【清單01】等差數(shù)列
⑴定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N），
那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．
⑵等差中項(xiàng)：若三數(shù)成等差數(shù)列
⑶通項(xiàng)公式：
或
⑷前項(xiàng)和公式：
⑸常用性質(zhì)：
①若，則；
②下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)，仍組成等差數(shù)列；
③數(shù)列（為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；
④若、是等差數(shù)列，則、 （、是非零常數(shù)）、、，…也成等差數(shù)列．
⑤單調(diào)性：的公差為，則：
?。檫f增數(shù)列；
ⅱ）為遞減數(shù)列；
ⅲ）為常數(shù)列；
⑥數(shù)列{}為等差數(shù)列（p，q是常數(shù)）
⑦若等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則、、… 是等差數(shù)列．
【清單02】等比數(shù)列
⑴定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．
⑵等比中項(xiàng)：若三數(shù)成等比數(shù)列（同號(hào)）．反之不一定成立．
⑶通項(xiàng)公式：
⑷前項(xiàng)和公式：
⑸常用性質(zhì)
①若，則；
②為等比數(shù)列，公比為（下標(biāo)成等差數(shù)列，則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列）
③數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；正項(xiàng)等比數(shù)列；則是公差為的等差數(shù)列；
④若是等比數(shù)列，則
是等比數(shù)列，公比依次是
⑤單調(diào)性：
為遞增數(shù)列；為遞減數(shù)列；
為常數(shù)列；
為擺動(dòng)數(shù)列；
⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列．
⑦若等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則、、… 是等比數(shù)列．
考點(diǎn)題型1：等差數(shù)列及其性質(zhì)
【典例1-1】（2024·高二·河南漯河·期末）等差數(shù)列中，，則其前100項(xiàng)和為（ ）
A．5050B．10010C．10100D．11000
【典例1-2】（2024·高二·河北保定·期末）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
【變式1-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．20B．15C．10D．5
【變式1-2】（2024·高二·陜西渭南·期末）我國(guó)古代《洛書》中記載著一種三階幻方：將九個(gè)數(shù)字填入一個(gè)的正方形方格，滿足每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和相同（如圖）．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，現(xiàn)將該數(shù)列的前項(xiàng)填入一個(gè)的正方形方格，使其滿足四階幻方，則此四階幻方中每一行的數(shù)字之和為（ ）

A．60B．72C．76D．80
【變式1-3】（2024·高二·湖南邵陽(yáng)·期末）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（ ）
A．B．1C．D．2
【變式1-4】（2024·高二·西藏拉薩·期末）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-5】（2024·高二·河南信陽(yáng)·期末）數(shù)列滿足，已知，則的前19項(xiàng)和（ ）
A．0B．8C．10D．19
考點(diǎn)題型2：等比數(shù)列及其性質(zhì)
【典例2-1】（2024·高二·青?！て谀┰诘缺葦?shù)列中，，，則（ ）
A．64B．128C．D．
【典例2-2】（2024·高二·河北保定·期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．B．
C．D．
【變式2-1】（2024·高二·貴州黔南·期末）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式2-2】（2024·高二·江蘇南京·期末）數(shù)列滿足，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為（ ）.
A．63B．127C．255D．256
【變式2-3】（2024·高二·云南保山·期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若，則的近似值為（ ）
A．4B．3C．2D．
【變式2-4】（2024·高二·湖南益陽(yáng)·期末）已知等比數(shù)列中，若，則（ ）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)題型3：等差等比數(shù)列的證明
【典例3-1】（2024·高二·福建三明·期末）某企業(yè)2022年年初有資金5千萬(wàn)元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到50%，每年年底扣除下一年的消費(fèi)基金千萬(wàn)元后，剩余資金投入再生產(chǎn).設(shè)從2022年的年底起，每年年底企業(yè)扣除消費(fèi)基金后的剩余資金依次為，，，…
(1)寫出，，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)至少到哪一年的年底，企業(yè)的剩余資金會(huì)超過(guò)21千萬(wàn)元？
【典例3-2】（2024·高二·江蘇南京·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中．
(1)證明為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和
【變式3-1】（2024·高二·遼寧·期末）已知數(shù)列滿足．
(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：
【變式3-2】（2024·高二·湖南張家界·期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足.
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【變式3-3】（2024·高二·廣東廣州·期末）數(shù)列的首項(xiàng)，.
(1)證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，
①當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)取得最大值時(shí)，求的值；
②求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式3-4】（2024·高二·江西鷹潭·期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且.
(1)證明：是等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【變式3-5】（2024·高二·河南商丘·期末）在數(shù)列中，已知．
(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和Sn．
考點(diǎn)題型4：等差等比數(shù)列的交匯問(wèn)題
【典例4-1】（2024·高二·陜西西安·期末）在等差數(shù)列中，，，且12是，的等比中項(xiàng)．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【典例4-2】（2024·高二·四川攀枝花·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，公差不為0的等差數(shù)列中，，且是與的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式4-1】（2024·高二·安徽滁州·期末）已知公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.若，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式4-2】（2024·上海長(zhǎng)寧·一模）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列．
(1)若，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，求．
【變式4-3】（2024·高二·山東日照·期中）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
考點(diǎn)題型5：范圍與最值問(wèn)題
【典例5-1】（2024·高二·遼寧本溪·期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
【典例5-2】（2024·高二·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是等比數(shù)列
B．成等差數(shù)列，公差為
C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值
D．時(shí)，的最大值為33
【變式5-1】（多選題）（2024·高二·四川樂(lè)山·期末）已知等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，若，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．C．D．最小值為
【變式5-2】（多選題）（2024·高二·四川成都·期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ，前 項(xiàng)積為 ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．在數(shù)列中，是最大項(xiàng)B．在數(shù)列中， 是最小項(xiàng)
C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減D．使取得最小值的為 9
【變式5-3】（多選題）（2024·高二·安徽滁州·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為22D．當(dāng)時(shí)，的最小值為44
【變式5-4】（多選題）（2024·高二·內(nèi)蒙古·期末）已知公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（ ）
A．
B．當(dāng)時(shí)，
C．
D．當(dāng)，且取得最小值時(shí)，只能等于6
【變式5-5】（多選題）（2024·高二·陜西渭南·期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列中的最大值是D．?dāng)?shù)列無(wú)最大值

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