箱降價 1 元，每天可多售出 20 箱．若要使每天銷售飲料獲利 1400 元，設(shè)每箱降價的價錢為 x 元，則根據(jù)題意可列方程()
A． (12 ? x)(100 ? 20x) ? 1400
C． (12 ? x)(100 ? 20x) ? 1400
B． (12 ? x)(100 ? 20x) ? 1400
D． (12 ? x)(100 ? 20x) ? 1400
9．（3 分）如圖，將 ?ABC 繞點C 順時針旋轉(zhuǎn)?得到?DEC ，此時點 D 落在邊 AB 上，且 DE
垂直平分 BC ，則 AC 的值是()
DE
1
3
1
2
3
5
2
10．（3 分）已知拋物線 y ? ax2 ? bx ? c(a ， b ， c 為常數(shù)且 a ? 0) 經(jīng)過 P (1, y ) ， P (2, y ) ，
1122
P3 (3, y3 ) ， P4 (4, y4 ) 四點．若 y1 ? y2 ? y3 ，則下列說法中正確的是()
若 y4 ? y3 ，則 a ? 0
對稱軸不可能是直線 x ? 2.7
y1 ? y4
3a ? b ? 0
二、填空題（本大題共 6 小題。每小題 3 分，共 18 分。）
11．（3 分）在平面直角坐標系中，點 P(?10, a) 與點Q(b,1) 關(guān)于原點對稱，則 a ? b ? ．
12．（3 分）若關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? 2x ? k ? 0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 k 的取值范圍是 ．
13．（3 分）在一個不透明的口袋中裝有 5 個紅球和若干個白球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在 0.25 附近，則估計口袋中白球大約有 個．
14．（3 分）飛機著陸后滑行的距離 y （單位：米）關(guān)于滑行時間t （單位：秒）的函數(shù)解析式是 y ? 60t ?1.5t2 ，則飛機從開始滑行到完全停下來總共用時 秒．
15．（3 分）如圖所示，矩形紙片 ABCD 中， AD ? 12cm ，把它分割成正方形紙片 ABFE 和矩形紙片 EFCD 后，分別裁出扇形 ABF 和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的底面和側(cè)
面，則圓錐的表面積為 cm2 ．（結(jié)果保留?)
16．（3 分）如圖所示，ABCD 是邊長為 2 的正方形，點 E ，F(xiàn) 分別為邊 BC ，CD 上動點（點
E 不與 B ， C 重合，點 F 不與C ， D 重合），且?EAF ? 45? ，下列說法：
①點 E 從 B 向C 運動的過程中， ?CEF 的周長始終不變；
②以 A 為圓心，2 為半徑的圓一定與 EF 相切；
2
③ ?AEF 面積有最小值；
④ ?CEF 的面積最大值小于 2 ．
2
其中正確的有 ．（填寫序號）
三、解答題（本大題共 9 小題，共 72 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟）
17．（4 分）解一元二次方程： x2 ? 2x ? 3 ? 0 ．
18．（4 分）如圖，在平面直角坐標系中， ?ABC 的頂點均在格點上， A(1, 0) 、 B(2, ?2) ，
C(4, ?1) ．將?ABC 繞坐標原點O 順時針旋轉(zhuǎn)90? 得到△ A1 B1C1 ．
畫出△ A1 B1C1 ；
求點C 在旋轉(zhuǎn)過程中運動的路徑長．（結(jié)果保留?)
19．（6 分）如圖所示，?O 的弦 BD ，CE 所在直線相交于點 A ，若 AB ? AC ，求證：BD ? CE ．
20．（6 分）如圖，拋物線 y ? x2 ? bx ? c 與 x 軸交于 A(?3, 0) 、B 兩點，與 y 軸交于點C(0, ?3) ．
求拋物線的解析式；
結(jié)合圖形，求 y ? 0 時自變量 x 的取值范圍．
21．（8 分）一只箱子里共 3 個球，其中 2 個白球，1 個紅球，它們除顏色外均相同．
從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是多少？
從箱子中任意摸出一個球，不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球，求兩次摸出的球 都是白球的概率，并畫出樹狀圖或列出表格．
22．（10 分）受各方面因素的影響，最近兩年來某市平均房價由 40000 元/ 平方米，下降到
32400 元/ 平方米．
求房價年平均下降率；
按照這個年平均下降率，預(yù)計下一年該市的平均房價每平方米多少元？
23．（10 分）如圖，四邊形 ABCD 中， ?A ? ?B ? 90? ，以CD 為直徑的?O 與邊 AB 相切于點 E ．
求作?O ，并標出點 E （尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
連接CE ，求證： CE 平分?BCD ；
若 BC ? 5 ， AB ? 6 ，求CD 的長．
24．（12 分）已知拋物線G : y ? mx2 ? (4m ? 2)x ? 4m ? 1(m ? 0) 經(jīng)過定點 A ，直線l : y ? kx ? b
經(jīng)過點 A 和拋物線G 的頂點 B ．
求點 A 的坐標；
求直線l 的解析式；
已知點 P 為拋物線G 上的一點，且?PAB 的面積為 2．若滿足條件的點 P 有且只有 3
個，求拋物線的頂點 B 的坐標．
25．（12 分）如圖 1， ABCD 是邊長為 4 的正方形，以 B 為圓心的?B 與 BC ， BA 分別交于點 E ， F ，連接 EF ，且 EF ? 4 ．
求 BE 的長；
在平面內(nèi)將圖 1 中?BEF 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn)360? ，在旋轉(zhuǎn)的過程中，
①求?CDE 的取值范圍；
②如圖 2，取 DE 的中點G ，連接CG 并延長交直線 DF 于點 H ，點 P 為正方形內(nèi)一動點， 試求 PH ? PA ? PB 的最小值．
2021-2022 學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題。每小題 3 分，共 30 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．（3 分）下列圖形中，不是中心對稱圖形的是()
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解： A 、是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B 、是中心對稱圖形，故本選項錯誤； C 、是中心對稱圖形，故本選項錯誤； D 、不是中心對稱圖形，故本選項正確．
故選： D ．
【點評】本題考查了中心對稱圖形的知識，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180? ，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
2．（3 分）若關(guān)于 x 的方程(m ?1)x2 ? mx ?1 ? 0 是一元二次方程，則 m 的取值范圍是()
m ? 1
m ? 1
m ? 1
m ? 0
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．
【解答】解：?關(guān)于 x 的方程(m ?1)x2 ? mx ?1 ? 0 是一元二次方程，
? m ? 1 ? 0 ， 解得： m ? 1 ． 故選： A ．
【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是 2 的整式方程，叫一元二次方程． 3．（3 分）從拼音“ shuxue ”中隨機抽取一個字母，抽中字母u 的概率為()
1
3
1
4
1
5
1
6
【分析】“ shuxue ”中共有 6 個字母， u 有 2 個，根據(jù)概率公式可得答案．
【解答】解：?單詞“ shuxue ”，共 6 個字母， u 有 2 個，
?抽中l(wèi) 的概率為 2 ? 1 ，
63
故選： A ．
【點評】此題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識點為：概率? 所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
4．（3 分）正十邊形的中心角是()
A．18?B． 36?C． 72?D．144?
【分析】根據(jù)正多邊形的圓心角定義可知：正 n 邊形的圓中心角為： 360? ，則代入求解即
10
可．
【解答】解：正十邊形的中心角為： 360? ? 36? ．
10
故選： B ．
【點評】此題考查了正多邊形的中心角的知識．題目比較簡單，注意熟記定義．
5．（3 分）將拋物線 y ? 3x2 的圖象先向右平移 2 個單位，再向上平移 5 個單位后，得到的拋物線解析式是()
A． y ? 3(x ? 2)2 ? 5
B． y ? 3(x ? 2)2 ? 5
C． y ? 3(x ? 2)2 ? 5
D． y ? 3(x ? 2)2 ? 5
【分析】首先確定拋物線 y ? 3x2 的頂點坐標，再確定平移后的拋物線頂點坐標，然后可得答案．
【解答】解：拋物線 y ? 3x2 的頂點坐標為(0, 0) ，
?先向右平移 2 個單位，再向上平移 5 個單位，
?新的拋物線頂點坐標為(2,5) ，
?新拋物線的解析式為： y ? 3(x ? 2)2 ? 5 ， 故選： B ．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，關(guān)鍵是掌握平移的規(guī)律：左加右減，上 加下減．
6．（3 分）一個不透明的盒子中有 100 個紅色小球，10 個白色小球，1 個黃色小球，現(xiàn)從中隨機取出一個球，下列事件是不可能事件的是()
A．取出的是紅色小球B．取出的是白色小球
C．取出的是黃色小球D．取出的是黑色小球
【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的定義判斷即可．
【解答】解：一個不透明的盒子中有 100 個紅色小球，10 個白色小球，1 個黃色小球，現(xiàn)從中隨機取出一個球，
可能取出的是紅色小球，也可能取出的是白色小球，也可能取出的是黃色小球， 不可能取出的是黑色小球，
所以：取出的是黑色小球是不可能事件， 故選： D ．
【點評】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的定義是解題的 關(guān)鍵．
7．（3 分）已知?O 半徑為 4，圓心O 在坐標原點上，點 P 的坐標為(3, 4) ，則點 P 與?O 的
位置關(guān)系是()
A．點 P 在?O 內(nèi)B．點 P 在?O 上C．點 P 在?O 外D．不能確定
【分析】先根據(jù)勾股定理求出OP 的長，再與?O 的半徑為 5 相比較即可．
【解答】解：? P 的坐標為(3, 4) ，
32 ? 42
?OP ?? 5 ．
??O 的半徑為 4， 5 ? 4 ，
?點 P 在?O 外． 故選： C ．
【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，坐標與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟知點與圓 的三種位置關(guān)系．
8．（3 分）某超市銷售一種飲料．平均每天可售出 100 箱，每箱利潤 12 元．為了擴大銷售，
增加利潤，超市準備適當降價．據(jù)測算，若每箱降價 1 元，每天可多售出 20 箱．若要使每天銷售飲料獲利 1400 元，設(shè)每箱降價的價錢為 x 元，則根據(jù)題意可列方程()
A． (12 ? x)(100 ? 20x) ? 1400
C． (12 ? x)(100 ? 20x) ? 1400
B． (12 ? x)(100 ? 20x) ? 1400
D． (12 ? x)(100 ? 20x) ? 1400
【分析】設(shè)每箱降價的價錢為 x 元，則每箱的利潤為(12 ? x) 元，每天的銷售量為(100 ? 20x) 箱，根據(jù)每天銷售飲料獲得的利潤? 每箱的利潤? 日銷售量，即可得出關(guān)于 x 的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)每箱降價的價錢為 x 元，則每箱的利潤為(12 ? x) 元，每天的銷售量為
(100 ? 20x) 箱，
依題意，得(12 ? x)(100 ? 20x) ? 1400 ． 故選： A ．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方
程是解題的關(guān)鍵．
9．（3 分）如圖，將 ?ABC 繞點C 順時針旋轉(zhuǎn)?得到?DEC ，此時點 D 落在邊 AB 上，且 DE
垂直平分 BC ，則 AC 的值是()
DE
1
3
1
2
3
5
2
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證明?DCF∽?DEC ，對應(yīng)邊成比例即可解決問題．
【解答】解：如圖，設(shè) DE 與 BC 交于點 F ，
由旋轉(zhuǎn)可知： CA ? CD ， AB ? DE ， BC ? EC ， ?B ? ?E ，
? DE 垂直平分 BC ，
? DF ? BC ， DC ? DB ， CF ? BF ? 1 BC ? 1 EC ，
22
??DCB ? ?B ? ?E ，
??DCB ? ?FDC ? 90? ，
??E ? ?FDC ? 90? ，
??DCE ? 90? ，
??DCF∽?DEC ，
? CD ? CF ? 1 ，
DECE2
? AC ? 1 ．
DE2
故選： B ．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決 本題的關(guān)鍵是得到?DCF∽?DEC ．
10．（3 分）已知拋物線 y ? ax2 ? bx ? c(a ， b ， c 為常數(shù)且 a ? 0) 經(jīng)過 P (1, y ) ， P (2, y ) ，
1122
P3 (3, y3 ) ， P4 (4, y4 ) 四點．若 y1 ? y2 ? y3 ，則下列說法中正確的是()
若 y4 ? y3 ，則 a ? 0
對稱軸不可能是直線 x ? 2.7
y1 ? y4
3a ? b ? 0
【分析】根據(jù)題意判定拋物線開口方向，對稱軸的位置，然后根據(jù)點到對稱軸的距離的大小 即可判斷．
【解答】解：當 a ? 0 時，拋物線開口向下，
當 x ? ? b
2a
時， y 隨 x 增大而增大，
若 a ? 0 ， 4 ? ? b
2a
?選項 A 錯誤．
時， y
4 ? y3 ，
當對稱軸為直線 x ? 2.7 時， 3 ? 2.7 ? 2.7 ? 2 ? 4 ? 2.7 ? 2.7 ? 1 ， 若 a ? 0 則 y3 ? y2 ，不符題意，
若 a ? 0 則 y3 ? y2 ? y4 ? y1 ，符合題意，
?選項 B 錯誤．
若 a ? 0 ，當拋物線對稱軸為直線 x ? 1 ? 2 ? 1.5 時， y ? y
? y ，
2
?對稱軸直線 x ? h ? 1.5 時滿足題意， 此時 4 ? 1.5 ? 1.5 ? 1 ，
? y4 ? y1 ，
123
若 a ? 0 ，當拋物線對稱軸為直線 x ? h ? 2 ? 3 ? 2.5 時， y ? y
y ? y ，
當 h ? 2.5 時 y4 ? y1 ，
?選項C 正確．
23241
? y1 ? y2 ，
? a ? b ? c ? 4a ? 2b ? c ，
?3a ? b ? 0 ，
?選項 D 錯誤． 故選： C ．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，判定對稱軸的位置是 解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共 6 小題。每小題 3 分，共 18 分。）
11．（3 分）在平面直角坐標系中，點 P(?10, a) 與點Q(b,1) 關(guān)于原點對稱，則 a ? b ? 9．
【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出 a ， b 的值進而得出答案．
【解答】解：?點 P(?10, a) 與點Q(b,1) 關(guān)于原點對稱，
?b ? 10 ， a ? ?1 ， 則 a ? b ? ?1 ? 10 ? 9 ． 故答案為：9．
【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確得出 a ， b 的值是解題關(guān)鍵． 12．（3 分）若關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? 2x ? k ? 0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 k 的取值范圍是k ? 1 ．
【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到(?2)2 ? 4k ? 0 ，然后解不等式即可．
【解答】解：根據(jù)題意得△ ? (?2)2 ? 4 ? k ? 0 ， 解得 k ? 1 ．
故答案為： k ? 1 ．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根與△ ? b2 ? 4ac 有
如下關(guān)系，當△ ? 0 時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△ ? 0 時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△ ? 0 時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．
13．（3 分）在一個不透明的口袋中裝有 5 個紅球和若干個白球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在 0.25 附近，則估計口袋中白球大約有 15 個．
【分析】由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在 0.25 附近得出口袋中得到紅色球的概率，進而求出白球
個數(shù)即可．
【解答】解：設(shè)白球個數(shù)為： x 個，
?摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在 0.25 左右，
?口袋中得到紅色球的概率為 0.25，
?5? 1 ，

x ? 54
解得： x ? 15 ，
即白球的個數(shù)為 15 個， 故答案為：15．
【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，根據(jù)大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率得出是 解題關(guān)鍵．
14．（3 分）飛機著陸后滑行的距離 y （單位：米）關(guān)于滑行時間t （單位：秒）的函數(shù)解析
式是 y ? 60t ?1.5t2 ，則飛機從開始滑行到完全停下來總共用時 20秒．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得其對稱軸即可得答案．
【解答】解：?當 s ? 0 時， 60t ?1.5t 2 ? 0 ， 解得： t ? 40 或t ? 0 ，
?飛機著陸后從開始滑行到完全停止所用的時間是 40 ? 0 ? 20 （秒) ，
2
故答案為：20．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（3 分）如圖所示，矩形紙片 ABCD 中， AD ? 12cm ，把它分割成正方形紙片 ABFE 和矩形紙片 EFCD 后，分別裁出扇形 ABF 和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的底面和側(cè)
面，則圓錐的表面積為 20? cm2 ．（結(jié)果保留?)
【分析】求出圓錐底面半徑和扇形 ABF 的半徑，再根據(jù)圓錐表面積的計算方法，求出底面積、側(cè)面積即可．
【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為 xcm ，則扇形 ABF 的半徑為(12 ? 2 x)cm ， 由題意得，
2?x ? 90?(12 ? 2x) ，
180
解得 x ? 2 ，
即圓錐的底面半徑為 2cm ， AB ? BF ? 12 ? 4 ? 8cm ，
?圓錐的底面積為?? 22 ? 4?(cm2 ) ，側(cè)面積為 1?? 82 ? 16?(cm2 ) ，
4
?圓錐的表面積為 4??16?? 20?(cm2 ) ， 故答案為： 20?．
【點評】本題考查圓錐的計算，掌握圓錐底面積、側(cè)面積的計算方法是正確解答的前提，求
出圓錐的底面半徑、扇形的半徑是正確計算的關(guān)鍵．
16．（3 分）如圖所示，ABCD 是邊長為 2 的正方形，點 E ，F(xiàn) 分別為邊 BC ，CD 上動點（點
E 不與 B ， C 重合，點 F 不與C ， D 重合），且?EAF ? 45? ，下列說法：
①點 E 從 B 向C 運動的過程中， ?CEF 的周長始終不變；
②以 A 為圓心，2 為半徑的圓一定與 EF 相切；
2
③ ?AEF 面積有最小值；
④ ?CEF 的面積最大值小于 2 ．
2
其中正確的有 ①② ．（填寫序號）
【分析】延長CD 至點 E? ，使得 BE ? E?D ，連接 AE? ，然后證明?FAE? ? ?FAE ，從而得到
?CEF 的周長；由 AD ? FE? 和 AD ? 2 可知以 A 點為圓心、2 為半徑的圓與 FE? 相切，然后利用對稱性可得? A 與 EF 相切；設(shè) BE ? DE? ? x ， DF ? y ，則 EF ? DF ? DE ? ? x ? y ，然后結(jié)合Rt?EFC 的三邊關(guān)系得到 x 與 y 之間的關(guān)系，進而可以用含有 x 的式子表示?AEF 的
面積和?CEF 的面積，進而求得對應(yīng)的最值．
【解答】解：如圖，延長CD 至點 E? ，使得 BE ? E?D ，連接 AE? ，
?四邊形 ABCD 是正方形，
? AB ? AD ， ?BAD ? ?ABE ? ?ADE? ? 90? ，
? BE ? DE ? ，
??BAE? ? ?DAE?(SAS ) ，
? AE ? AE ? ， ?BAE ? ?DAE? ，
??EAF ? 45? ，
??FAE? ? ?FAD ? ?DAE? ? ?FAD ? ?BAE ? 90? ? 45? ? 45? ，
??FAE? ? ?FAE ，
? AE ? AE ? ， AF ? AF ，
??EAF ? △ E?AF (SAS ) ，
? EF ? FE? ， ?EAF 和△ E?AF 關(guān)于 AF 所在直線對稱，
? EF ? FD ? DE ? ? FD ? BE ，
?C?CEF ? CE ? CF ? EF ? CE ? CF ? FD ? BE ? BC ? CD ? 4 ，
??CEF 的周長始終不變，故①正確，符合題意；
? AD ? FE? ， ? A 的半徑 r ? 2 ， AD ? 2 ，
?? A 與 FE? 相切，
??EAF 和△ E?AF 關(guān)于 AF 所在直線對稱，
?? A 與 EF 相切，故②正確，符合題意；
設(shè) BE ? DE? ? x ， DF ? y ，則 EF ? DF ? DE ? ? x ? y ， CE ? 2 ? x ， CF ? 2 ? y ， 在Rt?EFC 中， EC 2 ? CF 2 ? EF 2 ，
?(2 ? x)2 ? (2 ? y)2 ? (x ? y)2 ，
化簡得， y ? 4 ? 2x ? ?2 ?
x ? 2
8，
x ? 2
x ? 2
? S?AEF
，
? S? AE ?F
? 1 E?F ? AD ? 1 ? 2 ? (x ? y) ? x ? (?2 ?
22
8
x ? 2
) ? (x ? 2) ?
8
x ? 2
? 4 ? (?
2 2
x ? 2
2
)2 ? 4? 4
S?CEF
? 1 CE ? CF ? 1 ? (2 ? x) ? (2 ? y) ? 1 ? (2 ? x)[2 ? (?2 ?
222
8
x ? 2
)] ? 12 ? 2[(x ? 2) ?
8
2
x ? 2
] ? ?2(
2 2
x ? 2
x ? 2 ?
2
)2 ? 12 ? 8
，
x ? 2
?當?
2 2
x ? 2
2
即 x ? 2
2 時， S
?AEF
的最小值為 4
4 ，故③錯誤，不符合題意；
x ? 2
2 2
x ? 2
2
當?即 x ? 2
2 時， S
?CEF
的最大值為12 ? 8
，故④錯誤，不符合題意；
2
故答案為：①②．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系、正方形的性質(zhì)、二次 函數(shù)的性質(zhì)求最值，解題的關(guān)鍵是準確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．
三、解答題（本大題共 9 小題，共 72 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟）
17．（4 分）解一元二次方程： x2 ? 2x ? 3 ? 0 ．
【分析】先把方程左邊分解，原方程轉(zhuǎn)化為 x ? 1 ? 0 或 x ? 3 ? 0 ，然后解一次方程即可．
【解答】解：? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ，
?(x ? 1)(x ? 3) ? 0 ，
? x ? 1 ? 0 或 x ? 3 ? 0 ，
? x1 ? ?1 ， x2 ? 3 ．
【點評】本題考查了解一元二次方程? 因式分解法：先把方程右邊變形為 0，再把方程左邊分解為兩個一次式的乘積，這樣原方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，然后解一次方程即可得到 一元二次方程的解．
18．（4 分）如圖，在平面直角坐標系中， ?ABC 的頂點均在格點上， A(1, 0) 、 B(2, ?2) ，
C(4, ?1) ．將?ABC 繞坐標原點O 順時針旋轉(zhuǎn)90? 得到△ A1 B1C1 ．
畫出△ A1 B1C1 ；
求點C 在旋轉(zhuǎn)過程中運動的路徑長．（結(jié)果保留?)
【分析】（1）分別作出 A ， B 的對應(yīng)點 A1 ， B1 即可；
（2）根據(jù)弧長公式列式計算即可得解．
【解答】解：（1）如圖，△ A1 B1C 即為所求作．
（2）點C 在旋轉(zhuǎn)過程中運動的路徑長? 1 ? 2 ???
42 ? 12
? 17?
42
【點評】本題考查作圖 ? 旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
19．（6 分）如圖所示，?O 的弦 BD ，CE 所在直線相交于點 A ，若 AB ? AC ，求證：BD ? CE ．
【分析】如圖，連接 DE ， BC ．證明?ADE ? ?AED ，推出 AD ? AE ，可得結(jié)論．
【解答】證明：如圖，連接 DE ， BC ．
? AB ? AC ，
??B ? ?C ，
??ADE ? ?EDB ? 180? ， ?C ? ?EDB ? 180? ，
??ADE ? ?C ，
同法可證， ?AED ? ?B ，
??ADE ? ?AED ，
? AD ? AE ，
? BD ? EC ．
【點評】本題考查圓心角，弧，弦的關(guān)系，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是 證明 AD ? AE ．
20．（6 分）如圖，拋物線 y ? x2 ? bx ? c 與 x 軸交于 A(?3, 0) 、B 兩點，與 y 軸交于點C(0, ?3) ．
求拋物線的解析式；
結(jié)合圖形，求 y ? 0 時自變量 x 的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將點 A(?3, 0) ， C(0, ?3) 代入拋物線解析式即可；
（2）令 y ? 0 可求得拋物線與 x 軸的交點，即可得 B 的坐標，然后根據(jù)圖象取 x 軸上方圖象對應(yīng)的 x 范圍即可．
【解答】解：（1）?拋物線 y ? x2 ? bx ? c 經(jīng)過點 A(?3, 0) ， C(0, ?3) ，
?c ? ?3
? ?9 ? 3b ? c ? 0 ，
?
?c ? ?3
解得： ?b ? 2 ，
?
?拋物線的解析式為 y ? x2 ? 2x ? 3 ；
（2）由（1）知： y ? x2 ? 2x ? 3 ； 令 y ? 0 ，則 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ，
解得： x ? ?3 或 1，
? B 的坐標為(1, 0) ，
? A(?3, 0) ， B(1, 0) ，
?由圖可得，當 y ? 0 時，自變量 x 的取值范圍為： x ? ?3 或 x ? 1 ．
【點評】本題主要考查拋物線與 x 軸的交點，解題的關(guān)鍵是用函數(shù)圖象來解一元二次不等式．
21．（8 分）一只箱子里共 3 個球，其中 2 個白球，1 個紅球，它們除顏色外均相同．
從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是多少？
從箱子中任意摸出一個球，不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球，求兩次摸出的球 都是白球的概率，并畫出樹狀圖或列出表格．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）畫樹狀圖展示所有 6 種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次摸出的球都是白球的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：（1）因為箱子里共 3 個球，其中 2 個白球，所以從箱子中任意摸出一個球是白
球的概率是 2 ；
3
（2）畫樹狀圖為：
共有 6 種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸出的球都是白球的結(jié)果數(shù)為 2， 所以兩次摸出的球都是白球的概率? 2 ? 1 ．
63
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果 n ， 再從中選出符合事件 A 或 B 的結(jié)果數(shù)目 m ，然后利用概率公式計算事件 A 或事件 B 的概率． 22．（10 分）受各方面因素的影響，最近兩年來某市平均房價由 40000 元/ 平方米，下降到
32400 元/ 平方米．
求房價年平均下降率；
按照這個年平均下降率，預(yù)計下一年該市的平均房價每平方米多少元？
【分析】（1）設(shè)房價年平均下降率為 x ，利用經(jīng)過兩年降價后的房價? 原房價?(1 ? 年平均
下降率） 2 ，即可得出關(guān)于 x 的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；
（2）利用下一年該市的平均房價 ? 32400 ? (1 ? 年平均下降率），即可預(yù)計出下一年該市的平均房價．
【解答】解：（1）設(shè)房價年平均下降率為 x ，依題意得： 40000(1 ? x)2 ? 32400 ，
解得： x1 ? 0.1 ? 10% ， x2 ? 1.9 （不合題意，舍去）．
答：房價年平均下降率為10% ．
（2） 32400 ? (1 ?10%) ? 32400 ? 90% ? 29160 （元) ．
答：下一年該市的平均房價約為每平方米 29160 元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算．
23．（10 分）如圖，四邊形 ABCD 中， ?A ? ?B ? 90? ，以CD 為直徑的?O 與邊 AB 相切于
點 E ．
求作?O ，并標出點 E （尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
連接CE ，求證： CE 平分?BCD ；
若 BC ? 5 ， AB ? 6 ，求CD 的長．
【分析】（1）按題意作出CD 的中點O ，則可畫出圖形；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出?OEC ? ?OCE ，由切線的性質(zhì)得出OE ? AB ，證出OE / / BC ，由平行線的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（ 3 ） 證出 AD ? BC ? CD ， 連接 DF ， 設(shè) AD ? x ， 則 CF ? 5 ? x ， 由勾股定理得出
62 ? (5 ? x)2 ? (x ? 5)2 ，求出 x 的值，則可得出答案．
【解答】（1）解：如圖，
證明：?OE ? OC ，
??OEC ? ?OCE ，
? AB 為?O 的切線，
?OE ? AB ，
??B ? 90? ，
?OE / / BC ，
??OEC ? ?ECB ，
??ECB ? ?ECO ， 即CE 平分?BCD ；
解：?OE / / AD / / BC ， O 為CD 的中點，
?OE 為梯形的中位線，
?OE ? 1 ( AD ? BC) ，
2
? AD ? BC ? CD ， 連接 DF ，
? CD 為?O 的直徑，
??DFC ? 90? ，
?四邊形 ABFD 為矩形，
? AD ? BF ， 設(shè) AD ? x ，
?CF ? 5 ? x ，
? DF 2 ? CF 2 ? CD2 ，
?62 ? (5 ? x)2 ? (x ? 5)2 ，
解得 x ? 9 ，
5
? AD ? 9 ，
5
?CD ? 5 ? x ? 5 ? 9 ? 34 ．
55
【點評】本題是圓的綜合題，考查了尺規(guī)作圖，圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，等腰 三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解是解題的關(guān)鍵．
24．（12 分）已知拋物線G : y ? mx2 ? (4m ? 2)x ? 4m ? 1(m ? 0) 經(jīng)過定點 A ，直線l : y ? kx ? b
經(jīng)過點 A 和拋物線G 的頂點 B ．
求點 A 的坐標；
求直線l 的解析式；
已知點 P 為拋物線G 上的一點，且?PAB 的面積為 2．若滿足條件的點 P 有且只有 3
個，求拋物線的頂點 B 的坐標．
【分析】（1）解析式變形為 y ? m(x ? 2)2 ? 2(x ? 2) ? 3 ，即可求得定點 A 為(2, ?3) ；
把拋物線化成頂點式，可得出點 B 的坐標，利用待定系數(shù)法可解；
過點 P 作 PG ? x 軸，交 AB 于點 H ，設(shè)點 P(t ， mt2 ? (4m ? 2)t ? 4m ? 1) ，由（2）可知，直線l 的解析式為： y ? ?x ? 1 ，H (t, ?t ?1) ，分兩種情況討論計算當 m ? 0 時，得到 PH 的值，再根據(jù)?PAB 的面積求出 PH 的值，令兩者相等，求得 m 即可；當 m ? 0 時，思路同
m ? 0 ．
【解答】解：（1）? y ? mx2 ? (4m ? 2)x ? 4m ? 1
? mx2 ? 4mx ? 2x ? 4m ? 1
? m(x ? 2)2 ? 2(x ? 2) ? 3 ，
? x ? 2 時， y ? ?3 ，
?定點 A(2, ?3) ；
（2）? y ? mx2 ? (4m ? 2)x ? 4m ? 1 ? m(x ? 2m ? 1)2 ? 3m ? 1 ，
mm
?頂點 B( 2m ? 1 ， ? 3m ? 1) ，
mm
?2k ? b ? ?3
?
將點 A 和點 B 代入解析式 y ? kx ? b 中， ? 2m ? 13m ? 1 ，
k ? b ? ?
??mm
?b ? ?1
解得?k ? ?1 ，
?
?直線l 的解析式為： y ? ?x ? 1 ；
（3）①當 m ? 0 時，過點 P 作 PG ? x 軸，交 AB 于點 H ，如圖，
設(shè)點 P(t ， mt2 ? (4m ? 2)t ? 4m ? 1) ，
由（2）可知，直線l 的解析式為： y ? ?x ? 1 ，
? H (t, ?t ? 1) ，
? ?PAB 的面積為 2，滿足條件的點 P 有且只有 3 個，
?在直線 AB 的下方的點 P 只有 1 個，即 PH 最大，
PH ? ?t ? 1 ? [mt 2 ? (4m ? 2)t ? 4m ? 1] ? ?mt 2 ? 4mt ? t ? 4m ? 2 ? ?m(t ? 4m ? 1)2 ? 1 ，
2m4m
??m ? 0 ，
?當t ? 4m ? 1 時， PH 有最大值 1 ，
2m4m
? S? 1 ( 2m ? 1 ? 2)PH ? 2 ，

?PAB2m
? PH ? 4m ，即 PH最大 ? 4m ，
? 1 ? 4m ，解得 m ? ? 1 ，
4m4
? m ? 1 ，
4
? 2m ? 1 ? 2 ? 1 ? 6 ，
mm
? 3m ? 1 ? ?3 ? 1 ? ?7 ，
mm
? B(6, ?7) ；
②當 m ? 0 時，過點 P 作 PG ? x 軸，交 AB 于點 H ，如圖，
在直線 AB 的上方的點 P 只有 1 個，即 PH 最大，
PH ? mt 2 ? (4m ? 2)t ? 4m ? 1 ? t ? 1 ? mt 2? 4mt ? t ? 4m ? 2 ? m(t ? 4m ? 1)2 ? 1 ，
2m4m
? m ? 0 ，
?當t ? 4m ? 1 時， PH 有最大值? 1 ，
2m4m
? S? 1 (2 ? 2m ? 1)PH ? 2 ，
?PAB2m
? PH ? ?4m ，即 PH最大 ? ?4m ，
?? 1 4m
? ?4m ，解得 m ? ? 1 ，
4
? m ? ? 1 ，
4
? 2m ? 1 ? 2 ? 1 ? ?2 ，
mm
? 3m ? 1 ? ?3 ? 1 ? 1 ，
mm
? B(?2,1) ；
綜上， B(6, ?7) 或 B(?2,1) ．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)表達式，三角形的面積問題等知 識，第（3）問注意需要分類討論．也可以不分類討論，線段 PH 的長加絕對值即可．
25．（12 分）如圖 1， ABCD 是邊長為 4 的正方形，以 B 為圓心的?B 與 BC ， BA 分別交于
點 E ， F ，連接 EF ，且 EF ? 4 ．
求 BE 的長；
在平面內(nèi)將圖 1 中?BEF 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn)360? ，在旋轉(zhuǎn)的過程中，
①求?CDE 的取值范圍；
②如圖 2，取 DE 的中點G ，連接CG 并延長交直線 DF 于點 H ，點 P 為正方形內(nèi)一動點， 試求 PH ? PA ? PB 的最小值．
【分析】（1）由 ?BEF 為等腰直角三角形，得 BE ? EF ? sin 45? ? 4 ?
2 ? 2；
2
2
2 2
4 2
（2）①當 DE 分別為圓 B 的切線時， ?CDE 最大或最小，由sin ?E DB ? BE1 ?? 1 ，
得?E1DB ? 30? ，從而解決問題；
1BD2
②延長 DC 到 D? ，使CD? ? CD ，連接 BD ， BD? ，首先利用 SAS 證明?BDF ? △ BD?E ，則
△ BD?E 可以看成是 ?BDF 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 90? 得到的， 則 D?E ? DF ， 再證明
?DHC ? 90? ，得點 H 在以O(shè) 為圓心，2 為半徑的圓弧上運動，將?APB 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)60? 得到△ AP?B? ，連接 PP? ，HB? ，當點 H 、P 、P? 、B? 四點共線時，PA ? PB ? PH ? HB ? ， 再求出OB? 的長度即可解決問題．
【解答】解：（1）? BE ? BF ， ?B ? 90? ，
??BEF 為等腰直角三角形，
? BE ? EF ? sin 45? ? 4?
2 ? 2；
2
2
（2）①如圖，當 DE 分別為圓 B 的切線時， ?CDE 最大或最小，
? BD 為正方形 ABCD 對角線，
2
? BD ? 2 AB ? 4，
當點 E 移動到 E1 位置時， ?CDE 最小，
?此時在Rt?BDE1 中，
2 2
4 2
sin ?E DB ? BE1 ?? 1 ，
1BD2
??E1DB ? 30? ，
則?CDE1 ? ?CDB ? ?E1 DB ? 15? ，
當點 E 移動到 E2 位置時， ?CDE 最大， 同理計算可得?CDE2 ? 75? ，
故15???CDE?75? ；
②延長 DC 到 D? ，使CD? ? CD ，連接 BD ， BD? ，
則?BDD? 是等腰直角三角形，
??BEF 是等腰直角三角形，
??BDF ? △ BD?E(SAS ) ，
?△ BD?E 可以看成是?BDF 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn)90? 得到的， 則 D?E ? DF ，
? DC ? D?C ， G 為 DE 的中點，
?CG / / D?E ，
?CH ? DH ，
??DHC ? 90? ，
取CD 的中點為O ，連接OH ，
則OH ? 1 CD ? 2 ，
2
?點 H 在以O(shè) 為圓心，2 為半徑的圓弧上運動，
將?APB 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)60? 得到△ AP?B? ，連接 PP? ， HB? ，
則?APP? 為等邊三角形，
? PP? ? PA ，
? PA ? PB ? PH ? PP? ? P?B? ? PH?HB? ，
當點 H 、 P 、 P? 、 B? 四點共線時， PA ? PB ? PH ? HB ? ， 連接OB? 交 AB 于 K ，交?O 于 H ? ，
3
則 B?K ? 2， OK ? 4 ，
3
? PA ? PB ? PH?OB? ? 2 ? 2? 2 ，
3
即 PA ? PB ? PH 的最小值為 2? 2 ．
【點評】本題是圓的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系， 三角函數(shù)等知識，找到臨界狀態(tài)是解題的關(guān)鍵．

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