清單02 直線的交點、距離公式與對稱、最值問題（清單導(dǎo)圖考點題型變式）學(xué)案-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點（蘇教版2019）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【清單01】直線的交點
求兩直線與的交點坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可．若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐標(biāo)．
【清單02】兩點間的距離公式
兩點，間的距離公式為．
【清單03】點到直線的距離公式
點到直線的距離為．
【清單04】兩平行線間的距離
直線與直線的距離為．
【清單05】點關(guān)于點對稱
點關(guān)于點對稱的本質(zhì)是中點坐標(biāo)公式：設(shè)點關(guān)于點的對稱點為，則根據(jù)中點坐標(biāo)公式，有
可得對稱點的坐標(biāo)為
【清單06】點關(guān)于直線對稱
點關(guān)于直線對稱的點為，連接，交于點，則垂直平分，所以，且為中點，又因為在直線上，故可得，解出即可．
【清單07】直線關(guān)于點對稱
法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程；
法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．
【清單08】直線關(guān)于直線對稱
求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線
第一步：聯(lián)立算出交點
第二步：在上任找一點（非交點），利用點關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點
第三步：利用兩點式寫出方程
【清單09】常見的一些特殊的對稱
點關(guān)于軸的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為．
點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．
點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．
點關(guān)于點的對稱點為．
點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．
考點題型1：兩直線的交點問題
【典例1-1】若直線：與直線相交，且交點在第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（23-24高二上·四川涼山·期末）經(jīng)過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線方程為（）
A．B．
C．D．
【變式1-1】（23-24高二上·湖南·期末）若三條不同的直線，，不能圍成一個三角形，則a的取值集合為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（23-24高二上·重慶長壽·期末）直線與直線的交點坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（23-24高二上·海南海口·期末）過兩直線與的交點，并且與第一條直線垂直的直線方程是（）
A．B．C．D．
考點題型2：兩點的距離
【典例2-1】（23-24高三下·浙江麗水·開學(xué)考試）設(shè)點A,B在曲線上．若的中點坐標(biāo)為，則（）
A．6B．C．D．
【典例2-2】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三個頂點為，D為中點，則的長為（）
A．3B．5C．9D．25
【變式2-1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知點與點之間的距離為5，則實數(shù)a的值為．
【變式2-2】（23-24高二上·廣西南寧·期末）已知函數(shù)且過定點，直線過定點，則
【變式2-3】（23-24高二上·四川宜賓·期末）過定點的直線與過定點的直線交于，則
考點題型3：點到直線的距離
【典例3-1】（23-24高二上·河南南陽·期末）點為兩條直線和的交點，則點到直線：的距離最大為（）
A．B．C．D．5
【典例3-2】（23-24高二上·廣西北海·期末）已知點到直線的距離相等，則（）
A．－1或0B．C．－1D．2
【變式3-1】（23-24高二上·新疆·期末）點到直線的距離為（）
A．B．2C．D．1
【變式3-2】（23-24高二上·四川綿陽·期末）已知，兩點到直線：的距離相等，則（）
A．B．6C．或4D．4或6
【變式3-3】（23-24高二上·浙江紹興·期末）原點到直線的距離的最大值為（）
A．B．C．D．
考點題型4：兩平行直線的距離
【典例4-1】（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）兩平行直線和之間的距離為（）
A．B．2C．D．3
【典例4-2】（23-24高二上·湖北孝感·期末）兩條平行直線與間的距離為（）
A．B．1C．D．
【變式4-1】（23-24高二上·福建三明·期末）兩條平行線，間的距離等于（）
A．B．C．D．
【變式4-2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直線與直線間的距離為2，則（）
A．或4B．4C．或6D．或16
【變式4-3】（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線與直線間的距離為，則（）
A．17B．C．14D．7
考點題型5：點線對稱
【典例5-1】（23-24高二上·山東泰安·期末）點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【典例5-2】（23-24高二上·湖北荊門·期末）一條光線從射出與x軸相交于點，經(jīng)x軸反射，交y軸于R，則光線從P到R所走的路程為．
【變式5-1】（23-24高二上·上?！て谀┮阎c與點關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為．
【變式5-2】（21-22高二上·湖北隨州·期中）光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在直線的方程為．
【變式5-3】（22-23高二上·江蘇鹽城·期末）已知的一條內(nèi)角平分線CD的方程為，兩個頂點為，，則頂點C的坐標(biāo) ．
考點題型6：線點對稱
【典例6-1】（23-24高二上·全國·期末）點在直線上，直線與關(guān)于點0,1對稱，則一定在直線上的點為（）
A．B．C．D．（1，0）
【典例6-2】（21-22高二上·湖北孝感·期末）設(shè)直線和直線的交點為.
(1)若直線經(jīng)過點，且與直線垂直，求直線的方程；
(2)若直線與直線關(guān)于點對稱，求直線的方程.
【變式6-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線與直線關(guān)于點對稱，則實數(shù)的值為（）
A．2B．6C．D．
【變式6-2】（多選題）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直線，則下列說法正確的是（）
A．直線與相交于點
B．直線和軸圍成的三角形的面積為
C．直線關(guān)于原點O對稱的直線方程為
D．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為
【變式6-3】（多選題）（23-24高二上·福建廈門·期中）已知直線，則（）
A．直線l始終過第二象限
B．時，直線l的傾斜角為
C．時，直線l關(guān)于原點對稱的直線方程為
D．點到直線l的最大距離為
考點題型7：線線對稱
【典例7-1】（23-24高二上·山東青島·期中）直線關(guān)于x軸對稱的直線方程為（）
A．B．
C．D．
【典例7-2】（2023·上海靜安·二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（）
A．B．
C．D．
【變式7-1】（2023高三·全國·專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程為
【變式7-2】（22-23高二上·北京大興·期末）直線關(guān)于y軸對稱的直線的方程為．
【變式7-3】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知點，直線，直線.
(1)求點A關(guān)于直線的對稱點B的坐標(biāo)；
(2)求直線關(guān)于直線的對稱直線方程.
考點題型8：兩線段和與差的最值問題
【典例8-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知點，，H是直線：上的動點，則的最小值為（）
A．6B．C．D．
【典例8-2】（23-24高二上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）設(shè)直線l：，點，，P為l上任意一點，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式8-1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知點Mx1,y1在直線，點Nx2,y2在直線上，且，的最小值為（）
A．B．C．D．5
【變式8-2】（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點，當(dāng)取得最小值時，實數(shù)的值為（）
A．B．3C．D．4
【變式8-3】（23-24高二上·湖南·期中）17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關(guān)于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小.現(xiàn)已證明：在中，若三個內(nèi)角均小于，則當(dāng)點滿足時，點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點.根據(jù)以上知識，已知，，，P為內(nèi)一點，記，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式8-4】（23-24高二上·重慶·期末）的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式8-5】（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知點在直線上，點，則當(dāng) 的周長取得最小值時，點的坐標(biāo)為 .
【變式8-6】（23-24高二上·上海松江·期末）已知分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為

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