2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市天一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．數(shù)列滿足且，則的值是（ ）A．1 B．4 C．－3 D．6【答案】A【詳解】根據(jù)題意，由于，可知數(shù)列是公差為-3的等差數(shù)列，則可知d=-3,由于= ，故選A．2．已知直線 ， ，若，則實數(shù) （       ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【詳解】因為直線 ， ，且，所以，故選：D.3．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（       ）A．0 B．1C．2 D．4【答案】A【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后代值計算即可【詳解】因為，所以.故選：A4．已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（       ）A．1 B．3 C．9 D．81【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用橢圓標準方程中長半軸長a，短半軸長b，半焦距c的關(guān)系列式計算即得.【詳解】由橢圓的一個焦點坐標為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以的值為1.故選：A5．圓（）上點到直線的最小距離為1，則A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】試題分析：根據(jù)題意可得,圓心到直線的距離等于,即,求得,所以A選項是正確的.【點睛】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法：(1)幾何法：利用ｄ與ｒ的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題．6．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個實根，則（       ）A．-1 B．1 C．-3 D．3【答案】B【分析】由韋達定理可知，結(jié)合等比中項的性質(zhì)可求出.【詳解】解：在等比數(shù)列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.7．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（       ）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】由題可知這是一個等差數(shù)列，前項和，，列式求基本量即可.【詳解】設(shè)每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：B8．如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，設(shè)F1F2=2c，∵△F2AB是等邊三角形，∴∠A F1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a= (c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故選D二、多選題9．設(shè)數(shù)列的前n項和為，，，則（       ）A．是等比數(shù)列 B．是單調(diào)遞增數(shù)列C． D．的最大值為12【答案】CD【分析】由題設(shè)，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)判斷A、B；進而求出的通項公式，根據(jù)的二次函數(shù)性質(zhì)求最值判斷C、D.【詳解】由題設(shè)知：，故是等差數(shù)列且遞減，又，所以，且，當或，的最大值為12.綜上，A、B錯誤，C、D正確.故選：CD10．已知橢圓的左，右焦點為F1，F2，點P為橢圓C上的動點（P不在x軸上），則（       ）A．橢圓C的焦點在x軸上 B．△的周長為C．的取值范圍為 D．橢圓的離心率為【答案】ABD【分析】由橢圓方程確定橢圓參數(shù)值，A根據(jù)參數(shù)a、b的大小關(guān)系判斷；B由△的周長為判斷；C根據(jù)橢圓的有界性判斷；D直接求離心率判斷.【詳解】A：由橢圓方程知：，故橢圓C的焦點在x軸上，正確；B：由，且△的周長為，正確；C：由P為橢圓C上的動點且不在x軸上，則，錯誤；D：橢圓的離心率為，正確.故選：ABD11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B．C．時，取得最大值 D．時，取得最小值【答案】AB【分析】由圖象可確定的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】由圖象可知：當時，；當時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對于A，，，A正確；對于B，，，B正確；對于C，由單調(diào)性知為極大值，當時，可能存在，C錯誤；對于D，由單調(diào)性知，D錯誤.故選：AB.12．已知雙曲線的焦點在圓上，圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限分別交于點兩點，若點滿足（為坐標原點），下列說法正確的有（       ）A．雙曲線的虛軸長為4 B．雙曲線的離心率為C．直線與雙曲線沒有交點 D．的面積為8【答案】BD【分析】由焦點在圓上求得，不妨設(shè)，，由得，然后由，得出的關(guān)系，給可求得得雙曲線方程，然后根據(jù)雙曲線的性質(zhì)判斷各選項．【詳解】由已知，不妨設(shè)，，，，所以，，因為，所以，，又，解得或（舍去），，A錯；，，B正確；雙曲線的漸近線為，因此直線與雙曲線有一個交點．C錯；由上面討論知，，所以．D正確．故選：BD．三、填空題13．等比數(shù)列的前項和為，則的值為_____．【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和公式的特點列方程，解方程求得的值.【詳解】由于等比數(shù)列前項和，本題中，故.故填：.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列前項和公式的特點，考查觀察與思考的能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知直線與圓交于，兩點，則的最小值為___________.【答案】【分析】先求出直線經(jīng)過的定點，再求出圓心到定點的距離，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】由題得，所以直線經(jīng)過定點，圓的圓心為，半徑為.圓心到定點的距離為，當時，取得最小值，且最小值為.故答案為：815．已知拋物線的準線方程為，在拋物線C上存在A?B兩點關(guān)于直線對稱，設(shè)弦AB的中點為M，O為坐標原點，則的值為___________.【答案】5【分析】先運用點差法得到，然后通過兩點距離公式求出結(jié)果．【詳解】解：拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)點，，，，的中點為，，則，，兩式相減得，即，又因為，兩點關(guān)于直線對稱，所以，解得，可得，則，故答案為：5．16．設(shè)函數(shù)，.若對任何，，恒成立，求的取值范圍______.【答案】14,+∞k|k≥14【分析】先把原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用恒成立，求出的取值范圍.【詳解】因為對任何，，所以對任何，，所以在上為減函數(shù).，，所以恒成立，即對恒成立，所以，所以.即的取值范圍是.故答案為：.【點睛】恒（能）成立問題求參數(shù)的取值范圍：①參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值問題；②不能參變分離，直接對參數(shù)討論，研究的單調(diào)性及最值；③特別地，個別情況下恒成立，可轉(zhuǎn)換為（二者在同一處取得最值）.四、解答題17．已知正項等差數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)數(shù)首項為，公差為，由，，列出方程組，求得，，即可求出數(shù)列的通項公式；（2），利用列項相消求和法即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)數(shù)首項為，公差為，由題得.解得，，（負值舍去）所以；（2）由（1）得則.18．已知橢圓C與橢圓有相同的焦點，且離心率為.(1)橢圓C的標準方程；(2)若橢圓C的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意求出即可求解；（2）由橢圓的定義和三角形面積公式求解即可(1)因為橢圓C與橢圓有相同的焦點，所以橢圓C的焦點，，，又，所以，，所以橢圓C的標準方程為.(2)由，，得，，而，所以，所以19．已知為數(shù)列的前項和，且.(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義得出的通項公式；（2）由（1）得出，再由錯位相減法得出的前項和.(1)因為，所以當時，，所以.當時，，兩式相減，得，所以，所以，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.(2)由（1）得，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以.20．設(shè)函數(shù).(1)若在點處的切線為，求a，b的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間. 【答案】(1)，；(2)答案見解析.【分析】（1）已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點在曲線，切點在切線，切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.(1)的定義域為，，因為在點處的切線為，所以，所以；所以把點代入得：.即a，b的值為：，.(2)由（1）知：.①當時，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；②當時，令，解得：，列表得：x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增 所以，時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.綜上所述：當時，在單調(diào)遞減；當時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中得切線問題第一步求導(dǎo)，第二步列切點在曲線，切點在切線，切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率這三個方程，可解切線相關(guān)問題.21．已知拋物線的頂點為原點，焦點F在x軸的正半軸，F到直線的距離為.點為此拋物線上的一點，.直線l與拋物線交于異于N的兩點A，B，且.(1)求拋物線方程和N點坐標；(2)求證：直線AB過定點，并求該定點坐標.【答案】(1)，(2)證明見解析，定點【分析】（1）設(shè)拋物線的標準方程為，利用點到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點坐標；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理計算，可得關(guān)系，然后代入直線方程可得定點.(1)設(shè)拋物線的標準方程為，，其焦點為則，∴所以拋物線的方程為.，所以，所以.因為，所以，所以.(2)由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立方程得設(shè)兩個交點，（，）.所以所以，即整理得，此時恒成立，此時直線l的方程為，可化為，從而直線過定點.22．已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若在上有解，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當時，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案．(1)當時，，所以當時；當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時函數(shù)有極小值，無極大值.(2)因為在上有解，所以在上有解，當時，不等式成立，此時，當時在上有解，令，則由（1）知時，即，當時；當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍． 

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