知識(shí)講解
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)的極小值與極小值點(diǎn)
若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn)
若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，，而且在點(diǎn)x＝b 附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值．
（3）極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
是極值點(diǎn)
是極值點(diǎn)，即：是為極值點(diǎn)的必要非充分條件
函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件
如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟
①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；
②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．
考點(diǎn)一、求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)
1．（天津·高考真題）已知函數(shù)在上滿足，當(dāng)時(shí)取得極值.
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）證明：對(duì)任意、，不等式恒成立.
2．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，求的最大值.
3．（天津·高考真題）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明當(dāng)時(shí)，
（Ⅲ）如果，且，證明
4．（山東·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（Ⅰ）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.
1．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)設(shè)較小的零點(diǎn)為，證明：.
2．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.
3．（2023·江蘇無(wú)錫·輔仁高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．
(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
4．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).
(1)求的極值；
(2)已知，有最小值，求的取值范圍.
5．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，.
(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)若恰有三個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn).
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）若，且，證明：.
6．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，其中.
(1)求的取值范圍；
(2)求證：；
(3)求證：.
考點(diǎn)二、根據(jù)函數(shù)極值或極值點(diǎn)求參數(shù)值或范圍
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（ ）．
A．B．C．D．
1．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值，則的取值范圍為 .
2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
3．（2023·安徽阜陽(yáng)·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
4．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則以下結(jié)論正確的為（ ）
A．B．
C．若，則D．
考點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
1．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.
2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù).
(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且.求證：.
3．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設(shè)，已知函數(shù)有個(gè)不同零點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值：
(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為、、，且，證明：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.
4．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的最小值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，.
5．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，.
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
(2)確定k的所有可能取值，使得存在，對(duì)任意的，恒有.
6．（2023·江蘇·二模）已知函數(shù) ．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
(2)若函數(shù)在的最小值為，求的最大值．
考點(diǎn)四、由函數(shù)最值求參數(shù)值或范圍
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．1
1．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是 ．
2．（2023·廣東廣州·廣州六中?？既＃┮阎c有相同的最小值.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)已知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】
一、多選題
1．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．是的極大值點(diǎn)
C．是的極小值點(diǎn)D．是的極大值點(diǎn)
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是奇函數(shù)
B．當(dāng)時(shí)，有最小值2
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．有兩個(gè)極值點(diǎn)
二、填空題
3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且函數(shù)，當(dāng)時(shí)取到極大值，則等于 .
三、解答題
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(3)求函數(shù)在上的最值.
5．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，.
（1）若在處的切線與也相切，求的值；
（2）若，求函數(shù)的最大值.
6．（2023·江蘇常州·常州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；
（2）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．
7．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
8．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）已知為函數(shù)的極值點(diǎn)．
(1)求；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
9．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若有零點(diǎn)，求的最小值．
10．（2023·山東淄博·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求在區(qū)間上的最大值；
(3)設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，寫出的最大整數(shù)值，并說(shuō)明理由.
【能力提升】
1．（2023·重慶萬(wàn)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間上有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：.
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.
(1)若時(shí)，有極值，求的值；
(2)設(shè)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
5．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若的極大值為3，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
6．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.
(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
7．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
8．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.
(1)若，證明：；
(2)若函數(shù)最大值為，求實(shí)數(shù)a的值.
9．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；
(2)用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
10．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)和在同一處取得相同的最大值．
(1)求實(shí)數(shù)a；
(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為（），證明：．
【真題感知】
一、單選題
1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有三個(gè)零點(diǎn)
C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．直線是曲線的切線
三、填空題
3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小值為 .
四、解答題
4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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