一、單選題
1．若O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，則O是△ABC的( )
A．內(nèi)心 B．外心
C．垂心 D．重心
2．已知點(diǎn)A(－2,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2－6，則點(diǎn)P的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
3．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cs θ)，則|a－b|的最大值為( )
A．1 B．eq \r(2)
C．eq \r(3) D．2
4．已知A，B是圓心為C半徑為eq \r(5)的圓上兩點(diǎn)，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，則eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(5,2) B．eq \f(5,2)
C．0 D．eq \f(5\r(3),2)
5．點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)且滿足4eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，則△PBC，△PAC，△PAB的面積比為( )
A．4∶3∶2 B．2∶3∶4
C．1∶1∶1 D．3∶4∶6
6．扇形OAB的半徑為1，圓心角為eq \f(2π,3)，P是 eq \\ac(AB,\s\up10(︵)) 上的動(dòng)點(diǎn)，則eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))的最小值為( )
A．－eq \r(2) B．0
C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
二、多選題
7．設(shè)a，b是非零向量，若函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的圖象是一條直線，則必有( )
A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)∥b
C．|a|＝|b| D．|a＋b|＝|a－b|
8．如圖，已知△ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，下列選項(xiàng)正確的是( )
A.eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影長(zhǎng)為－eq \r(3)
B.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影長(zhǎng)為eq \r(3)
D.eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
三、填空題
9．在△ABC中，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝2，則邊AB的長(zhǎng)等于 .
10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是 .
11．已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin \f(x,4)，1))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,4)，cs2\f(x,4))).若m·n＝1，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))＝ .
12．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值為 .
四、解答題
13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m與n的夾角為eq \f(π,3)，求x的值．
14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝(2sin B，－eq \r(3))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2B，2cs2\f(B,2)－1))，且m∥n.
(1)求銳角B的大??；
(2)如果b＝2，求△ABC的面積S△ABC的最大值．
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級(jí) 能力提升】
1．在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知三個(gè)向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，cs \f(A,2)))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，cs \f(B,2)))，p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，cs \f(C,2)))共線，則△ABC的形狀為( )
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．已知點(diǎn)M(－3,0)，N(3,0)．動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足|eq \(MN,\s\up6(→))|·|eq \(MP,\s\up6(→))|＋eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(NP,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)P的軌跡的曲線類型為( B )
A．雙曲線 B．拋物線
C．圓 D．橢圓
3．如圖，扇形的半徑為2，圓心角∠BAC＝150°，點(diǎn)P在弧 eq \\ac(BC,\s\up10(︵)) 上運(yùn)動(dòng)，eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，則eq \r(3)x－y的取值范圍是( )
A．[－eq \r(3)，2] B．[－1,2]
C．[－2,4] D．[－2eq \r(3)，4]
4．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝eq \r(3)sin ωx(ω>0)的部分圖象如圖所示，A，B分別是這部分圖象上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，則函數(shù)f(x＋1)是( )
A．周期為4的函數(shù) B．周期為2π的函數(shù)
C．奇函數(shù) D．偶函數(shù)
5．已知向量m＝(cs x，sin x)，n＝(cs x，eq \r(3)cs x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝m·n＋eq \f(1,2).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)設(shè)a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若f(A)＝2，b＋c＝2eq \r(2)，△ABC的面積為eq \f(1,2)，求a的值．
6．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(eq \r(2)a－c)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝ceq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→)).
(1)求角B的大??；
(2)若|eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，求△ABC面積的最大值．
參考答案
【A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固】
一、單選題
1．( B )[解析] 由向量模的定義知O到△ABC的三頂點(diǎn)距離相等，故O是△ABC的外心，故選B.
2．( D )[解析] 因?yàn)閑q \(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即點(diǎn)P的軌跡是拋物線．故選D.
3．( B )[解析] ∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cs θ)，
∴a－b＝(0，sin θ－cs θ)．
∴|a－b|＝eq \r(02＋?sin θ－cs θ?2)＝eq \r(1－sin 2θ).
∴|a－b|最大值為eq \r(2).故選B.
4．( A )[解析] 由于弦長(zhǎng)|AB|＝eq \r(5)與半徑相等，則∠ACB＝60°?eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－|eq \(CA,\s\up6(→))|·|eq \(CB,\s\up6(→))|·cs ∠ACB＝－eq \r(5)×eq \r(5)·cs 60°＝－eq \f(5,2).
5．( A )[解析] 由P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)且滿足4eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，根據(jù)向量的幾何運(yùn)算作出圖形如下，
其中|PA|＝eq \f(1,4)|PA′|，|PC′|＝2|PC|，
|PB|＝eq \f(1,3)|PB′|，
虛線為垂線，且|B′D|＝3|BF|，|A′M|＝4|AE|，
|A′G|＝4|AN|.
所以S△PBC＝eq \f(1,2)|PC||BF|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)|PC′|×eq \f(1,3)×|B′D|＝eq \f(1,6)S△PB′C′，
S△PAC＝eq \f(1,2)|PC||AE|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)|PC′|×eq \f(1,4)×|A′M|＝eq \f(1,8)S△PA′C′，
S△PAB＝eq \f(1,2)|PB||AN|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)|PB′|×eq \f(1,4)×|A′G|＝eq \f(1,12)S△PA′B′，
又PA′C′B′為平行四邊形，
所以S△PA′B′＝S△PA′C′＝S△PB′C′，
所以S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝eq \f(1,6)∶eq \f(1,8)∶eq \f(1,12)＝4∶3∶2，
選A.
6．( C )[解析] 由題設(shè)，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OP,\s\up6(→))2－eq \(OP,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))，
∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)，eq \(OP,\s\up6(→))2＝1，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)－eq \(OP,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))，要使eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))最小，即eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))同向共線．
又|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OP,\s\up6(→))|＝1，
∴(eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→)))min＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2).
故選C.
二、多選題
7．( AD )[解析] f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b.
依題意知f(x)的圖象是一條直線，
所以a·b＝0，即a⊥b.故選AD.
8．( BCD )[解析] 由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，得eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))，所以四邊形OBAC為平行四邊形．又O為△ABC外接圓的圓心，所以|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|，又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，所以△OAB為正三角形．因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑為2，所以四邊形OBAC是邊長(zhǎng)為2的菱形，所以∠ACB＝eq \f(π,6)，所以eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))上的投影為|eq \(CA,\s\up6(→))|cseq \f(π,6)＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，故A錯(cuò)誤，C正確．因?yàn)閑q \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－2，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，故B、D正確．
三、填空題
9．[解析] 由題意知eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝4，即eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝4，即eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝4，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2.
10．[解析] 由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cs θ＝0，所以cs θ＝－eq \f(1,2)，又因?yàn)?≤θ≤π，所以θ＝eq \f(2π,3).
11．[解析] m·n＝eq \r(3)sin eq \f(x,4)cs eq \f(x,4)＋cs2eq \f(x,4)
＝eq \f(\r(3),2)sin eq \f(x,2)＋eq \f(1＋cs \f(x,2),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
因?yàn)閙·n＝1，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2).
因?yàn)閏seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2).故填－eq \f(1,2).
12．[解析] 解法一：如圖所示，以AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)E(t,0)，0≤t≤1，則D(0,1)，C(1,1)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(t，－1)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(1,0)，∴eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝t≤1.
解法二：選取{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))}作為基底，設(shè)eq \(AE,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，0≤t≤1，則eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(teq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝t≤1.
解法三：設(shè)eq \(AE,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，
則eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(DE,\s\up6(→))|·1·cs ∠AED＝|eq \(AE,\s\up6(→))|＝|t||eq \(AB,\s\up6(→))|＝|t|≤1.
四、解答題
13．[解析] (1)因?yàn)閙＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，m⊥n，所以m·n＝0，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝0，所以sin x＝cs x，所以tan x＝1.
(2)由已知得|m|＝|n|＝1，所以m·n＝|m|·|n|cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝eq \f(1,2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2).因?yàn)?

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