【知識(shí)梳理】

【典例剖析】
考點(diǎn)1 對(duì)頂角與領(lǐng)補(bǔ)角
【典例1】（長春）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠EOD＝90°．下列說法不正確的是（ ）
A．∠AOD＝∠BOCB．∠AOC＝∠AOE
C．∠AOE+∠BOD＝90°D．∠AOD+∠BOD＝180°
【答案】B
【解答】解：A、∠AOD＝∠BOC，說法正確；
B、∠AOC＝∠AOE，說法錯(cuò)誤；
C、∠AOE+∠BOD＝90°，說法正確；
D、∠AOD+∠BOD＝180°，說法正確；
故選：B．
【變式1】（2020春?恩平市期中）下面四個(gè)圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的圖形的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【解答】解：甲：∠1和∠2不是對(duì)頂角，
乙：∠1和∠2不是對(duì)頂角，
丙：∠1和∠2是對(duì)頂角，
丁：∠1和∠2不是對(duì)頂角．
故選：C．
【變式2】（2022春?蕭縣校級(jí)月考）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠BOE，∠AOC＝42°，則∠AOE的度數(shù)為（ ）
A．126°B．96°C．102°D．138°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOC＝42°，
∴∠BOD＝42°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠BOE＝84°，
∴∠AOE＝96°，
故選：B．
考點(diǎn)2 垂線及其性質(zhì)
【典例2】（2021春?阿榮旗期末）如圖，某單位要在河岸l上建一個(gè)水泵房引水到C處，他們的做法是：過點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D，將水泵房建在了D處．這樣做最節(jié)省水管長度，其數(shù)學(xué)道理是（ ）
A．兩點(diǎn)之間，線段最短
B．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
C．兩點(diǎn)確定一條直線
D．直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短
【答案】D
【解答】解：因?yàn)镃D⊥l于點(diǎn)D，根據(jù)垂線段最短，所以CD為C點(diǎn)到河岸l的最短路徑．
故選：D．
【變式1】（2021秋?海州區(qū)校級(jí)期中）把一條彎曲的高速路改為直道，可以縮短路程，其道理用幾何知識(shí)解釋應(yīng)為（ ）
A．兩點(diǎn)之間，線段最短
B．點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短
C．兩點(diǎn)確定一條直線
D．平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
【答案】A
【解答】解：把一條彎曲的高速路改為直道，可以縮短路程，其道理用幾何知識(shí)解釋應(yīng)為兩點(diǎn)之間，線段最短，
故選：A．
【變式2】（2018春?禪城區(qū)期末）已知點(diǎn)P在直線MN外，點(diǎn)A、B、C均在直線MN上，PA＝3cm，PB＝3.5cm，PC＝2cm，則點(diǎn)P到直線MN的距離（ ）
A．等于 3cmB．等于 2cmC．等于 3.5cmD．不大于 2cm
【答案】D
【解答】解：當(dāng)PC⊥MN時(shí)，PC是點(diǎn)P到直線MN的距離，即點(diǎn)P到直線l的距離2cm，
當(dāng)PC不垂直于MN時(shí)，點(diǎn)P到直線MN的距離小于PC的長，即點(diǎn)P到直線MN的距離小于2cm，
綜上所述：點(diǎn)P到直線MN的距離不大于2cm，
故選：D．
考點(diǎn)3 同位角、內(nèi)錯(cuò)角及同旁內(nèi)角
【典例3】（2020春?越秀區(qū)校級(jí)期中）下列所示的四個(gè)圖形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③B．①②③C．③④D．①②④
【答案】D
【解答】解：圖①②④中，∠1和∠2是同位角，
故選：D．
【變式1】（2021秋?長春期末）如圖，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．∠1與∠2是同旁內(nèi)角B．∠1與∠6是內(nèi)錯(cuò)角
C．∠2與∠5是內(nèi)錯(cuò)角D．∠3與∠5是同位角
【答案】C
【解答】解：A、∠1與∠2是同旁內(nèi)角，正確，不合題意；
B、∠1與∠6是內(nèi)錯(cuò)角，正確，不合題意；
C、∠2與∠5不是內(nèi)錯(cuò)角，故C錯(cuò)誤，符合題意；
D、∠3與∠5是同位角，正確，不合題意；
故選：C．
【變式2】（2021秋??？谄谀┮阎獔D①～④，
在上述四個(gè)圖中，∠1與∠2是同位角的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③D．①
【答案】C
【解答】解：圖①③中，∠1與∠2是同位角；
故選：C．
考點(diǎn)4 平行線
【典例4】（2020春?東莞市校級(jí)月考）下列說法中正確的是（ ）
A．如果同一平面內(nèi)的兩條線段不相交，那么這兩條線段所在直線互相平行
B．不相交的兩條直線一定是平行線
C．同一平面內(nèi)兩條射線不相交，則這兩條射線互相平行
D．同一平面內(nèi)有兩條直線不相交，這兩條直線一定是平行線
【答案】D
【解答】解：根據(jù)平行線的定義可知：
A、如果同一平面內(nèi)的兩條直線不相交，那么這兩條線段所在直線互相平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、同一平面內(nèi)不相交的兩條直線一定是平行線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、同一平面內(nèi)兩條射線所在的直線不相交，則這兩條射線互相平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、同一平面內(nèi)有兩條直線不相交，就平行，正確．
故選：D．
【變式1】（2021春?饒平縣校級(jí)期中）在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．相交C．相交或垂直D．相交或平行
【答案】D
【解答】解：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是相交或平行，相交包含垂直．
故選：D
【變式2】（2021春?和平區(qū)校級(jí)月考）下列語句正確的有（ ）個(gè)
①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行
②過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行
③過兩條直線a，b外一點(diǎn)P，畫直線c，使c∥a，且c∥b
④若直線a∥b，b∥c，則c∥a．
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解答】解：①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行，說法錯(cuò)誤，應(yīng)為根據(jù)同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行；
②過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行，說法錯(cuò)誤，應(yīng)為過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行；
③過兩條直線a，b外一點(diǎn)P，畫直線c，使c∥a，且c∥b，說法錯(cuò)誤；
④若直線a∥b，b∥c，則c∥a，說法正確；
故選：D．
考點(diǎn)5 平行線的判定條件
【典例5】（2020春?天心區(qū)期末）如圖，下列條件中不能推出AB∥DC的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＝∠2
C．∠B＝∠DCED．∠B+∠DCB＝180°
【答案】B
【解答】解：A、∵∠3＝∠4，
∴AB∥DC，故本選項(xiàng)不合題意；
B、∵∠1+∠2，
∴AD∥BC，故本選項(xiàng)符合題意；
C、∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥DC，故本選項(xiàng)不合題意；
D、∵∠B+∠DCB＝180°，
∴AB∥DC，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：B．
【變式1】（2021春?高州市期末）如圖，下列條件中，不能判定l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠2＝∠3D．∠4+∠5＝180°
【答案】C
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴直線l1∥l2，故此選項(xiàng)不合題意；
B、∵∠2+∠4＝180°，
∴直線l1∥l2，故此選項(xiàng)不合題意；
C、∠2＝∠3，不能得出直線l1∥l2，故此選項(xiàng)符合題意；
D、∵∠2＝∠5，4+∠5＝180°，
∴4+∠2＝180°，
∴直線l1∥l2，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【變式2】（2021春?高州市月考）如圖所示，已知直線c與a，b分別交于點(diǎn)A、B且∠1＝120°，當(dāng)∠2＝（ ）時(shí)，直線a∥b．
A．60°B．120°C．30°D．150°
【答案】B
【解答】解：∵∠1＝120°，∠1與∠3是對(duì)頂角，
∴∠1＝∠3＝120°，
∵∠2＝∠3＝120°，
∴直線a∥b，
故選：B．
考點(diǎn)6 平行線的性質(zhì)
【典例6】（2020春?南寧期末）如圖，直線AB∥CD，AF交CD于點(diǎn)E，∠CEF＝135°，則∠A等于（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】C
【解答】解：∵∠CEF＝135°，
∴∠DEF＝180°﹣135°＝45°．
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DEF＝45°．
故選：C．
【變式1】（2020?陜西模擬）如圖，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝35°，則∠BED的度數(shù)是（ ）
A．60°B．68°C．70°D．72°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝35°，
∴∠ABC＝∠C＝35°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABC＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠ABE＝70°．
故選：C．
【典例7】（2020?廣元）把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1＝45°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．115°B．120°C．145°D．135°
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，
∵∠1＝45°（已知），
∴∠3＝90°﹣∠1＝45°（三角形的內(nèi)角和定理），
∴∠4＝180°﹣∠3＝135°（平角定義），
∵EF∥MN（已知），
∴∠2＝∠4＝135°（兩直線平行，同位角相等）．
故選：D．
【變式1】（2020?棗莊）如圖，把一塊含有45°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上．如果∠1＝20°，那么∠2的度數(shù)是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【答案】B
【解答】解：根據(jù)題意可知，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，
∴∠1＝∠3，
∵∠3+∠2＝45°，
∴∠1+∠2＝45°
∵∠1＝20°，
∴∠2＝25°．
故選：B．
【變式2】（2020?樂山）含30°角的直角三角板與直線l1、l2的位置關(guān)系如圖所示，已知l1∥l2，∠ACD＝∠A，則∠1＝（ ）
A．70°B．60°C．40°D．30°
【答案】B
【解答】解：∵∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CDB＝60°，
故選：B．
【典例8】（2021春?大冶市期中）如圖，將一張長方形紙條ABCD沿EF折疊后，ED與BF交于G點(diǎn)，若∠EFC＝130°，則∠BGE的度數(shù)為（ ）
A．105°B．100°C．110°D．130°
【答案】B
【解答】解：∵AE∥BF，
∴∠D′EF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣130°＝50°，∠BGE＝∠D′EG，
由折疊的性質(zhì)得到∠GEF＝∠D′EF＝50°，
∴∠D′EG＝∠D′EF+∠GEF＝100°，
則∠BGE＝100°．
故選：B．
【變式1】（2022?珠海二模）如圖把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′位置，若∠EFB＝60°，則∠AED′＝（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】C
【解答】解：如圖，∵長方形紙片對(duì)邊平行，
∴∠1＝∠EFB＝60°，
由翻折的性質(zhì)得，∠2＝∠1＝60°，
∴∠AED′＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故選：C．
考點(diǎn)7 平移及其性質(zhì)
【典例9】（2021春?乾安縣期末）在下列四個(gè)汽車標(biāo)志圖案中，能用平移變換來分析其形成過程的圖案是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、不是由“基本圖案”經(jīng)過平移得到，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是由“基本圖案”經(jīng)過平移得到，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是由“基本圖案”經(jīng)過平移得到，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是由“基本圖案”經(jīng)過平移得到，故此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【變式1】（2022春?滑縣月考）下列運(yùn)動(dòng)屬于平移的是（ ）
A．球場(chǎng)上滾動(dòng)的足球B．關(guān)閉教室門
C．國旗上升的過程D．時(shí)鐘上分針的運(yùn)動(dòng)
【答案】C
【解答】解：A、球場(chǎng)上滾動(dòng)的足球，不屬于平移，故A不符合題意；
B、關(guān)閉教室門，不屬于平移，故B不符合題意；
C、國旗上升的過程，屬于平移，故C符合題意；
D、時(shí)鐘上分針的運(yùn)動(dòng)，屬于旋轉(zhuǎn)，故D不符合題意；
故選：C．
【變式2】（2021春?官渡區(qū)期末）甲骨文是我國古代的一種文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移來分析其形成過程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：由圖可知，ABC利用圖形的翻折變換得到，D利用圖形的平移得到．
故選：D．
【典例10】（2020?鎮(zhèn)海區(qū)模擬）如圖，兩個(gè)全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個(gè)三角形沿著點(diǎn)B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距離為6，則陰影部分面積為（ ）
A．48B．96C．84D．42
【答案】A
【解答】解：由平移的性質(zhì)知，BE＝6，DE＝AB＝10，S△ABC＝S△DEF，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四邊形ODFC＝S△DEF﹣S△EOC＝S△ABC﹣S△EOC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）?BE＝（10+6）×6＝48．
故選：A．
【變式1】（2021秋?鋼城區(qū)期末）如圖，在一塊長AB＝15m，寬BC＝10m的長方形草地上，修建三條寬均為1m的長方形小路，則這塊草地的綠地面積（圖中空白部分）為 117 m2．
【答案】117
【解答】解：由題意得：
（15﹣2）×（10﹣1）
＝13×9
＝117（平方米），
∴這塊草地的綠地面積為 117m2，
故答案為：117．
【變式2】（2021春?番禺區(qū)期末）如圖是一個(gè)會(huì)場(chǎng)臺(tái)階的截面圖，要在上面鋪上地毯，則所需地毯的長度是 m．
【答案】3.2
【解答】解：樓梯的長為2m，高為1.2m，則所需地毯的長度是2+1.2＝3.2（m）．
故答案為：3.2．
【變式3】（2018春?柳州期末）如圖，將△ABC沿BC方向平移1個(gè)單位得到△DEF，若△ABC的周長等于9，則四邊形ABFD的周長等于（ ）
A．9B．1C．11D．12
【答案】C
【解答】解：∵將△ABC沿BC方向平移1個(gè)單位得到△DEF，
∴AD＝CF＝1，AC＝DF，
∵△ABC的周長等于9，
∴四邊形ABFD的周長等于9+1+1＝11．
故選：C．
考點(diǎn)8 有關(guān)平行線證明的解答題
【典例11】（2021春?兗州區(qū)期末）按要求完成下列證明：
已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)，且∠1+∠2＝90°．
求證：DE∥BC．
證明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+ ＝90°（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴ ＝∠2（ ）．
∴DE∥BC（ ）．
【答案】∠EDC；垂直定義；∠EDC；同角的余角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【解答】證明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠EDC＝90°（ 垂直定義）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EDC＝∠2（ 同角的余角相等）．
∴DE∥BC（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
故答案為：∠EDC；垂直定義；∠EDC；同角的余角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【變式1】（2020春?原州區(qū)期末）完成下面的證明：
如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求證：AB∥CD．
證明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（ 已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
【答案】已知，角平分線的定義，2∠β，角平分線的定義，等量代換，等量代換，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行．
【解答】證明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分線的定義）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （角平分線的定義）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代換）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代換）．
∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．
故答案為：已知，角平分線的定義，2∠β，角平分線的定義，等量代換，等量代換，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行．
【典例12】（2020春?南充期末）已知如圖，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】略
【解答】解：BF與AC的位置關(guān)系是：BF⊥AC．
理由：∵∠AGF＝∠ABC，
∴BC∥GF（同位角相等，兩直線平行），
∴∠1＝∠3，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴BF∥DE，
∵DE⊥AC，
∴BF⊥AC．
【變式1】（2020秋?蘭州期末）如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，
（1）證明：EF∥AB．
（2）試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系，并說明你的理由．
【答案】（1） 略 （2）∠AED與∠C相等
【解答】解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°（平角定義），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE，
∴EF∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；
（2）∠AED與∠C相等．
∵EF∥AB，
∴∠3＝∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代換），
∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行），
∴∠AED＝∠C（兩直線平行，同位角相等）．
【變式2】（2020秋?開江縣期末）如圖，點(diǎn)F在線段AB上，點(diǎn)E，G在線段CD上，F(xiàn)G∥AE，∠1＝∠2．
（1）求證：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于點(diǎn)H，BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠1的度數(shù)．
【答案】(1)略 (2)56°
【解答】（1）證明：∵FG∥AE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝112°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4＝∠ABD＝34°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1＝90°﹣34°＝56°．
考點(diǎn)9 平行線的性質(zhì)合判定綜合題
【典例13】（2020春?新田縣期末）如圖，已知兩條射線OM∥CN，動(dòng)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在射線OM、CN上，且∠C＝∠OAB＝108°，F(xiàn)在線段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出與∠AOC相等的角，并說明理由；
（2）若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC與∠OFC的度數(shù)比是否隨著AB位置的變化而發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個(gè)比值；
（3）在平行移動(dòng)AB的過程中，是否存在某種情況，使∠OEC＝2∠OBA？若存在，請(qǐng)求出∠OBA度數(shù)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)與∠AOC相等的角是∠ABC，∠BAM (2)不變 (3)不存在
【解答】解：（1）∠ABC，∠BAM．理由如下：
∵OM∥CN，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣108°＝72°，
∠ABC＝180°﹣∠OAB＝180°﹣108°＝72°，
又∵∠BAM＝∠180°﹣∠OAB＝180°﹣108°＝72°，
∴與∠AOC相等的角是∠ABC，∠BAM；
（2）不變．理由：
∵OM∥CN，
∴∠OBC＝∠AOB，∠OFC＝∠AOF，
∵OB平分∠AOF，
∴∠AOF＝2∠AOB，
∴∠OFC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝；
（3）不存在．理由：
∵∠OEC＝∠EOA＝2∠BOF+∠EOF
∵OM∥CN，∠C＝∠OAB＝108°，
∴∠ABC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∴∠OBA＝∠BOC
2∠OBA＝2∠BOC＝2（∠BOF+2∠EOF）
∵2∠BOF+∠EOF≠2（∠BOF+2∠EOF）
∴在平行移動(dòng)AB的過程中，不存在某種情況，使∠OEC＝2∠OBA，
故不存在此情況．
【變式1】（2021春?宣化區(qū)期末）如圖，已知AM∥BN，∠A＝60°，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C、D，（推理時(shí)不需要寫出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度數(shù)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么∠APB：∠ADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律．
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB＝∠ABD時(shí)，求∠ABC的度數(shù)．
【答案】（1）60° （2）∠APB：∠ADB=2：1 （3）∠ABC＝30°
【解答】解：
（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；
（2）不變，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
當(dāng)∠ACB＝∠ABD時(shí)，則有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°．
【變式2】（2021秋?商河縣期末）如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠1與∠2互補(bǔ)．
（1）試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，EP與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，求證：PF∥GH；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點(diǎn)使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，問∠HPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，說明理由．
【答案】（1）AB∥CD (2) 略 (3)45°
【解答】解：（1）如圖1，∵∠1與∠2互補(bǔ)，
∴∠1+∠2＝180°．
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）如圖2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°．
又∵∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，
∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）∠HPQ的大小不會(huì)發(fā)生變化，利用如下：
∵∠PHK＝∠HPK
∴∠PKG＝2∠HPK
∵GH⊥EG
∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK
∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK
∵PQ平分∠EPK
∴∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK
∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°
∴∠HPQ的大小不會(huì)發(fā)生變化，其值為45°．

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