（核心考點(diǎn)精講精練）
知識(shí)講解
函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
(3)函數(shù)的最值
單調(diào)性的常見運(yùn)算
單調(diào)性的運(yùn)算
①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗
②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘
③為↗，則為↘，為↘
④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗
⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘
⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
奇偶性
①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（大前提）
②奇偶性的定義：
奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對(duì)稱
③奇偶性的運(yùn)算
周期性（差為常數(shù)有周期）
①若，則的周期為：
②若，則的周期為：
③若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）
④若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）
對(duì)稱性（和為常數(shù)有對(duì)稱軸）
軸對(duì)稱
①若，則的對(duì)稱軸為
②若，則的對(duì)稱軸為
點(diǎn)對(duì)稱
①若，則的對(duì)稱中心為
②若，則的對(duì)稱中心為
周期性對(duì)稱性綜合問題
①若，，其中，則的周期為：
②若，，其中，則的周期為：
③若，，其中，則的周期為：
奇偶性對(duì)稱性綜合問題
①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：
②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：
考點(diǎn)一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值
1．（2023年新高考全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是______．
【答案】
【分析】按值對(duì)函數(shù) 進(jìn)行分類討論，再結(jié)合函數(shù) 的性質(zhì)求解作答.
【詳解】由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸為，則，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；
③當(dāng)時(shí)，開口向上，對(duì)稱軸為，在區(qū)間上單調(diào)遞減需滿足，因此．
綜上所述，a的取值范圍是．
故答案為：
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】.
【分析】先求得的單調(diào)遞增區(qū)間為，根據(jù)題意得到，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【分析】化簡(jiǎn)，根據(jù)題意得到，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則滿足，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】先利用反比例函數(shù)的單調(diào)性得到在與上單調(diào)遞減，再利用參數(shù)分離法得到，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可.
【詳解】因?yàn)樵谂c上單調(diào)遞減，
而在上單調(diào)遞增，
所以，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：
考點(diǎn)二、根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>顯然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.
故選：C.
2．（2021·全國(guó)·高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.
對(duì)于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.
對(duì)于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.
對(duì)于D，為上的增函數(shù)，符合題意，
故選：D.
1．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】對(duì)于BCD，根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)觀察均是向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度的形式，根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以判斷平移后的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷上的單調(diào)性得到結(jié)論，而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷A的正誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：開口向上，對(duì)稱軸，所以在上單調(diào)遞減，故不符合題意.
對(duì)于選項(xiàng)：是向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，所以在在上單調(diào)遞減，故不符合題意.
對(duì)于選項(xiàng)：是向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以不符合題意.
對(duì)于選項(xiàng)：是向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，
所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，符合題意.
故選.
2．（2023·北京海淀·?？既＃┫铝泻瘮?shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：在定義域上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：在定義域上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：定義域?yàn)椋驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減且值域?yàn)椋?br>又在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確；
故選：D
3．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）下列四個(gè)函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性即可判斷出A正確，C錯(cuò)誤，再根據(jù)正切函數(shù)和指數(shù)函數(shù)圖象即可得出BD錯(cuò)誤.
【詳解】由冪函數(shù)性質(zhì)可知，定義域?yàn)?，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；即A正確；
在其定義域，上分別單調(diào)遞減，即C錯(cuò)誤；
由正切函數(shù)圖像可知，為周期函數(shù)，在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，在上為單調(diào)遞減，所以D錯(cuò)誤.
故選：A
考點(diǎn)三、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若f(a－2)>3，則a的取值范圍是________．
【答案】(0，1)
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.
【詳解】解：因?yàn)樵赗上遞減，在(－2，＋∞)上遞增，
所以在定義域(－2，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－1)＝3，
由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，
∴，
解得0

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