專題01 集合與邏輯（考點清單 知識導(dǎo)圖 12個考點清單 題型解讀）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點（滬教版2020必修第一冊）

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【清單01】集合
1、元素與集合的關(guān)系
(1)屬于(belng t)：如果是集合的元素，就說屬于，記作 .
(2)不屬于(nt belng t)：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.
特別說明：表示一個元素，表示一個集合.它們間的關(guān)系為：.
2、集合元素的三大特性
（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的確定性.
（2）互異性（考試?？继攸c，注意檢驗集合的互異性）：一個給定集合中元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的互異性.
（3）無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的無序性.
【清單02】集合的表示方法
1、自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z言法
2、列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
注用列舉法表示集合時注意：
①元素與元素之間必須用“，”隔開．
②集合中的元素必須是明確的．
③集合中的元素不能重復(fù)．
④集合中的元素可以是任何事物．
3描述法定義：一般地，設(shè)表示一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．
具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
4、 （韋恩圖法）：
在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。
5、區(qū)間：
數(shù)學(xué)中常常需要表示滿足一些不等式的全部實數(shù)所組成的集合．為了方便起見，我們引進區(qū)間的概念．
設(shè)且．
稱為開區(qū)間，記為；
稱為閉區(qū)間，記為；
稱為左閉右開區(qū)間，記為；
，稱為左開右閉區(qū)間，記為．
以上都是有限區(qū)間，以下是無限區(qū)間：
，，，，
實數(shù)集，“”讀作“負無窮大”，“”讀作“正無窮大”．
這里的實數(shù)統(tǒng)稱為這些區(qū)間的端點．
【清單03】集合之間的關(guān)系
1、子集
一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集
（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)
（2）性質(zhì)：
①任何一個集合是它本身的子集，即.
②對于集合，，，若，且，則
（3）圖表示：
2、真子集的含義
如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;
（1）記法與讀法：記作AB，讀作“真包含于”(或“真包含”)
（在有些資料中，集合A是B的真子集也被記作）
（2）性質(zhì)：
①；
②傳遞性：且，則；
③若，則或；
④總規(guī)定：
【清單04】集合的運算
1、并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合稱為集合與集合的并集，記作 （讀作：并）.記作：.
并集的性質(zhì)：,,,,.
高頻性質(zhì)：若.
圖形語言
2、交集：一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：交）.記作：.
交集的性質(zhì)：,,,,.
高頻性質(zhì)：若.
圖形語言
3、全集與補集
（1）全集：在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的這些集合.
（2）補集：設(shè)U為全集，A是U的子集，由U中所有不屬于A的元素組成的集合稱為集合A在全集U中的補集，記作:. 讀作:補. 即.
（3）補集的性質(zhì)：
①； ②； ③； ④； ⑤；
⑥若，則；若，則；
【清單05】充分條件和必要條件
1、充分條件：對于兩個陳述句與，如果，就稱是的充分條件，亦稱是的必要條件.
2、充分必要條件：對于兩個陳述句與，如果，又有，就稱是的充分必要條件，簡稱充要條件，記作，讀作“與等價”或“成立當(dāng)且僅當(dāng)成立”.
3、從集合角度解釋：若對于集合和，
若，則是的充分條件；
若，則是的必要條件；
若，則是的充要條件.
【考點題型一】辨別元素與集合，集合與集合的關(guān)系
【例1】（24-25高一上·上海普陀·期中）下列各式中，正確的個數(shù)是（ ）．
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】判斷兩個集合是否相等、判斷兩個集合的包含關(guān)系、判斷元素與集合的關(guān)系
【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】①，集合與集合的關(guān)系不能用“”，所以①錯誤.
②，的元素完全相同，所以，所以②正確.
③，空集是任何集合的子集，所以正確.
④，空集是沒有元素，有一個元素，所以④錯誤.
⑤，中有個元素，有一個元素，所以⑤錯誤.
⑥，元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，所以⑥錯誤.
所以正確的有個.
故選：B
【變式1-1】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎獮榉橇銓崝?shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系
【分析】討論的正負數(shù)分布情況判斷對應(yīng)代數(shù)式的值，即可確定集合M，進而確定正確的選項.
【詳解】當(dāng)均為負數(shù)時，代數(shù)式的值為；
當(dāng)兩負一正時，代數(shù)式的值為；
當(dāng)均為正數(shù)時，代數(shù)式的值為；
∴，故只有B正確.
故選：B.
【變式1-2】（24-25高一上·上海浦東新·期中）下列各式中，正確的個數(shù)是（ ）
①，②，③，④，⑤，⑥
A．1B．3C．4D．6
【答案】B
【知識點】判斷兩個集合是否相等、判斷兩個集合的包含關(guān)系、判斷元素與集合的關(guān)系
【分析】由元素與集合，集合與集合的關(guān)系的定義判斷其關(guān)系即可.
【詳解】對于①，點集和數(shù)集不相等，結(jié)論錯誤；
對于②，不是中的元素，結(jié)論錯誤；
對于③，由集合中元素的無序性，兩個集合中元素完全相同，這兩個集合相等，結(jié)論正確；
對于④，是任何集合的子集，結(jié)論正確；
對于⑤，任何一個集合都是它本身的子集，結(jié)論正確；
對于⑥，元素與集合不相等，結(jié)論錯誤.
則有③④⑤正確.
故選：B
【考點題型二】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)
【例2】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)
【分析】根據(jù)題意可知當(dāng)時滿足，當(dāng)時，兩方程聯(lián)立可求解.
【詳解】根據(jù)題意可知集合，且，
所以當(dāng)時滿足，且當(dāng)時滿足，
聯(lián)立，解之可得或.
實數(shù)的取值范圍是或.
故答案為：
【變式2-1】（24-25高一上·河南商丘·階段練習(xí)）已知集合，若，且，則實數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】
【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、判斷元素與集合的關(guān)系
【分析】由，列不等式組即可求解.
【詳解】因為，，
則有，解得，
故答案為：
【變式2-2】（24-25高一上·上海閔行）已知集合，如果且，那么
【答案】或1或
【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、判斷元素與集合的關(guān)系
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系,可得關(guān)于的方程,解方程且滿足且,即可求得的值．
【詳解】集合,且
所以若,解得
若,解得
所以的值為或1或
故答案為: 或1或
【點睛】本題考查了元素與集合的關(guān)系,根據(jù)元素屬于集合求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.
【考點題型三】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)
【例3】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知集合至多有一個元素，則的取值范圍是 .
【答案】或
【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)
【分析】考慮和的情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出答案.
【詳解】當(dāng)時，，解得，此時有一個元素，滿足要求，
當(dāng)時，需要，解得，
綜上，或.
故答案為：或
【變式3-1】（24-25高一上·上海虹口·階段練習(xí)）若集合的子集只有兩個，則實數(shù) ．
【答案】0或
【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)
【分析】根據(jù)題意知道A有一個元素，然后討論a是否為0，然后得出a的值即可．
【詳解】的子集只有兩個，有一個元素，
①時，，滿足題意；
②時，，解得，
或．
故答案為：0或．
【變式3-2】（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是單元素集，則其中所有元素之和 .
【答案】2
【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)
【分析】由題意可知：集合有兩個元素，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，利用韋達定理運算求解.
【詳解】由題意可知：集合有兩個元素，設(shè)為，即，
則方程有兩個不相等的實數(shù)根，則，
所以.
故答案為：2.
【考點題型四】列舉法和描述法
【例4】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列舉法表示 ．
【答案】
【知識點】列舉法表示集合
【分析】利用列舉法來求得正確答案.
【詳解】依題意，，所以和都是自然數(shù)，
所以.
故答案為：
【變式4-1】（24-25高一上·上海·階段練習(xí)）用列舉法表示集合 .
【答案】
【知識點】描述法表示集合、列舉法表示集合
【分析】根據(jù)，對列舉求解即可.
【詳解】，
，
，
故答案為：.
【變式4-2】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）用列舉法表示集合為 ．
【答案】
【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、列舉法表示集合
【分析】根據(jù)集合描述列舉出集合元素，即可得答案.
【詳解】由且，則,或，
解得的值為，所以.
故答案為：
【考點題型五】子集（真子集）問題
【例5】（24-25高一上·重慶·期中）定義集合運算:且．若集合，則集合的子集個數(shù)為 ．
【答案】
【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、集合新定義
【分析】根據(jù)新集合定義結(jié)合子集個數(shù)公式可求出相應(yīng)個數(shù).
【詳解】由題設(shè)中新集合的定義可得：
，，故，
故其子集個數(shù)為，
故答案為：.
【變式5-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，且滿足：“若則”，則滿足條件的集合的個數(shù)為 ．
【答案】5
【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)
【分析】先根據(jù)，確定集合的個數(shù)，再排除不滿足條件的集合即可.
【詳解】首先：因為，所以集合的個數(shù)為：個，
其中：，，不滿足條件：“若則”.
故滿足條件的集合的個數(shù)為：5.
故答案為：5
【變式5-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎希?，若集合M滿足，則這樣的集合M共有 個.
【答案】3
【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系確定集合中一定含有的元素以及可能含有的元素，從而得到其個數(shù)．
【詳解】因為集合，所以集合M中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一個元素，
所以或或，
所以滿足條件的M個數(shù)為3.
故答案為：3.
【考點題型六】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)
【例6】（24-25高三上·上?！て谥校┮阎希?，若，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)
【分析】先解方程得集合A，再根據(jù)集合的基本關(guān)系計算即可.
【詳解】解方程得或，即，
又，所以，即的取值范圍是.
故答案為：
【變式6-1】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，，若，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，討論、求對應(yīng)參數(shù)范圍，即可得答案.
【詳解】若時，滿足，此時只需；
若時，則，可得；
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【變式6-2】（24-25高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）若集合且，，且，則實數(shù)a的取值范圍為
【答案】
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)
【分析】首先要理解絕對值不等式的求解方法，對于，可以通過去掉絕對值符號來求解集合.然后根據(jù)子集的概念，如果，那么中的元素都要滿足集合的條件，從而確定實數(shù)的取值范圍.
【詳解】對于不等式，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，解得，可得，
即.
因為且，所以且，
由，得到.由，
又集合中的元素與不同，所以，
綜合可得實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
【考點題型七】集合的運算
【例7】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，，，則集合 .
【答案】
【知識點】根據(jù)交并補混合運算確定集合或參數(shù)
【分析】先求出，再求出，從而可求.
【詳解】因為，故，
而且兩兩相交為空集，
故，故，
故答案為：
【變式7-1】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知全集，，， ．
【答案】
【知識點】補集的概念及運算、交集的概念及運算
【分析】用列舉法表示全集，再根據(jù)集合間運算求解.
【詳解】由題意得，，
∵
∴，
∴.
故答案為：.
【變式7-2】（24-25高一上·上海松江·階段練習(xí)）已知全集，集合，，則 ．
【答案】
【知識點】交集的概念及運算、補集的概念及運算、交并補混合運算
【分析】求出，由此能求出．
【詳解】全集，
集合，且，
，
．
故答案為：
【變式7-3】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知集合，集合滿足:①每個集合都恰有3個元素;②.集合中元素的最大值與最小值之和稱為集合的特征數(shù)，記為，則的最大值與最小值的和為 .
【答案】
【知識點】集合新定義
【分析】由集合中最小值1與最大值9構(gòu)成集合中兩個元素，若使取得最大值，則將，從而依次確定、、，同理求最小值，從而解得．
【詳解】解：因為集合中最小值為1，最大值為9，
若使取得最大值，
不妨設(shè)，，
則，則，2，，
則剩余的數(shù)中最小值為3，最大值為8，
令，4，，則，
則，6，，，
則的最大值為，
②若使取得最小值，
則，8，，則，
則剩余的數(shù)中最小值為2，最大值為7，
令，6，，則，
則，4，，，
則此時的最小值為，
故的最大值與最小值的和為.
故答案為：.
【考點題型八】根據(jù)并集、交集、補集的結(jié)果求參數(shù)
【例8】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知集合，集合.
(1)若，求實數(shù)的值.
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
(3)若，，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)
【分析】（1）根據(jù)題意可知，將代入方程求出a，再求出集合，根據(jù)集合的運算結(jié)果驗證a的值即可；
（2）根據(jù)題意可得，討論或，利用判別式與韋達定理即可得解；
（3）根據(jù)題意可得，從而可得，解不等式組即可得解.
【詳解】（1）因為，所以，
又，則，
整理得，解得或，
因為，
當(dāng)時，，滿足；
當(dāng)時，，滿足；
故a的值為或.
（2）因為，所以，又，
當(dāng)時，關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，
所以，即，解得，滿足題意；
當(dāng)時，若集合B中只有一個元素，則，
整理得，解得，
此時，符合題意；
若集合B中有兩個元素，則，
即是方程的兩根，
所以，無解，
綜上，可知實數(shù)a的取值范圍為.
（3）因為，所以，則，
所以，即，所以.
綜上，實數(shù)a的取值范圍為.
【變式8-1】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎希?，.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)或；
(2)
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)
【分析】（1）先求解出方程的根，則集合可知，再求解出的根，則可確定出集合，根據(jù)得到，從而可求解出的可取值，則的值可求；
（2）根據(jù)得到，分別考慮當(dāng)為空集、單元素集、雙元素集的情況，由此確定出的取值.
【詳解】（1）由得或，所以，
由得或，所以，
因為，所以，
所以或，所以或；
（2）因為，所以，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，無解，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，無解，
綜上，實數(shù)m的取值范圍是.
【變式8-2】（24-25高一上·山東青島·階段練習(xí)）已知.
(1)若方程有兩個實數(shù)根，，且，求實數(shù)的值；
(2)若集合，，若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)、一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系
【分析】（1）由韋達定理得到，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，代入得到，求得的值，結(jié)合，即可得到答案.
（2）求得，，由，可得，分，，和，四種情況討論，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，令，即，
因為方程有兩個實數(shù)根，可得，
又因為，可得，
即，即，
將代入，可得，解得或，
又由，即，解得或，
所以，即實數(shù)的值為.
（2）解：由集合，
集合
因為，可得，
若時，即方程無實數(shù)根，
則滿足，解得；
若時，把代入方程，解得，
當(dāng)時，方程，解得或，此時，舍去；
當(dāng)時，方程，解得，此時，符合題意；
若時，把代入方程，解得或，
當(dāng)時，方程，解得或，此時，舍去；
當(dāng)時，方程，解得或，此時，舍去；
若時，可得，解得，符合題意，
綜上可得，實數(shù)滿足或，即實數(shù)的取值范圍為.
【變式8-3】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）設(shè)，.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若全集為R，，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)且且且
【知識點】根據(jù)交并補混合運算確定集合或參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)
【分析】（1）解出集合，根據(jù)可知是方程的兩根，求出的值，然后結(jié)合檢驗即可得解；
（2）分析可得，分兩種情況討論：，根據(jù)可求得的范圍；，分析可知，、不是方程的根，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）因為，，且，
則是方程的根，
所以，，解得或，
當(dāng)時，，此時，，合乎題意；
當(dāng)時，，此時，，合乎題意.
綜上所述，或.
（2）對于方程，，
因為全集為R，，則，分以下幾種情況討論：
當(dāng)時，則，可得，此時，，合乎題意；
當(dāng)時，則，可得，
因為，則、都不是方程的根，
所以，，
解得且且且，
此時，或或或.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是且且且.
【考點題型九】命題
【例9】（24-25高一上·上海·期中）“若且，則且”是 命題.（填“真”或“假”）
【答案】假
【知識點】判斷命題的真假
【分析】直接取特殊值驗證即可.
【詳解】當(dāng)時，且；此時不滿足且，故該命題為假命題.
故答案為：假
【變式9-1】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）設(shè)集合.下面命題中，是真命題的命題序號為 .
①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；⑤若，則
【答案】②③④
【知識點】描述法表示集合、判斷命題的真假
【分析】根據(jù)集合的特征，代入公式或，并結(jié)合舉例判斷.
【詳解】①若，①錯誤，
②，②正確，
③，③正確，
④，④正確，
⑤若，⑤錯誤.
故答案為：②③④
【變式9-2】（24-25高一上·上海·階段練習(xí)）已知命題甲：關(guān)于的方程有兩個不相等的負實數(shù)根；命題乙：關(guān)于的方程沒有實數(shù)根．若甲、乙有且只有一個是真命題，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【知識點】已知命題的真假求參數(shù)、方程與不等式
【分析】分別求出命題甲和命題乙為真時的取值范圍，問題轉(zhuǎn)化為甲真乙假和甲假乙真時兩種情況，利用不等式組求解即可.
【詳解】命題甲為真時，則關(guān)于的方程有兩個不相等的負實數(shù)根，
設(shè)兩根為，則有，解得；
命題乙為真時，則關(guān)于的方程沒有實數(shù)根，
有，解得.
若甲、乙有且只有一個是真命題，
當(dāng)甲真乙假時，則有，解得；
當(dāng)甲假乙真時， 則有，解得 .
實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【考點題型十】判斷命題的充分，必要性
【例10】（24-25高一上·上?！て谥校┰O(shè)集合，，則“”是“”的（ ）條件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分又非必要
【答案】B
【知識點】判斷命題的必要不充分條件
【分析】先舉反例說明充分性不成立，再證必要性成立即可.
【詳解】先看充分性：若，，則，不是奇數(shù)，故不成立；
所以“”是“”的不充分條件；
再證必要性：因為，所以，故“”是“”的必要條件.
綜上：“”是“”的必要非充分條件.
故選：B.
【變式10-1】（23-24高一上·安徽阜陽·階段練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【知識點】判斷命題的必要不充分條件
【分析】由集合的包含關(guān)系即可判斷.
【詳解】由可得，
顯然?，
所以“”是“必要不充分條件.
故選：B
【變式10-2】（24-25高一上·上海·期中）設(shè)，則“”是“且”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【知識點】既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義可得.
【詳解】當(dāng)時，取，，得不到 “且”
故“”不是“且”的充分條件，
當(dāng)且時，取，，得不到，
故“”不是“且”的必要條件，
故“”是“且” 既不充分也不必要條件，
故選：D
【考點題型十一】根據(jù)充分性（必要性）求參數(shù)
【例11】（24-25高一上·上?！て谥校┤羰堑某浞址潜匾獥l件，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)
【分析】由是的充分非必要條件，由集合的包含關(guān)系列出不等式組，解之即可.
【詳解】不等式，即，解得，
若是的充分非必要條件，
所以集合是集合的真子集，
則有，不同時取等號，解得，
實數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：
【變式11-1】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知條件和條件，若是的一個充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【知識點】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)
【分析】根據(jù)充分不必要條件列不等式來求得的取值范圍.
【詳解】由于是的一個充分不必要條件，
所以?，
所以.
故答案為：
【變式11-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎猵：，q：，且p是q的充分非必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是
【答案】
【知識點】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)
【分析】利用題給條件列出關(guān)于實數(shù)a的不等式，解之即可求得實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】由p是q的充分非必要條件， p：，q：，
可得，即，則實數(shù)a的取值范圍是
故答案為：
【考點題型十二】反證法
【例12】（23-24高二下·安徽六安·階段練習(xí)）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，則，，（ ）
A．都不大于6B．都不小于6
C．至多有一個不大于6D．至少有一個不小于6
【答案】D
【知識點】基本不等式求和的最小值、反證法證明
【分析】結(jié)合基本不等式判斷出正確選項.
【詳解】因為①，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
如果，，都小于，則不符合①，
所以，，至少有一個不小于6．
故選：D
【變式12-1】（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）設(shè)集合為非空實數(shù)集，集合且，稱集合為集合的積集，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時，集合的積集
B．若是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，其積集中元素個數(shù)最多為8個
C．若是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，其積集中元素個數(shù)最少為7個
D．存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集
【答案】C
【知識點】反證法證明、集合新定義
【分析】利用積集的定義可判斷A，設(shè)，其中，利用積集定義分析積集中元素的大小關(guān)系可判斷B和C，利用反證法分析集合中四個元素的乘積推出矛盾可判斷D.
【詳解】對于A，因為，故集合中所有可能的元素有，
即，故A錯誤；
對于B，設(shè)，不妨設(shè)，
因為，
所以中元素個數(shù)小于等于10個，
如設(shè)，則，
所以積集中元素個數(shù)的最大值為10個，故B錯誤；
對于C，因為，
所以中元素個數(shù)大于等于7個，
如設(shè)，
此時中元素個數(shù)等于7個，所以積集中元素個數(shù)的最小值為7，故C正確；
對于D，假設(shè)存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合A=a,b,c,d，使其積集，
不妨設(shè)，則集合的積集，
則必有，其4個正實數(shù)的乘積，
又或，其4個正實數(shù)的乘積，矛盾；
所以假設(shè)不成立，故不存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，
使其生成集，故D錯誤.
故選：C.
【變式12-2】（23-24高二下·河南鄭州·期末）已知x，y，，且，，，則a，b，c三個數(shù)（ ）
A．都小于B．至少有一個不小于
C．都大于D．至少有一個不大于
【答案】B
【知識點】反證法證明
【分析】應(yīng)用反證法，假設(shè)a，b，c三個數(shù)都小于，利用得到矛盾結(jié)論，即可確定答案.
【詳解】若a，b，c三個數(shù)都小于，
則，即，
顯然不等式不成立，
所以a，b，c三個數(shù)至少有一個不小于，排除A，而C、D不一定成立.
故選：B
【變式12-3】（24-25高一上·上海·階段練習(xí)）（1）已知為實數(shù)且滿足，，．求證：這四個數(shù)中至少有一個是負數(shù)．（用反證法證明）
（2）已知集合，．若的充分非必要條件為，則的取值范圍是？
【答案】（1）證明見解析
（2）
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、反證法證明
【分析】（1）假設(shè)都是非負數(shù)，利用反證法推出可得答案；
（2）根據(jù)題意可得是的真子集，分類討論、兩種情況即可得解.
【詳解】（1）假設(shè)都是非負數(shù)，
因為，，所以，
又，
故，與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立；
（2）若的充分非必要條件為，則是的真子集，
若，則，解得；
若，則，解得，
綜上所述，的取值范圍是.
提升訓(xùn)練
一、填空題
1．（24-25高一上·上?！て谥校┰O(shè)：，：，是的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)
【分析】把充分關(guān)系轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，即可求解.
【詳解】由是的充分條件，且：，：，
可得：是的子集，
所以：.
故答案為：.
2．（24-25高一上·上海·期中）已知點的集合，，若有且僅有個子集，則的值是
【答案】或
【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)
【分析】根據(jù)條件得，再利用子集的個數(shù)得，即可求解.
【詳解】因為，又有且僅有個子集，
所以有兩個元素，則，
若時，，此時滿足題意，
若，則，此時滿足題意，
所以，
故答案為：或.
3．（24-25高一上·上?！て谥校┘蠞M足，則這樣的集合有 個.
【答案】16
【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)
【分析】分析集合中的元素個數(shù)，由于，則符合的集合個數(shù)即可確定.
【詳解】，則當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以
又，集合中有4個元素，為子集，
故符合這樣的集合有.
故答案為：16.
4．（24-25高一上·上海·期中）若三個非零且互不相等的實數(shù)滿足和，則稱構(gòu)成一組“有序好數(shù)對”；已知集合，則由中的三個元素組成的所有“有序好數(shù)對”的個數(shù)為 .
【答案】30
【知識點】集合新定義
【分析】首先要確定“有序好數(shù)對”的三個數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，和，結(jié)合所給集合找出符合條件的數(shù)組有30組．
【詳解】由三個非零且互不相等的實數(shù)，，滿足滿足且滿足，
可得
消去，并整理得，
所以（舍去），，于是有．
在集合中，三個元素組成的所有數(shù)對必為整數(shù)對，
所以必為2的倍數(shù)，且，，
故這樣的數(shù)對共30組．
故答案為：．
5．（24-25高一上·上海·期中）設(shè)全集，若集合滿足：①；②若；③，則這樣的有 個．
【答案】32
【知識點】集合新定義
【分析】設(shè)集合，2，，，．任取偶數(shù)，將除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以，經(jīng)過次以后，商必為奇數(shù)，此時記商為，從而，是否屬于由是否屬于確定．設(shè)是中所有奇數(shù)的集合，則等于的子集個數(shù)．由此能求出結(jié)果．
【詳解】設(shè)集合，2，，，．任取偶數(shù)，將除以2，若商仍為偶數(shù)，
再除以，經(jīng)過次以后，商必為奇數(shù)，此時記商為，
于是，其中為奇數(shù)，．由條件知，
若，則等價于為偶數(shù)；
若，則等價于為奇數(shù)．
于是是否屬于由是否屬于確定．
設(shè)是中所有奇數(shù)的集合，因此等于的子集個數(shù)．
當(dāng)為偶數(shù)（或奇數(shù)）時，中奇數(shù)的個數(shù)是（或，
所以，
所以，2，3，4，5，6，7，8，9，，
即同時滿足三個條件的集合的個數(shù)為．
故答案為：32
【點睛】方法點睛：對于以集合為背景的新定義問題的求解策略：
1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中；
2、用好集合的性質(zhì)，解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素個數(shù)問題往往可采用維恩圖法，基于課標(biāo)要求的，對于集合問題，要熟練基本的概念，數(shù)學(xué)閱讀技能、推理能力，以及數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.
6．（24-25高三上·上海·期中）設(shè)，，，，是均含有個元素的集合，且，，記，則中元素個數(shù)的最小值是 ．
【答案】
【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合元素個數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合元素個數(shù)
【分析】先得到與的元素不同，則元素個數(shù)為4，并得到中元素個數(shù)至少4個，進而對元素的個數(shù)由小到大進行分類分析驗證是否滿足．
【詳解】因為,，
所以元素個數(shù)為4，所以中元素個數(shù)至少個,
①假設(shè)集合中含有個元素，可設(shè)，則，
，這與矛盾；
②假設(shè)集合中含有個元素，可設(shè)，，
，，，滿足題意.
綜上所述，集合中元素個數(shù)最少為.
故答案為：.
7．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知，則集合A的非空真子集的個數(shù)為 ．
【答案】6
【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、列舉法求集合中元素的個數(shù)
【分析】根據(jù)描述法表示的集合元素特征，可知，即可求得結(jié)果.
【詳解】由可知是15的約數(shù)，又，因此可以是；
此時，即可得，
所以集合A的非空真子集的個數(shù)為個.
故答案為：6
8．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且僅有兩個子集，則實數(shù)a的值為 ．
【答案】或
【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)
【分析】根據(jù)集合有且僅有兩個子集可知方程只有一個實根，可分為：當(dāng)時，方程為一次方程，只有一個根；當(dāng)時，只有一個根，即可得.
【詳解】由題意可知集合中只有一個元素，故方程有且只有一個實數(shù)根，
當(dāng)時，方程可化為得，符合題意，
當(dāng)，方程只有一個實數(shù)根時，，
得，
故或.
故答案為：或
9．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，，，，，若且，，中各元素的和為256，則集合 .
【答案】
【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)
【分析】先由條件求出，，得到或，若，則，不合題意；若時，則，由中各元素的和為256，且得到，，從而求出集合.
【詳解】由，且，
得到只可能，即或，
由知，當(dāng)時，，
而，則，故舍去，
則，∴，且，
∴或，
①若時，，不合題意；
②若時，此時，，
因，從而，
又，則，當(dāng)時，無整數(shù)解，
當(dāng)時，，所以.
故答案為：.
10．（24-25高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）若集合，，，且集合均恰有兩個元素，則由所有三元數(shù)對組成的集合為
【答案】
【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)
【分析】若，此時，為的根，再分和兩種情況，求出相應(yīng)的，
得到兩個三元數(shù)對，若，即，此時為的根，同理可得到兩個三元數(shù)對，得到答案.
【詳解】由題意得為方程的一個解，
是的一個解，
若，即，此時為的根，
故是的根，將代入得①，
若②，
式子①②聯(lián)立得，此時中也只有兩個元素，
故一個三元數(shù)對為，
若，則是的另一個根，
故③，
式子①③聯(lián)立得，此時中也只有兩個元素，
故一個三元數(shù)對為，
若，即，此時為的根，
故為的根，即④，
若⑤，
式子④⑤聯(lián)立得，此時中只有兩個元素，
故一個三元數(shù)對為，
若，則是的另一個根，
故⑥，
式子④⑥聯(lián)立得，此時中只有兩個元素，
故一個三元數(shù)對為，
故答案為：
二、單選題
11．（24-25高一上·上海楊浦·期中）對任意集合A和集合B，下列兩個命題（ ）
①
②
A．①為真命題，②為真命題B．①為真命題，②為假命題
C．①為假命題，②為真命題D．①為假命題，②為假命題
【答案】B
【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、交集的概念及運算、并集的概念及運算、判斷命題的真假
【分析】根據(jù)集合交并運算，判斷集合間包含關(guān)系，進而判斷命題的真假.
【詳解】①因為，，所以，真命題，
②當(dāng)時，，此時，假命題.
故選：B
12．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）對于非空集合和，把所有屬于但不屬于的元素組成的集合稱為和的差集，記為，那么總等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】利用Venn圖求集合
【分析】根據(jù)新定義，畫出韋恩圖即可求解.
【詳解】由題意指圖（1）中陰影部分構(gòu)成的集合，
同樣指圖（2）中陰影部分構(gòu)成的集合，
，
故選：A.
13．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）設(shè)集合，，，，其中，下列說法正確的個數(shù)是（ ）
①對任意a，是的子集，對任意b，不是的子集；
②對任意a，是的子集，存在b，使得是的子集；
③存在a，不是的子集，對任意b，不是的子集；
④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集．
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】B
【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、判斷全稱命題的真假、判斷特稱（存在性）命題的真假
【分析】利用全稱量詞命題、存在量詞命題的定義，結(jié)合子集的意義判斷各個命題即可.
【詳解】對于集合，，
任意，即，則，即有，
因此對任意a，是的子集，命題③④錯誤；
對于集合，，
當(dāng)時，，，則是的子集，
當(dāng)時，，，
則不是的子集，命題①③錯誤，
所以對任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，命題②正確，正確命題的個數(shù)為1.
故選：B
【點睛】思路點睛：判斷全稱量詞命題為真、存在量詞命題為假都需推理證明；判斷全稱量詞命題為假、存在量詞命題為真只需舉例說明即可.
14．（24-25高一上·上海·階段練習(xí)）若，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
①；②；③若，則；④若，且，則；⑤存在且，滿足.
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、描述法表示集合
【分析】利用集合的特征性質(zhì)對選項進行判斷.
【詳解】若，
對于①，，①正確；
對于②，當(dāng)中時，，所以，②正確；
對于③，若，不妨設(shè)，
則，，所以，③正確；
對于④，若且，不正確，
例如，，④不正確；
對于⑤，存在且，滿足，
例如，，
若，
則，故，⑤正確.
綜上，①②③⑤正確.
故選：C.
15．（24-25高一上·上?！ら_學(xué)考試）非空數(shù)集，同時滿足如下兩個性質(zhì)：（1）若，則；（2）若，則．則稱為一個“封閉集”，以下敘述：
①若為一個“封閉集”，則；
②若為一個“封閉集”且，則；
③若都是“封閉集”，則是“封閉集”的充要條件是或；
④若都是“封閉集”，則是“封閉集”的充要條件是或．
正確的是（ ）
A．①③④B．①②③④C．①②③D．①②④
【答案】D
【知識點】集合新定義
【分析】由封閉集的定義，逐項判斷即可，同時③用舉例，④用反證法即可.
【詳解】對于①，因為為一個“封閉集”，由定義可知則，那么,正確；
對于②，因為為一個“封閉集，，所以，所以，正確；
對于③，,，都是封閉集，顯然或不成立，錯誤
對于④，充分性：都是“封閉集”，若或，易知是“封閉集”，
必要性：若是“封閉集”，令,
假設(shè)且．
則存在,,同時,
因為是“封閉集”，
所以,，分兩類情況討論
若,又則所以，這與假設(shè)矛盾；
若,又則所以，這與假設(shè)矛盾；
故假設(shè)不成立，原結(jié)論是“封閉集”則或．必要性成立，故正確；
故選：D
三、解答題
16．（24-25高一上·上海·期中）設(shè)為實數(shù)集，若非空集合滿足條件：（1）；（2）對任意，都有且，則稱集合為封閉集.
(1)判斷集合，是否為封閉集，并說明理由；
(2)設(shè)全集為，已知集合是封閉集，求證：不是封閉集.
【答案】(1)為封閉集，不是封閉集，理由見解析.
(2)證明見解析.
【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、集合新定義
【分析】（1）根據(jù)封閉集的定義判斷即可.
（2）結(jié)合反證法推理即可.
【詳解】（1）對于集合，，，故為封閉集，
對于集合，，，故不是封閉集.
（2）證明：非空集合是封閉集，
易得，假設(shè)是封閉集，
設(shè)，在中任取一個元素，則，
否則，此時，與矛盾，
因此，，而，與矛盾，
則當(dāng)時，則不是封閉集，
同理當(dāng)時，不是封閉集，
所以不是封閉集.
17．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）集合，，，
(1)試求實數(shù)a的取值范圍，使；
(2)若為整數(shù)集，是否存在正數(shù)，滿足？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由．
【答案】(1)或；
(2)不存在,理由見解析；
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)
【分析】（1）解不等式可得集合，再對實數(shù)a的取值范圍進行分類討論即可得出論；
（2）由（1）中的結(jié)論并根據(jù)交集結(jié)果分類討論即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）解不等式可得，
解不等式可得或，
因此可得；
當(dāng)時，，不合題意；
當(dāng)時，解得，
若，可得，解得；
當(dāng)時，解得，
若，可得，解得；
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為或；
（2）由（1）可知或，
顯然，且；
因此只需滿足即可，
又因為a為正數(shù)，
可知時，，因為
可得，解得，此時無解；
因此不存在滿足題意的
18．（24-25高一上·上海·階段練習(xí)）命題甲：集合，且，命題乙：集合，且，
(1)若命題甲是真命題，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若命題乙是真命題，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若命題甲和乙中有且只有一個真命題，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、已知命題的真假求參數(shù)、根據(jù)或且非的真假求參數(shù)
【分析】（1）根據(jù)條件，利用集合的運算結(jié)果得到，即可求解；
（2）利用，將問題轉(zhuǎn)化成或集合中元素是非正數(shù)，從而通過方程的解，求得，即可求解；
（3）利用（1）和（2）中結(jié)果，分命題甲是真命題，命題乙是假命題和命題甲是假命題，命題乙是真假命題兩種情況，即可求解.
【詳解】（1）因為，又，
所以，解得，
所以當(dāng)命題甲是真命題，實數(shù)的取值范圍為.
（2）因為，且，則或集合中元素是非正數(shù)，
又，所以中元素是方程的解，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)集合中元素是非正數(shù)時，設(shè)是方程的根，
因為，則且，解得，
所以當(dāng)命題乙是真命題，實數(shù)的取值范圍為.
（3）當(dāng)命題甲是真命題，命題乙是假命題時，，得到，
當(dāng)命題甲是假命題，命題乙是真命題時，或，得到，
所以命題甲和乙中有且只有一個真命題，實數(shù)的取值范圍為或.
19．（24-25高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知集合，集合且，，若，設(shè)m的取值集合為，若，求:m的值及其對應(yīng)a的取值范圍.
【答案】答案見解析
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)
【分析】分，且，且三種情況，分別求得m的取值，再根據(jù)求解對應(yīng)a的范圍即可．
【詳解】由于且，故，
當(dāng)時，，此時，不合題意，故，
由于得，，
①若，若，則，不合題意，所以，則，
當(dāng)時，解得，此時，
又因為，所以，解得；
當(dāng)時，解得，此時，
又因為，所以，解得；
②若，時，即，
當(dāng)時，，聯(lián)立解得，此時，
又因為，則，解得；
當(dāng)時，，聯(lián)立解得，此時，
又因為，所以，解得；
③若，時，即，
由，得，由根與系數(shù)關(guān)系得，，解得，
此時，，符合題意，
又因為，所以，解得，
綜上所述，當(dāng)，，則；
當(dāng)，，則；
當(dāng)，，則；
當(dāng)，，則；
當(dāng)，則．
20．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）設(shè)集合，.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、必要條件的判定及性質(zhì)
【分析】（1）根據(jù)集合交集的性質(zhì)進行求解即可.
（2）根據(jù)集合并集的運算性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】（1）由，所以或，故集合.
因為，所以，將代入中的方程，
得，解得或，
當(dāng)時，，滿足條件；
當(dāng)時，，滿足條件，
綜上，實數(shù)的值為或.
（2）因為“”是“” 的必要條件，所以.
對于集合，.
當(dāng)，即時，，此時；
當(dāng)，即時，，此時；
當(dāng)，即時，要想有，須有，
此時：，該方程組無解.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.