時(shí)量：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)，通過數(shù)軸即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由數(shù)軸可得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
2. 已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由面面平行的性質(zhì)、線面、面面平行的判定即可判斷.
【詳解】因?yàn)?，若，則由線面平行的性質(zhì)可知，故“”是“”的充分條件，
設(shè)，，顯然，從而有成立，但此時(shí)不平行.
故選：A.
3. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離加半徑可得最大值，減半徑可得最小值即可.
【詳解】表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是單位圓上的點(diǎn)，
的幾何意義表示單位圓上的點(diǎn)和之間的距離，
的取值范圍轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離加上半徑可得最大值，減去半徑可得最小值，
所以最大距離為，最小距離為，
所以的取值范圍為.
故選：B

4. 已知函數(shù)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】易知，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，故有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
故在上有兩個(gè)不同的解，
故所以.
故選：D.
5. 的展開式中的系數(shù)為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)已知條件求得代入展開式即可求解.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)為,，
根據(jù)題意得，解得：，則含的項(xiàng)為，
故的展開式中的系數(shù)為.
故選：B.
6. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，，可得，由，可得，代入，即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
即
又，則，
因?yàn)椋?br>所以，所以.
故選：D.
7. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的左支上，當(dāng)取最大值時(shí)，的離心率的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用雙曲線的定義求出代入所求，利用基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】由雙曲線的定義可知，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
又，解得，所以，即離心率的取值范圍為.
故選：A.
8. 若等差數(shù)列滿足，則的最大值為（ ）
A. 600B. 500C. 800D. 200
【答案】B
【解析】
【分析】由，得到，再由，由求和公式得到
，兩式聯(lián)立，消去，通過一元二次方程有解，即可求解；
【詳解】，
即，，即，
整理，得，即有解，
，解得，.
故選：B.
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)是符合題目要求，若全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不選得0分）
9. 實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由題意可得，再根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B、D，通過舉反例判斷C.
【詳解】依題意可知，，
對(duì)于A：由，得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由，，得，故B正確；
對(duì)于C：令，，，，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)?，?所以，，所以，故D正確；
故選：BD.
10. 已知事件，，為隨機(jī)事件，且，則（ ）
A. 若事件與事件對(duì)立，則
B. 若，則事件與事件對(duì)立
C. 若事件與事件獨(dú)立，則
D. 若，則事件與事件獨(dú)立
【答案】ACD
【解析】
【分析】由條件概率的計(jì)算公式即可判斷A，舉出反例，即可判斷B，由相互獨(dú)立事件的定義即可判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，拋擲兩次骰子，事件：第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為2，
事件：第二次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件：第二次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)大于3，
則，可知，但，不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若事件與事件獨(dú)立，則，
則，故C正確；
對(duì)于D，，從而，
則事件與事件獨(dú)立，故D正確.
故選：ACD
11. 已知曲線，點(diǎn)，為曲線上任意兩點(diǎn)，且，則（ ）
A. 曲線由兩個(gè)圓構(gòu)成B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】已知方程化簡(jiǎn)得出即或判斷A,應(yīng)用點(diǎn)到圓的距離范圍判斷B,應(yīng)用兩角差的余弦公式及三角函數(shù)值域判斷C,結(jié)合換元法計(jì)算求解數(shù)量積范圍判斷D.
【詳解】對(duì)于A，依題意，方程即，
即或，
所以曲線由以，為圓心，1為半徑的兩個(gè)圓構(gòu)成，故A正確；
對(duì)于B，，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)，，
，，
因此，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，
，
令，則，當(dāng)，時(shí)等號(hào)可成立.
顯然反向，且x軸上時(shí)，，因此，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.
三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）
12. 如圖所示，已知船在燈塔北偏東的方向，且，間的距離為2km，船在燈塔北偏西的方向，且，兩船間的距離為3km，則，間的距離為______km.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)應(yīng)用余弦定理計(jì)算求解即可.
【詳解】由題意可知，，，
在中，由余弦定理可得，
，解得（舍）或
故答案為：.
13. 已知，，是拋物線上三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的重心為拋物線的焦點(diǎn)，則的三條中線的長(zhǎng)度之和為______.
【答案】27
【解析】
【分析】利用拋物線的定義及三角形重心的性質(zhì)，求解即可.
【詳解】設(shè)，，，因?yàn)椋瑒t，
則的三條中線的長(zhǎng)度之和為.
故答案為：27.
14. 如圖，在空間幾何體中，平面平面平面，則幾何體的外接球的體積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件可得幾何體的外接球和底面半徑為，高為2的圓柱的外接球一樣，再計(jì)算圓柱的外接球半徑即可.
【詳解】解題分析由題意知， 與均為直角三角形，
且平面平面平面平面，
故可以將幾何體放入底面半徑為，高為2的圓柱中，
且圓柱的外接球正好就是幾何體的外接球，
又該圓柱的外接球的半徑，
所以幾何體的外接球的半徑為3，
所以外接球的體積為.
故答案為：.

四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 某單位4人積極參加本地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品的網(wǎng)購(gòu)活動(dòng)，共有兩種農(nóng)產(chǎn)品供選擇，每人只購(gòu)其中一種.大家約定：每人通過擲一次質(zhì)地均勻的骰子決定自己去購(gòu)買哪種農(nóng)產(chǎn)品.若擲出點(diǎn)數(shù)為1或2，購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品A，若擲出點(diǎn)數(shù)大于2，則購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品B.
（1）求這4個(gè)人中恰有1人購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品A的概率；
（2）用分別表示這4個(gè)人中購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品A和B的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）由題可知購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品的概率為，購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品的概率為，然后由獨(dú)立事件的概率公式
求解即可，
（2）用分別表示這4個(gè)人中購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品A和B的人數(shù)，則由題意可得可取，可取，然后求出各自對(duì)應(yīng)的概率，而由可知，的可能取值為，從而可求出其對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可得的分布列與數(shù)學(xué)期望
【小問1詳解】
由題可知購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品的概率為，購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品的概率為，
設(shè)事件為4人中恰有1人購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品，
依題可知，4人是否購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品相互獨(dú)立，互不影響
所以；
【小問2詳解】
用分別表示這4個(gè)人中購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品A和B的人數(shù)，
則可取，可取，
當(dāng)時(shí)，，表示4人全部購(gòu)買產(chǎn)品，概率，
當(dāng)時(shí)，，表示4人中恰有1人購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品，概率，
當(dāng)時(shí)，，表示4人中恰有2人購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品，概率，
當(dāng)時(shí)，，表示4人中恰有3人購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品，概率，
當(dāng)時(shí)，，表示4人中全部購(gòu)買農(nóng)產(chǎn)品，概率，
所以由可知，的可能取值為
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率，
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)概率，
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率
所以隨機(jī)變量的分布列為
所以，數(shù)學(xué)期望.
16. 如圖，三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，且平面平面.

（1）求證：平面；
（2）若三棱柱的體積為4，求銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通過平面，得到，再通過平面，得到，即可求證；
（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；
【小問1詳解】
證明：由，分別為，的中點(diǎn)，
由正方形易知：,
所以，
又,
所以，所以，
又，，平面內(nèi)，
因此平面，又平面，故.
由平面平面，平面平面，
且，平面，
從而平面，平面，故；
又，又平面，
故平面.
【小問2詳解】
因?yàn)槿庵捏w積為4，
由（1）知：三棱柱的體積為
則.
因?yàn)槠矫?，四邊形為正方形?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則即
令，則，，從而.
設(shè)平面的法向量為，則即
令，則，，從而.
則，
即銳二面角的余弦值為.
17. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，當(dāng)時(shí)，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可作差可得，，即可根據(jù)等比求和求解,
（2）利用放縮法得，即可利用等比求和公式求解.
【小問1詳解】
依題意可知，，，，
相減可得，，
即，故，
即，，故為從第2項(xiàng)開始的等比數(shù)列，且公比為，
又，代入，可得，
則，時(shí)，，
故
小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，
則
，
.
18. 已知，其中，.
（1）若與相切，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：；
（3）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再應(yīng)用切線斜率為1，計(jì)算求參；
（2）先把證明的不等式轉(zhuǎn)換，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性計(jì)算證明不等式；
（3）分兩種情況分類討論是否符合不等式恒成立即可求參.
【小問1詳解】
設(shè)，則，，
若與相切，設(shè)切點(diǎn)為，
則，又，則，從而，即，即.
【小問2詳解】
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，
依題意，當(dāng)時(shí)，要證，即證，當(dāng)時(shí)，即證.
設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，，即，從而，
當(dāng)時(shí)，，即，從而，
綜上可知，當(dāng)時(shí)，.
【小問3詳解】
不等式即，令，令，，，
由，不妨設(shè)，，
其中，，.
（?。┊?dāng)時(shí)，由（2）可知單調(diào)遞增，故，則，即單調(diào)遞增，符合題意；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，令，則，
①當(dāng)時(shí)，，則恒成立，故單調(diào)遞減，即，
即，故單調(diào)遞增，從而，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，故有兩個(gè)根，
因此當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，
即，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，不合題意.
綜上可知，或，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，分兩種情況分別證明不等式即可
19. 如圖，已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且在軸上方，延長(zhǎng)，分別交橢圓于點(diǎn)，.
（1）證明：的周長(zhǎng)大于；
（2）若，求直線的方程；
（3）求面積的最大值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1) 連接，由題可知，兩邊同時(shí)加上即可；
(2)設(shè)，，，由橢圓的定義和兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算得出，聯(lián)立，求得，，根據(jù)兩點(diǎn)求出直線的方程；
(3)聯(lián)立和方程，利用韋達(dá)定理得出和，
再利用三角形的面積結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解最值即可．
【小問1詳解】
連接，注意到，
故的周長(zhǎng)為.
【小問2詳解】
設(shè)，，，
由，且，故，
又，則，即，
因此，故直線的方程為：，即，
直線的方程為：，聯(lián)立，得，
則，即，因此，
而，因此，
故直線的方程為：，即.
【小問3詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以直線斜率不為0，
設(shè)直線，直線，，，，，
聯(lián)立，可得，則，
注意到，故.
聯(lián)立，可得，則，
注意到，故.
則，.
注意到，因?yàn)?，?br>所以，
則，
設(shè)，，則，則單調(diào)遞增，
故，
則面積的最大值為.

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