(1)求C的方程;
(2)已知O為坐標(biāo)原點,點P在C上,點Q滿足PQ=9QF,求直線OQ斜率的最大值.
2.已知橢圓C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的離心率為63,且經(jīng)過點P(1,3).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)A,B為橢圓C上兩點,直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ),求△PAB面積的最大值.
3.已知P是平面上的動點,且點P與F1(-2,0),F2(2,0)的距離之差的絕對值為22.設(shè)點P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)設(shè)不與y軸垂直的直線l過點F1且與曲線E交于M,N兩點,曲線E與x軸的交點為A,B,當(dāng)|MN|≥42時,求AM·NB+AN·MB的取值范圍.
4.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,F是橢圓E的右焦點,點Q在橢圓E上,且|QF|的最大值為3,橢圓E的離心率為12.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過點A的直線與橢圓E交于另一點P(異于點B),與直線x=2交于一點M,∠PFB的角平分線與直線x=2交于點N,求證:N是線段BM的中點.
5. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,過點F且斜率大于0的直線交拋物線C于A,B兩點,過線段AB的中點M且與x軸平行的直線依次交直線OA,OB,l于點P,Q,N.
(1)判斷線段PM與NQ長度的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若線段NP上的任意一點均在以點Q為圓心、線段QO為半徑的圓內(nèi)或圓上,求直線AB斜率的取值范圍.
6.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,對稱軸為坐標(biāo)軸,A(-3,0),B(0,3),D(2,1)中恰有兩點在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)P,Q兩點在C上,且直線DP,DQ的斜率互為相反數(shù),直線DP,DQ分別與直線AB交于M,N兩點,證明:|DP|·|DN|=|DQ|·|DM|.
考點突破練13 圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題
1.解 (1)在拋物線C中,焦點F到準(zhǔn)線的距離為p,故p=2,C的方程為y2=4x.
(2)(方法一 最優(yōu)解)
設(shè)點P(x1,y1),Q(x2,y2).
又F(1,0),則PQ=(x2-x1,y2-y1),QF=(1-x2,-y2).
因為PQ=9QF,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,得x1=10x2-9,y1=10y2.
又因為點P在拋物線C上,所以y12=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),則點Q的軌跡方程為y2=25x-925.
易知直線OQ的斜率存在.
設(shè)直線OQ的方程為y=kx,當(dāng)直線OQ和曲線y2=25x-925相切時,斜率取得最值.
由y=kx,y2=25x-925,得k2x2=25x-925,
即k2x2-25x+925=0,(*)
當(dāng)直線OQ和曲線y2=25x-925相切時,方程(*)的判別式Δ=0,即-252-4k2·925=0,解得k=±13,所以直線OQ斜率的最大值為13.
(方法二)同方法一得到點Q的軌跡方程為y2=25x-925,易知x2≠0,
所以直線OQ的斜率kOQ=y2x2=y225y22+910=10y225y22+9,
當(dāng)y2=0時,kOQ=0.當(dāng)y2≠0時,kOQ=1025y2+9y2;
當(dāng)y2>0時,因為25y2+9y2≥225y2·9y2=30,
此時0

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