【知識梳理】


【典例剖析】
考點1 解一元一次不等式組
【典例1】（2022春?介休市期中）解下列不等式組，并在數(shù)軸上表示出不等式組的解集：
（1）； （2）．
【解答】解：（1）由1﹣3x＞﹣5，得：x＜2，
由x﹣1≤﹣2（x+2），得：x≤﹣1，
則不等式組的解集為x≤﹣1，
將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：
（2）由4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，
由x﹣4＜，得：x＜2，
則不等式組的解集為﹣3≤x＜2，
將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：
【變式1-1】（2022?雁塔區(qū)校級模擬）解不等式組：，并把它的解集表示在數(shù)軸上．
【解答】解：由2x+5＞5x+2，得：x＜1，
由3（x﹣1）＜4x，得：x＞﹣3，
則不等式組的解集為﹣3＜x＜1，
將解集表示在數(shù)軸上如下：
【變式1-2】（2022春?定陶區(qū)期中）（1）解不等式3（x﹣2）﹣4≤1﹣2（x﹣2），并求出它的正整數(shù)解．
（2）解不等式組：．
【解答】解：（1）去括號，得：3x﹣6﹣4≤1﹣2x+4，
移項，得：3x+2x≤1+4+6+4，
合并同類項，得：5x≤15，
系數(shù)化為1，得：x≤3，
∴不等式的正整數(shù)解為1、2、3；
（2）解不等式1﹣3（x﹣1）＜8﹣x，得：x＞﹣2，
解不等式≥x﹣3，得：x≤3，
則不等式組的解集為﹣2＜x≤3．
【變式1-3】（2022?南京一模）解不等式組并將解集在數(shù)軸上表示出來．
【解答】解：解不等式x+1≥0，得x≥﹣1，
解不等式﹣1＜，得x＜3，
∴原不等式組的解集為﹣1≤x＜3，
∴將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來：
【變式1-4】（2022?長安區(qū)二模）解不等式組：．
【解答】解：解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜2，
則不等式組的解集為1≤x＜2．
【變式1-5】（2022?長興縣模擬）解不等式組．
【解答】解：解不等式5+3x＜3得x＜﹣，
解不等式﹣＜2得x＞﹣5，
∴不等式組的解集為﹣5＜x＜﹣．
考點2 根據(jù)實際問題列一元一次不等式組
【典例2】（2021春?重慶期末）將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友分到蘋果但不到8個蘋果．求這一箱蘋果的個數(shù)與小朋友的人數(shù)．若設(shè)有x人，則可列不等式組為（ ）
A．8（x﹣1）＜5x+12＜8B．0＜5x+12＜8x
C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8D．8x＜5x+12＜8
【答案】C
【解答】解：設(shè)有x人，則蘋果有（5x+12）個，由題意得：
0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，
故選：C．
【變式2-1】（2021春?饒平縣校級期末）八年級某班級部分同學(xué)去植樹，若每人平均植樹7棵，還剩9棵，若每人平均植樹9棵，則有1位同學(xué)植樹的棵數(shù)不到8棵．若設(shè)同學(xué)人數(shù)為x人，植樹的棵數(shù)為（7x+9）棵，下列各項能準(zhǔn)確的求出同學(xué)人數(shù)與種植的樹木的數(shù)量的是（ ）
A．7x+9≤8+9（x﹣1） B．7x+9≥9（x﹣1）
C． D．
【答案】D
【解答】解：（x﹣1）位同學(xué)植樹棵數(shù)為9（x﹣1），
∵有1位同學(xué)植樹的棵數(shù)不到8棵．植樹的總棵數(shù)為（7x+9）棵，
∴可列不等式組為：．
故選：D．
【變式2-2】（2020春?集賢縣期末）八年級某班部分學(xué)生去植樹，若每人平均植樹4棵，還剩9棵，若每人平均植樹5棵，則最后一名學(xué)生有但棵數(shù)不足2棵．若設(shè)同學(xué)人數(shù)x人，則下列列式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：設(shè)同學(xué)人數(shù)x人，則樹有（4x+9）棵，由題意得：
，
故選：C．
【變式2-3】（2019春?磁縣期末）現(xiàn)在有住宿生若干名，分住若干間宿舍，若每間住4人，則還有19人無宿舍住；若每間住6人，則有一間宿舍不空也不滿，若設(shè)宿舍間數(shù)為x，則可以列得不等式組為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵若每間住4人，則還有19人無宿舍住，
∴學(xué)生總?cè)藬?shù)為（4x+19）人，
∵一間宿舍不空也不滿，
∴學(xué)生總?cè)藬?shù)﹣（x﹣1）間宿舍的人數(shù)在1和5之間，
∴列的不等式組為：
故選：D．
【變式2-4】（2015春?深圳校級期中）用甲乙兩種原料配制成某種飲料，已知每千克的這兩種原料的維生素C含量及購買這兩種原料的價格如表所示：現(xiàn)配制這種飲料10kg，要求至少含有4200單位的維生素C，且購買原料的費(fèi)用不超過72元．設(shè)所需甲種原料x（kg），則可列不等式組為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：設(shè)所需甲種原料的質(zhì)量為xkg，則需乙種原料（10﹣x）kg．
根據(jù)題意，得：，
故選：B
考點2 一元一次不等式組的應(yīng)用-最值問題
【典例3】（2022春?西城區(qū)校級期中）為降低空氣污染，919公交公司決定全部更換節(jié)能環(huán)保的燃?xì)夤卉?，計劃購買A型和B型兩種公交車共10輛，其中每臺的價格，年載客量如表：
若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元．
（1）求a，b的值；
（2）如果該公司購買A型和B型公交車的總費(fèi)用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次．請你利用方程組或不等式組設(shè)計一個總費(fèi)用最少的方案，并說明總費(fèi)用最少的理由．
【解答】解：（1）依題意得：，
解得：．
答：a的值為100，b的值為150．
（2）總費(fèi)用最少的購買方案為：購買A型公交車8輛，B型公交車2輛，理由如下：
設(shè)購買A型公交車m輛，則購買B型公交車（10﹣m）輛，
依題意得：，
解得：6≤m≤8．
又∵m為整數(shù)，
∴m可以為6，7，8．
當(dāng)m＝6時，10﹣m＝10﹣6＝4，購買總費(fèi)用為100×6+150×4＝1200（萬元）；
當(dāng)m＝7時，10﹣m＝10﹣7＝3，購買總費(fèi)用為100×7+150×3＝1150（萬元）；
當(dāng)m＝8時，10﹣m＝10﹣8＝2，購買總費(fèi)用為100×8+150×2＝1100（萬元）．
答：總費(fèi)用最少的購買方案為：購買A型公交車8輛，B型公交車2輛．
【變式3-1】“一方有難，八方相助”是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng)．“新冠肺炎”疫情期間，我市向某市捐贈A型醫(yī)療物資290件和B型醫(yī)療物資100件．計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共8輛運(yùn)送過去．經(jīng)了解，甲種汽車每輛最多能載A型醫(yī)療物資40件和B型醫(yī)療物資10件，乙種汽車每輛最多能載A型醫(yī)療物資30件和B型醫(yī)療物資20件．
（1）請你幫助設(shè)計所有可能的租車方案；
（2）如果甲種汽車每輛的運(yùn)費(fèi)是600元，乙種汽車每輛的運(yùn)費(fèi)是500元，這次運(yùn)送的費(fèi)用最少需要多少錢？
【解答】解：（1）設(shè)租用甲種型號的汽車x輛，則租用乙種型號的汽車（8﹣x）輛，
依題意得：，
解得：5≤x≤6．
又∵x為整數(shù)，
∴x可以為5，6，
∴共有2種租車方案，
方案1：租用甲種型號的汽車5輛，乙種型號的汽車3輛；
方案2：租用甲種型號的汽車6輛，乙種型號的汽車2輛．
（2）選擇租車方案1所需運(yùn)送費(fèi)用為600×5+500×3＝4500（元）；
選擇租車方案2所需運(yùn)送費(fèi)用為600×6+500×2＝4600（元）．
∵4500＜4600，
∴這次運(yùn)送的費(fèi)用最少需要4500元錢．
【變式3-2】（2021春?江都區(qū)校級期末）現(xiàn)計劃把甲種貨物306噸和乙種貨物230噸運(yùn)往某地，已知有A、B兩種不同規(guī)格的貨車共50輛，如果每輛A型貨車最多可裝甲種貨物7噸和乙種貨物3噸，每輛B型貨車最多可裝甲種貨物5噸和乙種貨物7噸．
（1）裝貨時如何安排A、B兩種貨車的輛數(shù)，共有哪些方案？
（2）使用A型車每輛費(fèi)用為600元，使用B型車每輛費(fèi)用800元，上述方案中，哪個方案運(yùn)費(fèi)最??？最省的運(yùn)費(fèi)是多少元？
【解答】解：（1）設(shè)安排A種貨車x輛，則安排B種貨車（50﹣x）輛，
依題意得：，
解得：28≤x≤30，
又∵x為整數(shù)，
∴x＝28或29或30，
∴共有3種安排方案，
方案1：安排A種貨車28輛，B種貨車22輛；
方案2：安排A種貨車29輛，B種貨車21輛；
方案3：安排A種貨車30輛，B種貨車20輛．
（2）選擇方案1所需運(yùn)費(fèi)為600×28+800×22＝34400（元），
選擇方案2所需運(yùn)費(fèi)為600×29+800×21＝34200（元），
選擇方案3所需運(yùn)費(fèi)為600×30+800×20＝34000（元）．
∵34400＞34200＞34000，
∴選擇方案3運(yùn)費(fèi)最省，最省的運(yùn)費(fèi)是34000元．
【變式3-3】（2021秋?海曙區(qū)期末）為堅決阻斷新冠肺炎疫情傳播途徑，有效遏制疫情擴(kuò)散和蔓延，寧波全市自12月7日起啟動Ⅰ級應(yīng)急響應(yīng)，同時對鎮(zhèn)海區(qū)臨時實施封閉管理．某地紅十字會計劃將一批物資打包成箱捐贈給疫情嚴(yán)重的蛟川街道，其中口罩200箱，防護(hù)服120箱．
（1）現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛，一次性將這批口罩和防護(hù)服全部運(yùn)往蛟川街道．已知甲種貨車最多可裝口罩40箱和防護(hù)服10箱，乙種貨車最多可裝口罩和防護(hù)服各20箱．安排甲、乙兩種貨車時有幾種方案？請你幫助設(shè)計出來；
（2）在第（1）問的條件下，如果甲種貨車每輛需付運(yùn)輸費(fèi)2000元，乙種貨車每輛需付運(yùn)輸費(fèi)1800元，應(yīng)選擇哪種方案可使運(yùn)輸費(fèi)最少？最少運(yùn)輸費(fèi)是多少元？
【解答】解：（1）設(shè)租用甲種貨車x輛，則租用乙種貨車（8﹣x）輛，
依題意得：，
解得：2≤x≤4．
又∵x為正整數(shù)，
∴x的值可以為2，3，4，
∴共有3種租車方案，
方案1：租用2輛甲種貨車，6輛乙種貨車；
方案2：租用3輛甲種貨車，5輛乙種貨車；
方案3：租用4輛甲種貨車，4輛乙種貨車．
（2）選擇方案1所需總運(yùn)輸費(fèi)為2000×2+1800×6＝14800（元）；
選擇方案2所需總運(yùn)算費(fèi)為2000×3+1800×5＝15000（元）；
選擇方案3所需總運(yùn)輸費(fèi)為2000×4+1800×4＝15200（元）．
∵14800＜15000＜15200，
∴選擇方案1：租用2輛甲種貨車，6輛乙種貨車時，總運(yùn)算費(fèi)最少，最少總運(yùn)輸費(fèi)是14800元
考點3 元一次不等式組的應(yīng)用-方案問題
【典例4】（2022春?湖口縣期中）某市民政部門將租用甲、乙兩種貨車共16輛，把糧食266噸、副食品169噸全部運(yùn)到災(zāi)區(qū)．已知一輛甲種貨車同時可裝糧食18噸、副食品10噸；一輛乙種貨車同時可裝糧食16噸、副食品11噸．
（1）若將這批貨物一次性運(yùn)到災(zāi)區(qū)，有哪幾種租車方案？
（2）若甲種貨車每輛需付燃油費(fèi)1500元；乙種貨車每輛需付燃油費(fèi)1200元，應(yīng)選（1）中的哪種方案，才能使所付的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？
【解答】解：（1）設(shè)租用甲種貨車x輛，租用乙種貨車為（16﹣x）輛，
根據(jù)題意得：，
解得：5≤x≤7，
∵x為正整數(shù)，
∴x＝5或6或7，
因此，有3種租車方案：
方案一：租甲種貨車5輛，乙種貨車11輛；
方案二：租甲種貨車6輛，乙種貨車10輛；
方案三：租甲種貨車7輛，乙種貨車9輛；
（2）方案一所付的費(fèi)用為：5×1500+11×1200＝20700（元）；
方案一所付的費(fèi)用為：6×1500+10×1200＝21000（元）；
方案一所付的費(fèi)用為：7×1500+9×1200＝21300（元）；
∵20700＜21000＜21300，
∴選擇（1）中的方案一租車，才能使所付的費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是20700元．
【變式4-1】（2021秋?臨湘市期末）列不等式（組）解應(yīng)用題：
一工廠要將100噸貨物運(yùn)往外地，計劃租用某運(yùn)輸公司甲、乙兩種型號的汽車共6輛一次將貨物全部運(yùn)動，已知每輛甲型汽車最多能裝該種貨物16噸，租金800元，每輛乙型汽車最多能裝該種貨物18噸，租金850元，若此工廠計劃此次租車費(fèi)用不超過5000元，通過計算求出該公司共有幾種租車方案？請你設(shè)計出來，并求出最低的租車費(fèi)用．
【解答】解：設(shè)租用甲型汽車x輛，則租用乙型汽車（6﹣x）輛，
依題意得：，
解得2≤x≤4，
∵x的值是整數(shù)
∴x的值是2，3，4．
∴該公司有三種租車方案：
①租用甲型汽車2輛，租用乙型汽車4輛，費(fèi)用為5000元；
②租用甲型汽車3輛，租用乙型汽車3輛，費(fèi)用為4950元；
③租用甲型汽車4輛，租用乙型汽車2輛，費(fèi)用為4900元．
∴最低的租車費(fèi)用為4900元．
【變式4-2】（2022春?雨花區(qū)校級期中）2021年12月31日，財政部、工信部、科技部和發(fā)改委聯(lián)合發(fā)布2022年新能源汽車補(bǔ)貼方案，明確了2022年新能源汽車購置補(bǔ)貼政策將于2022年12月31日終止．目前，新能源汽車銷售形勢越發(fā)見好．某汽車專賣店銷售A，B兩種型號的新能源汽車．上周售出2輛A型車和1輛B型車，銷售額為39萬元，本周已售出3輛A型車和2輛B型車，銷售額為66萬元．
（1）求每輛A型車和B型車的售價各為多少萬元；
（2）某公司擬向該店購買A，B兩種型號的新能源汽車共22輛，且A型號車不超過13輛，購車費(fèi)不超過300萬元，則該公司有哪幾種購車方案？
【解答】解：（1）設(shè)每輛A型車的售價為x萬元，每輛B型車的售價為y萬元，
依題意得：，
解得：．
答：每輛A型車的售價為12萬元，每輛B型車的售價為15萬元．
（2）設(shè)購進(jìn)m輛A型號車，則購進(jìn)（22﹣m）輛B型號車，
依題意得：，
解得：10≤m≤13．
又∵m為正整數(shù)，
∴m可以為10，11，12，13，
∴該公司共有4種購車方案，
方案1：購進(jìn)10輛A型號車，12輛B型號車；
方案2：購進(jìn)11輛A型號車，11輛B型號車；
方案3：購進(jìn)12輛A型號車，10輛B型號車；
方案4：購進(jìn)13輛A型號車，9輛B型號車．
【典例5】（2022?鳳山縣模擬）某文具店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種鋼筆，若購進(jìn)甲種鋼筆100支，乙種鋼筆50支，需要1000元；若購進(jìn)甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元．
（1）求購進(jìn)甲、乙兩種鋼筆每支各需多少元？
（2）若該文具店準(zhǔn)備拿出1000元全部來購進(jìn)這兩種鋼筆，考慮客戶需求，要求購進(jìn)甲種鋼筆的數(shù)量不少于乙種鋼筆數(shù)量的6倍，且不超過160支，那么該文具店共有幾種進(jìn)貨方案？
【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)甲種鋼筆每支需x元，購進(jìn)乙種鋼筆每支需y元，
根據(jù)題意得：
解得．
答：購進(jìn)甲種鋼筆每支需5元，購進(jìn)乙種鋼筆每支需10元；
（2）設(shè)購進(jìn)甲種鋼筆m支，則購進(jìn)乙種鋼筆＝（100﹣m）支，
依題意得，
解得：150≤m≤160．
又∵m，（100﹣m）均為正整數(shù)，
∴m可以為150，152，154，156，158，160，
∴該文具店共有6種購進(jìn)方案．
【變式5-1】（2022?任城區(qū)一模）某公司為獎勵在趣味運(yùn)動會上取得好成績的員工，計劃購買甲、乙兩種獎品共30件．其中甲種獎品每件50元，乙種獎品每件32元．
（1）如果購買甲、乙兩種獎品共花費(fèi)了1284元，求甲、乙兩種獎品各購買了多少件？
（2）如果購買甲種獎品的件數(shù)超過乙種獎品件數(shù)的一半，總花費(fèi)又不超過1200元，那么該公司共有幾種不同的購買方案？哪種方案花費(fèi)最少？最少花費(fèi)是多少元？
【解答】解：（1）設(shè)購買甲種獎品x件，乙種獎品y件，
依題意得：，
解得：．
答：購買甲種獎品18件，乙種獎品12件．
（2）設(shè)購買甲種獎品m件，則購買乙種獎品（30﹣m）件，
依題意得：，
解得：10＜m≤．
又∵m為正整數(shù)，
∴m可以為11，12，13，
∴該公司共有3種購買方案，
方案1：購買甲種獎品11件，乙種獎品19件，總花費(fèi)為50×11+32×19＝1158（元）；
方案2：購買甲種獎品12件，乙種獎品18件，總花費(fèi)為50×12+32×18＝1176（元）；
方案3：購買甲種獎品13件，乙種獎品17件，總花費(fèi)為50×13+32×17＝1194（元）．
∵1158＜1176＜1194，
∴方案1花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是1158元．
【變式5-2】（2021秋?雞冠區(qū)校級期末）在今年的新冠疫情期間，政府緊急組織一批物資送往武漢．現(xiàn)已知這批物資中，食品和礦泉水共410箱，且食品比礦泉水多110箱．
（1）求食品和礦泉水各有多少箱？
（2）現(xiàn)計劃租用A、B兩種貨車共10輛，一次性將所有物資送到群眾手中，已知A種貨車最多可裝食品40箱和礦泉水10箱，B種貨車最多可裝食品20箱和礦泉水20箱，試通過計算幫助政府設(shè)計幾種運(yùn)輸方案？
（3）在（2）條件下，A種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)600元，B種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)450元，政府應(yīng)該選擇哪種方案，才能使運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少？
【解答】解：（1）設(shè)食品有x箱，礦泉水有y箱，
依題意，得：，
解得：．
答：食品有260箱，礦泉水有150箱．
（2）設(shè)租用A種貨車m輛，則租用B種貨車（10﹣m）輛，
依題意，得：，
解得：3≤m≤5，
又∵m為正整數(shù)，
∴m可以為3，4，5，
∴共有3種運(yùn)輸方案，方案1：租用A種貨車3輛，B種貨車7輛；方案2：租用A種貨車4輛，B種貨車6輛；方案3：租用A種貨車5輛，B種貨車5輛．
（3）選擇方案1所需運(yùn)費(fèi)為600×3+450×7＝4950（元），
選擇方案2所需運(yùn)費(fèi)為600×4+450×6＝5100（元），
選擇方案3所需運(yùn)費(fèi)為600×5+450×5＝5250元）．
∵4950＜5100＜5250，
∴政府應(yīng)該選擇方案1，才能使運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是4950元．
【典例6】（2022?長垣市一模）書法是中華民族的文化瑰寶，是人類文明的寶貴財富，是我國基礎(chǔ)教育的重要內(nèi)容．某學(xué)校準(zhǔn)備為學(xué)生的書法課購買一批毛筆和宣紙，已知購買40支毛筆和100張宣紙需要280元；購買30支毛筆和200張宣紙需要260元．
（1）求毛筆和宣紙的單價；
（2）某超市給出以下兩種優(yōu)惠方案：
方案A：購買一支毛筆，贈送一張宣紙；
方案B：購買200張宣紙以上，超出的部分按原價打八折，毛筆不打折．
學(xué)校準(zhǔn)備購買毛筆50支，宣紙若干張（超過200張）．選擇哪種方案更劃算？請說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)毛筆的單價為x元，宣紙的單價為y元，
依題意得：，
解得：．
答：毛筆的單價為6元，宣紙的單價為0.4元．
（2）設(shè)購買宣紙m（m＞200）張．
選擇方案A所需費(fèi)用為50×6+0.4×（m﹣50）＝0.4m+280（元）；
選擇方案B所需費(fèi)用為50×6+0.4×200+0.4×0.8×（m﹣200）＝0.32m+316．
當(dāng)0.4m+280＜0.32m+316時，解得：m＜450，
∴當(dāng)200＜m＜450時，選擇方案A更劃算；
當(dāng)0.4m+280＝0.32m+316時，解得：m＝450，
∴當(dāng)m＝450時，選擇方案A和方案B所需費(fèi)用一樣；
當(dāng)0.4m+280＞0.32m+316時，解得：m＞450，
∴當(dāng)m＞450時，選擇方案B更劃算．
答：當(dāng)購買的宣紙數(shù)量超過200張不足450張時，選擇方案A更劃算；當(dāng)購買的宣紙數(shù)量等于450張時，選擇兩方案所需費(fèi)用相同；當(dāng)購買的宣紙數(shù)量超過450張時，選擇方案B更劃算．
【變式6-1】（2021秋?溫州校級期中）某商店對A型號筆記本電腦舉行促銷活動，有兩種優(yōu)惠方案可供選擇．
方案一：每臺按售價的九折銷售；
方案二：若購買不超過5臺，每臺按售價銷售；若超過5臺，超過的部分每臺按售價的八折銷售．
已知A型號筆記本電腦的原售價是5000元/臺，某公司一次性從該商店購買A型號筆記本電腦x臺．
（1）若方案二比方案一更便宜，根據(jù)題意列出關(guān)于x的不等式．
（2）若公司買12臺筆記本，你會選擇哪個方案？請說明理由．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得，5000×5+5000×80%（x﹣5）＜5000×90%x；
（2）選擇方案二，
理由：方案一：5000×12×90%＝54000（元），
方案二：5000×5+5000×80%×（12﹣5）＝53000（元），
∵54000＞53000，
∴選擇方案二．
【變式6-2】（2021春?祁陽縣期末）為了慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校舉行了一系列活動，其中共青團(tuán)開展了“學(xué)黨史、強(qiáng)信念、跟黨走”教育活動．為獎勵優(yōu)秀學(xué)生，該校準(zhǔn)備購買一批文具袋和圓規(guī)作為獎品，已知購買3個文具袋和2個圓規(guī)需46元，購買5個文具袋和10個圓規(guī)需110元．
（1）求文具袋和圓規(guī)的單價．
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買文具袋20個，圓規(guī)100個，文具店給出兩種優(yōu)惠方案：
方案一：每購買一個文具袋贈送1個圓規(guī)．
方案二：購買10個以上圓規(guī)時，超出10個的部分按原價的八折優(yōu)惠，文具袋不打折．學(xué)校選擇哪種方案更劃算？請說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)文具袋的單價為x元，圓規(guī)的單價為y元．
依題意，得，
解得．
答：文具袋的單價為12元，圓規(guī)的單價為5元．
（2）方案一：總費(fèi)用為20×12+5×（100﹣20）＝640（元），
方案二：總費(fèi)用為20×12+10×5+5×80%×（100﹣10）＝650（元），
∵640＜650，
∴選擇方案一更劃算．
【變式6-3】（2021春?和平區(qū)月考）甲、乙兩個廠家生產(chǎn)的辦公桌和辦公椅的質(zhì)量、價格一致，每張辦公桌800元每張椅子80元．甲、乙兩個廠家推出各自銷售的優(yōu)惠方案，甲廠家：買一張桌子送三張椅子；乙廠家：桌子和椅子全部按原價8折優(yōu)惠，現(xiàn)某公司要購買3張辦公桌和若干張椅子，若購買的椅子數(shù)為x張（x≥9）．
（1）分別用含x的式子表示甲、乙兩個廠家購買桌椅所需的金額；
（2）顧客到哪個廠家購買更劃算？
【解答】解：（1）到甲廠家購買所需費(fèi)用為800×3+80（x﹣3×3）＝（80x+1680）元；
到乙廠家購買所需費(fèi)用為（800×3+80x）×0.8＝（64x+1920）元．
（2）當(dāng)?shù)郊讖S家購買劃算時，80x+1680＜64x+1920，
解得：x＜15；
當(dāng)?shù)郊?、乙兩廠家購買費(fèi)用相同時，80x+1680＝64x+1920，
解得：x＝15；
當(dāng)?shù)揭覐S家購買劃算時，80x+1680＞64x+1920，
解得：x＞15．
答：當(dāng)9≤x＜15時，到甲廠家購買更劃算；當(dāng)x＝15時，到兩個廠家購買費(fèi)用相同；當(dāng)x＞15時，到乙廠家購買更劃算．
原料
甲
乙
維生素
600單位
100單位
原料價格
8元
4元
A型
B型
價格（萬元/臺）
a
b
年載客量（萬人/年）
60
100

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