專題05 函數(shù)的概念、性質(zhì)與應用（考點清單知識導圖 17個考點清單題型解讀）-2024-2025學年高一數(shù)學上學期期末考點（滬教版2020必修第一冊）-學案下載-教習網(wǎng)

【清單01】函數(shù)的近代定義
一般地，設，是非空的實數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)(functin)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．
【清單02】函數(shù)的單調(diào)性
（1）增函數(shù)與減函數(shù)
①增函數(shù)
一般地，設函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，
那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）
特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是增函數(shù)(increasing functin).
②減函數(shù)
一般地，設函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，
那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）
特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是減函數(shù)(decreasing functin).
（2）函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間．
【清單03】函數(shù)的最大（小）值
（1）最大值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：
①，都有
②，使得
那么稱是函數(shù)的最大值；
（2）最小值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：
①，都有
②，使得
那么稱是函數(shù)的最小值；
【清單04】函數(shù)的奇偶性
（1）偶函數(shù)：一般地，設函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù).
（2）奇函數(shù)：一般地，設函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).
【清單05】函數(shù)零點的概念
對于一般函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.
幾何定義:函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)解,也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點的橫坐標.
這樣：方程有實數(shù)解函數(shù)有零點函數(shù)的圖象與軸有公共點
【清單06】函數(shù)零點存在定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.
【考點題型一】求函數(shù)（含抽象函數(shù)）的定義域
【例1】（23-24高一上·山東濰坊·期中）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為 .
【變式1-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．
【變式1-2】.（24-25高一上·黑龍江哈爾濱）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為 .
【考點題型二】已知函數(shù)的定義域求參數(shù)
【例2】（24-25高一上·上海浦東新）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)m的范圍為 .
【變式2-1】（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的定義域，則實數(shù)的值為
【變式2-2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的值為，實數(shù)的值為 .
【考點題型三】求函數(shù)的值域
【例3】（24-25高一上·上海浦東新·階段練習）函數(shù)的值域是 .
【變式3-1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）函數(shù)的值域為 .
【變式3-2】（24-25高一上·上海徐匯）函數(shù)的值域為．
【變式3-3】（2024高一·上?！ｎ}練習）求函數(shù)的值域．
【考點題型四】根據(jù)值域求參數(shù)
【例4】（24-25高三上·福建·階段練習）函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是．
【變式4-1】（24-25高一上·上海奉賢·階段練習）若函數(shù)的定義域為，值域為，且為自然數(shù)，則
【變式4-2】（24-25高一上·江西·階段練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)取值范圍是 .
【變式4-3】（24-25高三上·河北衡水·階段練習）已知函數(shù)的值域為，則與的和為．
【考點題型五】根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式
【例5】（24-25高一上·上海普陀·階段練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時， .
【變式5-1】（24-25高二下·上海浦東新·階段練習）已知為奇函數(shù)，當時，；則當，的解析式為 .
【變式5-2】（23-24高一上·山東濰坊·期中）已知，是分別定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則 .
【考點題型六】根據(jù)奇偶性求參數(shù)
【例6】（23-24高二下·上海金山·期末）若為常數(shù)，且函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為．
【變式6-1】（24-25高三上·上海黃浦·期中）已知，若定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)的值為 .
【變式6-2】（24-25高三下·廣東深圳·階段練習）若函數(shù)是偶函數(shù)，則 .
【考點題型七】求函數(shù)（復合函數(shù)）的單調(diào)區(qū)間
【例7】（24-25高一上·上海楊浦·期末）已知函數(shù)，則f(x)的遞減區(qū)間是 .
【變式7-1】（24-25高一上·上海浦東新·階段練習）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是．
【變式7-2】（2024·上海徐匯）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
【考點題型八】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【例8】（24-25高三上·上?！ら_學考試）已知在R上為嚴格增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是
【變式8-1】（23-24高一上·上?！て谀┮阎谏鲜顷P于的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 .
【變式8-2】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函數(shù)在區(qū)間2,+∞上是嚴格增函數(shù)，則的取值范圍是 .
【考點題型九】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【例9】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)定義在上，且對任意的，，，都有，，則不等式的解集為．
【變式9-1】（24-25高三上·江蘇·開學考試）設函數(shù)，則使得成立的的解集是．
【變式9-2】（23-24高一上·上海·期末）已知是定義域為上的偶函數(shù)，且在上嚴格減函數(shù)，若成立，則實數(shù)a的范圍是
【變式9-3】.（23-24高一上·江蘇常州·期中）若函數(shù)滿足，，且，，，若，則的取值范圍是 .
【考點題型十】利用函數(shù)單調(diào)性求最值
【例10】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)在上的最大值為．
【變式10-1】（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的值域是．
【變式10-2】（2024高三·全國·專題練習）已知，，若對任意，存在，使，則實數(shù)的取值范圍是．
【考點題型十一】根據(jù)最值求參數(shù)
【例11】（24-25高一下·福建福州）若函數(shù)y=fx的表達式為，且存在最小值，則a的取值范圍為．
【變式11-1】（2024·四川遂寧·模擬預測）函數(shù)在上的最小值為，最大值為1，則的最大值為 .
【變式11-2】（23-24高一上·上海浦東新·階段練習）函數(shù)在上的最大值和最小值之和為，其中且，則實數(shù) .
【考點題型十二】函數(shù)不等式恒成立問題
【例12】（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知奇函數(shù)的定義域為，當時，，若對，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．
【變式12-1】（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)，其中是常數(shù)，若在有意義，則的取值范圍是 .
【變式12-2】（2024高一·全國·專題練習）設函數(shù)，其中.若對任意，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是 .
【考點題型十三】函數(shù)不等式能成立問題
【例13】（23-24高一上·廣東·階段練習）已知函數(shù)與，若對任意的，都存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是 .
【變式13-1】（23-24高三上·上海閔行·期中）已知函數(shù)，，若對任意的，總存在使得成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【變式13-2】（23-24高一下·上海嘉定·階段練習）設，，若存在唯一的，使得關于的不等式組有解，則實數(shù)的取值范圍是 .
【考點題型十四】根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)
【例14】（24-25高一上·上海浦東新·階段練習）設常數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)在時有零點，則實數(shù)的取值范圍是 .
【變式14-1】（24-25高一上·上海浦東新·期末）已知函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，常數(shù)的取值范圍為 .
【變式14-2】（23-24高一上·江蘇無錫·期末）函數(shù)的零點在區(qū)間，則 .
【變式14-3】（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則實數(shù)k的取值范圍是 .
【考點題型十五】求函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)
【例15】（23-24高一上·安徽·期末）已函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為 .
【變式15-1】（23-24高一上·貴州六盤水·期末）已知函數(shù)，關于的方程的實數(shù)根的個數(shù)為，則的所有可能取值組成的集合為．
【變式15-2】（23-24高三上·天津南開·期末）已知函數(shù)若方程有三個不等的實根，則實數(shù)的取值范圍是；函數(shù)的零點個數(shù)是 .
【考點題型十六】根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)
【例16-1】（2024高三·全國·專題練習）已知，若關于的方程有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 .
【例16-2】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù).
(1)求；
(2)若方程恰有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.
【變式16-1】.（24-25高三上·甘肅酒泉·階段練習）已知函數(shù)，若關于的方程有4個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍 .
【變式16-2】（23-24高三上·重慶南岸·階段練習）已知函數(shù)，若方程有6個相異的實數(shù)根，則實數(shù)b的取值范圍是 .
【變式16-3】（2024高三·全國·專題練習）已知.
(1)作出函數(shù)的圖象；
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若函數(shù)y=fx的圖象與直線有兩個不同的公共點，求實數(shù)的取值范圍.
【考點題型十七】求零點代數(shù)和
【例17-1】（2024·河北·模擬預測）已知定義域為的函數(shù)，且滿足，函數(shù)，若函數(shù)有7個零點，則k的取值范圍為；若方程（）的解為、、、，則的取值范圍為
【例17-2】（23-24高一上·北京西城·期中）函數(shù)，其中.
(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
(2)若函數(shù)有兩個正數(shù)零點，，
（i）求的取值范圍；
（ii）求的最小值以及取到最小值時的值.
【變式17-1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則．若滿足，滿足，則 .
【變式17-2】（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數(shù)，若有四個不同的解且，則的取值范圍是．
【變式17-3】（2024高一上·江蘇·專題練習）已知函數(shù)，
(1)求函數(shù)的零點；
(2) 若函數(shù)有四個零點，求的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，記得四個零點從左到右分別為，，，，求值．
提升訓練
一、填空題
1．（24-25高三上·上海·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為 .
2．（24-25高三上·上?！て谥校┰O是定義在上的偶函數(shù)，且對任意整數(shù)、，都有，其中表示實數(shù)、中的較大者.若，，則的所有可能取值組成的集合為 .
3．（24-25高三上·上?！て谥校┰O，令，若存在實數(shù)，則的取值范圍是 .
4．（24-25高一上·上?！て谥校┤艉瘮?shù) 在[1，+∞）上是嚴格減函數(shù)，且在[1，+∞）上函數(shù)值不恒為負，則實數(shù)的取值范圍是
5．（24-25高二上·上?！て谥校┰O，對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
6．（24-25高三上·上海·期中）設函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，若，，則實數(shù)m的取值范圍是 .
7．（24-25高一上·上海長寧·開學考試）若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值集合為 .
8．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，若的恰好有2個零點，則實數(shù)的取值范圍 .
9．（24-25高三上·上海·階段練習）設，，其中表示中的較小值.若函數(shù)至少有3個零點，則的取值范圍是 .
10．（2025·廣東深圳·一模）已知，則的解集為．
二、單選題
11．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎舨坏仁降慕饧癁?，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
12．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎嵌x在上的偶函數(shù)，若對于任意的、且時，恒成立，且，則滿足的實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
13．（24-25高三上·上海·期中）已知是定義域為R的函數(shù)，，若對任意的，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
14．（24-25高三上·上海黃浦·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，值域為，函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）若，則；（2）若，則.下列結論正確的是（）
①存在，使得；
②對任意，都有.
A．①②都正確B．①正確、②不正確C．②正確、①不正確D．①②都不正確
三、解答題
15．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)是定義域為R的偶函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值；
(2)已知關于x的方程在上有解，求實數(shù)k的取值范圍.
16．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎瘮?shù).
(1)若不等式的解集為，求的值；
(2)當時，若存在，使得，求的取值范圍；
(3)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
17．（24-25高三上·上海閔行·期中）已知函數(shù)，.
(1)①判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；
②判斷函數(shù)的單調(diào)性，無需說明理由；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
18．（24-25高三上·上?！るA段練習）已知函數(shù)，，
(1)求的單調(diào)區(qū)間和值域；
(2)若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍．
19．（24-25高三上·上海楊浦·開學考試）已知函數(shù)，其中為實常數(shù).
(1)若，解關于的方程；
(2)討論函數(shù)的奇偶性；
(3)當時，用定義證明函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，并解不等式.
20．（24-25高三上·上?！るA段練習）已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)判斷并證明的單調(diào)性；
(3)若存在實數(shù)，使得成立，求的取值范圍．

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