清單05 圓中的范圍與最值問(wèn)題（清單 導(dǎo)圖 考點(diǎn) 題型 變式 ）學(xué)案-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)（蘇教版2019）

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【清單01】圓中的范圍與最值問(wèn)題
1、涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：
（1）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題．
（2）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題．
（3）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問(wèn)題
2、解決圓中的范圍與最值問(wèn)題常用的策略：
（1）數(shù)形結(jié)合
（2）多與圓心聯(lián)系
（3）參數(shù)方程
（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問(wèn)題
考點(diǎn)題型1：斜率型
【典例1-1】（2024·高三·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 .
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以點(diǎn)在圓上，其中圓心為，半徑為，
又，其中表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
又，所以點(diǎn)在圓外，
由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最值，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，
即，則，解得或，
即的最大值為，最小值為，
所以的最大值為.
故答案為：
【典例1-2】（2024·高二·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【解析】可化為，
表示圓心為，半徑為的圓.
表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率.
設(shè)過(guò)且與圓相切的直線為，即，
所以，化簡(jiǎn)可得，解得或，
由圖可得的最大值為.
故選:A.
【變式1-1】（2024·高二·甘肅酒泉·期中）圓C：，Px0,y0為圓C上任意一點(diǎn)，則的最大值為 ．
【答案】/
【解析】設(shè)，則，
聯(lián)立，消元得，
由，解得，
所以的最大值為.
故答案為：
【變式1-2】（2024·江蘇無(wú)錫·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則范圍是 ．
【答案】
【解析】如圖所示，設(shè)，可得，即，
把看作點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)連線與圓相切時(shí)斜率取得最值，
由，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【變式1-3】（2024·四川成都·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為 ．
【答案】/
【解析】變形為，它是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的上半圓，
如圖，
在上半圓上，表示點(diǎn)與連線的斜率，
由題意得，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)斜率最大，
設(shè)直線與半圓相切時(shí)直線斜率為，直線方程，即，
因此，解得（由圖舍去），
所以的最大值為.
故答案為：
考點(diǎn)題型2：直線型
【典例2-1】（2024·四川·廣安二中高二階段練習(xí)）若滿足關(guān)系式，則的最大值為_(kāi)________；
【答案】4
【解析】設(shè)，由得（*），
所以，解得．
時(shí)，由（*）得，代入得，滿足，
所以的最大值是4．
故答案為：4．
【典例2-2】（2024·高二·陜西·期中）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn).則的最大值是 .
【答案】/
【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑為，
設(shè)，可知直線與圓有公共點(diǎn)，
則，解得，
所以的最大值是為.
故答案為：.
【變式2-1】（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
設(shè)，
則，
故當(dāng)時(shí)，，
故選：C
【變式2-2】（2024·高二·江蘇無(wú)錫·期中）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決．如：若實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為 ，的最大值為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，故，的幾何意義為直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
且直線與有公共點(diǎn)，
其中是圓心為，半徑為的圓，
故，解得，
故的最小值為；
，
可以看作上的點(diǎn)Px,y到直線的距離
與它到點(diǎn)的距離比值的2倍，
圓心到的距離為，
故直線與相交，且圓心在直線上方，
過(guò)點(diǎn)Px,y作⊥直線于點(diǎn)，
則，故，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)Px,y，此點(diǎn)位于第一象限時(shí)，
此時(shí)取得最大值，
故取到最大值，
設(shè)直線為y=kx?1，
聯(lián)立與y=kx?1得
，
由得，
結(jié)合圖形可知，
將代入中得，
解得，
將代入中得，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，
代入中得，
故的最大值為.
故答案為：，
考點(diǎn)題型3：距離型
【典例3-1】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則到直線距離的最小值為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋灾本€的方程為，即，
又圓的圓心為，半徑為，
所以圓心到直線的距離為，
故到直線距離的最小值為.
故答案為：.
【典例3-2】（2024·高二·浙江寧波·期中）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 .
【答案】49
【解析】由，得，
則方程表示以為圓心，以為半徑的圓，
表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離的平方，
設(shè)點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離為，
則，
所以的最大值為49.
故答案為：49.
【變式3-1】（2024·高二·遼寧大連·階段練習(xí)）已知圓上兩點(diǎn)滿足，則的最小值為 ．
【答案】5
【解析】設(shè)弦的中點(diǎn)為，則
因點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2在圓上，則，，
于是
，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓.
設(shè)，
則可將其理解為點(diǎn)Ax1,y1到直線的距離的5倍，
設(shè)，
可將其理解為點(diǎn)Bx2,y2到直線的距離的5倍,
故要求的最小值，可先求的最小值.
如圖，，且的距離為4，過(guò)點(diǎn)作，交小圓于點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)作小圓的切線，交大圓于點(diǎn),分別交直線于點(diǎn)，
在小圓上任取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作小圓的切線交大圓于點(diǎn)，
分別過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)
過(guò)點(diǎn)作的平行線與過(guò)點(diǎn)與垂直的直線交于點(diǎn).
則,易得, ，
下面說(shuō)明圖中的即的最小值，最小值為，
此時(shí)的最小值為5，即的最小值為5.
理由：因，而,
故，即為的最小值.
故答案為：5.
【變式3-2】（2024·高二·安徽蕪湖·期中）若直線始終平分圓，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】，
故圓心，
由題意得在上，代入得，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：
【變式3-3】（2024·高二·山西·期末）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】設(shè)圓的圓心為，則，即圓的圓心的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
其中點(diǎn)到直線的距離，
則圓心到直線的距離的最大值為.
故選：D
【變式3-4】（2024·高二·北京海淀·期末）已知直線恒過(guò)定點(diǎn)A，直線恒過(guò)定點(diǎn)B，且直線與交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值為（ ）
A．4B．C．3D．2
【答案】A
【解析】設(shè)
由直線，可得
由直線，可得，
因?yàn)橹本€與直線滿足，
所以，
所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，所以點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值等于點(diǎn)P到圓心的距離與半徑之和即點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)距離與半徑之和，
由，，得AB中點(diǎn)為1,0，半徑為1，
所以點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值為，
故選：A
【變式3-5】（2024·高二·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知，且，則的最大值為（ ）
A．9B．12C．36D．48
【答案】C
【解析】設(shè)Ax1,y1與Bx2,y2為圓上一點(diǎn)，
則，得，，
即為等腰直角三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，
則，得，
即點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，
故，
因?yàn)辄c(diǎn)到定點(diǎn)D1,0的距離的最大值為，
因此的最大值為36.
故選：C
考點(diǎn)題型4：周長(zhǎng)面積型
【典例4-1】（2024·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校考期中）若圓C的方程為，則圓C的最小周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)閳AC的方程為，
所以圓C的半徑為，
所以圓C的最小周長(zhǎng)為.
故選：D.
【典例4-2】（2024·高二·貴州六盤(pán)水·期末）已知線段的長(zhǎng)度為4，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)的距離的倍，則面積的最大值為（ ）
A．B．8C．D．
【答案】A
【解析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)Mx,y，且，
由，得，
化簡(jiǎn)得的軌跡方程為圓，半徑，
如下圖，有．
故選：A
【變式4-1】（2024·高二·湖北黃岡·期中）已知，，直線：與直線：相交于點(diǎn)，則的面積最大值為（ ）
A．10B．14C．18D．20
【答案】B
【解析】
直線的方程可整理為，令，解得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，
直線的方程可整理為，令，解得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)?，所以?br>所以點(diǎn)為以為直徑的圓上的點(diǎn)，
，中點(diǎn)為，
則點(diǎn)的軌跡方程為，
，
所以當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的面積最大，
，直線的方程，即，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，圓心直線的距離為，半徑為，
則，
所以的面積最大值為.
故選：B.
【變式4-2】（2024·高二·河南·階段練習(xí)）已知直線與圓相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由圓心為，半徑為，則圓心到直線距離，
所以，
要使面積最大，只需圓上一動(dòng)點(diǎn)P到直線距離最遠(yuǎn)，為，
所以面積的最大值是.
故選：A
【變式4-3】（2024·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）已知圓，點(diǎn)P是圓上的一點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意知四邊形的面積，
所以當(dāng)取得最小值時(shí)，四邊形的面積取得最小值.
又，所以.
故選:B.
考點(diǎn)題型5：長(zhǎng)度型
【典例5-1】（2024·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學(xué)?？计谥校┮阎本€恒過(guò)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)?，即?br>令，得，
故直線恒過(guò)定點(diǎn)，
由圓可知圓心，半徑為5，
又因?yàn)?，故點(diǎn)在圓內(nèi)，
當(dāng)時(shí)，取得最小，
因?yàn)?br>所以.
故答案為：.
【典例5-2】（2024·四川成都·高二成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)P是圓 上一點(diǎn)，點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值為（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【解析】圓 ，即，
則圓心，半徑，由點(diǎn)，
則，
即點(diǎn)在圓外，則.
故選：C.
【變式5-1】（2024·高二·湖北武漢·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，， 為平面上一動(dòng)點(diǎn)且滿足， 當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)Mx,y，則，
整理可得：，
點(diǎn)軌跡是以C0,1為圓心，半徑的圓，
，
當(dāng)時(shí)，，
.
故選：B.
【變式5-2】（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，則的最小值為 .
【答案】15/
【解析】易知為圓上一點(diǎn)Ax1,y1與直線上一點(diǎn)Bx2,y2的距離的平方，
易知圓心C?2,0，半徑，點(diǎn)C到直線的距離，
則，所以.
故答案為：
考點(diǎn)題型6：坐標(biāo)型
【典例6-1】（2024·四川省德陽(yáng)中學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試）已知直線和圓，點(diǎn)在直線上，若直線與圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值是（ ）
A．B．1C．3D．4
【答案】D
【解析】由圓，可得，
所以圓心，半徑，
設(shè)，由題意知圓心到直線的距離，
即，解得，
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為4.
故選：D．
【典例6-2】（2024·山西·長(zhǎng)治市上黨區(qū)第一中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知圓C：和兩點(diǎn)，，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則m的最大值為（ ）
A．12B．11C．10D．9
【答案】B
【解析】，記中點(diǎn)為，則，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，
又P在圓C上，所以兩圓有交點(diǎn)，則，而，
得．
故選：B
【變式6-1】（2024·吉林·東北師大附中高二階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【解析】以MP為一邊作正方形MPSQ.
若對(duì)角線PQ與圓有交點(diǎn),則滿足條件的N存在,此時(shí)正方形的中心在圓上或內(nèi),即MH≤1,所以，所以,所以，則其最大值為2.
故選：C
考點(diǎn)題型7：阿氏圓距離最值型
【典例7-1】（2024·高二·廣東惠州·期中）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)，若且，則點(diǎn)的軌跡是圓. 后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡(jiǎn)稱“阿氏圓”）.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，交點(diǎn)為.
當(dāng)時(shí)，由，斜率為，
由，斜率為，，
綜上，.
又，
直線恒過(guò)，
，
直線恒過(guò)，
若為的交點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，
所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，
則圓心為的中點(diǎn)，圓的半徑為，
故的軌跡方程為，
即，則有.
又，易知O，Q在該圓內(nèi)，
又由題意可知圓上一點(diǎn)滿足，取，
則，滿足.
下面證明任意一點(diǎn)都滿足，即，
，
又，
∴.
所以，
又，
所以，
如圖，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且位于之間時(shí)，等號(hào)成立
即最小值為.
故選：A.
【典例7-2】（2024·高二·四川成都·期中）已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直線過(guò)定點(diǎn)，
直線過(guò)定點(diǎn)，
且直線與直線垂直，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，
故圓心是，半徑為則點(diǎn)的方程是
令，因?yàn)椋?br>所以，
則
所以，可得點(diǎn)
則.
【變式7-1】（2024·高二·山東棗莊·期中）已知點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【解析】設(shè)，，則，
所以
，
所以，，
過(guò)點(diǎn)作⊥，交圓于點(diǎn)，
故的最小值為，
所以的最小值為.
故選：C
【變式7-2】（2024·高二·河南南陽(yáng)·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，不妨取Px0,y0，使得，
則，
整理得，
此方程與相同，
所以有，解得，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，取等號(hào).
因?yàn)?，所以在圓內(nèi)；
，所以在圓外；
所以線段與圓必有交點(diǎn)（記為），
當(dāng)重合時(shí)，，為其最小值，
故選：C.
【變式7-3】（2024·高二·江西·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，
由，得，所以，
故當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在之間時(shí)，取得最小值，
此時(shí)線段的方程為，由并結(jié)合，
解得故此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：C.
考點(diǎn)題型8：角度型
【典例8-1】（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知直線：與圓：，過(guò)直線上的任意一點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為A，，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑為1，
則圓心到直線的距離為，可知直線與圓相離，
因?yàn)?，且?br>當(dāng)OP最小時(shí)，則最大，可得最大，即最大，
又因?yàn)镺P的最小值即為圓心到直線的距離為，
此時(shí)，所以取得最大值．
故選：C．
【典例8-2】（2024·高三·遼寧·階段練習(xí)）已知直線與圓，過(guò)直線上的任意一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】由題意可知，當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離最小時(shí)，最大.
圓心原點(diǎn)到直線的距離為.所以點(diǎn)到圓心的距離最小值為.
所以，的最大值為.
故選：D
【變式8-1】（2024·高二·江西九江·期末）已知點(diǎn)在直線上，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，
圓心到直線的距離為，即l與圓相離，
由于，故，
故當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最大，則也取最大值，
此時(shí)，，
故選：C.
【變式8-2】（2024·高二·廣西·階段練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)是銳角的一邊上的兩點(diǎn)，試著在邊上找一點(diǎn)，使得最大”.如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過(guò)兩點(diǎn)且和射線相切的圓的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取得最大值時(shí)，該圓的方程是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由題意可知，點(diǎn)為過(guò)兩點(diǎn)且和軸相切的圓的切點(diǎn)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，
所以線段的垂直平分線方程為，
所以以為弦的圓的圓心在直線上，
故設(shè)該圓圓心為，又因?yàn)樵搱A與軸相切，所以圓的半徑，
又，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，是鈍角，故舍去.
所以此時(shí)圓的方程為.
故選：C
【變式8-3】（2024·高二·廣西南寧·期末）已知圓：，直線：，直線與圓交于、，則的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】直線：變形為，
令和，解得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)部，當(dāng)垂直于時(shí)，最短， 此時(shí)所以,
由于，故時(shí) ，此時(shí)最大，且最大值為
故選：B