清單14 導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題（清單導(dǎo)圖考點(diǎn) 題型變式）學(xué)案-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)（蘇教版2019）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【清單01】導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題
1、恒成立問(wèn)題
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域?yàn)?，則
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域?yàn)椋瑒t對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對(duì)于任意的，總存在，使得；
（6）對(duì)于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對(duì)于任意的，使得；
（8）若存在，對(duì)于任意的，使得；
（9）對(duì)于任意的，使得；
（10）對(duì)于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
2、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念
所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性．若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往．如下圖所示．

圖1 極值點(diǎn)不偏移圖2 極值點(diǎn)偏移
極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡(jiǎn)稱(chēng)極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡(jiǎn)稱(chēng)極值點(diǎn)右偏．
3、破解雙參數(shù)不等式的方法：
一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿(mǎn)足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；
二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．
4、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍．
求解步驟：
第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出其圖像；
第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù)．
5、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．
（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友
（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題
（6）同構(gòu)變形
考點(diǎn)題型1：構(gòu)造函數(shù)解不等式問(wèn)題
【典例1-1】（2024·高二·山東聊城·期末）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，，則的解集為（）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2024·高二·安徽安慶·期末）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿(mǎn)足，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2024·高二·天津·期末）定義在上的函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2024·高二·江蘇常州·期末）已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域均為，對(duì)任意實(shí)數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，.不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2024·高二·內(nèi)蒙古·期末）已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)題型2：證明不等式
【典例2-1】（2024·高二·山東菏澤·期末）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)，時(shí)，證明：；
(3)證明：.
【典例2-2】（2024·高二·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）已知函數(shù).
(1)若，求在區(qū)間上的極值；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時(shí)，求證：.
【變式2-1】（2024·高二·福建福州·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【變式2-2】（2024·高二·黑龍江·期末）已知，函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：，.
【變式2-3】（2024·高二·河南漯河·期末）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)對(duì)任意的恒成立，求的值；
(3)證明：.
【變式2-4】（2024·高二·吉林長(zhǎng)春·期末）已知函數(shù)，其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)令，證明：當(dāng)時(shí)，.
【變式2-5】（2024·高二·北京豐臺(tái)·期末）已知函數(shù)（）．
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
考點(diǎn)題型3：恒成立問(wèn)題
【典例3-1】（2024·高二·北京海淀·期末）已知函數(shù)，其中.
(1)若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對(duì)于任意，都有，求的值.
【典例3-2】（2024·高二·黑龍江綏化·期末）已知函數(shù)，．
(1)若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
(2)證明：若在上恒成立，則．
【變式3-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求過(guò)點(diǎn)的切線方程；
(2)若有極值且恒成立，求的取值范圍．
【變式3-2】（2024·高二·江蘇南京·期末）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求的取值范圍；
(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)題型4：能成立問(wèn)題
【典例4-1】（2024·高二·四川綿陽(yáng)·期末）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【典例4-2】（2024·高二·四川眉山·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若存在，使，求的取值范圍．
【變式4-1】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期中）已知奇函數(shù)在處取得極大值2．
(1)求的解析式；
(2)若，使得有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【變式4-2】（2024·高二·江蘇南京·期末）設(shè) R，已知函數(shù)，
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性；
(2)設(shè) Z，若有解，求的最小值.
【變式4-3】（2024·高二·黑龍江雙鴨山·期末）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)存在且，使成立，求的取值范圍．
【變式4-4】（2024·高二·天津·期中）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若在單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【變式4-5】（2024·高二·福建泉州·期中）已知函數(shù)（為常數(shù)）
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)題型5：零點(diǎn)問(wèn)題
【典例5-1】（2024·高二·河南洛陽(yáng)·期中）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【典例5-2】（2024·高二·河北邢臺(tái)·期中）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【變式5-1】（2024·高二·湖南·期末）已知函數(shù).
(1)若是的極大值點(diǎn)，求的值；
(2)用表示中的最大值，設(shè)函數(shù)，試討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
注：若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
【變式5-2】（2024·高二·廣東深圳·期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在的切線方程；
(2)設(shè)在區(qū)間上的最大值為，求，并判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【變式5-3】（2024·高二·海南?？凇て谀┮阎瘮?shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的極大值；
(2)若在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)題型6：方程的根問(wèn)題
【典例6-1】（2024·高二·陜西漢中·期末）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)；
(2)若方程有三個(gè)不同的根，求整數(shù)的值.
【典例6-2】（2024·高二·黑龍江·期末）已知函數(shù).
(1)若，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.
【變式6-1】（2024·高二·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù).
(1)求的極值點(diǎn)；
(2)判斷方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.
【變式6-2】（2024·高二·江蘇常州·期末）已知函數(shù)，.
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，判斷關(guān)于的方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并證明.
【變式6-3】（2024·高二·北京房山·期中）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若已知，且的圖象與相切，求的值；
(3)在（2）的條件下，的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．
考點(diǎn)題型7：雙變量問(wèn)題問(wèn)題
【典例7-1】（2024·高二·江蘇鹽城·期末）設(shè)函數(shù),
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求的最小值.
【典例7-2】（2024·高二·陜西西安·期末）已知函數(shù).
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和，求的最大值.
【變式7-1】（2024·高二·山東威?！て谀┰O(shè)函數(shù).
(1)若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時(shí)，記函數(shù)，若，證明：.
【變式7-2】（2024·高二·河北石家莊·期末）設(shè)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)已知為的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【變式7-3】（2024·高二·西藏拉薩·期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；
(2)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：
【變式7-4】（2024·高二·山東煙臺(tái)·期末）已知函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)之和為，零點(diǎn)之和為，求證：.
考點(diǎn)題型8：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
【典例8-1】（2024·高二·山東德州·期中）某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)箱，需另投入成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足萬(wàn)箱時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于萬(wàn)箱時(shí)，，若每箱產(chǎn)品的售價(jià)為200元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品可以全部銷(xiāo)售完.
(1)求銷(xiāo)售利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量（萬(wàn)箱）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬(wàn)箱時(shí)，該廠在生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大？
【典例8-2】（2024·高二·廣東清遠(yuǎn)·期中）已知一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件需另投入萬(wàn)元，若該企業(yè)一年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品千件，并且全部銷(xiāo)售完，每千件的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，且
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)品（千件）的函數(shù)解析式；
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
（注：年利潤(rùn)年銷(xiāo)售收入-年總成本）
【變式8-1】（2024·高二·福建龍巖·期中）二十大報(bào)告中提出：全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，堅(jiān)持農(nóng)業(yè)農(nóng)村優(yōu)先發(fā)展.小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專(zhuān)業(yè)回鄉(xiāng)自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某農(nóng)副產(chǎn)品.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入年固定成本4萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本萬(wàn)元.已知在年產(chǎn)量不足6萬(wàn)件時(shí)，，在年產(chǎn)量不小于6萬(wàn)件時(shí)，.每件產(chǎn)品售價(jià)8元.通過(guò)市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式.（年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-年固定成本-流動(dòng)成本）
(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？
【變式8-2】（2024·高二·北京西城·期末）為冷卻生產(chǎn)出來(lái)的工件，某工廠需要建造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水池，要求該水池的底面是正方形，且水池最大儲(chǔ)水量為．已知水池底面的造價(jià)為，側(cè)面的造價(jià)為．（注：銜接處材料損耗忽略不計(jì)）
(1)把水池的造價(jià)S（單位：元）表示為水池底面邊長(zhǎng)x（單位：m）的函數(shù)；
(2)為使水池的總造價(jià)最低，應(yīng)如何確定水池底面的邊長(zhǎng)？
【變式8-3】（2024·高二·重慶·期末）2023年我國(guó)汽車(chē)出口躍居世界首位.整車(chē)出口491萬(wàn)輛，同比增長(zhǎng).作為中國(guó)外貿(mào)“新三樣”之一，新能源汽車(chē)成為出口增長(zhǎng)新動(dòng)能.已知某款新能源汽車(chē)在勻速行駛狀態(tài)下每千米的耗電量（單位：）與速度（單位：）在的函數(shù)關(guān)系為.假設(shè)電價(jià)是1元.
(1)當(dāng)車(chē)速為多少時(shí)，車(chē)輛每千米的耗電量最低？
(2)已知司機(jī)的工資與開(kāi)車(chē)時(shí)間成正比例關(guān)系，若總費(fèi)用=電費(fèi)+司機(jī)的工資，甲地到乙地的距離為，最經(jīng)濟(jì)的車(chē)速是，則司機(jī)每小時(shí)的工資為多少元？
考點(diǎn)題型9：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
【典例9-1】（2024·高二·天津·期末）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，已知曲線y=fx在處的切線的斜率為3.
(1)求的值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
(3)若對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，有，求證：.
【典例9-2】（2024·高二·江蘇揚(yáng)州·期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，直線（為常數(shù)）與曲線相切，求的值；
(2)若恒成立，求的取值范圍；
(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.
【變式9-1】（2024·高二·遼寧本溪·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.
(1)若，求的取值范圍；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.
【變式9-2】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，.
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值范圍；
(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：.
【變式9-3】（2024·高二·遼寧葫蘆島·期末）已知函數(shù).
(1)若是的極值點(diǎn)，求的值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②證明：.
【變式9-4】（2024·高二·江西上饒·期末）已知函數(shù)．
(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的最大值；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)若在上單調(diào)遞增，存在且，使得，證明：．

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案更多

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案 更多

相關(guān)學(xué)案更多