知識講解
1.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)
(1)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)。
2.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，函數(shù)f′(x)＝limeq \(,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).
3.八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式
（1）（為常數(shù)）
（2），例：，，，
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
4.導(dǎo)數(shù)的四則運算
（1）和的導(dǎo)數(shù)：
（2）差的導(dǎo)數(shù)：
（3）積的導(dǎo)數(shù)：（前導(dǎo)后不導(dǎo)前不導(dǎo)后導(dǎo)）
（4）商的導(dǎo)數(shù)：，
5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式
函數(shù)中，設(shè)（內(nèi)函數(shù)），則（外函數(shù)）
6.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
（1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即．
（2）直線的點斜式方程
直線的點斜式方程：已知直線過點，斜率為，則直線的點斜式方程為：
【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線，則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解．
（1）當(dāng)點P(x0，y0)是切點時，切線方程為；
（2）當(dāng)點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：
第一步：設(shè)出切點坐標(biāo)；
第二步：寫出過的切線方程為；
第三步：將點P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1；
第四步：將x1的值代入方程，可得過點P(x0，y0)的切線方程．
考點一、求曲線切線的斜率或傾斜角
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在處切線的斜率為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)在該點處的值即可求解.
【詳解】因為函數(shù)，
則，
所以，也即函數(shù)在處切線的斜率，
故選：.
2．（2023·山東濰坊·三模）若為函數(shù)圖象上的一個動點，以為切點作曲線的切線，則切線傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)出切點，利用處的導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可得出，然后利用正切值即可得出答案.
【詳解】設(shè)點坐標(biāo)為，
由，，
得，
則以為切點的切線斜率為，
令切線傾斜角為，，則，
則.
故選：D.
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）曲線在點處的切線斜率為 .
【答案】0
【分析】求出點的導(dǎo)數(shù),即該點處切線斜率.
【詳解】解:由題知,
所以,所以,
故在點處的切線斜率為0.
故答案為:0
2．（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為 ．
【答案】5
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入，可求得答案.
【詳解】因為，所以,
即函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為5，
故答案為：5
考點二、求在曲線上一點的切線方程
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.
【詳解】設(shè)曲線在點處的切線方程為，
因為，
所以，
所以
所以
所以曲線在點處的切線方程為.
故選：C
2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．
【詳解】由題，當(dāng)時，，故點在曲線上．
求導(dǎo)得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
1．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）曲線在點處的切線方程為
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】由，
所以，
所以，
所以曲線在點處的切線斜率為2，
所以所求切線方程為，即.
故答案為：.
2．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)?？既＃┖瘮?shù)在處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由點斜式求出切線方程.
【詳解】因為，則，
又，則，
所以函數(shù)在處的切線方程為，
即.
故答案為：
3．（2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)在點處的切線方程為 .
【答案】（寫成亦可）
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.
【詳解】，，則，
因此，函數(shù)在點處的切線方程為即.
故答案為：（寫成亦可）.
4．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測）曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)幾何意義和直線方程的點斜式求法即可求解.
【詳解】因為，
所以 ，
則，
又，
所以曲線在點處的切線方程為，
即．
故答案為：.
5．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】首先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求的值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.
【詳解】因為是奇函數(shù)，
所以對恒成立，
即對恒成立，
所以，則，故，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，
化簡得.
故答案為：
考點三、求過一點的切線方程
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為 ， ．
【答案】
【分析】分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；
【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求
分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；
解： 因為，
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；
[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
因為是偶函數(shù)，圖象為：
所以當(dāng)時的切線，只需找到關(guān)于y軸的對稱直線即可.
[方法三]：
因為，
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；.
1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點作曲線的切線，寫出一條切線方程： .
【答案】或（寫出一條即可）
【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入求得切點坐標(biāo)，即可得切線方程.
【詳解】由可得，
設(shè)過點作曲線的切線的切點為，則，
則該切線方程為，
將代入得，解得或，
故切點坐標(biāo)為或，
故切線方程為或，
故答案為：或
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則曲線過點的切線方程為 ．
【答案】或
【分析】設(shè)切點為，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，且代入可得，故可由點斜式得到切線方程，將代入即可求得或，即可求得切線方程
【詳解】設(shè)切點為，由，得，
∴，得，∴，，
∴切點為，，
∴曲線在點M處的切線方程為①，
又∵該切線過點，∴，解得或．
將代入①得切線方程為；
將代入①得切線方程為，即．
∴曲線過點的切線方程為或．
故答案為：或
3．（2023·江蘇南通·二模）過點?作曲線的切線，寫出一條切線的方程 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，代入點求出未知數(shù)即可得到切線方程.
【詳解】，，
設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，得方程，
代入點，得，即，解得或，
當(dāng)時，切線方程為；當(dāng)時，切線方程為.
故答案為：（或）.
4．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）過點與曲線相切的直線方程為 ．
【答案】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，進(jìn)而由切點的位置得出，從而得出切線方程.
【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，，.
則切線方程為，因為在切線上，
所以，即
又，所以，
令，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以方程只有唯一解為.
即切點坐標(biāo)為，故所求切線方程為，即.
故答案為：
5．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）過點作曲線的切線，則切點的橫坐標(biāo)為 ，這條切線在x軸上的截距為 ．
【答案】
【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率為，再由兩點間斜率公式可得，解得，即可求得切線方程，進(jìn)而得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，
因為，所以，
即，解得，
所以切線方程為，
可知該切線在x軸上的截距為．
故答案為：，
考點四、已知切線（斜率）求參數(shù)
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
【答案】(1)
【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；
【詳解】（1）因為，所以，
因為在處的切線方程為，
所以，，
則，解得，
所以.
1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）已知直線是曲線的切線，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，令直線與曲線相切的切點為，
于是且，所以.
故選：B
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）若曲線的一條切線為，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析運算．
【詳解】因為，所以，
設(shè)曲線與直線的切點為，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解得：，則，
又因為又在上，
所以，則
故選：A.
3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處的切線方程為，則 .
【答案】1
【分析】根據(jù)切點在曲線與切線上，代入求解即可.
【詳解】，故函數(shù)在處的切點為，又切點在切線上，故，故.
故答案為：1
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）若直線和曲線相切，則實數(shù)的值為 .
【答案】1
【分析】首先求導(dǎo)的，再假設(shè)切點為，根據(jù)斜率，得，再將分別代入直線與曲線中，聯(lián)立方程組，解方程即可求出參數(shù)
【詳解】已知，得，設(shè)切點為，
已知直線斜率，得，再將分別代入直線與曲線中
可得解得.
故答案為：
考點五、兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．
(1)若，求a；
【答案】(1)3
【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設(shè)出上的切點坐標(biāo)，由斜率求出切點坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；
【詳解】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，
即，設(shè)該切線與切于點，，則，解得，則，解得；
2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是 ．
【答案】
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.
【詳解】由題意，，則，
所以點和點，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：
解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運算即可得解.
3．（2016·全國·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ．
【答案】
【詳解】試題分析：對函數(shù)求導(dǎo)得，對求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.
【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義
【名師點睛】函數(shù)f （x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0）的幾何意義是曲線y＝f （x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y?y0＝f ′（x0）（x?x0）．
注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同．
1．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）函數(shù)在點處的切線與直線平行，則實數(shù) ．
【答案】5
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合平行關(guān)系分析運算.
【詳解】∵，則，
∴，
若切線與直線平行，則，解得.
故答案為：5.
2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知曲線在點處的切線與直線平行，則實數(shù)的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求導(dǎo)列式得，即可實數(shù)的值.
【詳解】因為，所以，
則，則，解得.
故答案為：.
3．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知曲線在處的切線與在處的切線平行，則的值為 .
【答案】
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)列方程可得.
【詳解】，
由題意可知，，即，解得.
故答案為：
4．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則a的值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】由題可得，即可得答案.
【詳解】因的斜率為，則．
故選：B．
5．（2023·山東·山東省實驗中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】運用導(dǎo)數(shù)幾何意義及導(dǎo)數(shù)公式求得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直進(jìn)而求得a的值.
【詳解】由題設(shè)，知處的切線的斜率為，
又因為，
所以，解得.
故選：A.
6．（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（且），曲線在處的切線與直線垂直，則 ．
【答案】
【分析】求出，分析可得，即可求得的值.
【詳解】因為（且），則，
因為直線的斜率為，
又因為曲線在處的切線與直線垂直，
所以，，解得.
故答案為：.
7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若這兩個函數(shù)的圖象在公共點處有相同的切線，則 ．
【答案】/
【分析】先根據(jù)和在公共點處有相同的切線得出在處兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等,再由在上,列方程組求解即可.
【詳解】因為，
所以，，
因為在公共點處有相同的切線，
所以即，
所以
故答案為：
8．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別設(shè)直線為和的切點為，，分別利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出切點坐標(biāo)代入直線中，建立關(guān)于的方程組解出即可.
【詳解】設(shè)直線與相切于點，
與相切于點，
由，所以，
由，
則，
即點，代入直線中有：
， ①
由，
所以，
由，
，
即點，代入直線中有：
， ②
聯(lián)立①②解得：，
所以，
故選：B.
9．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實數(shù)的最大值為 ．
【答案】/0.5
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用斜率等于切點處的導(dǎo)數(shù)，和切線相同即可判斷.
【詳解】，
假設(shè)兩曲線在同一點處相切，
則，可得，即，
因為函數(shù)單調(diào)遞增，且時，
所以，則，此時兩曲線在處相切，
根據(jù)曲線的變化趨勢，若繼續(xù)增大，則兩曲線相交于兩點，不存在公切線，
所以的最大值為.
故答案為：.
10．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為 ．
【答案】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．
【詳解】令，，則，，
設(shè)，則曲線在處切線為，
設(shè)，則曲線在處切線為，
由題意，消去得，
由題意，方程有兩個不同的實數(shù)根，
令，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，取極大值；當(dāng)時，取極小值，
又當(dāng)時，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由圖可知當(dāng)，即時，直線與的圖象有兩個交點，從而方程有兩個不同的實數(shù)根，
所以，曲線與曲線有兩條公切線時，的值為．
故答案為：．
11．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得公切線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，令，求得，令，求得和，得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進(jìn)而得到，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
因為，設(shè)切點為，則，
則公切線方程為，即，
與聯(lián)立可得，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，且當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為，所以且，解得，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
12．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）已知直線與曲線和曲線均相切，則實數(shù)的解的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．無數(shù)
【答案】C
【分析】由題意可求得直線與曲線和曲線分別切于點，，則，化簡后得，然后將問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和零點存在性定理可求得其零點的個數(shù)，從而可得答案.
【詳解】根據(jù)題意可知，直線與曲線和曲線都相切，
所以對于曲線，則，所以，
所以切點，
對于曲線，則，所以，
切點，易知A,B不重合，
因為公切線過兩點，所以，
進(jìn)而可得，
令，則，
令，則
所以在單調(diào)遞增，
因為，
所以存在使得，即，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
故.
又因為，
所以，
當(dāng)時，，
因為，
所以在內(nèi)存在，使得，
當(dāng)時，，
因為，，
所以在內(nèi)存在，使得，
綜上所述，存在兩條斜率分別為，的直線與曲線和曲線都相切，
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題，解題的關(guān)鍵是求出兩切點的坐標(biāo)后，將問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和零點存在性定理解決，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、單選題
1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的范圍，判斷出函數(shù)區(qū)間上各點處切線的斜率的范圍，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號，得函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合四個選項可得答案.
【詳解】由的圖象可知，當(dāng)時，，則在區(qū)間上，函數(shù)上各點處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，
對于A，在區(qū)間上，函數(shù)上各點處切線的斜率均小于0，故A不正確；
對于B，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點，在該點處切線的斜率大于1，故B不正確；
對于C，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點，在該點處切線的斜率大于1，故C不正確；
對于D，由的圖象可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)上各點處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而函數(shù)的圖象均符合這些性質(zhì)，故D正確.
故選：D
2．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線垂直的斜率關(guān)系即可求出的值．
【詳解】由，得，
因為函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，
所以，則．
故選：A．
二、填空題
3．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）曲線在點處的切線方程是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意求導(dǎo)，求出切線的斜率，再求出切線方程即可.
【詳解】由題意，得，則在處的切線斜率，
所以切線方程為，即.
故答案為： .
4．（2023·全國·校聯(lián)考三模）曲線在點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在點處的切線的斜率為，再求出切點，從而可求切線方程.
【詳解】由題得，所以曲線在點處的切線的斜率為.
又，所以曲線在點處的切線方程為，即.
故答案為:.
5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則函數(shù)在處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.
【詳解】由題意得，，
則，又，
所以曲線在處的切線方程為
，即.
故答案為：.
6．（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為α，則 ．
【答案】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案.
【詳解】，，即，，，
利用三角函數(shù)定義，．
故答案為：.
7．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）曲線在點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再由點斜式求切線方程.
【詳解】因為，，
所以，
故，
曲線在點處的切線方程為，即.
故答案為：.
8．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）曲線在點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】運用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線斜率，進(jìn)而求得切線方程.
【詳解】因為，
所以，
所以切線方程為：，即：.
故答案為：.
9．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出曲線過點的一條切線方程 ．
【答案】或（寫出其中的一個答案即可）
【分析】首先判斷點在曲線上，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程，再說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極大值，從而得到曲線的另一條切線方程.
【詳解】解：因為點在曲線上，所以曲線在點處的切線方程符合題意．
因為，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
因為當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)在處取得極大值，又極大值恰好等于點的縱坐標(biāo)，所以直線也符合題意．
故答案為：或（寫出其中的一個答案即可）
三、雙空題
10．（2023·陜西·統(tǒng)考二模）已知曲線在處的切線方程為，則 ， ．
【答案】
【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程待定系數(shù)即可.
【詳解】易知
由題意可得當(dāng)時，，所以.
故答案為：1；
【能力提升】
一、單選題
1．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】設(shè)出切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線，由切線經(jīng)過可得出一個方程，根據(jù)題意切線只有一條，也就是轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程只有一個解的問題.
【詳解】設(shè)切點．因為，所以，
所以點處的切線方程為，
又因為切線經(jīng)過點，所以，即.
令，則與有且僅有1個交點，，
當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，顯然時，，于是符合題意；
當(dāng)時，當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，所以，
則，即．
綜上，或．
故選：D
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別設(shè)直線為和的切點為，，分別利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出切點坐標(biāo)代入直線中，建立關(guān)于的方程組解出即可.
【詳解】設(shè)直線與相切于點，
與相切于點，
由，所以，
由，
則，
即點，代入直線中有：
， ①
由，
所以，
由，
，
即點，代入直線中有：
， ②
聯(lián)立①②解得：，
所以，
故選：B.
3．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，，，可將問題轉(zhuǎn)化為方程組有且只有一組實數(shù)根.后通過研究函數(shù)，及
過原點與切線，可得答案.
【詳解】令，則
，令，則
，令，則.
令在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減；
又，，則有且只有兩根，分別為.
則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有兩個不同的交點，等價于方程組有且只有一組實數(shù)根.
令，則，
當(dāng)時，，則此時在上遞增，又.
即，則有且只有一組實數(shù)根.
當(dāng)時，方程組有且只有一組實數(shù)根，等價于函數(shù)圖象與直線圖象有兩個交點，臨界情況為兩條直線與圖象相切.
當(dāng)與相切，設(shè)對應(yīng)切點為，因
，則相應(yīng)切線方程為
；
當(dāng)與相切，設(shè)對應(yīng)切點為，則相應(yīng)切線方程為
，則.
綜上，.
故選：A

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題涉及同構(gòu)以及用導(dǎo)數(shù)，函數(shù)思想研究函數(shù)圖象的交點.同構(gòu)時，需仔細(xì)觀察，巧用指對互化，將相同結(jié)構(gòu)放在一起以便簡化問題，對于函數(shù)零點問題，?？赊D(zhuǎn)化為相關(guān)圖象交點問題來解決.
二、多選題
4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線的切線斜率可以是
B．曲線的切線斜率可以是3
C．過點且與曲線相切的直線有且只有1條
D．過點且與曲線相切的直線有且只有2條
【答案】BCD
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷A、B，設(shè)切點坐標(biāo)，求出切線方程，判斷方程的解，即可判斷C、D.
【詳解】因為，所以，
對于A：令，方程無解，所以曲線的切線斜率不可以是，故A錯誤；
對于B：令，解得，所以曲線的切線斜率可以是，故B正確；
對于C：設(shè)切點，則切線方程為，因為點在切線上，
所以，即，顯然，所以，
故過點且與曲線相切的直線有且只有1條，故C正確；
對于D：設(shè)切點，則切線方程為，
因為點在切線上，，所以，
令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，所以存在使得，
所以方程有且僅有兩個實數(shù)根，
所以過點且與曲線相切的直線有且只有條，故D正確；
故選：BCD
5．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）直線是曲線的切線，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．3πB．πC．D．
【答案】AB
【分析】設(shè)切點為，由題意可得，解得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即，即可得出答案.
【詳解】設(shè)切點為，∵直線恒過定點，
，∴，
∴，∴，
∵，∴可取，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，
則，則，
所以，
∴當(dāng)時，；當(dāng)，，故A，B正確，C，D不正確.
故選：AB.
6．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)校考二模）已知，若過點恰能作兩條直線與曲線相切，其中，則m與n可能滿足的關(guān)系式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的切線方程，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有2個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究的圖像，從而結(jié)合圖像得到的關(guān)系式，從而得解.
【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，因為，則，切線斜率為，
所以，曲線在處的切線方程為
將點的坐標(biāo)代入切線方程可得，
過點恰能作兩條直線與曲線相切，
即方程有2個解，即，
與的圖象有2個交點，
，
若，令，得或，令，得，
即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，

若，令，得或，令，得，
即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，

又，，
故由圖可知，當(dāng)或時，與的圖象有2個交點，
此時，或.
故選：AD.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程后，把代入切線方程，將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，求解即可.
三、填空題
7．（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)與，若曲線和恰有一個公切點，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】設(shè)出公切點，利用和在公切點處函數(shù)值和導(dǎo)函數(shù)值分別相等，得到的表達(dá)式，求出最大值即可.
【詳解】，.
設(shè)公切點為，則，，
即.
因此，
其中，
因為，所以為第一象限的角；
不妨設(shè)，因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值，
所以的最小值是，且有唯一解.
故答案為：.
8．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)校考一模）若過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】設(shè)切點，求導(dǎo)得切線方程，進(jìn)而根據(jù)過點，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等實根，得韋達(dá)定理，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)或，由導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即可求解范圍.
【詳解】設(shè)切點，
則切線方程為，
又切線過，則，
有兩個不相等實根，
其中或，
令或，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，即.
故答案為：
9．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）過點可作曲線的兩條切線，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)有兩個零點，利用導(dǎo)數(shù)和零點存在性定理可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)切點為，則，
，
所以切線的斜率為，
切線方程為，
因為切線過點，所以，
整理得，
依題意可得有兩個不等的正根，
設(shè)，則函數(shù)有兩個零點，
，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則，得，
又，，所以在內(nèi)有唯一零點，
因為，，
設(shè)，則，在上為增函數(shù)，
又，所以，即，所以在內(nèi)有唯一零點，
因此函數(shù)有兩個零點，符合題意.
故.
故答案為：
【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線有三條經(jīng)過點的切線，則的范圍為 ．
【答案】
【分析】求導(dǎo)后對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)分析函數(shù)的凹凸性，再數(shù)形結(jié)合分析相切的臨界條件，從而可得.
【詳解】由題意，
令，則，
令可得或.
故當(dāng)和時，單調(diào)遞增，圖象往下凸；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，圖象往上凸.

又經(jīng)過的切線方程為，即，
令可得，又經(jīng)過的切線方程為，故當(dāng)時有三條經(jīng)過點的切線.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求導(dǎo)分析函數(shù)切線的問題，需要根據(jù)題意求導(dǎo)，并求導(dǎo)數(shù)形結(jié)合分析切線斜率的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的凹凸性，從而分析切線可能的情況，屬于難題.
【真題感知】
一、單選題
1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.
【詳解】，，，，
因此，所求切線的方程為，即.
故選：B.
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題
2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
【答案】D
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.
【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點為，則，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，
設(shè)直線的方程為，即，
由于直線與圓相切，則，
兩邊平方并整理得，解得，（舍），
則直線的方程為，即.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；
解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由題意可知，點在直線上，可得，
令，則.
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
【點睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進(jìn)行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.
二、填空題
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】設(shè)出切點橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.
【詳解】∵，∴，
設(shè)切點為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為 .
【答案】
【分析】設(shè)切線的切點坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點斜式方程，化簡即可.
【詳解】設(shè)切線的切點坐標(biāo)為，
，所以切點坐標(biāo)為，
所求的切線方程為，即.
故答案為：.
【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.
三、解答題
6．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點的坐標(biāo)，然后由點斜式可得結(jié)果；
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.
【詳解】（Ⅰ）因為，所以，
設(shè)切點為，則，即，所以切點為，
由點斜式可得切線方程為：，即.
（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
顯然，因為在點處的切線方程為：，
令，得，令，得，
所以，
不妨設(shè)時，結(jié)果一樣，
則，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上遞減，在上遞增，
所以時，取得極小值，
也是最小值為.
[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法
．
因為為偶函數(shù)，不妨設(shè)，，
令，則．
令，則面積為，只需求出的最小值．
．
因為，所以令，得．
隨著a的變化，的變化情況如下表：
所以．
所以當(dāng)，即時，．
因為為偶函數(shù)，當(dāng)時，．
綜上，當(dāng)時，的最小值為32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．
所以當(dāng)，即時，．
因為為偶函數(shù)，當(dāng)時，．
綜上，當(dāng)時，的最小值為32．
[方法四]：兩次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整體點評】（Ⅱ）的方法一直接對面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡化了運算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運算較為簡潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識最少，配湊巧妙，技巧性較高.
7．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．
（1）求b．
（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；
（2）方法一：由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.
【詳解】（1）因為，由題意，，即：，則．
（2）［方法一］：通性通法
由（1）可得，，
令，得或；令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
且，
若所有零點中存在一個絕對值大于1的零點，則或，
即或.
當(dāng)時，，
又，
由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，
即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，
此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；
當(dāng)時，，
又，
由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，
即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，
此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；
綜上，所有零點的絕對值都不大于1.
［方法二］【最優(yōu)解】：
設(shè)是的一個零點，且，則．
從而．
令，由判別式，可知在R上有解，的對稱軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為（當(dāng)時，），進(jìn)而有，所以的所有零點的絕對值均不大于1．
［方法三］：
設(shè)是函數(shù)的一個絕對值不大于1的零點，且．設(shè)，則，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又，于是的值域為．
設(shè)為函數(shù)的零點，則必有，于是，所以解得，即．
綜上，的所有零點的絕對值都不大于1．
［方法四］：
由（1）知，，令，得或．則在區(qū)間內(nèi)遞增，在區(qū)間內(nèi)遞減，在區(qū)間內(nèi)遞增，所以的極大值為的極小值為．
（?。┤簦椿?，有唯一一個零點，顯然有，不滿足題意；
（ⅱ）若，即或，有兩個零點，不妨設(shè)一個零點為，顯然有，此時，，則，另一個零點為1，滿足題意；同理，若一個零點為，則另一個零點為．
（ⅲ）若，即，有三個零點，易知在區(qū)間內(nèi)有一個零點，不妨設(shè)為，顯然有，又，，所以在內(nèi)有一個零點m，顯然，同理，在內(nèi)有一個零點n，有．
綜上，所有零點的絕對值都不大于1．
［方法五］：
設(shè)是的一個零點且，則是的另一個零點．
．
則，設(shè)，由判別式，所以方程有解．
假設(shè)實數(shù)滿足．
由，得．與矛盾，假設(shè)不成立．
所以，所有零點的絕對值都不大于1．
【整體點評】（2）方法一：先通過研究函數(shù)的單調(diào)性，得出零點可能所在區(qū)間，再根據(jù)反證法思想即可推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零點的定義以及零點存在性定理即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：利用零點的定義結(jié)合題意求出的范圍，然后再由零點定義以及的范圍即可求出所有零點的范圍，從而證出；方法四：由函數(shù)的單調(diào)性討論極大值極小值的符號，得出的范圍，再結(jié)合零點存在性定理即可證出；方法五：設(shè)函數(shù)的一個零點為，滿足，再設(shè)另一個零點為，通過零點定義找到的關(guān)系，再根據(jù)一元二次方程存在解的條件以及反證法即可推出矛盾，從而證出．
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可
（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究
【詳解】（1）的定義域為
當(dāng)時,,所以切點為,所以切線斜率為2
所以曲線在點處的切線方程為
（2）
設(shè)
若,當(dāng),即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若,當(dāng),則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
所以
當(dāng),
令則
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
又，，
所以在上有唯一零點
又沒有零點,即在上有唯一零點
(2)當(dāng)
設(shè)
所以在單調(diào)遞增
所以存在,使得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增,
又
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，
又，
而,所以當(dāng)
所以在上有唯一零點,上無零點
即在上有唯一零點
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為
【點睛】方法點睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.
9．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若和有公共點，
（i）當(dāng)時，求的取值范圍；
（ii）求證：．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）求出可求切線方程；
（2）（i）當(dāng)時，曲線和有公共點即為在上有零點，求導(dǎo)后分類討論結(jié)合零點存在定理可求.
（ii）曲線和有公共點即，利用點到直線的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.
【詳解】（1），故，而，
曲線在點處的切線方程為即.
（2）（i）當(dāng)時，
因為曲線和有公共點，故有解，
設(shè)，故，故在上有解，
設(shè)，故在上有零點，
而，
若，則恒成立，此時在上無零點，
若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，
而，，故在上無零點，
故，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，，
故在上存在唯一零點，
且時，；時，；
故時，；時，；
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故，
因為在上有零點，故，故，
而，故即，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，故.
（ii）因為曲線和有公共點，
所以有解，其中，
若，則，該式不成立，故.
故，考慮直線，
表示原點與直線上的動點之間的距離，
故，所以，
下證：對任意，總有，
證明：當(dāng)時，有，故成立.
當(dāng)時，即證，
設(shè)，則（不恒為零），
故在上為減函數(shù)，故即成立.
綜上，成立.
下證：當(dāng)時，恒成立，
，則，
故在上為增函數(shù)，故即恒成立.
下證：在上恒成立，即證：，
即證：，即證：，
而，故成立.
故，即成立.
【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下零點問題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理來處理，而多變量的不等式的成立問題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來證明目標(biāo)不等式.
10．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)存在滿足題意，理由見解析.
(3).
【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；
(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的是否正確即可；
(3)原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，
據(jù)此可得，
函數(shù)在處的切線方程為，
即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，
定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，
由對稱性可知，
取可得，
即，則，解得，
經(jīng)檢驗滿足題意，故.
即存在滿足題意.
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;
令，
則，
令，
在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;
當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；
當(dāng)時，由可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，
據(jù)此可得恒成立，
則，
令，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
故，即(取等條件為)，
所以，
，且注意到，
根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.
當(dāng)時，，單調(diào)減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以.
令，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.
綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.
【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.
(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗證.
11．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處切線的斜率；
(2)當(dāng)時，證明：；
(3)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率；
（2）問題化為時，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論；
（3）構(gòu)造，，作差法研究函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造且，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得到恒成立，對作放縮處理，結(jié)合累加得到，即可證結(jié)論.
【詳解】（1），則，
所以，故處的切線斜率為；
（2）要證時，即證，
令且，則，
所以在上遞增，則，即.
所以時.
（3）設(shè)，，
則，
由（2）知：，則，
所以，故在上遞減，故；
下證，
令且，則，
當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，
所以，故在上恒成立，
則，
所以，，…，，
累加得：，而，
因為，所以，
則，
所以，故；
綜上，，即.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，作差法研究單調(diào)性證右側(cè)不等關(guān)系，再構(gòu)造且，導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)符號得恒成立，結(jié)合放縮、累加得到為關(guān)鍵.a
0
減
極小值
增

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