清單06 橢圓及其性質(zhì)（清單導(dǎo)圖考點(diǎn) 題型變式）學(xué)案-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)（蘇教版2019）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【清單01】橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語(yǔ)言表示為：
注意：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．
【清單02】橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．
考點(diǎn)題型1：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
【典例1-1】（2024·高二·江蘇淮安·階段練習(xí)）分別根據(jù)下列條件求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)一個(gè)焦點(diǎn)為
(2)與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)
【典例1-2】（2024·高二·河南商丘·期末）若點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，分別是的左、右焦點(diǎn)，則（）
A．B．2C．D．4
【變式1-1】（2024·高二·陜西榆林·期中）已知橢圓上有一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為（）
A．6B．3C．4D．2
【變式1-2】（2024·高二·北京西城·期中）已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)，，則（）
A．2B．C．D．
【變式1-3】（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
【變式1-4】（2024·高二·河南·階段練習(xí)）已知橢圓C上任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)題型2：橢圓方程的充要條件
【典例2-1】（2024·高二·江蘇南京·期末）已知方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·高二·天津·期中）方程表示橢圓的充要條件是（）.
A．B．或
C．D．
【變式2-1】（2024·高二·新疆·期中）“”是“方程表示橢圓”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【變式2-2】（2024·高二·遼寧鐵嶺·期中）若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【變式2-3】（2024·高二·山東菏澤·期中）“”是“方程表示橢圓”的（）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．不充分也不必要條件
考點(diǎn)題型3：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題
【典例3-1】（2024·高二·上?！て谀┮阎獧E圓的焦點(diǎn)為、，為該橢圓上任意一點(diǎn)（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)），則的周長(zhǎng)為（）
A．10B．13C．14D．16
【典例3-2】（2024·高二·福建漳州·期末）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過(guò)且垂直于的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（）
A．6B．C．D．8
【變式3-1】（2024·高二·安徽蕪湖·期末）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（）
A．3B．4C．6D．10
【變式3-2】（2024·高二·四川德陽(yáng)·期末）設(shè)、是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若為直角三角形，則的面積為（）
A．B．C．或1D．1或
【變式3-3】（2024·高二·湖北·期末）已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)分別為、．若橢圓上有一點(diǎn)P，使，則的面積為（）
A．B．C．D．
【變式3-4】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，若，則的面積為（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)題型4：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題
【典例4-1】（2024·高二·吉林長(zhǎng)春·期末）已知是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（）
A．2B．C．D．
【典例4-2】（2024·高二·江蘇南通·階段練習(xí)）為橢圓：上一點(diǎn)，，則最小值為（）
A．1B．C．D．
【變式4-1】（2024·高二·河北邯鄲·期中）過(guò)橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．
【變式4-2】（2024·高二·上海·期中）已知在中，，，若點(diǎn)為的中點(diǎn).則的最小值為 .
【變式4-3】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）已知點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．
考點(diǎn)題型5：橢圓上兩線(xiàn)段的和差最值問(wèn)題
【典例5-1】（2024·高二·北京·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．
【典例5-2】（2024·高二·山西太原·期中）已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值是 .
【變式5-1】（2024·高二·安徽六安·期中）已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，已知點(diǎn)與點(diǎn)，則的最小值為 .
【變式5-2】（2024·高二·廣東深圳·期末）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是 .
【變式5-3】（2024·高二·遼寧沈陽(yáng)·期末）已知，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，若，則的范圍為．
【變式5-4】（2024·高二·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為C上任意一點(diǎn)，N為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．
考點(diǎn)題型6：離心率的值及取值范圍
【典例6-1】（2024·高二·廣西桂林·期末）已知點(diǎn)是橢圓C：（）的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線(xiàn)l交C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，M，N分別是，的中點(diǎn)，若存在以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【典例6-2】（2024·高二·安徽·期末）關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過(guò)橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)方程為.”設(shè)橢圓：的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過(guò)F且垂直于x軸的直線(xiàn)與C的一個(gè)交點(diǎn)為M，過(guò)M作橢圓的切線(xiàn)，若切線(xiàn)與直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，則C的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式6-1】（2024·江蘇南京·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，直線(xiàn)交于另一點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)．若，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式6-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，若且，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式6-3】（2024·高二·浙江溫州·期中）已知、是橢圓長(zhǎng)軸的兩頂點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，直線(xiàn)與斜率之積，則此橢圓的離心率取值范圍是（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)題型7：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題
【典例7-1】（多選題）（2024·高二·重慶·期中）已知橢圓C：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）
A．橢圓離心率為B．
C．若，則的面積為9D．最小值為
【典例7-2】（多選題）（2024·高二·重慶渝中·期中）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，其中是橢圓的上頂點(diǎn)，為面積是的正三角形，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．的周長(zhǎng)為8
B．橢圓的離心率為
C．的長(zhǎng)為
D．的面積為
【變式7-1】（多選題）（2024·高二·江蘇泰州·期中）設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.則下列說(shuō)法中正確的是（）
A．，B．離心率為
C．的面積為12D．的外接圓面積為
【變式7-2】（多選題）（2024·高二·廣東江門(mén)·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)（非長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（）
A．橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
B．當(dāng)時(shí)，橢圓C的離心率為
C．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為6
D．若橢圓C的離心率為，則的面積的最大值是
【變式7-3】（多選題）（2024·高二·浙江溫州·期中）已知點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)是，則下列說(shuō)法中正確的是（）
A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是9B．橢圓焦距是
C．存在使得D．三角形的面積的最大值是
考點(diǎn)題型8：利用第一定義求解軌跡
【典例8-1】（2024·高二·河南信陽(yáng)·期末）圓與的位置關(guān)系為；與圓，都內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．
【典例8-2】（2024·高二·上?！て谀┮阎獧E圓上有一點(diǎn)，是軸上的定點(diǎn)，若有一點(diǎn)滿(mǎn)足，則的軌跡方程為．
【變式8-1】（2024·高二·浙江寧波·期末）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足直線(xiàn)與的斜率之積為，則點(diǎn)P的軌跡方程．
【變式8-2】（2024·高二·山東青島·期中）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 .
【變式8-3】（2024·高二·安徽·期中）已知定直線(xiàn)，點(diǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的中點(diǎn)的軌跡方程為 .
【變式8-4】（2024·高二·湖北·期中）設(shè)圓：，為圓內(nèi)一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)和半徑相交于，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為 .
【變式8-5】（2024·高二·河北石家莊·期中）平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)Px,y滿(mǎn)足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 .
考點(diǎn)題型9：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系
【典例9-1】（2024·高二·重慶黔江·階段練習(xí)）已知橢圓，直線(xiàn).
(1)求證：對(duì)，直線(xiàn)與橢圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
(2)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求的值.
【典例9-2】（2024·高二·福建莆田·期中）已知直線(xiàn)，橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)討論直線(xiàn)l與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).
【變式9-1】（2024·高二·陜西漢中·期中）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.
【變式9-2】（2024·高二·重慶·期中）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且點(diǎn)在橢圓上．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．
【變式9-3】（2024·高二·甘肅白銀·期末）已知橢圓及直線(xiàn)．
(1)若直線(xiàn)與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為，求直線(xiàn)的方程．
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在軸上
焦點(diǎn)在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
統(tǒng)一方程
參數(shù)方程
第一定義
到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）
范圍
且
且
頂點(diǎn)
、
、
、
、
軸長(zhǎng)
長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)
長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)
對(duì)稱(chēng)性
關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
焦點(diǎn)
、
、
焦距
離心率
準(zhǔn)線(xiàn)方程
點(diǎn)和橢圓
的關(guān)系
切線(xiàn)方程
（為切點(diǎn)）
（為切點(diǎn)）
對(duì)于過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得
切點(diǎn)弦所在的直線(xiàn)方程
焦點(diǎn)三角形面積
①，（為短軸的端點(diǎn)）
②
③
焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是
焦半徑
左焦半徑：
又焦半徑：
上焦半徑：
下焦半徑：
焦半徑最大值，最小值
通徑
過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=（最短的過(guò)焦點(diǎn)的弦）
弦長(zhǎng)公式
設(shè)直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，，
則弦長(zhǎng)
（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）

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