專題05 一次方程（組）及其應(yīng)用的核心知識點精講（講義）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點全預(yù)測（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.
3、經(jīng)歷用一次方程組解應(yīng)用題的過程，提高分析問題和解決問題的能力
【題型1：等式的性質(zhì)】
【典例1】（2022?青海）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）
A．若＝，則a＝bB．若ac＝bc，則a＝b
C．若a2＝b2，則a＝bD．若﹣x＝6，則x＝﹣2
【答案】A
【解答】解：A、若＝，則a＝b，故A符合題意；
B、若ac＝bc（c≠0），則a＝b，故B不符合題意；
C、若a2＝b2，則a＝±b，故C不符合題意；
D、﹣x＝6，則x＝﹣18，故D不符合題意；
故選：A．
1．（2022?濱州）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流I跟導(dǎo)體兩端的電壓U、導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：I＝，去分母得IR＝U，那么其變形的依據(jù)是（）
A．等式的性質(zhì)1B．等式的性質(zhì)2
C．分式的基本性質(zhì)D．不等式的性質(zhì)2
【答案】B
【解答】解：將等式I＝，去分母得IR＝U，實質(zhì)上是在等式的兩邊同時乘R，用到的是等式的基本性質(zhì)2．
故選：B．
2．（2021?安徽）設(shè)a，b，c為互不相等的實數(shù)，且b＝a+c，則下列結(jié)論正確的是（）
A．a(chǎn)＞b＞cB．c＞b＞a
C．a(chǎn)﹣b＝4（b﹣c）D．a(chǎn)﹣c＝5（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：∵b＝a+c，
∴5b＝4a+c，
在等式的兩邊同時減去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，
在等式的兩邊同時乘﹣1，則5（a﹣b）＝a﹣c．
故選：D．
【題型2：一次方程（組）的相關(guān)概念】
【典例2】（2023?永州）關(guān)于x的一元一次方程2x+m＝5的解為x＝1，則m的值為（）
A．3B．﹣3C．7D．﹣7
【答案】A
【解答】解：∵x＝1是關(guān)于x的一元一次方程2x+m＝5的解，
∴2×1+m＝5，
∴m＝3，
故選：A．
【典例3】（2023?眉山）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，則m的值為（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解答】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組為，
①﹣②，得：
2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．
故選：B．
1．（2021?溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號正確的是（）
A．﹣4x+1＝﹣xB．﹣4x+2＝﹣xC．﹣4x﹣1＝xD．﹣4x﹣2＝x
【答案】D
【解答】解：根據(jù)乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，
去括號得：﹣4x﹣2＝x，
故選：D．
2．（2021?聊城）若﹣3＜a≤3，則關(guān)于x的方程x+a＝2解的取值范圍為（）
A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5
【答案】A
【解答】解：x+a＝2，
x＝﹣a+2，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣3≤﹣a＜3，
∴﹣1≤﹣a+2＜5，
∴﹣1≤x＜5，
故選：A．
3．（2020?重慶）解一元一次方程（x+1）＝1﹣x時，去分母正確的是（）
A．3（x+1）＝1﹣2xB．2（x+1）＝1﹣3x
C．2（x+1）＝6﹣3xD．3（x+1）＝6﹣2x
【答案】D
【解答】解：方程兩邊都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，
故選：D．
4．（2023?朝陽）已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，則a的值為 2 ．
【答案】2．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣y＝a+2，
又∵關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，
∴a+2＝4，
∴a＝2．
故答案為：2．
【題型3：一次方程（組）的解法】
【典例4】（2021?廣元）解方程：+＝4．
【答案】x＝7．
【解答】解：+＝4，
3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，
3x﹣9+2x﹣2＝24，
3x+2x＝24+9+2，
5x＝35，
x＝7．
【典例5】（2023?樂山）解二元一次方程組：．
【答案】．
【解答】解：，
①×2得：2x﹣2y＝2③，
②+③得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
∴原方程組的解為：．
1．（2023?河南）方程組的解為．
【答案】．
【解答】解：，
①+②，得4x+4y＝12，
∴x+y＝3③．
①﹣③，得2x＝2，
∴x＝1．
②﹣①，得2y＝4，
∴y＝2．
∴原方程組的解為．
故答案為：．
2．（2021?桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：4x﹣1＝2x+5，
4x﹣2x＝5+1，
2x＝6，
x＝3．
3．（2023?常德）解方程組：．
【答案】．
【解答】解：①×2+②得：5x＝25，
解得：x＝5，
將x＝5代入①得：5﹣2y＝1，
解得：y＝2，
所以原方程組的解是．
4．（2023?衢州）小紅在解方程時，第一步出現(xiàn)了錯誤：
（1）請在相應(yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯誤處．
（2）寫出你的解答過程．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【解答】解：（1）如圖：
（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，
去括號：14x＝4x﹣1+6，
移項：14x﹣4x＝﹣1+6，
合并同類項：10x＝5，
系數(shù)化1：x＝．
【題型4：一次方程（組）的應(yīng)用】
【典例6】（2023?深圳）某商場在世博會上購置A，B兩種玩具，其中B玩具的單價比A玩具的單價貴25元，且購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元．
（1）求A，B玩具的單價；
（2）若該商場要求購置B玩具的數(shù)量是A玩具數(shù)量的2倍，且購置玩具的總額不高于20000元，則該商場最多可以購置多少個A玩具？
【答案】（1）A玩具的進價為50元，每件B玩具的進價為75元；（2）100個．
【解答】解：（1）設(shè)每件A玩具的進價為x元，則每件B玩具的進價為（x+25）元，
根據(jù)題意得：2（x+25）+x＝200，
解得：x＝50，
可得x+25＝50+25＝75，
則每件A玩具的進價為50元，每件B玩具的進價為75元；
（2）設(shè)商場可以購置A玩具y個，
根據(jù)題意得：50y+75×2y≤20000，
解得：y≤100，
則最多可以購置A玩具100個．
1．（2023?自貢）某校組織七年級學(xué)生到江姐故里研學(xué)旅行，租用同型號客車4輛，還剩30人沒有座位；租用5輛，還空10個座位．求該客車的載客量．
【答案】該客車的載客量為40人．
【解答】解：設(shè)該客車的載客量為x人，
根據(jù)題意得：4x+30＝5x﹣10，
解得：x＝40．
答：該客車的載客量為40人．
2．（2023?陜西）“綠水青山就是金山銀山”，希望中學(xué)每年都會組織學(xué)生進行植樹活動．今年該校又買了一批樹苗，并組建了植樹小組．如果每組植5棵，就會多出6棵樹苗；如果每組植6棵，就會缺少9棵樹苗．求學(xué)校這次共買了多少棵樹苗？
【答案】學(xué)校這次共買了81棵樹苗．
【解答】解：設(shè)學(xué)校這次共買了x棵樹苗，
則：＝，
解得：x＝81，
答：學(xué)校這次共買了81棵樹苗．
3．（2023?北京）對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是6：4，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一副對聯(lián)，對聯(lián)的長為100cm，寬為27cm．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．
【答案】邊的寬為4cm，天頭長為24cm．
【解答】解：設(shè)天頭長為6x cm，地頭長為4x cm，則左、右邊的寬為x cm，
根據(jù)題意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，
解得x＝4，
答：邊的寬為4cm，天頭長為24cm．
4．（2023?安徽）根據(jù)經(jīng)營情況，公司對某商品在甲、乙兩地的銷售單價進行了如下調(diào)整：甲地上漲10%，乙地降價5元．已知銷售單價調(diào)整前甲地比乙地少10元，調(diào)整后甲地比乙地少1元，求調(diào)整前甲、乙兩地該商品的銷售單價．
【答案】調(diào)整前甲地該商品的銷售單價為40元，乙地該商品的銷售單價為50元．
【解答】解：設(shè)調(diào)整前甲地該商品的銷售單價為x元，乙地該商品的銷售單價為y元，
由題意得：，
解得：，
答：調(diào)整前甲地該商品的銷售單價為40元，乙地該商品的銷售單價為50元．
5．（2022?黑龍江）學(xué)校開展大課間活動，某班需要購買A、B兩種跳繩．已知購進10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元；購進15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元．
（1）求購進一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？
（2）設(shè)購買A種跳繩m根，若班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，所花費用不少于548元且不多于560元，則有哪幾種購買方案？
（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）設(shè)購進一根A種跳繩需x元，購進一根B種跳繩需y元，
依題意得：，
解得：．
答：購進一根A種跳繩需10元，購進一根B種跳繩需15元．
（2）∵該班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，且購買A種跳繩m根，
∴購買B種跳繩（45﹣m）根．
依題意得：，
解得：23≤m≤25.4，
又∵m為整數(shù)，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3種購買方案，
方案1：購買23根A種跳繩，22根B種跳繩；
方案2：購買24根A種跳繩，21根B種跳繩；
方案3：購買25根A種跳繩，20根B種跳繩．
（3）設(shè)購買跳繩所需總費用為w元，則w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．
∵﹣5＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m＝25時，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．
答：在（2）的條件下，購買方案3需要的總費用最少，最少費用是550元．
1．（2023?青縣校級模擬）如果x＝y(tǒng)，那么根據(jù)等式的性質(zhì)下列變形正確的是（）
A．x+y＝0B．＝C．x﹣2＝y(tǒng)﹣2D．x+7＝y(tǒng)﹣7
【答案】C
【解答】解：A、由x＝y(tǒng)，得到x﹣y＝0，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
B、由x＝y(tǒng)，得到＝，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
C、由x＝y(tǒng)，得到x﹣2＝y(tǒng)﹣2，原變形正確，故此選項符合題意；
D、由x＝y(tǒng)，得到x+7＝y(tǒng)+7，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
故選：C．
2．（2022秋?昆都侖區(qū)校級期末）為做好疫情防控工作，學(xué)校把一批口罩分給值班人員，如果每人分3個，則剩余20個；如果每人分4個，則還缺25個，設(shè)值班人員有x人，下列方程正確的是（）
A．3x+20＝4x﹣25B．3x﹣25＝4x+20
C．4x﹣3x＝25﹣20D．3x﹣20＝4x+25
【答案】A
【解答】解：由題意得3x+20＝4x﹣25．
故選：A．
3．（2023秋?瓦房店市校級期中）若x＝﹣4是方程a+3x＝﹣15的解，則a的值是（）
A．1B．﹣1C．﹣5D．﹣3
【答案】D
【解答】解：把x＝﹣4代入方程得：a﹣12＝﹣15，
解得：a＝﹣3．
故選：D．
4．（2023秋?南寧期中）一元一次方程2x+1＝5的解為（）
A．x＝3B．x＝4C．x＝2D．x＝0
【答案】C
【解答】解：移項和合并同類項，可得：2x＝4，
系數(shù)化為1，可得：x＝2．
故選：C．
5．（2022秋?樂亭縣期末）解方程，去分母正確的是（）
A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1）B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3
C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1）
【答案】C
【解答】解：，去分母得2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）．
故選：C．
6．（2022秋?豐寧縣校級期末）若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，則a的值為（）
A．1B．﹣1C．±1D．0
【答案】B
【解答】解：解2x＝8，得
x＝4．
由同解方程，得
4a+2×4＝4．
解得a＝﹣1，
故選：B．
7．（2022秋?鳳翔縣期末）已知3x|m|+（m+1）y＝6是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m的值為（）
A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m＝2
【答案】A
【解答】解：根據(jù)題意得|m|＝1且m+1≠0，
所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，
所以m＝1．
故選：A．
8．（2023春?莒南縣期末）已知是方程組的解，則a+b＝（）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【答案】B
【解答】解：∵是方程組的解
∴將代入①，得
a+2＝﹣1，
∴a＝﹣3．
把代入②，得
2﹣2b＝0，
∴b＝1．
∴a+b＝﹣3+1＝﹣2．
故選：B．
9．（2023春?西城區(qū)校級期中）已知是二元一次方程y﹣kx＝7的解，則k的值是（）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【答案】D
【解答】解：根據(jù)題意得，﹣1﹣2k＝7，
解得：k＝﹣4．
故選：D．
10．（2023?江山市模擬）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，木長多少尺？若設(shè)繩子長x尺，木長y尺，所列方程組正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：∵用繩子去量長木，繩子還剩余4.5尺，
∴x﹣y＝4.5；
∵將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，
∴．
∴所列方程組為．
故選：B．
11．（2023春?天元區(qū)校級期末）若解得x，y的值互為相反數(shù)，則k的值為（）
A．4B．﹣1C．2D．﹣5
【答案】D
【解答】解：由題意可知：x+y＝0，
∴，
解得：，
將代入2x﹣ky＝6，
得2×（﹣2）﹣2k＝6，
解得：k＝﹣5．
故選：D．
二．解答題（共5小題）
12．（2023?渝北區(qū)校級自主招生）解下列方程：
（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）；
（2）．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x），
去括號得：
2x﹣3x+3＝5﹣5x，
移項得：
2x﹣3x+5x＝5﹣3，
合并同類項得：
4x＝2，
把系數(shù)化為1得：
x＝．
（2）1﹣＝，
去分母得：
15﹣3（x﹣3）＝5（4﹣x），
去括號得：
15﹣3x+9＝20﹣5x，
移項得：
﹣3x+5x＝20﹣15﹣9，
合并同類項得：
2x＝﹣4，
把系數(shù)化為1得：
x＝﹣2．
13．（2023秋?靖江市校級期中）已知關(guān)于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值；
（2）若已知方程與方程3x＝4﹣5x的解相同，求m的值．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）由題意得|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，
∴k＝﹣3；
（2）3x＝4﹣5x，
3x+5x＝4，
x＝，
原方程為：6x+2m+1＝0，
把x＝代入：3+2m+1＝0，
m＝﹣2．
14．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）解下列方程組：（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）②﹣①得：4y＝16，
解得：y＝4，
把y＝4代入②得：x+4＝6，
解得：x＝2，
則方程組的解為；
（2）方程組整理得：，
②×2﹣①得：5x＝12，
解得：x＝，
把x＝代入②得：﹣y＝8，
解得：y＝，
則方程組的解為．
15．（2022秋?榆陽區(qū)校級期末）某車間為提高生產(chǎn)總量，在原有16名工人的基礎(chǔ)上，新調(diào)入若干名工人，使得調(diào)整后車間的總?cè)藬?shù)是調(diào)入工人人數(shù)的3倍多4人．
（1）求調(diào)入多少名工人；
（2）在（1）的條件下，每名工人每天可以生產(chǎn)240個螺栓或400個螺母，1個螺栓需要2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，應(yīng)該安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人各多少名？
【答案】（1）調(diào)入6名工人；
（2）10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母，可使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套．
【解答】解：（1）設(shè)調(diào)入x名工人，
根據(jù)題意得：16+x＝3x+4，
解得x＝6，
∴調(diào)入6名工人；
（2）由（1）知，調(diào)入6名工人后，車間有工人16+6＝22（名），
設(shè)y名工人生產(chǎn)螺栓，則（22﹣y）名工人生產(chǎn)螺母，
∵每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，
∴240y×2＝400（22﹣y），
解得y＝10，
∴22﹣y＝22﹣10＝12，
答：10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母，可使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套．
16．（2023春?鐵鋒區(qū)期末）列方程（組）或不等式（組）解應(yīng)用題：
學(xué)校為了支持體育社團開展活動，鼓勵同學(xué)們加強鍛煉，準備增購一些羽毛球拍和乒乓球拍．
（1）根據(jù)圖中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的價格；
（2）學(xué)校準備用5300元購買羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的數(shù)量為羽毛球拍數(shù)量的3倍，請問最多能購買多少支羽毛球拍？
【答案】（1）每支羽毛球拍的價格為80元，每支乒乓球拍的價格為60元；
（2）最多能購買20支羽毛球拍．
【解答】解：（1）設(shè)每支羽毛球拍的價格為x元，每支乒乓球拍的價格為y元，
依題意得：，
解得：．
答：每支羽毛球拍的價格為80元，每支乒乓球拍的價格為60元．
（2）設(shè)購買m支羽毛球拍，則購買3m支乒乓球拍，
依題意得：80m+60×3m≤5300，
解得：m≤．
又∵m為整數(shù)，
∴m的最大值為20．
答：最多能購買20支羽毛球拍．
1．（2023秋?秦淮區(qū)期中）如果方程（a﹣2）x|a﹣1|+3＝9是關(guān)于x的一元一次方程，則a的值為（）
A．0B．2C．6D．0或2
【答案】A
【解答】解：由題意得：|a﹣1|＝1且a﹣2≠0，
解得a＝0．
故選：A．
2．（2023秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）現(xiàn)定義運算“*”，對于任意有理數(shù)a與b，滿足a*b＝，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理數(shù)x滿足x*3＝12，則x的值為（）
A．4B．5C．21D．5或21
【答案】B
【解答】解：若x≥3，3x﹣3＝12，解得x＝5；
若x＜3，x﹣9＝12，解得x＝21（不符合題意，舍去）．
綜上，x＝5，
故選：B．
3．（2022秋?潁州區(qū)校級期末）某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)600個螺釘或1000螺母．1個螺釘配兩個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？設(shè)有x名工人生產(chǎn)螺釘，可列方程為（）
A．2×600x＝1000（22﹣x）B．2×1000x＝600（22﹣x）
C．600x＝2×1000（22﹣x）D．1000x＝2×600（22﹣x）
【答案】A
【解答】解：設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則（22﹣x）人生產(chǎn)螺母，
由題意得：2×600x＝1000（22﹣x），
故選：A．
4．（2023秋?洛龍區(qū)期中）下列運用等式變形錯誤的是（）
A．由a＝b，得a+6＝b+6B．由a＝b，得
C．由，得a＝bD．由﹣2a＝﹣2b，得a＝﹣b
【答案】D
【解答】解：A．∵a＝b，
∴a+6＝b+6，故本選項不符合題意；
B．∵a＝b，
∴＝，故本選項不符合題意；
C．∵＝，
∴a＝b，故本選項不符合題意；
D．∵﹣2a＝﹣2b，
∴a＝b，故本選項符合題意．
故選：D．
5．（2023秋?新市區(qū)校級期中）如圖，表中給出的是某月的日歷，任意選取“Z”型框中的7個數(shù)（如陰影部分所示），請你運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來研究，發(fā)現(xiàn)此月這7個數(shù)的和可能的是（）
A．49B．60C．84D．105
【答案】D
【解答】解：設(shè)中間的數(shù)為x，則上一行3個數(shù)分別是x﹣8，x﹣7，x﹣6，下一行3個數(shù)分別是x+8，x+7，x+6，
則這7個數(shù)的和為x﹣8+x﹣7+x﹣6+x+x+8+x+7+x+6＝7x，
A．若7x＝49，則x＝7，不符合題意；
B．若7x＝60，則，不符合題意；
C．若7x＝84，則x＝12，不符合題意；
D．若7x＝105，則x＝15，符合題意；
故選：D．
6．（2023秋?蔡甸區(qū)期中）某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率恰好為10%，則該商品可以打（）折（利潤率＝×100%）
A．7B．7.5C．8D．8.8
【答案】D
【解答】解：設(shè)這種商品可以按x折銷售，
則售價為（5×0.1x）元，那么利潤為（5×0.1x﹣4）元，
所以相應(yīng)的關(guān)系式為5×0.1x﹣4＝4×10%，
解得：x＝8.8．
答：該商品可以打8.8折，
故選：D．
7．（2023?九龍坡區(qū)校級開學(xué)）甲、乙兩人在一條筆直的道路上相向而行，甲騎自行車從A地到B地需4分鐘，乙騎自行車從B地到A地需6分鐘．現(xiàn)乙從B地先發(fā)出1分鐘后，甲才從A地出發(fā)，問多久后甲、乙相遇？設(shè)乙出發(fā)x分鐘時，甲、乙相遇，則可列方程為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵甲騎自行車從A地到B地需4分鐘，乙騎自行車從B地到A地需6分鐘，
∴甲的速度是，乙的速度是，
由題意得．
故選：A．
8．（2023秋?雁塔區(qū)校級期中）若關(guān)于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1的一組解為x＝3，y＝1，則a的值是（）
A．3B．2C．1D．﹣1
【答案】A
【解答】解：把x＝3，y＝1代入關(guān)于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1得：
2a﹣1＝3+2×1，
2a﹣1＝5，
2a＝6，
a＝3，
故選：A．
9．（2023秋?深圳期中）關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為，則關(guān)于m，n的二元一次方程組的解為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：設(shè)m+n＝x'，m﹣n＝y(tǒng)'，
則關(guān)于m，n的二元一次方程組可以轉(zhuǎn)化為，
∵關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為，
∴關(guān)于x'、y'的二元一次方程組的解，
∴，
①+②得：2m＝6，解得m＝3，
將m＝3代入①得：n＝﹣2，
∴．
故選：D．
10．（2022秋?溧陽市期末）完全相同的4個白色小長方形如圖所示放置，形成了一個長、寬分別為m、n的大長方形則圖中陰影部分的周長是（）
A．4nB．2m+nC．2m+2nD．3m﹣n
【答案】A
【解答】解：設(shè)白色小長方形的長為x，寬為y，
根據(jù)題意得：x+2y＝m，
∵大長方形的長、寬分別為m、n，
∴左邊陰影部分的長為（m﹣2y），寬為（n﹣2y），右邊陰影部分的長為2y，寬為（n﹣x），
∴陰影部分的周長＝2[（m﹣2y）+（n﹣2y）]+2[2y+（n﹣x）]
＝2（m+n﹣4y）+2（2y+n﹣x）
＝2（m+n﹣4y+2y+n﹣x）
＝2（m+2n﹣2y﹣x）
＝2[m+2n﹣（2y+x）]
＝2（m+2n﹣m）
＝4n，
故選：A．
11．（2023春?富縣期末）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則k的取值范圍是（）
A．k≤1B．k≤2C．k≤﹣1D．k≤﹣2
【答案】A
【解答】解：兩方程相加，得3x+3y＝5k﹣1，
∴，
∵，
∴，
解得：k≤1，
故選：A．
12．（2022春?朝天區(qū)期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，給出下列結(jié)論中正確的是（）
①當(dāng)這個方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時，a＝﹣2；
②當(dāng)a＝1時，方程組的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③無論a取什么實數(shù)，x+2y的值始終不變；
④若用x表示y，則y＝﹣；
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
【答案】D
【解答】解：關(guān)于x，y的二元一次方程組，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①當(dāng)方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時，即x+y＝0時，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正確，
（2）②原方程組的解滿足x+y＝2+a，
當(dāng)a＝1時，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解滿足x+y＝6，
因此②不正確，
（3）方程組，解得，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正確的，
（4）方程組，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
即；y＝﹣+
因此④是正確的，
故選：D．
13．（2022秋?成都期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組為，則3x+2y的值為 7 ．
【答案】7．
【解答】解：，
①+②得：3x+2y＝7．
14．（2023春?海林市校級期中）已知方程組和有相同的解，求a、b的值．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：先解方程組
，
解得：，
將x＝2、y＝3代入另兩個方程，
得方程組：，
解得：．
15．（2023春?兗州區(qū)期末）如圖，欣欣食品加工廠與湖州、杭州兩地有公路、鐵路相連，該食品加工廠從湖州收購一批每噸2000元的枇杷運回工廠加工，制成每噸8000元的枇杷干運到杭州銷售，已知公路運價為0.8元/（噸?千米），鐵路運價為0.5元/（噸?千米），且這次運輸共支出公路運輸費960元，鐵路運輸費1900元．
求：（1）該工廠從湖州購買了多少噸枇杷？制成運往杭州的枇杷干多少噸？
（2）這批枇杷干的銷售款比購買枇杷費用與運輸費用的和多多少元？
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）設(shè)該工廠從湖州購買了x噸枇杷，制成運往杭州的枇杷干y噸，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：該工廠從湖州購買了50噸枇杷，制成運往杭州的枇杷干20噸．
（2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）．
16．（2023春?羅山縣期末）某校準備組織七年級400名學(xué)生參加夏令營，已知滿員時，用3輛小客車和1輛大客車每次可運送學(xué)生105人；用一輛小客車和2輛大客車每次可運送學(xué)生110人．
（1）1輛小客車和1輛大客車都坐滿后一次可送多少名學(xué)生？
（2）若學(xué)校計劃租用小客車a輛，大客車b輛，一次送完，且恰好每輛車都坐滿；
①請你設(shè)計出所有的租車方案；
②若小客車每輛需租金200元，大客車每輛需租金380元，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租金．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）設(shè)每輛小客車能坐m名學(xué)生，每輛大客車能坐n名學(xué)生
根據(jù)題意，得，
解得，
m+n＝20+45＝65，
答：1輛小客車和1輛大客車都坐滿后一次可送65名學(xué)生．
（2）①由題意得：20a+45b＝400，
∴b＝，
∵a、b為非負整數(shù)，
∴或或，
∴租車方案有三種：
方案一：小客車20車、大客車0輛，
方案二：小客車11輛，大客車4輛，
方案三：小客車2輛，大客車8輛；
②方案一租金：200×20＝4000（元），
方案二租金：200×11+380×4＝3720（元），
方案三租金：200×2+380×8＝3440（元），
∵3720＞3440，
∴方案三租金最少，最少租金為3440元．
答：這批枇杷干的銷售款比購買枇杷費用與運輸費用的和多57140元．
17．（2023春?圍場縣期末）寧波楊梅季，本地慈溪楊梅在寧波人的心中是一種家鄉(xiāng)的味道．今年是楊梅大年，菜楊梅種植大戶為了能讓居民品嘗到物美價廉的楊梅，對1000斤的楊梅進行打包方式優(yōu)惠出售．打包方式及售價如下：圓籃每籃8斤，售價160元；方籃每籃18斤，售價270元．假如用這兩種打包方式恰好全部裝完這1000斤楊梅．
（1）若銷售a籃圓籃和a籃方籃共收入8600元，求a的值；
（2）當(dāng)銷售總收入為16760元時，
①若這批楊梅全部售完，請問圓籃共包裝了多少籃，方籃共包裝了多少籃；
②若楊梅大戶留下b（b＞0）籃圓籃送人，其余的楊梅全部售出，求b的值．
【答案】（1）a的值為20；
（2）①圓籃共包裝了44籃，則方籃共包裝36 籃；
②b的值為9或18．
【解答】解：（1）由題意，得 160a+270a＝8600，
解得：a＝20，
答：a的值為20．
（2）①設(shè)圓籃共包裝了x籃，則方籃共包裝y 籃，
由題意，得，
解得：，
答：圓籃共包裝了44籃，則方籃共包裝36 籃．
②設(shè)此時出售了m籃圓籃，n籃方籃楊梅，
則，
解這個關(guān)于m和n的方程組，可得：
，
∵n為正整數(shù)，
∴＞0，且b應(yīng)為9的倍數(shù)，
解得：，
又∵b＞0，
∴b的值為9或18．
答：b的值為9或18．
1．（2023?衢州）下列各組數(shù)滿足方程2x+3y＝8的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：A．當(dāng)x＝1，y＝2時，方程左邊＝2×1+3×2＝8，方程右邊＝8，
∴方程左邊＝方程右邊，選項A符合題意；
B．當(dāng)x＝2，y＝1時，方程左邊＝2×2+3×1＝7，方程右邊＝8，7≠8，
∴方程左邊≠方程右邊，選項B不符合題意；
C．當(dāng)x＝﹣1，y＝2時，方程左邊＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右邊＝8，4≠8，
∴方程左邊≠方程右邊，選項C不符合題意；
D．當(dāng)x＝2，y＝4時，方程左邊＝2×2+3×4＝16，方程右邊＝8，16≠8，
∴方程左邊≠方程右邊，選項D不符合題意．
故選：A．
2．（2022?百色）方程3x＝2x+7的解是（）
A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7
【答案】C
【解答】解：移項得：3x﹣2x＝7，
合并同類項得：x＝7．
故選：C．
3．（2023?南通）若實數(shù)x，y，m滿足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，則代數(shù)式﹣2xy+1的值可以是（）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【解答】解：由題意可得，
解得：，
則﹣2xy+1
＝﹣2××+1
＝﹣+1
＝﹣+1
＝﹣+1
＝﹣+≤，
∵3＞＞2＞，
∴A，B，C不符合題意，D符合題意，
故選：D．
4．（2021?重慶）若關(guān)于x的方程+a＝4的解是x＝2，則a的值為 3 ．
【答案】3．
【解答】解：把x＝2代入方程+a＝4得：+a＝4，
解得：a＝3，
故答案為：3．
5．（2021?棗莊）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮圖．將數(shù)字1～9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎行以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都是15，則m的值為 1 ．
【答案】1．
【解答】解：依題意，得：6+m+8＝15，
解得：m＝1．
故答案為：1．
6．（2023?連云港）解方程組．
【答案】．
【解答】解：，
①+②得：5x＝15，
解得：x＝3，
將x＝3代入①得：3×3+y＝8，
解得：y＝﹣1，
故原方程組的解為：．
7．（2022?荊州）已知方程組的解滿足2kx﹣3y＜5，求k的取值范圍．
【答案】k＜2．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
①﹣②得：2y＝2，
∴y＝1，
代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，
∴k＜2．
答：k的取值范圍為：k＜2．
8．（2022?岳陽）為迎接湖南省第十四屆運動會在岳陽舉行，某班組織學(xué)生參加全民健身線上跳繩活動，需購買A，B兩種跳繩若干．若購買3根A種跳繩和1根B種跳繩共需140元；若購買5根A種跳繩和3根B種跳繩共需300元．
（1）求A，B兩種跳繩的單價各是多少元？
（2）若該班準備購買A，B兩種跳繩共46根，總費用不超過1780元，那么至多可以購買B種跳繩多少根？
【答案】（1）A種跳繩的單價為30元，B種跳繩的單價為50元．
（2）至多可以購買B種跳繩20根．
【解答】解：（1）設(shè)A種跳繩的單價為x元，B種跳繩的單價為y元．
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：A種跳繩的單價為30元，B種跳繩的單價為50元．
（2）設(shè)購買B種跳繩a根，則購買A種跳繩（46﹣a）根，
由題意得：30（46﹣a）+50a≤1780，
解得：a≤20，
答：至多可以購買B種跳繩20根．
9．（2023?河北）某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖．珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計入次數(shù)，需重新投．計分規(guī)則如下：
在第一局中，珍珍投中A區(qū)4次，B區(qū)2次．脫靶4次．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A區(qū)k次，B區(qū)3次，其余全部脫靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】（1）6分；
（2）k的值為6．
【解答】解：（1）由題意可得：4×3+2×1+4×（﹣2）＝6（分），
答：珍珍第一局的得分為6分；
（2）由題意可得：3k+3×1+（10﹣k﹣3）×（﹣2）＝6+13，
解得：k＝6．
∴k的值為6．
10．（2023?張家界）為拓展學(xué)生視野，某中學(xué)組織八年級師生開展研學(xué)活動，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：
（1）參加此次研學(xué)活動的師生人數(shù)是多少？原計劃租用多少輛45座客車？
（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？
【答案】（1）參加此次研學(xué)活動的師生人數(shù)是600人，原計劃租用13輛45座客車；
（2）租用14輛45座客車更合算．
【解答】解：（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動的師生人數(shù)是x人，原計劃租用y輛45座客車．
根據(jù)題意，得，
解得．
答：參加此次研學(xué)活動的師生人數(shù)是600人，原計劃租用13輛45座客車；
（2）租45座客車：600÷45≈14（輛），所以需租14輛，租金為200×14＝2800（元），
租60座客車：600÷60＝10（輛），所以需租10輛，租金為300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14輛45座客車更合算．
解：2×7x＝（4x﹣1）+1，
…
投中位置
A區(qū)
B區(qū)
脫靶
一次計分（分）
3
1
﹣2
甲型客車
乙型客車
載客量（人/輛）
45
60
租金（元/輛）
200
300

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