?第8講　圓錐曲線的綜合問題
最新考綱
考向預測
1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法.
2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.
3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.
命題趨勢
圓錐曲線中的綜合問題是高考命題的熱點，高考主要考查圓錐曲線中的證明、定點、定值、最值、范圍等問題，這類問題考查范圍廣泛，命題形式新穎．一般試題難度較大，題型以解答題為主.
核心素養(yǎng)
數(shù)學運算、邏輯推理


1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定
(1)代數(shù)法：把圓錐曲線方程C1與直線方程l聯(lián)立消去y，整理得到關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解
l與C1的交點
a＝0
b＝0
無解(含l是雙曲線的漸近線)
無公共點
b≠0
有一解(含l與拋物線的對稱軸平行(重合)或與雙曲線的漸近線平行)
一個交點
a≠0
Δ＞0
兩個不相等的解
兩個交點
Δ＝0
兩個相等的解
一個交點
Δ＜0
無實數(shù)解
無交點
(2)幾何法：在同一直角坐標系中畫出圓錐曲線和直線，利用圖象和性質(zhì)可判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．
2．直線與圓錐曲線的相交弦長問題
設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則|AB|＝|x1－x2|
＝
＝ |y1－y2|
＝ .
常用結(jié)論
圓錐曲線以P(x0，y0)(y0≠0)為中點的弦所在直線的斜率如下表：
圓錐曲線方程
直線斜率
橢圓：＋＝1(a>b>0)
k＝－
雙曲線：－＝1(a>0，b>0)
k＝
拋物線：y2＝2px(p>0)
k＝

1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)直線y＝kx(k≠0)與雙曲線x2－y2＝1一定相交．(　　)
(2)與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個交點．(　　)
(3)直線與橢圓只有一個交點?直線與橢圓相切．(　　)
(4)過點(2，4)的直線與橢圓＋y2＝1只有一條切線．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．過點(0，1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有(　　)
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
解析：選C.結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(0，1)且平行于x軸的直線以及過點(0，1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0)．
3．(易錯題)直線l：y＝x＋3與雙曲線－＝1交點的個數(shù)為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：選C.由于直線l：y＝x＋3過(0，3)，雙曲線－＝1的漸近線y＝x的斜率>1，故直線l僅與雙曲線－＝1的上支有兩個交點，如圖所示．故選C.

4．過點A(1，0)作傾斜角為的直線，與拋物線y2＝2x交于M，N兩點，則|MN|＝________．
解析：由題意可知直線方程為y＝x－1，聯(lián)立整理得x2－4x＋1＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2＝1，x1＋x2＝4，所以|MN|＝·|x1－x2|＝·＝2.
答案：2
5．已知橢圓C：＋＝1與動直線l：y＝x＋m相交于A，B兩點，則實數(shù)m的取值范圍為________．
解析：由得18x2＋12mx＋4m2－36＝0，Δ＝144m2－4×18(4m2－36)>0，所以－30)的離心率為，焦距為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若斜率為－的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(點P，Q均在第一象限)，O為坐標原點．證明：直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列．
【解】　(1)由題意可得
解得
所以b2＝a2－c2＝1，
故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明：設(shè)直線l的方程為y＝－x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．　
由消去y得x2－2mx＋2(m2－1)＝0.
則Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，
且x1＋x2＝2m，x1x2＝2(m2－1)，
所以y1y2＝
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2
＝，
所以kOPkOQ＝＝＝＝k，
即直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列．

對于證明問題，一般是根據(jù)已知條件，運用所涉及的知識通過運算化簡，利用定義、定理、公理等，直接推導出所證明的結(jié)論即可，證明不等式常用不等式的性質(zhì)，或基本不等式求得最值．　
技法二　轉(zhuǎn)化法
已知B是拋物線y＝x2＋1上任意一點，A(0，－1)，且P為線段AB的中點．
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)若F為點A關(guān)于原點O的對稱點，過F的直線交曲線C于M，N兩點，直線OM交直線y＝－1于點H，求證：|NF|＝|NH|.
【解】　(1)設(shè)P(x，y)，B(x0，y0)，因為P為AB的中點，所以
因為B為曲線y＝x2＋1上任意一點，
所以y0＝x＋1，代入得x2＝4y，
所以點P的軌跡C的方程為x2＝4y.
(2)證明：依題意得F(0，1)，直線MN的斜率存在，其方程可設(shè)為y＝kx＋1.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立得x2－4kx－4＝0，
則Δ＝16k2＋16>0，所以x1x2＝－4.
因為直線OM的方程為y＝x，H是直線OM與直線y＝－1的交點，
所以H.
根據(jù)拋物線的定義|NF|等于點N到準線y＝－1的距離．
因為點H在準線y＝－1上，所以要證明|NF|＝|NH|，只需證明HN垂直準線y＝－1，即證HN∥y軸．
因為H的橫坐標－＝－＝＝＝x2，
所以HN∥y軸成立，所以|NF|＝|NH|成立．

圓錐曲線中的證明問題涉及證明的范圍比較廣，但無論證明什么，其常用方法有直接法和轉(zhuǎn)化法，對于轉(zhuǎn)化法，先是對已知條件進行化簡，根據(jù)化簡后的情況，將證明的問題轉(zhuǎn)化為另一問題．本題證明的關(guān)鍵是能夠利用拋物線的定義將所證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明HN∥y軸．通過直線與拋物線聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系的形式，利用根與系數(shù)的關(guān)系的結(jié)論證得HN∥y軸．　
(2020·北京市適應(yīng)性測試)已知橢圓C的短軸的兩個端點分別為A(0，1)，B(0，－1)，焦距為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知直線y＝m與橢圓C有兩個不同的交點M，N，設(shè)D為直線AN上一點，且直線BD，BM的斜率的積為－，證明：點D在x軸上．
解：(1)由題意，得
所以a2＝b2＋c2＝4，即a＝2.
故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)M(x1，m)，則N(－x1，m)，x1≠0，－10)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝2c，過F2作x軸的垂線，與雙曲線在第一象限的交點為A，點Q坐標為，且滿足|F2Q|>|F2A|，若雙曲線C的右支上存在點P使得|PF1|＋|PQ||F2A|，可得>，則3a2>2b2＝2(c2－a2)，
所以離心率e＝b>0)的左焦點為F，短軸長為2，右頂點為A，上頂點為B，△ABF的面積為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過A作直線l與橢圓交于另一點M，連接MF并延長交橢圓于點N，當△AMN的面積最大時，求直線l的方程．
【解】　(1)根據(jù)短軸長知b＝，S△ABF＝(a＋c)·＝，
則a＋c＝3，因為b2＝a2－c2，所以a－c＝1，
故a＝2，c＝1，則橢圓的標準方程為＋＝1.
(2)當直線MN的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則S△AMN＝|AF|·|y1－y2|
＝，?、?br /> ?(3＋4k2)y2－6ky－9k2＝0，
y1＋y2＝，y1·y2＝－.
代入①式得S△AMN＝＝18，
令t＝3＋4k2，則t>3，k2＝，
S△AMN＝18＝ 0，y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝＝.
所以四邊形OAHB的面積S＝|OH|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝.
令＝t，則t≥1，S＝＝.
因為t＋≥2(當且僅當t＝1，即m＝0時取等號)，所以0b>0)的右頂點A且斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為左焦點F，若0，
且y1＋y2＝－，y1y2＝.
·＝y(tǒng)1y2＋x1x2
＝y(tǒng)1y2＋(ty1＋m)(ty2＋m)
＝(1＋t2)y1y2＋tm(y1＋y2)＋m2
＝
＝＝0，
所以O(shè)A⊥OB，所以△AOB為直角三角形．
綜上所述，△AOB為直角三角形．
8．(2020·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦點坐標分別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，P為橢圓C上一點，滿足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設(shè)直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于A，B兩點，
點Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范圍．
解：(1)由題意設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，所以r1＝a，r2＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，
解得a＝2，因為c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)聯(lián)立方程，得消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0，①
設(shè)AB的中點為M(x0，y0)，連接QM，則x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，因為|AQ|＝|BQ|，所以AB⊥QM，又Q，M為AB的中點，所以k≠0，直線QM的斜率存在，所以k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，②
把②代入①得3＋4k2＞，整理得16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，解得k＞或k＜－，故k的取值范圍為∪.

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