專題02 高二上期末真題精選（選必一期末壓軸）-2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末考點串講（人教A版2019）-試卷下載-教習網(wǎng)

空間向量數(shù)量積最值（或范圍）問題
空間向量模最值（或范圍）問題
線面角的最值問題
二面角的最值問題
線面角的探索性問題
二面角的探索性問題
橢圓中的離心率最值（或范圍）問題
雙曲線中的離心率最值（或范圍）問題
圓錐曲線中面積定值問題
圓錐曲線中面積最值（范圍）問題
圓錐曲線中的定點問題
圓錐曲線中的定值問題
圓錐曲線中的定直線問題
考點01 空間向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（共5小題）
1．（23-24高三上·北京順義·期末）《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，為底面及其內(nèi)部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方體的棱長為2，球是正方體的內(nèi)切球，點是內(nèi)切球表面上的一個動點，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
3．（21-22高二下·安徽安慶·期末）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為圓的直徑，為圓上的點，則的最大值為（）
A．4B．C．5D．
4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面體的棱長為4，空間內(nèi)動點滿足，則的最大值為 .
5．（22-23高二上·廣東江門·期中）正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是．
考點02空間向量模最值（或范圍）問題（共4小題）
1．（22-23高二下·四川達州·期末）已知棱長為的正方體中，點P滿足，其中，．當平面時，的最小值為（）
A．1B．C．D．2
2．（21-22高二上·安徽宿州·期末）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）
A．B．C．1D．
3．（22-23高一下·廣東云浮·期末）如圖，在正方體中，，E，M，N，P，Q分別為，，，，的中點，O為平面內(nèi)的一個動點，則的最小值為 .

4．（21-22高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，P為正方形（包括邊界）內(nèi)一動點，當P為的中點時，與所成角的余弦值為；若，則的最大值為．
考點03線面角的最值問題（共5小題）
1．（21-22高一下·福建南平·期末）如圖，正方體中，，，，當直線與平面所成的角最大時，（）
A．B．C．D．
2．（21-22高二上·遼寧·期末）如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi)，點E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（）
A．當x增大時，θ先增大后減小B．當x增大時，θ先減小后增大
C．當d增大時，θ先增大后減小D．當d增大時，θ先減小后增大
3．（多選）（23-24高二上·陜西渭南·期末）已知正方體的棱長為1，H為棱上的動點，則下列說法正確的是（）
A．
B．平面與平面的夾角為
C．三棱錐的體積為定值
D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
4．（多選）（23-24高二上·江西萍鄉(xiāng)·期末）如圖，正方體邊長為1，是線段的中點，是線段上的動點，下列結(jié)論正確的是（）
A．
B．三棱錐的體積為定值
C．直線與平面所成角的正弦值為
D．直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為
5．（多選）（23-24高三上·山東淄博·期末）如圖，多面體，底面為正方形，底面，，，動點在線段上，則下列說法正確的是（）
A．多面體的外接球的表面積為
B．的周長的最小值為
C．線段長度的取值范圍為
D．與平面所成的角的正弦值最大為
考點04二面角的最值問題（共4小題）
1．（多選）（23-24高二上·山東泰安·期末）如圖，在正四棱柱中，，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）
A．三棱錐的體積為定值
B．若為的中點，則直線平面
C．異面直線與所成角的正弦值的范圍是
D．直線與平面所成角的正弦的最大值為
2．（22-23高三上·安徽·期末）如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點．
(1)求CE的長；
(2)設(shè)二面角平面角的補角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．
3．（23-24高一下·天津南開·期末）如圖①所示，矩形中，，，點M是邊CD的中點，將沿AM翻折到，連接PB，PC，得到圖②的四棱錐，N為PB中點．
(1)求證：平面；
(2)若平面平面，求直線BC與平面所成角的大小；
(3)設(shè)的大小為θ，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
4．（21-22高一下·山東青島·期末）如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．
(1)求四棱錐的體積的最大值；
(2)若棱的中點為，求的長；
(3)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
考點05線面角的探索性問題（共5小題）
1．（22-23高一下·湖北武漢·期末）如圖，四棱臺中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，、分別為、的中點，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為45°.

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.
2．（22-23高三上·河南·期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，其對角線與交于點，，.
(1)證明：平面；
(2)若，，為銳角三角形，點為的中點，直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.
3．（23-24高三上·安徽合肥·期末）如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦EF交CD于點G，其中．

(1)證明：平面平面ABCD；
(2)判斷母線BC上是否存在點P，使得直線PE與平面AEF所成的角的正弦值為，若存在，求CP的長；若不存在，請說明理由．
4．（23-24高二上·遼寧大連·期末）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，為中點，且平面，，，，為平面上一動點．
(1)若與平面成角的正切值為，求的最小值．
(2)若點在線段上，平面與所成角的正弦值為，求的值．
5．（23-24高二上·廣東廣州·期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是棱的中點，點是棱上一點.
(1)證明：；
(2)若直線與平面所成角的正切值為，求點到平面的距離.
考點06二面角的探索性問題（共5小題）
1．（23-24高二上·安徽阜陽·期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，點E為線段PC的中點，點F是線段AB上的一個動點．
(1)求證：平面平面PBC；
(2)設(shè)二面角的平面角為θ，當時，求的值．
2．（23-24高二下·云南臨滄·期末）如圖，在三棱錐中，，，點O是的中點，平面.
(1)求；
(2)點M在直線上，二面角的正弦值為，求三棱錐的體積.
3．（23-24高二下·湖南邵陽·期末）如圖所示，是的直徑，點是上異于，平面ABC，、分別為，的中點，
(1)求證：EF⊥平面PBC；
(2)若，，二面角的正弦值為，求BC．
4．（23-24高二下·云南大理·期末）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，分別是的中點，點為線段上一點，.

(1)證明：；
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，試求的值.
5．（23-24高二下·湖南長沙·期末）由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點，平面.
(1)求證：平面；
(2)若二面角的正切值為，求平面與平面夾角的大小.
考點07橢圓，雙曲線中的離心率最值（或范圍）問題（共7小題）
1．（23-24高三上·河北·期末）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）如圖，橢圓和有相同的焦點，離心率分別為為橢圓的上頂點，與橢圓交于點B，若，則的最小值為．
3．（23-24高二上·江蘇常州·期末）已知橢圓的離心率為，點，若橢圓上存在四個不同的點到點的距離相等，則的取值范圍為．
4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如圖，在中，已知，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點D，且，延長BA到E，使，連接CE，設(shè)以E，C為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為，則的取值范圍是．
5．（23-24高二上·湖南·期末）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為兩曲線的一個公共點，且為的內(nèi)心，三點共線，且軸上點滿足，則的最小值為；的最小值為 .
6．（23-24高二上·廣東深圳·期末）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，點在橢圓的內(nèi)部，橢圓上存在點使得成立，則橢圓的離心率的取值范圍為 .
7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知分別為橢圓的左、右焦點，A為右頂點，B為上頂點，若在線段AB上有且僅有一個點P使，則橢圓離心率的取值范圍為（寫成集合或區(qū)間形式）．
考點08圓錐曲線中面積定值問題（共9小題）
1．（23-24高二下·河北·期末）已知點和點在橢圓上.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點P的直線l交橢圓C于一點B，且的面積為，求直線l的方程.
2．（23-24高二下·湖南益陽·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，在橢圓上，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于P，Q兩點，且，求證：（為坐標原點）的面積為定值.
3．（23-24高二上·湖北荊門·期末）已知橢圓的離心率為，，，，，設(shè)P為橢圓C上一點的面積的最大值為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)當P在第三象限，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：四邊形的面積為定值.
4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知分別為雙曲線的左，右焦點，過雙曲線左頂點的直線與圓相切.
(1)求直線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于另一點求的面積.
5．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知雙曲線的離心率為，焦點到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若為坐標原點，直線交雙曲線于兩點，求的面積．
6．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，且的離心率為2，焦距為4．
(1)求的方程；
(2)直線過點且與交于兩點，為坐標原點，若的面積為，求的方程．
7．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知圓，動圓與圓內(nèi)切，且與定直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)過點的直線與交于、兩點，若（為坐標原點）的面積為，求直線的方程．
8．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知點在拋物線上，斜率為的直線與交于兩點，記直線的斜率分別為
(1)證明：為定值:
(2)若，求的面積．
9．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C：（）與圓O的一個交點為．
(1)求拋物線C及圓O的方程；
(2)設(shè)直線l與圓O相切于點R，與拋物線C交于A，R兩點，求的面積．
考點09圓錐曲線中面積最值（范圍）問題（共10小題）
1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點與短軸兩個端點構(gòu)成的四邊形面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，過點作軸的垂線交橢圓交于另一點，求面積的最大值.
2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知橢圓的焦距為，且過點．
(1)求的方程．
(2)記和分別是橢圓的左、右焦點．設(shè)是橢圓上一個動點且縱坐標不為．直線交橢圓于點（異于），直線交橢圓于點（異于）．若的中點為，求三角形面積的最大值．
3．（22-23高三上·河南·期末）已知橢圓：的離心率為，直線過橢圓的左焦點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若過點且與軸不重合的直線交橢圓于兩點，為橢圓的右焦點，求面積的取值范圍.
4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）設(shè)，在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左焦點為，直線與雙曲線的右支交于兩點，與雙曲線的漸近線交于兩點.
(1)求的取值范圍；
(2)記的面積為的面積為，求取值范圍.
5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的焦距為4，且過點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點的直線交雙曲線的右支于，兩點，連接并延長交雙曲線的左支于點，求的面積的最小值.
6．（23-24高二上·重慶·期末）已知雙曲線的右焦點，漸近線方程．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)過點F的直線l與雙曲線C的右支交于A、B兩點，交y軸于點P，若，，求證：為定值；
(3)在（2）的條件下，若點Q是點P關(guān)于原點O的對稱點，求面積的取值范圍．
7．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知雙曲線，是雙曲線上一點．
(1)若橢圓以雙曲線的頂點為焦點，長軸長為，求橢圓的標準方程；
(2)設(shè)是第一象限中雙曲線漸近線上一點，是雙曲線上一點，且，求的面積（為坐標原點）；
8．（23-24高二上·浙江紹興·期末）拋物線C：，橢圓M：，．
(1)若拋物線C與橢圓M無公共點，求實數(shù)r的取值范圍；
(2)過拋物線上點作橢圓M的兩條切線分別交拋物線C于點P，Q，當時，求面積的最小值．
9．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知拋物線C：的焦點F在x軸正半軸上，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點．已知當l的斜率為2時，．
(1)求拋物線C的解析式；
(2)試判斷直線是否過定點，若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；
(3)設(shè)G為直線與直線的交點，求面積的最小值．
10．（23-24高三上·山東日照·期末）已知橢圓，其上焦點與拋物線的焦點重合.若過點的直線交橢圓于點，同時交拋物線于點（如圖1所示，點在橢圓與拋物線第一象限交點下方）.
(1)求拋物線的標準方程，并證明；
(2)過點與直線垂直的直線交拋物線于點（如圖2所示），試求四邊形面積的最小值.
考點10圓錐曲線中的定點問題（共9小題）
1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，是橢圓C：的左、右焦點，點是C上一點，的中點在y軸上，O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知過橢圓上一點的切線方程為.設(shè)動直線l：與橢圓C相切于點P，且與直線相交于點Q，求證：以PQ為直徑的圓與軸交于定點.
2．（23-24高二下·廣東茂名·期末）已知橢圓：（）的一個頂點為，離心率為.
(1)求的方程；
(2)設(shè)，直線（且）與交于不同的兩點，，若直線與交于另一點，則直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.
3．（23-24高二上·河南鄭州·期末）已知橢圓：的離心率為，過右焦點的直線與相交于、兩點．當垂直于長軸時，．
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓上是否存在點，使得當繞點轉(zhuǎn)到某一位置時，四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．
4．（23-24高二下·陜西延安·期末）已知雙曲線經(jīng)過點．
(1)求的離心率；
(2)設(shè)直線經(jīng)過的右焦點，且與交于不同的兩點，點N關(guān)于x軸的對稱點為點P，證明：直線過定點．
5．（23-24高二上·山東棗莊·期末）已知雙曲線的中心為坐標原點，上頂點為，離心率為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)記雙曲線的上、下頂點為、，為直線上一點，直線與雙曲線交于另一點，直線與雙曲線交于另一點，求證：直線過定點，并求出定點坐標.
6．（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）過點作直線l與雙曲線C：交于A，B兩點，P是雙曲線C的左頂點，直線與y軸分別交于．
(1)求直線l斜率的取值范圍；
(2)求證：線段的中點M為定點，并求出點M的坐標．
7．（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知為拋物線上的一點，為的焦點.
(1)設(shè)的準線與軸交于點，過點作，垂足為，求四邊形的面積；
(2)若、為上橫坐標不同的兩動點，、與均不重合，且直線、的斜率之積為，證明：直線過定點.
8．（23-24高二上·浙江金華·期末）已知為拋物線的焦點，為坐標原點，為的準線上一點，直線的斜率為的面積為．已知，設(shè)過點的動直線與拋物線交于兩點，直線與的另一交點分別為．

(1)求拋物線的方程；
(2)當直線與的斜率均存在時，討論直線是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．
9．（23-24高二上·陜西漢中·期末）已知拋物線過點，直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，．
(1)求拋物線的方程；
(2)求證：直線過定點；
(3)在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率之和為0？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
考點11圓錐曲線中的定值問題（共9小題）
1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知橢圓的右焦點坐標為，兩個焦點與短軸一個端點構(gòu)成等邊三角形.
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)若過點與點的直線交橢圓于，兩點，過點且與直線平行的直線交軸于點，直線與直線于點，求的值.
2．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知橢圓的離心率為，點在上，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓的右頂點.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓上一點的坐標為，若為鈍角，求橫坐標的取值范圍；
(3)過點的直線與橢圓交于不同的兩點D，E(D，E與不重合)，直線分別與直線交于P，Q兩點，求的值.
3．（23-24高二下·福建廈門·期末）已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，記的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過原點的直線交于兩點，過作直線的垂線交于點（異于點），直線與軸，軸分別交于點.設(shè)直線，的斜率分別為，.
（?。┳C明：為定值；
（ⅱ）求四邊形面積的最大值.
4．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）已知雙曲線：過點，離心率為.
(1)求的方程；
(2)過點且斜率為的直線交雙曲線左支于點，平行于的直線交雙曲線的漸近線于A，B兩點，點A在第一象限，直線的斜率為.若四邊形為平行四邊形，證明：為定值.
5．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知雙曲線：與圓的一個交點為.
(1)求雙曲線E的方程；
(2)設(shè)點A為雙曲線E的右頂點，點B，C為雙曲線E上關(guān)于原點O對稱的兩點，且點B在第一象限，直線與直線交于點M，直線與雙曲線E交于點D.設(shè)直線與的斜率分別為，，請問是否為定值?若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
6．（23-24高二上·山東淄博·期末）已知雙曲線（，）的離心率為2，且經(jīng)過點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)點，在雙曲線上，且，，為垂足.證明：①直線過定點；②存在定點，使得為定值.
7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知拋物線，過焦點的直線交拋物線于兩點，
(1)求拋物線的方程；
(2)若拋物線上有一動弦為弦的中點，，求點的縱坐標的最小值，
8．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知P是拋物線的準線上任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為．
(1)若點P縱坐標為0，求此時拋物線C的切線方程；
(2)設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值．
9．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知是過拋物線焦點且互相垂直的兩弦，
(1)若直線的傾斜角為，求弦長；
(2)求的值.
考點12圓錐曲線中的定直線問題（共5小題）
1．（23-24高三上·湖北襄陽·期末）已知點A、分別是橢圓：的上、下頂點，、是橢圓的左、右焦點，，．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線與橢圓交于不同兩點、（、與橢圓上、下頂點均不重合），證明：直線、的交點在一條定直線上．
2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知分別是橢圓的左?右焦點，是橢圓上的一點，當時，.
(1)求橢圓的方程；
(2)記橢圓的上下頂點分別為，過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程.
3．（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知A，B分別為橢圓的左右頂點，點，在橢圓上．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點且斜率不為零的直線與橢圓交于C，D兩點，若直線AC與BD相交于點，求證：點在定直線上．
4．（22-23高二下·江蘇鹽城·期末）已知雙曲線上點到兩定點的距離分別為，，且滿足．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)經(jīng)過點且不垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點，是直線上關(guān)于軸對稱的兩點，求證：直線與的交點在定直線上．
5．（22-23高二下·福建福州·期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4．已知雙曲線的焦點分別為A，D，兩條漸近線分別為直線BE，CF．

(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蟮姆匠蹋?br>(2)過點A的直線l與交于P，Q兩點，，若點M滿足，證明：點M在一條定直線上．

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