知識(shí)講解
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運(yùn)算
1．平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對(duì)平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”．對(duì)平面向量減法應(yīng)抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形對(duì)向量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果．
2．在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個(gè)字母看待即可，其運(yùn)算方法類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比．
3.向量共線定理
向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
向量共線定理可以解決一些向量共線，點(diǎn)共線問題，也可由共線求參數(shù)；對(duì)于線段的定比分點(diǎn)問題，用向量共線定理求解則更加簡潔．
（1）若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.
（2）P為線段AB的中點(diǎn)?eq \(OP,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→)))．
4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算
兩點(diǎn)間的向量坐標(biāo)公式：
，，終點(diǎn)坐標(biāo)始點(diǎn)坐標(biāo)
向量的加減法
，，
向量的數(shù)乘運(yùn)算
，則：
向量的模
，則的模
相反向量
已知，則；已知
單位向量
向量的平行關(guān)系
，，
考點(diǎn)一、平面向量基本概念的綜合考查
1．（遼寧·高考真題）已知點(diǎn)則與同方向的單位向量為
A．B．C．D．
2．（福建·高考真題）對(duì)于向量和實(shí)數(shù)，下列命題中真命題是( )
A．若，則或B．若，則或
C．若，則或D．若，則
1．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列說法中正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．平行向量不一定是共線向量
C．對(duì)于任意向量，必有
D．若滿足且與同向，則
2．（2023·北京大興·?？既＃┰O(shè)，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
考點(diǎn)二、平面向量線性運(yùn)算的綜合考查
1．（2020·新高考全國2卷·高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（ ）
A．B．C．D．
2．（安徽·高考真題）若，, 則（ ）
A．（1，1）B．（－1，－1）C．（3，7）D．（-3,-7）
3．（北京·高考真題）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，那么（ ）
A．B．
C．D．
4．（上?！じ呖颊骖}）在平行四邊形中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（福建·高考真題）設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于
A．B．C．D．
6．（四川·高考真題）如圖，正六邊形中，（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，化簡（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）設(shè)是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)三、平面向量共線定理及平行向量（共線向量）坐標(biāo)運(yùn)算的綜合考查
1．（寧夏·高考真題）平面向量，共線的充要條件是
A．，方向相同
B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量
C．，
D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，
2．（山東·高考真題）已知向量、滿足，，，則一定共線的三點(diǎn)是
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
3．（海南·高考真題）平面向量，共線的充要條件是（ ）
A．，方向相同B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量
C．，D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，
4．（廣東·高考真題）已知平面向量，，且，則等于（ ）
A．（-2，-4）B．（-3，-6）C．（-5，-10）D．（-4，-8）
5．（福建·高考真題）已知向量，，且，則 ．
6．（全國·高考真題）已知向量，，．若，則 ．
1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知是平面四邊形，設(shè)：，：是梯形，則是的條件（ ）
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·甘肅蘭州·蘭州五十九中?？寄M預(yù)測）已知向量，，．若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)向量不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知，為不共線的非零向量，，，，則（ ）
A．，，三點(diǎn)共線B．，，三點(diǎn)共線
C．，，三點(diǎn)共線D．，，三點(diǎn)共線
7．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）有關(guān)平面向量的說法，下列錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，，則B．若與共線且模長相等，則
C．若且與方向相同，則D．恒成立
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、單選題
1．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）化簡所得的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三對(duì)口高考）如圖正六邊形中，（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，正六邊形中，（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三對(duì)口高考）給出下列四個(gè)命題：
①若，則；
②若，則A，B，C，D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；
③若，則；
④若，，則；
其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多選題
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給出下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．若線段，則向量
B．若向量，則線段
C．若向量與共線，則線段
D．若向量與反向共線，則
三、填空題
6．（2023·河南·統(tǒng)考二模）已知不共線，向量，，且，則 ．
7．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，，，若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) ．
8．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測），是兩個(gè)不共線的向量，已知，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) .
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則 .
10．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知，則與向量平行的單位向量的坐標(biāo)為 ．
【能力提升】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且三點(diǎn)共線，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（ ）
A．B．或
C．或D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若都為非零向量，則“”是“與共線”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
4．（2023春·浙江金華·高三浙江金華第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為單位向量，則“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
5．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┫铝姓f法正確的是（ ）
A．若，則與的方向相同或者相反
B．若，為非零向量，且，則與共線
C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得
D．若，是兩個(gè)單位向量，且．則
6．（2023·河北·校聯(lián)考三模）對(duì)于平面內(nèi)個(gè)起點(diǎn)相同的單位向量，若每個(gè)向量與其相鄰向量的夾角均為，則與的位置關(guān)系為（ ）
A．垂直B．反向平行C．同向平行D．無法確定
二、填空題
7．（2023春·安徽滁州·高三?？奸_學(xué)考試）已知向量，，且，則 .
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫出一個(gè)滿足條件的的坐標(biāo)為 ．
9．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知向量，，若，且，則通項(xiàng)為 ．
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，．若，則= ．
向量運(yùn)算
定義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算
交換律：a＋b＝b＋a；
結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算
|λ a|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ

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