知識回顧
探尋數(shù)列規(guī)律：
認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運算，從而得出通項公式。
利用方程解決問題．當(dāng)問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程。
微專題
1．（2022?內(nèi)蒙古）觀察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得70+71+72+…+72022的結(jié)果的個位數(shù)字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
【分析】由已知可得7n的尾數(shù)1，7，9，3循環(huán)，則70+71+…+72022的結(jié)果的個位數(shù)字與70+71+72的個位數(shù)字相同，即可求解．
【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…
∴7n的尾數(shù)1，7，9，3循環(huán)，
∴70+71+72+73的個位數(shù)字是0，
∵2023÷4＝505…3，
∴70+71+…+72022的結(jié)果的個位數(shù)字與70+71+72的個位數(shù)字相同，
∴70+71+…+72022的結(jié)果的個位數(shù)字是7，
故選：C．
2．（2022?鄂州）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個位數(shù)字是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】通過觀察可知2的乘方的尾數(shù)每4個循環(huán)一次，則22022與22的尾數(shù)相同，即可求解．
【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，
∴2的乘方的尾數(shù)每4個循環(huán)一次，
∵2022÷4＝505…2，
∴22022與22的尾數(shù)相同，
故選：C．
3．（2022?西藏）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，﹣，，﹣，，﹣，…．則按此規(guī)律排列的第10個數(shù)是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【分析】把第3個數(shù)轉(zhuǎn)化為：，不難看出分子是從1開始的奇數(shù)，分母是n2+1，且奇數(shù)項是正，偶數(shù)項是負(fù)，據(jù)此即可求解．
【解答】解：原數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：，﹣，，﹣，，﹣，…，
∴＝（﹣1）1+1×，
﹣＝（﹣1）2+1×，
＝（﹣1）3+1×，
..．
∴第n個數(shù)為：（﹣1）n+1，
∴第10個數(shù)為：（﹣1）10+1×＝﹣．
故選：A．
4．（2022?牡丹江）觀察下列數(shù)據(jù)：，﹣，，﹣，，…，則第12個數(shù)是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】根據(jù)給出的數(shù)據(jù)可以推算出第n個數(shù)是×（﹣1）n+1所以第12個數(shù)字把n＝12代入求值即可．
【解答】解：根據(jù)給出的數(shù)據(jù)特點可知第n個數(shù)是×（﹣1）n+1，
∴第12個數(shù)就是×（﹣1）12+1＝﹣．
故選：D．
5．（2022?新疆）將全體正偶數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第10行第5個數(shù)是（ ）
A．98B．100C．102D．104
【分析】由三角形的數(shù)陣知，第n行有n個偶數(shù)，則得出前9行有45個偶數(shù)，且第45個偶數(shù)為90，得出第10行第5個數(shù)即可．
【解答】解：由三角形的數(shù)陣知，第n行有n個偶數(shù)，
則得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45個偶數(shù)，
∴第9行最后一個數(shù)為90，
∴第10行第5個數(shù)是90+2×5＝100，
故選：B．
6．（2022?鄂爾多斯）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為，，，……按此規(guī)律排列，則第30個數(shù)是 ．
【分析】由所給的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為第n個數(shù)是，當(dāng)n＝30時即可求解．
【解答】解：∵，，，……，
∴第n個數(shù)是，
當(dāng)n＝30時，＝＝，
故答案為：．
7．（2022?恩施州）觀察下列一組數(shù)：2，，，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個數(shù)記為an，且滿足．則a4＝ ，a2022＝ ．
【分析】由題意可得an＝，即可求解．
【解答】解：由題意可得：a1＝2＝，a2＝＝，a3＝，
∵+＝，
∴2+＝7，
∴a4＝＝，
∵＝，
∴a5＝，
同理可求a6＝＝，???
∴an＝，
∴a2022＝，
故答案為：，．
8．（2022?懷化）正偶數(shù)2，4，6，8，10，…，按如下規(guī)律排列，則第27行的第21個數(shù)是 ．
【分析】由圖可以看出，每行數(shù)字的個數(shù)與行數(shù)是一致的，即第一行有1個數(shù)，第二行有2個數(shù)，第三行有3個數(shù)????????第n行有n個數(shù)，則前n行共有個數(shù)，再根據(jù)偶數(shù)的特征確定第幾行第幾個數(shù)是幾．
【解答】解：由圖可知，
第一行有1個數(shù)，
第二行有2個數(shù)，
第三行有3個數(shù)，
???????
第n行有n個數(shù)．
∴前n行共有個數(shù)．
∴前27行共有378個數(shù)，
∴第27行第21個數(shù)是一共378個數(shù)中的第372個數(shù)．
∵這些數(shù)都是正偶數(shù)，
∴第372個數(shù)為372×2＝744．
故答案為：744．
9．（2022?泰安）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：若有序數(shù)對（n，m）表示第n行，從左到右第m個數(shù)，如（3，2）表示6，則表示99的有序數(shù)對是 ．
【分析】根據(jù)第n行的最后一個數(shù)是n2，第n行有（2n﹣1）個數(shù)即可得出答案．
【解答】解：∵第n行的最后一個數(shù)是n2，第n行有（2n﹣1）個數(shù)，
∴99＝102﹣1在第10行倒數(shù)第二個，
第10行有：2×10﹣1＝19個數(shù)，
∴99的有序數(shù)對是（10，18）．
故答案為：（10，18）．
考點二：式子變化規(guī)律
微專題
10．（2022?云南）按一定規(guī)律排列的單項式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n個單項式是（ ）
A．（2n﹣1）x nB．（2n+1）x nC．（n﹣1）x nD．（n+1）x n
【分析】根據(jù)題目中的單項式，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)是一些連續(xù)的奇數(shù)，x的指數(shù)是一些連續(xù)的整數(shù)，從而可以寫出第n個單項式．
【解答】解：∵單項式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，
∴第n個單項式為（2n﹣1）xn，
故選：A．
11．（2022?宿遷）按規(guī)律排列的單項式：x，﹣x3，x5，﹣x7，x9，…，則第20個單項式是 ．
【分析】觀察指數(shù)規(guī)律與符號規(guī)律，進(jìn)行解答便可．
【解答】解：根據(jù)前幾項可以得出規(guī)律，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，第n項的數(shù)為（﹣1）n+1×x2n﹣1，
則第20個單項式是（﹣1）21×x39＝﹣x39，
故答案為：﹣x39．
考點三：圖形變化規(guī)律
微專題
12．（2022?濟寧）如圖，用相同的圓點按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點的個數(shù)是（ ）
A．297B．301C．303D．400
【分析】首先根據(jù)前幾個圖形圓點的個數(shù)規(guī)律即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得到第100個圖擺放圓點的個數(shù)．
【解答】解：觀察圖形可知：
擺第1個圖案需要4個圓點，即4+3×0；
擺第2個圖案需要7個圓點，即4+3＝4+3×1；
擺第3個圖案需要10個圓點，即4+3+3＝4+3×2；
擺第4個圖案需要13個圓點，即4+3+3+3＝4+3×3；
…
第n個圖擺放圓點的個數(shù)為：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第100個圖放圓點的個數(shù)為：3×100+1＝301．
故選：B．
13．（2022?廣州）如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個圖形需要6根小木棒，拼第2個圖形需要14根小木棒，拼第3個圖形需要22根小木棒……若按照這樣的方法拼成的第n個圖形需要2022根小木棒，則n的值為（ ）
A．252B．253C．336D．337
【分析】根據(jù)圖形特征，第1個圖形需要6根小木棒，第2個圖形需要6×2+2＝14根小木棒，第3個圖形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此規(guī)律，得出第n個圖形需要的小木棒根數(shù)即可．
【解答】解：由題意知，第1個圖形需要6根小木棒，
第2個圖形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3個圖形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此規(guī)律，第n個圖形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
當(dāng)8n﹣2＝2022時，
解得n＝253，
故選：B．
14．（2022?玉林）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形ABCDEF的頂點A處．兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（ ）
A．4B．2C．2D．0
【分析】分別計算紅跳棋和黑跳棋過2022秒鐘后的位置，紅跳棋跳回到A點，黑跳棋跳到F點，可得結(jié)論．
【解答】解：∵紅跳棋從A點按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，
∴紅跳棋每過6秒返回到A點，
2022÷6＝337，
∴經(jīng)過2022秒鐘后，紅跳棋跳回到A點，
∵黑跳棋從A點按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，
∴黑跳棋每過18秒返回到A點，
2022÷18＝112???6，
∴經(jīng)過2022秒鐘后，黑跳棋跳到E點，
連接AE，過點F作FM⊥AE，
由題意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝AF＝，
∴AE＝2AM＝2，
∴經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是2．
故選：B．
15．（2022?荊州）如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為a，b，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2；…如此反復(fù)操作下去，則第n次操作后，得到四邊形AnBn?nDn的面積是（ ）
A．B．C．D．
【分析】連接A1C1，D1B1，可知四邊形A1B1C1D1的面積為矩形ABCD面積的一半，則S1＝ab，再根據(jù)三角形中位線定理可得C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，則S2＝C1×B1D1＝ab，依此可得規(guī)律．
【解答】解：如圖，連接A1C1，D1B1，
∵順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1，
∴四邊形A1BCC1是矩形，
∴A1C1＝BC，A1C1∥BC，
同理，B1D1＝AB，B1D1∥AB，
∴A1C1⊥B1D1，
∴S1＝ab，
∵順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2，
∴C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，
∴S2＝C1×B1D1＝ab，
……
依此可得Sn＝，
故選：A．
16．（2022?江西）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數(shù)是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．
【解答】解：第1個圖中H的個數(shù)為4，
第2個圖中H的個數(shù)為4+2，
第3個圖中H的個數(shù)為4+2×2，
第4個圖中H的個數(shù)為4+2×3＝10，
故選：B．
17．（2022?重慶）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數(shù)為（ ）
A．32B．34C．37D．41
【分析】根據(jù)圖形的變化規(guī)律得出第n個圖形中有4n+1個正方形即可．
【解答】解：由題知，第①個圖案中有5個正方形，
第②個圖案中有9個正方形，
第③個圖案中有13個正方形，
第④個圖案中有17個正方形，
…，
第n個圖案中有4n+1個正方形，
∴第⑨個圖案中正方形的個數(shù)為4×9+1＝37，
故選：C．
18．（2022?重慶）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)為（ ）
A．15B．13C．11D．9
【分析】根據(jù)前面三個圖案中菱形的個數(shù)，得出規(guī)律，第n個圖案中菱形有（2n﹣1）個，從而得出答案．
【解答】解：由圖形知，第①個圖案中有1個菱形，
第②個圖案中有3個菱形，即1+2＝3，
第③個圖案中有5個菱形即1+2+2＝5，
……
則第n個圖案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）個，
∴第⑥個圖案中有2×6﹣1＝11個菱形，
故選：C．
19．（2022?青海）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第n個圖中共有木料 根．
【分析】觀察圖形可得：第n個圖形最底層有n根木料，據(jù)此可得答案．
【解答】解：由圖可知：
第一個圖形有木料1根，
第二個圖形有木料1+2＝3（根），
第三個圖形有木料1+2+3＝6（根），
第四個圖形有木料1+2+3+4＝10（根），
．
第n個圖有木料1+2+3+4++n＝（根），
故答案為：．
20．（2022?大慶）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第16個圖案中的“”的個數(shù)是 ．
【分析】從數(shù)字找規(guī)律，進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：
第一個圖案中的“”的個數(shù)是：4＝4+3×0，
第二個圖案中的“”的個數(shù)是：7＝4+3×1，
第三個圖案中的“”的個數(shù)是：10＝4+3×2，
..．
∴第16個圖案中的“”的個數(shù)是：4+3×15＝49，
故答案為：49．
21．（2022?綏化）如圖，∠AOB＝60°，點P1在射線OA上，且OP1＝1，過點P1作P1K1⊥OA交射線OB于K1，在射線OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；過點P2作P2K2⊥OA交射線OB于K2，在射線OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此規(guī)律，線段P2023K2023的長為 ．
【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出前幾項，然后即可得到PnKn的式子，從而可以寫出線段P2023K2023的長．
【解答】解：由題意可得，
P1K1＝OP1?tan60°＝1×＝，
P2K2＝OP2?tan60°＝（1+）×＝（1+），
P3K3＝OP3?tan60°＝（1+++3）×＝（1+）2，
P4K4＝OP4?tan60°＝[（1+++3）+（1+）2]×＝（1+）3，
…，
PnKn＝（1+）n﹣1，
∴當(dāng)n＝2023時，P2023K2023＝（1+）2022，
故答案為：（1+）2022．
22．（2022?德陽）古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對整數(shù)進(jìn)行了深入的研究，尤其注意形與數(shù)的關(guān)系，“多邊形數(shù)”也稱為“形數(shù)”，就是形與數(shù)的結(jié)合物．用點排成的圖形如下：
其中：圖①的點數(shù)叫做三角形數(shù)，從上至下第一個三角形數(shù)是1，第二個三角形數(shù)是1+2＝3，第三個三角形數(shù)是1+2+3＝6，……
圖②的點數(shù)叫做正方形數(shù)，從上至下第一個正方形數(shù)是1，第二個正方形數(shù)是1+3＝4，第三個正方形數(shù)是1+3+5＝9，……
……
由此類推，圖④中第五個正六邊形數(shù)是 ．
【分析】根據(jù)前三個圖形的變化尋找規(guī)律，即可解決問題．
【解答】解：圖①的點數(shù)叫做三角形數(shù)，從上至下第一個三角形數(shù)是1，第二個三角形數(shù)是1+2＝3，第三個三角形數(shù)是1+2+3＝6，……
圖②的點數(shù)叫做正方形數(shù)，從上至下第一個正方形數(shù)是1，第二個正方形數(shù)是1+3＝4，第三個正方形數(shù)是1+3+5＝9，……
圖③的點數(shù)叫做五邊形數(shù)，從上至下第一個五邊形數(shù)是1，第二個五邊形數(shù)是1+4＝5，第三個五邊形數(shù)是1+4+7＝12，……
由此類推，圖④中第五個正六邊形數(shù)是1+5+9+13+17＝45．
故答案為：45．
（2022?遂寧）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數(shù)為 ．

【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第六代勾股樹中正方形的個數(shù)．
【解答】解：∵第一代勾股樹中正方形有1+2＝3（個），
第二代勾股樹中正方形有1+2+22＝7（個），
第三代勾股樹中正方形有1+2+22+23＝15（個），
．
∴第六代勾股樹中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（個），
故答案為：127．
24．（2022?黑龍江）如圖所示，以O(shè)為端點畫六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，再從射線OA上某點開始按逆時針方向依次在射線上描點并連線，若將各條射線所描的點依次記為1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013個點在射線 上．
【分析】根據(jù)規(guī)律得出每6個數(shù)為一周期．用2013除以6，根據(jù)余數(shù)來決定數(shù)2013在哪條射線上．
【解答】解：∵1在射線OA上，
2在射線OB上，
3在射線OC上，
4在射線OD上，
5在射線OE上，
6在射線OF上，
7在射線OA上，
……
每六個一循環(huán)，
2013÷6＝335……3，
∴所描的第2013個點在射線和3所在射線一樣，
∴所描的第2013個點在射線OC上．
故答案為：OC．
考點四：坐標(biāo)變化規(guī)律
微專題
25．（2022?淄博）如圖，正方形ABCD的中心與坐標(biāo)原點O重合，將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點D1，再將D1繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點D2，再將D2繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點D5……依此類推，則點D2022的坐標(biāo)是 ．
【分析】由題意觀察發(fā)現(xiàn)：每四個點一個循環(huán)，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），由2022＝505×4+2，推出D2022（﹣2023，2022）．
【解答】解：∵將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點D1，
∴D1（1，2），
∵再將D1繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點D2，再將D2繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點D5……
∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，
觀察發(fā)現(xiàn)：每四個點一個循環(huán)，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），
∵2022＝4×505+2，
∴D2022（﹣2023，2022）；
故答案為：（﹣2023，2022）．
26．（2022?濟南）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作“1”變換表示將它繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，由數(shù)字0和1組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：如圖，點O（0，0）按序列“011…”作變換，表示點O先向右平移一個單位得到O1（1，0），再將O1（1，0）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到O2（0，﹣1），再將O2（0，﹣1）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到O3（﹣1，0）…依次類推．點（0，1）經(jīng)過“011011011”變換后得到點的坐標(biāo)為 ．
【分析】根據(jù)變換的定義解決問題即可．
【解答】解：點（0，1）經(jīng)過011變換得到點（﹣1，﹣1），點（﹣1，﹣1）經(jīng)過011變換得到點（0，1），點（0，1）經(jīng)過011變換得到點（﹣1，﹣1），
故答案為：（﹣1，﹣1）．
27．（2022?黔西南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中點為C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中點為C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中點為C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中點為C4；…；按此做法進(jìn)行下去，則點C2022的坐標(biāo)為 ．
【分析】根據(jù)題意得點?n的位置按4次一周期的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，可求得點C2022在第二象限，從而可求得該題結(jié)果．
【解答】解：由題意可得，點?n的位置按4次一周期的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，
∵2022÷4＝505……2，
∴點C2022在第二象限，
∵位于第二象限內(nèi)的點C2的坐標(biāo)為（﹣1，），
點C6的坐標(biāo)為（﹣3，），
點C10的坐標(biāo)為（﹣5，），
……
∴點?n的坐標(biāo)為（﹣，），
∴當(dāng)n＝2022時，﹣＝﹣＝﹣1011，＝＝，
∴點C2022的坐標(biāo)為（﹣1011，），
故答案為：（﹣1011，）．
28．（2022?荊門）如圖，過原點的兩條直線分別為l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，過點A（1，0）作x軸的垂線與l1交于點A1，過點A1作y軸的垂線與l2交于點A2，過點A2作x軸的垂線與l1交于點A3，過點A3作y軸的垂線與l2交于點A4，過點A4作x軸的垂線與l1交于點A5，……，依次進(jìn)行下去，則點A20的坐標(biāo)為 ．
【分析】寫根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化即可找出變化規(guī)律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n為自然數(shù)）”，依此規(guī)律結(jié)合20＝5×4即可找出點A20的坐標(biāo)．
【解答】解：當(dāng)x＝1時，y＝2，
∴點A1的坐標(biāo)為（1，2）；
當(dāng)y＝﹣x＝2時，x＝﹣2，
∴點A2的坐標(biāo)為（﹣2，2）；
同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…，
∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），
A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n為自然數(shù)）．
∵20＝5×4，
∴錯誤，應(yīng)改為：∴點A20的坐標(biāo)為（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210），
即（1024，﹣1024）．
故答案為：（1024，﹣1024）．
29．（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1，A2，A3，A4…在x軸上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此規(guī)律，過點A1，A2，A3，A4…作x軸的垂線分別與直線y＝x交于點B1，B2，B3，B4…記△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面積分別為S1，S2，S3，S4…則S2022＝ ．
【分析】根據(jù)已知先求出OA2，OA3，OA4的長，再代入直線y＝x中，分別求出A1B1，A2B2，A3B3，A4B4，然后分別計算出S1，S2，S3，S4，再從數(shù)字上找規(guī)律進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：∵OA1＝1，OA2＝2OA1，
∴OA2＝2，
∵OA3＝2OA2，
∴OA3＝4，
∵OA4＝2OA3，
∴OA4＝8，
把x＝1代入直線y＝x中可得：y＝，
∴A1B1＝，
把x＝2代入直線y＝x中可得：y＝2，
∴A2B2＝2，
把x＝4代入直線y＝x中可得：y＝4，
∴A3B3＝4，
把x＝8代入直線y＝x中可得：y＝8，
∴A4B4＝8，
∴S1＝OA1?A1B1＝×1×＝×20×（20×），
S2＝OA2?A2B2＝×2×2＝×21×（21×），
S3＝OA3?A3B3＝×4×4＝×22×（22×），
S4＝OA4?A4B4＝×8×8＝×23×（23×），
..．
∴S2022＝×22021×（22021×）＝24041，
故答案為：24041．
30．（2022?齊齊哈爾）如圖，直線l：y＝x+與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，過點B作BC1⊥l交x軸于點C1，過點C1作B1C1⊥x軸交l于點B1，過點B1作B1C2⊥l交x軸于點C2，過點C2作B2C2⊥x軸交l于點B2，…，按照如此規(guī)律操作下去，則點B2022的縱坐標(biāo)是 ．
【分析】首先利用函數(shù)解析式可得點A、B的坐標(biāo)，從而得出∠BAO＝30°，根據(jù)三角函數(shù)的定義知BC1＝＝2，B1C1＝＝，同理可得，B2C2＝C1＝（）2，依此可得規(guī)律．
【解答】解：∵y＝x+與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，
∴當(dāng)x＝0時，y＝，當(dāng)y＝0時，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，），
∴OA＝3，OB＝，
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
∵BC1⊥l，
∴∠C1BO＝∠BAO＝30°，
∴BC1＝＝2，
∵B1C1⊥x軸，
∴∠B1C1B＝30°，
∴B1C1＝＝，
同理可得，B2C2＝C1＝（）2，
依此規(guī)律，可得Bn?n＝（）n，
當(dāng)n＝2022時，B2022C2022＝（）2022，
故答案為：（）2022．
31．（2022?眉山）將一組數(shù)，2，，2，…，4，按下列方式進(jìn)行排列：
，2，，2；
，2，，4；
…
若2的位置記為（1，2），的位置記為（2，3），則2的位置記為 ．
【分析】先找出被開方數(shù)的規(guī)律，然后再求得的位置即可．
【解答】解：題中數(shù)字可以化成：
，，，；
，，，；
∴規(guī)律為：被開數(shù)為從2開始的偶數(shù)，每一行4個數(shù)，
∵，28是第14個偶數(shù)，而14÷4＝3?2，
∴的位置記為（4，2），
故答案為：（4，2）．
32．（2022?菏澤）如圖，在第一象限內(nèi)的直線l：y＝x上取點A1，使OA1＝1，以O(shè)A1為邊作等邊△OA1B1，交x軸于點B1；過點B1作x軸的垂線交直線l于點A2，以O(shè)A2為邊作等邊△OA2B2，交x軸于點B2；過點B2作x軸的垂線交直線l于點A3，以O(shè)A3為邊作等邊△OA3B3，交x軸于點B3；……，依次類推，則點A2022的橫坐標(biāo)為 ．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征及等邊三角形的性質(zhì)，找出規(guī)律性即可求解．
【解答】解：∵OA1＝1，△OA1B1是等邊三角形，
∴OB1＝OA1＝1，
∴A1的橫坐標(biāo)為，
∵OB1＝1，
∴A2的橫坐標(biāo)為1，
∵過點B1作x軸的垂線交直線l于點A2，以O(shè)A2為邊作等邊△OA2B2，交x軸于點B2，過點B2作x軸的垂線交直線l于點A3，
∴OB2＝2OB1＝2，
∴A3的橫坐標(biāo)為2，
∴依此類推：An的坐標(biāo)為：（2n﹣2，2n﹣2），
∴A2022的橫坐標(biāo)為22020，
故答案為：22020．
考點五：其他圖形規(guī)律
微專題
33．（2022?煙臺）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個正方形的邊長為（ ）
A．（2）5B．（2）6C．（）5D．（）6
【分析】根據(jù)勾股定理得出正方形的對角線是邊長的．第1個正方形的邊長為1，其對角線長為；第2個正方形的邊長為，其對角線長為（）2；第3個正方形的邊長為（）2，其對角線長為（）3；???；第n個正方形的邊長為（）n﹣1.所以，第6個正方形的邊長（）5．
【解答】解：由題知，第1個正方形的邊長AB＝1，
根據(jù)勾股定理得，第2個正方形的邊長AC＝，
根據(jù)勾股定理得，第3個正方形的邊長CF＝（）2，
根據(jù)勾股定理得，第4個正方形的邊長GF＝（）3，
根據(jù)勾股定理得，第5個正方形的邊長GN＝（）4，
根據(jù)勾股定理得，第6個正方形的邊長＝（）5．
故選C．
34．（2022?聊城）如圖，線段AB＝2，以AB為直徑畫半圓，圓心為A1，以AA1為直徑畫半圓①；取A1B的中點A2，以A1A2為直徑畫半圓②；取A2B的中點A3，以A2A3為直徑畫半圓③…按照這樣的規(guī)律畫下去，大半圓內(nèi)部依次畫出的8個小半圓的弧長之和為 ．
【分析】由AB＝2，可得半圓①弧長為π，半圓②弧長為（）2π，半圓③弧長為（）3π，半圓⑧弧長為（）8π，即可得8個小半圓的弧長之和為π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．
【解答】解：∵AB＝2，
∴AA1＝1，半圓①弧長為＝π，
同理A1A2＝，半圓②弧長為＝（）2π，
A2A3＝，半圓③弧長為＝（）3π，
．
半圓⑧弧長為＝（）8π，
∴8個小半圓的弧長之和為π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．
故答案為：π．
35．（2022?錦州）如圖，A1為射線ON上一點，B1為射線OM上一點，∠B1A1O＝60°，OA1＝3，B1A1＝1．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°，C1D1與射線OM交于點B2，得△C1B1B2；延長B2D1交射線ON于點A2，以B2A2為邊在其右側(cè)作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2＝60°，C2D2與射線OM交于點B3，得△C2B2B3；延長B3D2交射線ON于點A3，以B3A3為邊在其右側(cè)作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3＝60°，C3D3與射線OM交于點B4，得△C3B3B4；…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則△C2022B2022B2023的面積為 ．
【分析】過點B1作B1D⊥OA1于點D，連接B1D1，B2D2，B3D3，分別作B2H⊥B1D1，B3G⊥B2D2，B4E⊥B3D3，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及題意可得B1D1∥OA1，B2D2∥OA1，B3D3∥OA1，則有，進(jìn)而可得出規(guī)律進(jìn)行求解．
【解答】解：過點B1作B1D⊥OA1于點D，連接B1D1，B2D2，B3D3，分別作B2H⊥B1D1，B3G⊥B2D2，B4E⊥B3D3，如圖所示：
∴∠B1DO＝∠B1DA1＝∠B2HD1＝∠B3GD2＝∠B4ED3＝90°，
∵∠B1A1O＝60°，
∴∠DB1A1＝30°，
∵B1A1＝1，OA1＝3，
∴，，
∴，
∴，
∵菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°，
∴△A1B1D1是等邊三角形，
∴∠A1B1D1＝60°，B1D1＝A1B1＝1，
∵∠A1B1D1＝∠OA1B1＝60°，
∴OA1∥B1D1，
∴∠O＝∠B2B1D1，
∴，
設(shè)B2D1＝x，
∵∠B2D1H＝60°，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴，
由上可得：，，
∴，
故答案為：．
36．（2022?阜新）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在直線y＝x+1和x軸之間由小到大依次畫出若干個等腰直角三角形（圖中所示的陰影部分），其中一條直角邊在x軸上，另一條直角邊與x軸垂直，則第100個等腰直角三角形的面積是（ ）
A．298B．299C．2197D．2198
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，可得第1個等腰直角三角形的直角邊長，求出第1個等腰直角三角形的面積，用同樣的方法求出第2個等腰直角三角形的面積，第3個等腰直角三角形的面積，找出其中的規(guī)律即可求出第100個等腰直角三角形的面積．
【解答】解：當(dāng)x＝0時，y＝x+1＝1，
根據(jù)題意，第1個等腰直角三角形的直角邊長為1，
第1個等腰直角三角形的面積為＝，
當(dāng)x＝1時，y＝x+1＝2，
∴第2個等腰直角三角形的直角邊長為2，
第2個等腰直角三角形的面積為＝2，
當(dāng)x＝3時，y＝x+1＝4，
∴第3個等腰直角三角形的直角邊長為4，
第3個等腰直角三角形的面積為＝8，
依此規(guī)律，第100個等腰直角三角形的面積為＝2197，
故選：C．

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