專題01 高二上期末真題精選（選必一期末?？迹?2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點串講（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

用基底表示向量
空間向量共面
空集中兩個向量乘銳角（鈍角）
借助向量證明平行（垂直）關(guān)系
借助向量求點到直線距離
向量法求異面直線所成角
向量法解決線面角問題
向量法解決二面角問題
向量法解決點到平面的距離問題
直線的傾斜角和斜率
求直線方程
兩條直線平行于垂直的判斷
直線中的距離問題
二元二次方程表示圓的條件
求圓的方程
直線與圓的位置關(guān)系
圓與圓的位置關(guān)系
圓錐曲線中的定義問題
圓錐曲線中上的點到定點的和差問題
焦點三角形問題
離心率問題
弦長問題（含焦點弦）
中點弦問題
一、用基底表示向量（共3小題）
1．（23-24高一下·重慶·期末）如圖，在三棱錐中，為的中點，設(shè)，則用表示為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識點】用空間基底表示向量
【分析】直接利用向量的線性運算和中線向量的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】在三棱錐中，點N為棱的中點，點M在棱PC上，且滿足
故，
所以，
點N為棱的中點，
所以，
故.
故選：B．
2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分別是的中點，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識點】用空間基底表示向量、空間向量數(shù)乘運算的幾何表示、空間向量加減運算的幾何表示
【分析】根據(jù)條件，利用空間向量的線性運算，即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，因為分別是的中點，，又，
所以，
得到，
故選：A.
3．（23-24高二上·浙江金華·期末）如圖，在四面體中，分別是上的點，且是和的交點，以為基底表示，則．
【答案】
【知識點】用空間基底表示向量、空間向量的加減運算
【分析】由題意首先得四邊形為平行四邊形，進一步結(jié)合線段比例分解向量成基底向量的線性組合即可求解.
【詳解】因為，所以，同理，
所以四邊形為平行四邊形，
所以
.
故答案為： .
二、空間向量共面（共3小題）
1．（22-23高二上·遼寧丹東·期末）已知空間向量，，，若，，共面，則實數(shù)的值為（）
A．B．6C．D．12
【答案】A
【知識點】空間向量共面求參數(shù)
【分析】根據(jù)向量共面，建立方程組，解得答案.
【詳解】由，，共面，可設(shè)，則，
由，解得，代入第三個方程可得：，解得.
故選：A.
2．（22-23高二上·浙江寧波·期末）對空間中任意一點和不共線的三點，能得到在平面內(nèi)的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識點】空間向量的加減運算、空間共面向量定理的推論及應(yīng)用
【分析】用向量來判定點在平面內(nèi)，只需要滿足：（）
【詳解】因為A、B、C三點不共線，則不共線，
若四點共面，則存在唯一的一組實數(shù)使得，
即，變形得，
對于，，整理得，則，所以在平面內(nèi)，故選項正確；
對于，，可得：
則，故不在平面內(nèi)，故選項錯誤；
對于C，，可得：，
則，故不在平面內(nèi)，故選項C錯誤；
對于，，可得：
則，故不在平面內(nèi)，故選項錯誤；
故選：
3．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在空間四面體中，對空間內(nèi)任意一點，滿足，則下列條件中可以確定點與，，共面的為（）
A．B．C． D．
【答案】A
【知識點】空間共面向量定理的推論及應(yīng)用
【分析】根據(jù)空間向量四點共面列式即可得解.
【詳解】因為，
所以點與，，共面等價于，即.
故選：A.
三、空集中兩個向量乘銳角（鈍角）（共4小題）
1．（23-24高一下·山西長治·期末）已知平面向量，滿足，，，夾角為，若與夾角為銳角，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點】已知向量共線（平行）求參數(shù)、向量夾角的計算、數(shù)量積的運算律
【分析】根據(jù)且與不共線，可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得且與不共線，
則，
所以，解得，
當與共線時，即存在，使得，
解得，
因為與不共線，所以，
所以且，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
2．（20-21高三上·安徽安慶·期末）已知向量，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為．
【答案】
【知識點】用向量解決夾角問題
【解析】由題意可得，且、不共線，由此求得實數(shù)的取值范圍．
【詳解】向量，若與的夾角為鈍角，
則，且、不共線，即，
求得，且，
則實數(shù)的取值范圍為，
故答案為：．
【點睛】本題考查根據(jù)向量的夾角求參數(shù)的取值范圍，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意考慮向量共線是不成立的.
3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是 .
【答案】
【知識點】數(shù)量積的坐標表示、由向量共線（平行）求參數(shù)
【分析】由題意可得且與不反向共線，根據(jù)向量的坐標運算即可求解.
【詳解】若與共線，則，得，此時，與方向相反，
因為與的夾角為鈍角，所以且與不反向共線，
即且，解得且，
則的取值范圍是.
故答案為：.
4．（23-24高一下·四川自貢·期末）已知向量．
(1)證明：；
(2)與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)且
【知識點】數(shù)量積的坐標表示、向量垂直的坐標表示、由向量共線（平行）求參數(shù)
【分析】（1）求出的坐標，根據(jù)平面向量垂直的坐標運算證明；
（2）轉(zhuǎn)化為，且不平行.
【詳解】（1）根據(jù)題意，，
則，所以；
（2）與的夾角為鈍角，，
則，
解得，
若向量，則，得，經(jīng)驗證滿足同向共線，
所以且.
四、借助向量證明平行垂直關(guān)系（共5小題）
1．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）在直三棱柱中，四邊形是邊長為3的正方形，，，點分別是棱的中點．
(1)求的值；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【知識點】求空間中兩點間的距離、空間位置關(guān)系的向量證明
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得.
（2）利用向量法來證得.
【詳解】（1）依題意可知兩兩相互垂直，
以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
可得，
.
（2）因為，
，
.
2．（23-24高二上·山東青島·期末）在正四棱柱中，，點在線段上，且，點為中點.

(1)求點到直線的距離；
(2)求證：面.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、點到直線距離的向量求法
【分析】（1）依題建系，求得相關(guān)點和向量的坐標，利用點到直線的距離的空間向量計算公式即可求得；
（2）由（1）中所建的系求出的坐標，分別計算得到和，由線線垂直推出線面垂直.
【詳解】（1）

如圖,以為原點，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，
正四棱柱,為中點,
則點到直線的距離為：.
（2）由（1）可得，
則，
由可得，
又由可得，
又，
故面.
3．（23-24高三上·廣東深圳·期末）正方體中分別是的中點.
(1)證明：平面；
【答案】(1)證明見解析
【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、線面角的向量求法
【詳解】（1）設(shè)正方體的棱長是2，
以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
則，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，
令，則，
所以，則，
又平面，故平面.
4．（23-24高二上·廣東深圳·期末）如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，高為4.

(1)證明：平面平面；
【答案】(1)證明見解析
【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、線面角的向量求法、證明面面垂直
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證明，，再利用面面垂直的判定定理證明即可；
【詳解】（1）以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，
因為，，所以，，即，，
又因為，平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面；
5．（23-24高二上·北京東城·期末）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為，的中點.
(1)證明：平面；
【答案】(1)證明見解析
【知識點】面面角的向量求法、空間位置關(guān)系的向量證明
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用法向量與方向向量的關(guān)系即可求證，
【詳解】（1）因為是直三棱柱，
所以底面.
因為底面，底面，
所以，.
因為，如圖建立空間直角坐標系.
設(shè)，則A2,0,0，，，，.
因為D，E分別為，的中點，
所以，.
所以，.
因為底面，所以是平面的一個法向量.
因為，所以.
因為平面，所以平面.
五、借助向量求點到直線距離（共4小題）
1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空間向量，，則B點到直線的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】點到直線距離的向量求法
【分析】利用點到直線的空間向量距離公式求出答案.
【詳解】，，故在上的投影向量的模為，
故B點到直線的距離為.
故選：A
2．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三點，則到直線的距離為 .
【答案】/
【知識點】點到直線距離的向量求法
【分析】根據(jù)條件，利用點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】因為，，所以，
得到，
所以到直線的距離為，
故答案為：.
3．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在空間直角坐標系中，，則點B到直線的距離為．
【答案】
【知識點】點到直線距離的向量求法
【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標運算，結(jié)合點到直線的距離公式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，
可得在方向上的投影為，
又，
由勾股定理可得點到直線的距離為.
故答案為：
4．（23-24高二上·陜西渭南·期末）直線的方向向量為，且過點，則點到的距離為．
【答案】
【知識點】點到直線距離的向量求法
【分析】根據(jù)給定條件，利用點到直線距離的向量求法計算即得.
【詳解】依題意，，
所以點到的距離.
故答案為：
六、向量法求異面直線所成角（共5小題）
1．（23-24高三上·江西·期末）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線與所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】異面直線夾角的向量求法
【分析】建立空間直角坐標系，假定的坐標，結(jié)合已知解出的坐標，利用線線角的向量求法求解即可.
【詳解】
如圖，找底面圓心，作與底面垂直，//，，
故以為原點，建立空間直角坐標系，規(guī)定，，設(shè)，，
易知底面圓方程為，則，，
故，，
故，
設(shè)到面的距離為，設(shè)面的法向量，故有，，解得，，，
故，由點到平面的距離公式得，已知四面體的體積為，
故得，解得(負根舍去)，易得，故，，
，，設(shè)直線與所成角為，故有.
故選：D
2．（23-24高二上·江西上饒·期末）在正四棱柱中，，點是的中點，則與所成角的余弦值．
【答案】/
【知識點】異面直線夾角的向量求法
【分析】設(shè)，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值.
【詳解】不妨設(shè)，以點為坐標原點，
、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則B1,0,0、C1,1,0、、，
則，，
所以，.
因此，與所成角的余弦值為.
故答案為：.
3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是 .
【答案】/
【知識點】異面直線夾角的向量求法
【分析】建立空間直角坐標系，用向量法求異面直線所成的角.
【詳解】直三棱柱，且，
以為原點，分別以，，為軸，軸，軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)，則A2,0,0，，，，
，，
設(shè)直線與成的角為，
則，
直線與所成角的余弦值為.
故答案為：.
4．（22-23高二上·湖南岳陽·期末）如圖，在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.
(1)求證：平面.
(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)或2
【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、已知線線角求其他量
【分析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面；
（2）設(shè)，且，則,0,，由直線與直線所成角的余弦值，利用向量法能求出線段的長．
【詳解】（1）如圖，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
則,0,，,0,，,4,，,2,，,0,，,2,，
,2,，,0,，,2,，
設(shè)平面的法向量,,，
則，取，得,0,，
，平面，平面．
（2）設(shè)，且，則,0,，,,，,2,，
則，整理得
解得或，所以線段AH的長為或2．
5．（21-22高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）在四棱錐中，，，，，為正三角形，且平面平面ABCD.
(1)求二面角的余弦值；
(2)線段PB上是否存在一點M（不含端點），使得異面直線DM和PE所成的角的余弦值為？若存在，指出點M的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，點M位置為
【知識點】已知線線角求其他量、面面角的向量求法、面面垂直證線面垂直、求平面的法向量
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的余弦值；
（2）設(shè)，利用向量法求異面直線的夾角，得到，解方程即得解.
【詳解】（1）設(shè)是中點，為正三角形，則.
因為平面平面ABCD，平面平面，
又平面PAD，所以面ABCD.
又因為，，
所以為正三角形，所以，
以為原點，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則，，，，
于是，，.
設(shè)平面PEC的法向量為，
由即可取.
平面EBC的一個法向量為，
設(shè)二面角的平面角為，則
由圖知為為鈍角，所以二面角的余弦值為.
（2）設(shè)，則，
，，
所以，
解得或0（舍），所以存在點M使得.
七、向量法解決線面角問題（共7小題）
1．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知四棱錐的底面為正方形，底面，點是線段上的動點，則直線與平面所成角的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】線面角的向量求法
【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算即可得到結(jié)果.
【詳解】
由題意，因為為正方形，且底面，
以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
設(shè)，則，
所以，設(shè)，，
則，所以，即，
設(shè)平面的法向量為，
則，解得，取，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
因為單調(diào)遞增，所以當時，最大，
此時，即直線與平面所成角的最大值為.
故選:C
2．（22-23高二上·遼寧鞍山·期中）長方體中，，為線段上的動點，則與平面所成角的余弦值的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】線面角的向量求法
【分析】
以為坐標原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，設(shè)出點的坐標，然后利用空間向量求解即可.
【詳解】以為坐標原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，
則，
因為平面，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)的橫坐標為，則，
所以（），
設(shè)與平面所成角的為，則
，
令（），對稱軸為，
所以的最小值為，
所以的最大值為，
因為，
所以的最大值為，
故選：D
3．（23-24高二上·云南迪慶·期末）如圖形中，底面是菱形，，與交于點，底面，為的中點，.
(1)求證：平面；
(2)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】證明線面平行、線面角的向量求法
【分析】（1）連接，得到為的中位線，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；
（2）以所在的直線分別為軸，以過點作的垂線所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，
因為底面是菱形，且與交于點，則點為的中點，
因為為的中點，所以為的中位線，可得，
又因為平面，平面，
所以平面.
（2）解：以所在的直線分別為軸，以過點作的垂線所在的直線為軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示，
可得，則，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，可得，所以，
又由，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
即直線與平面所成的角的正弦值為.
【點睛】
4．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面體中，平面，平面.
(1)求證：；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【知識點】線面角的向量求法、線面平行的性質(zhì)、證明線面平行、線面垂直證明線線平行
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定性質(zhì)推理即得.
（2）結(jié)合已知可得直線兩兩垂直，以點為原點建立空間直角坐標系，求出平面法向量，再利用線面角的向量求求解即得.
【詳解】（1）由平面，平面，得，而平面，平面，
則平面，又平面，平面平面，
所以.
（2）令，則，有，
于是，由已知得直線兩兩垂直，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，
，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
5．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）如圖，在三棱柱中，底面，點到平面的距離為2.

(1)證明：.
(2)若直線與之間的距離為4，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】面面垂直證線面垂直、線面角的向量求法、證明線面垂直
【分析】（1）結(jié)合已知線面垂直的判定定理證明平面，利用面面垂直的判定定理得平面平面，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面，從而得出均為直角三角形，利用勾股定理求解即可.
（2）建立空間直角坐標系，利用線面角的向量公式求解即可.
【詳解】（1）底面平面，
，又平面，
平面，又平面，
平面平面.
過作交于，又平面平面，
平面，平面．
點到平面的距離為.
在中，，
設(shè)，則.
均為直角三角形，且，
，解得，
，即.
（2），
，過作交于，則為的中點.
由直線與之間的距離為4，得，
在中，.
以為坐標原點，直線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

則，，，
顯然n=0,1,0為平面的一個法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，
則
則直線與平面所成角的正弦值為.
6．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將沿折起到位置，使得（如圖2）.
(1)求證：平面平面；
(2)線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【知識點】證明面面垂直、已知線面角求其他量、線面角的向量求法
【分析】（1）連接、，由平面幾何的知識得到，即，，即可得到，從而得到平面，即可得證；
（2）建立空間直角坐標系，設(shè)，利用空間向量法得到方程，求出，即可得解.
【詳解】（1）因為，，
所以，，所以，則，
則，
又P為的中點，連接，則且，，所以為菱形，
同理可得為菱形，所以，
所以，連接，則，
又，所以，即，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）線段上存在點，使得與平面所成角的正弦值為.
因為平面，所以，，兩兩互相垂直，
如圖，以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
則，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，令，則，，
，
設(shè)，因為，，
所以，
設(shè)與平面所成角為，則，
即，，解得或（舍去），
所以線段上存在點，且，使得與平面所成角的正弦值為.
7．（23-24高三上·寧夏石嘴山·期末）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，側(cè)面平面，，，為的中點.

(1)證明：平面；
(2)點在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】證明線面垂直、已知線面角求其他量、面面垂直證線面垂直
【分析】（1）根據(jù)條件得到平面，從而得出，再利用條件得到四邊形是菱形，從而有，利用線面垂直的判定定理即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)，求出及平面的一個法向量，利用線面角的向量法及條件，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因為，O為AD的中點，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
又因為，，所以四邊形是菱形，得到，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）取中點，連接，因為是等腰梯形，所以，
以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，，易得，
則，
所以，，
令，所以，得到，
由（1）知平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
整理得到，解得或（舍），所以.
八、向量法解決二面角問題（共7小題）
1．（23-24高二下·青?！て谀┤鐖D，在四棱錐中，底面，平面，.

(1)證明：平面.
(2)若，，且直線與直線所成角的正切值為，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】線面垂直證明線線垂直、面面角的向量求法、證明線面垂直、線面平行的性質(zhì)
【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理證明；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算，即可求解二面角的余弦值.
【詳解】（1）因為底面，底面，所以，
因為，，平面，所以平面，
因為平面，又平面，平面平面，
所以，所以平面.
（2）因為，所以直線與直線所成的角為，
因為底面，底面，所以，
所以，即，
設(shè)為2個單位長度，
以為原點，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，

設(shè)平面的法向量為，則
取，則，，得，
易得平面的一個法向量為，
由圖可知二面角為銳角，
則二面角的余弦值為.
2．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）如圖，在正四棱柱中，，，分別為的中點，為四邊形的中心．
(1)證明：∥平面．
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【知識點】證明線面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）由題意易得四邊形為平行四邊形，進而可證平面．
（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，求得平面與平面的一個法向量，利用向量法可求二面角的余弦值.
【詳解】（1）連接．因為為四邊形的中心，所以為的中點．
又為的中點，所以，
因為為的中點，所以，，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，則．
又平面，平面，所以平面．
（2）在正四棱柱中，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
因為，所以，
則．
設(shè)平面的法向量為，
則令，得，即．
連接．易知是平面的一個法向量，
則．
因為二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．
3．（23-24高二下·上海金山·期末）如圖，在中，.將繞旋轉(zhuǎn)得到，分別為線段的中點．
(1)求點到平面的距離；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)；
(2)
【知識點】面面角的向量求法、求點面距離
【分析】（1）取的中點，連接，作，垂足為.證明平面，即點到平面的距離為的長度．求出即可.
（2）以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出關(guān)鍵點和法向量坐標，用向量法可解.
【詳解】（1）取的中點，連接，作，垂足為
因為為的中點，所以.
又，所以平面.
因為平面，所以．又，
所以平面，即點到平面的距離為的長度.
易知平面，所以．
因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又，
所以，所以．
（2）以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
可得，令，則，
所以平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
可得，令，則，
所以平面的法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
則二面角的正弦值為.
4．（23-24高二下·浙江溫州·期末）在三棱錐中，平面平面，，，分別為的中點.

(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【知識點】面面角的向量求法、證明線面垂直
【分析】（1）結(jié)合中點，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，從而利用線面垂直的性質(zhì)定理得，最后利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）過作交于點，設(shè)，建立空間直角坐標系，然后利用向量法求解二面角的正弦值即可.
【詳解】（1），為中點，
.
又平面平面，平面平面，平面，
平面，而平面，
.
又為的中點，
，又，
.
又平面，
平面.
（2）過作交于點，設(shè)，
以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，
故，，，.
設(shè)為平面的法向量，則，即，
，取，則，
是平面的一個法向量.
設(shè)為平面的法向量，則，即，
，取，則，
是平面的一個法向量.
設(shè)二面角的大小為，則，
，
二面角的正弦值為.
5．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知四邊形為正方形，為，的交點，現(xiàn)將三角形沿折起到位置，使得，得到三棱錐.
(1)求證：平面平面；
(2)棱上是否存在點，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析；
(2)存在滿足題意的點，且.
【知識點】已知面面角求其他量、證明面面垂直
【分析】（1）線線垂直得到線面垂直，然后得到面面垂直；
（2）由三直線兩兩垂直建立空間直角坐標系，設(shè)點坐標求得面的法向量，由法向量與面面角的余弦值建立等式，解出點的位置，得到比值.
【詳解】（1）在正方形中，，
又∵，∴，∴
即，，且，平面，平面，
∴平面，
由∵平面，
∴平面平面
（2）由（1）可知，，，
∴以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標系，
則向量是平面的一個法向量，
設(shè)，則A1,0,0，，
∵在線段上，∴，∴，
∴，，
設(shè)是平面的一個法向量，則，
∴，∴，
設(shè)為平面與平面夾角，
則，
則，則，為中點，
∴.
6．（23-24高二下·江蘇南京·期末）如圖，在直三棱柱中，為的中點．
(1)證明：平面；
(2)若二面角的余弦值為，求線段的長度．
【答案】(1)證明見解析；
(2)6.
【知識點】證明線面垂直、已知面面角求其他量、面面角的向量求法
【分析】（1）應(yīng)用線面垂直判定定理證明即可；
（2）設(shè)邊長，應(yīng)用空間向量法求出二面角余弦值即可求出邊長.
【詳解】（1）由題意知平面，又平面，
所以，
因為四邊形是平行四邊形，且，
所以四邊形為正方形，所以，
因為平面，
所以平面．
又平面，所以，
因為，所以，
又因為平面，
所以平面．
（2）以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
設(shè)，則，
所以，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，取，則，所以，
設(shè)二面角的大小為，
則，解得，
所以線段的長為6．
7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在長方體中，點，分別在，上，且，．
(1)求證：平面；
(2)當，，且平面與平面的夾角的余弦值為時，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】證明線面垂直、已知面面角求其他量
【分析】
（1）由長方體的性質(zhì)得到平面，即可得到，結(jié)合，得到平面，從而得到，同理可證，即可得證；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.
【詳解】（1）因為，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，
所以，
因為，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，
所以，
因為，平面，
所以平面.
（2）依題意，建立以為原點，以，，分別為，，軸的空直角坐標系，設(shè)，
則，，，
則，，，
由（1）平面，
所以平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，所以平面的法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
解得（負值舍去），
所以平面與平面的夾角的余弦值為時.
九、向量法解決點到平面的距離問題（共5小題）
1．（23-24高一下·四川成都·期末）如圖，四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，E為中點，與交點為O．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)若，求點C到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【知識點】證明線面垂直、證明線面平行、點到平面距離的向量求法、證明面面垂直
【分析】（1）只需證明，結(jié)合線面平行的判定定理即可得解；
（2）只需證明平面，在結(jié)合面面垂直的判定定理即可得解；
（3）首先證明面，由等體積法即可列方程求解.
【詳解】（1）設(shè)，連結(jié)，
∵E為中點，O為中點，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
（2）連結(jié)，∵，O為中點，∴，
又∵底面為菱形，∴，∵且兩直線在平面內(nèi)，∴平面，
又∵平面，∴平面平面；
（3）由（2）得：，由，同理可得：，
而平面，
∴面可求：，，，
∴，
而中，，可求：，，
可求：，
而，則，
則即為所求點C到平面的距離．
2．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點．

(1)證明：平面平面；
(2)求到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、點到平面距離的向量求法
【分析】（1）以為原點，以AD，DC所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面一個的法向量，根據(jù)平面法向量平行可得證
（2）根據(jù)到平面的距離的空間向量公式即得
【詳解】（1）以為原點，以AD，DC所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標系，
，，，，，
，，．
設(shè)平面的一個法向量，
則，即，令，則，所以
設(shè)可得平面的一個法向量，
則，即，令，則，所以，
因為，兩平面又不重合，
所以平面平面．
（2）因為，所以，
由（1）知平面的一個法向量，
則．
3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如圖，在直三棱柱中，是的中點.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】點到平面距離的向量求法、證明線面平行
【分析】（1）連接交于，連接，由三角形中位線性質(zhì)得，再由線面平行的判定定理即可證明結(jié)果；
（2）根據(jù)條件，建立空間直角坐標系，由條件求得平面的法向量和，再利用空間距離的向量法，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）連接交于，連接，
在三角形中，是三角形的中位線，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）由是直三棱柱，且，
故，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，又，
則，
則，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
由，得到，令，得，所以，
又，設(shè)點到平面的距離為，
則.
4．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）如圖所示，在直三棱柱中，，，，分別是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、點到平面距離的向量求法、證明線面平行
【分析】（1）利用空間向量方法證明即可；
（2）利用空間法向量求解點面距離即可.
【詳解】（1）證明：如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
則
因為，分別是，的中點，所以，，
所以，
平面的一個法向量為，
因為，
又因為平面，所以平面；
（2）由（1）知，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，得，
所以平面的一個法向量為.
所以點到平面的距離為，
故點到平面的距離為
5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如圖所示，正方體的棱長是2，E、F分別是線段AB、的中點．
(1)證明：平面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】證明線面平行、點到平面距離的向量求法
【分析】（1）取中點M，連AM，MF，由四邊形AEFM是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；
（2）以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系．求得平面的法向量n=x,y,z，由點到平面的距離求解.
【詳解】（1）證明：如圖，
取中點M，連AM，MF，則易證，且，
所以四邊形AEFM是平行四邊形，從而，
又面，面，
所以平面．
（2）以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立如圖的空間直角坐標系．
則，，，，
則，，
設(shè)平面的一個法向量n=x,y,z，
由，即，
令，得，則，
所以點到平面的距離
十、直線的傾斜角和斜率（共4小題）
1．（23-24高二上·河北滄州·期末）已知直線方程為，則其傾斜角為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】直線的傾斜角、直線的一般式方程及辨析
【分析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.
【詳解】由題知直線斜率為，若直線的傾斜角為，則，
∵，∴，
故選：D．
2．（23-24高二上·浙江寧波·期末）經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【知識點】已知兩點求斜率、斜率與傾斜角的變化關(guān)系
【分析】利用斜率公式和傾斜角與斜率的關(guān)系求解.
【詳解】解：因為直線經(jīng)過，
所以經(jīng)過該兩點的直線的斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
因為，所以，
故選：D
3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知兩點，若直線與線段有公共點，則直線傾斜角的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點】斜率與傾斜角的變化關(guān)系、已知兩點求斜率
【分析】求出直線恒過的定點，根據(jù)斜率公式即可求解.
【詳解】由直線，
變形可得，
由，解得，
可得直線恒過定點，則，
結(jié)合圖象可得：
若直線與線段有公共點，則直線斜率的取值范圍為，
由斜率定義，可得直線傾斜角的取值范圍為.
故選：D.
4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）在平面直角坐標系中，是直線上不同的兩點，直線上的向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量．已知直線的一個方向向量坐標為，則直線的傾斜角為．
【答案】
【知識點】直線的傾斜角、根據(jù)直線的方向向量求直線方程、斜率與傾斜角的變化關(guān)系
【分析】根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系可求出直線的傾斜角.
【詳解】因為直線的一個方向向量為，
所以直線的斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
因為，所以，
即直線的傾斜角為.
故答案為：
十一、求直線方程（共5小題）
1．（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知頂點，邊AC上的高BH所在直線方程為，邊AB上的中線CM所在的直線方程為.
(1)求直線AC的方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)；
(2)24.
【知識點】直線的點斜式方程及辨析、求點到直線的距離、由兩條直線垂直求方程、求直線交點坐標
【分析】（1）利用點斜式求得直線的方程.
（2）先求得兩點的坐標，結(jié)合點到直線的距離公式、兩點間的距離公式求得三角形的面積.
【詳解】（1）由邊上的高所在直線方程為，得直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
（2）邊上的中線所在的直線方程為，
由，解得，即，
設(shè)，則，
所以，解得，即，
，到的距離為，
所以的面積為.
2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求過兩條直線與的交點，且分別滿足下列條件的直線方程.
(1)過點；
(2)平行于直線.
【答案】(1)
(2)
【知識點】由兩條直線平行求方程、求直線交點坐標、直線的點斜式方程及辨析、直線兩點式方程及辨析
【分析】（1）求出兩條直線與的交點，利用兩點式方程整理計算即可;
（2）求出平行于的直線斜率，利用點斜式方程整理計算即可.
【詳解】（1）由解得,
即兩直線的交點坐標為.
直線經(jīng)過點和，由兩點式方程得，，
化簡得所求直線方程為.
（2）由可得直線的斜率為，
故平行于直線的直線的斜率為，
結(jié)合（1）問可得：兩條直線與的交點為，
由點斜式方程得，，
化簡得所求直線方程為.
3．（23-24高二上·四川南充·期末）已知直線．
(1)若直線與直線垂直，且經(jīng)過，求直線的斜截式方程；
(2)若直線與直線平行，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，求直線的一般式方程．
【答案】(1)
(2)
【知識點】直線的斜截式方程及辨析、由兩條直線平行求方程、由兩條直線垂直求方程、直線圍成圖形的面積問題
【分析】（1）根據(jù)垂直設(shè)，代入得到直線方程，再化成斜截式即可；
（2）設(shè)，得到面積表達式求出值即可.
【詳解】（1）由題意設(shè)直線的方程為:，
由直線經(jīng)過得:，解得:，
直線的方程為:，即.
（2）由題意設(shè)直線的方程為:，
令，則;令，則，
所以直線兩坐標軸圍成的三角形的面積三角形的面積，
解得:，
所以直線的一般式方程為.
4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的頂點的坐標分別為邊所在直線過點.
(1)求邊所在直線的方程；
(2)求對角線所在直線的方程.
【答案】(1)BC所在直線方程為，AD所在直線方程為
(2)
【知識點】已知兩點求斜率、直線的點斜式方程及辨析、直線一般式方程與其他形式之間的互化、由兩條直線垂直求方程
【分析】（1）求出，由點斜式求出直線方程；
（2）求出的中點坐標，再根據(jù)垂直關(guān)系得到，利用點斜式寫出直線方程，得到答案.
【詳解】（1）由菱形的性質(zhì)可知，則.
所以邊所在直線的方程為，即；
邊所在直線的方程為，即.
（2）線段的中點為，
由菱形的幾何性質(zhì)可知，且為的中點，則，
所以對角線所在直線的方程為，即.
5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三個頂點分別為．
(1)設(shè)線段的中點為，求中線所在直線的方程；
(2)求邊上的高線的長．
【答案】(1)
(2)
【知識點】直線的點斜式方程及辨析、求點到直線的距離
【分析】（1）由中點坐標公式可得線段的中點為的坐標，再根據(jù)點斜式即得中線所在直線的方程；
（2）由題意可得直線的斜率，由直線的點斜式可得方程，然后由點到直線的距離公式代入可求得邊上的高線的長.
【詳解】（1）設(shè)的坐標為，則，，
即，所以，
則中線所在直線方程為，即．
（2）由題意得．
則直線的方程為，即
中，邊上的高線的長就是點到直線的距離．
十二、兩條直線平行與垂直問題（共5小題）
1．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知兩條不重合的直線和．若，則實數(shù)的值為（）
A．B．C．1D．或1
【答案】B
【知識點】已知直線平行求參數(shù)
【分析】
根據(jù)平行可解得實數(shù)，驗證可得正確的選項.
【詳解】因為，故，故或，
當時，的方程均為，它們重合，故舍去；
當時，，，它們平行，
故選：B.
2．（23-24高二上·江蘇連云港·期末）若兩條直線和平行，則實數(shù)的值為（）
A．1B．C．D．
【答案】D
【知識點】已知直線平行求參數(shù)
【分析】由直線平行求出，注意檢驗重合情形即可.
【詳解】因為兩直線平行，
所以，
解得或，
當時，兩直線重合，舍去，
故選：D
3．（23-24高一下·重慶·期末）已知直線和直線垂直，則實數(shù) .
【答案】
【知識點】已知直線垂直求參數(shù)
【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，從而求得的值.
【詳解】由于，所以，
解得，所以的值為.
故答案為：
4．（23-24高二上·四川綿陽·期末）已知直線：與直線：.若，則 .
【答案】2
【知識點】已知直線垂直求參數(shù)
【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，由此求得的值.
【詳解】因為，所以，解得.
故答案為：2.
5．（22-23高二上·遼寧·期中）已知直線：，直線：
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【知識點】已知直線平行求參數(shù)、已知直線垂直求參數(shù)
【分析】（1）（2）利用直線平行、垂直的判定列方程求參數(shù)值，對于平行情況需要驗證所得參數(shù)是否符合要求.
【詳解】（1）由，則，即，
所以或，
當，，，兩線重合，不合題設(shè)；
當，，，符合題設(shè)；
綜上，
（2）由，則，即，
所以，即或.
十三、直線中的距離問題（共3小題）
1．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）點到直線l：的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】求點到直線的距離
【分析】由點到直線的距離公式求解即可.
【詳解】點到直線l：的距離為.
故選：A
2．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知動點分別在直線與上移動，則線段的中點到坐標原點的距離可能為（）
A．B．C．D．
【答案】CD
【知識點】由兩條直線平行求方程、求點到直線的距離、求平行線間的距離
【分析】根據(jù)直線平行可得在直線上運動，即可根據(jù)點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】解：動點分別在直線與上移動，
又線段的中點為，，
在直線上運動，
到直線的距離．
到坐標原點的距離大于等于．
故選：CD．
3．（23-24高二下·廣東江門·期末）已知直線與圓交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．
【答案】（答案不唯一）
【知識點】求點到直線的距離、圓的弦長與中點弦、三角形面積公式及其應(yīng)用、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】利用圓的弦長求法，結(jié)合面積可得方程求解即可.
【詳解】由圓可知，圓心，半徑，
設(shè)圓心到直線的距離為，
由垂徑定理可知，
由面積為知：，解得或，
則由點到直線的距離公式得：，
當時，有，解得：，
當時，有，解得：，
故答案為：（取這三個中的任何一個都算對，答案不唯一）.
十四、二元二次方程表示圓的條件（共4小題）
1．（23-24高二上·廣東江門·期末）方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系
【分析】由計算即可得.
【詳解】，即.
故選：D.
2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知點在圓外，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【知識點】點與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、圓的一般方程與標準方程之間的互化、二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系
【分析】由點和圓的位置關(guān)系，圓的一般方程可表示圓的條件，列出兩個不等式進行求解即可.
【詳解】由表示圓，
標準方程是,
所以，解得，
由點在圓外，
即，
所以或，
綜上.
故答案為：.
3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍為．
【答案】
【知識點】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系
【分析】根據(jù)圓的一般方程條件計算即可得到答案.
【詳解】方程表示一個圓，
則，得.
故答案為：
4．（23-24高二上·廣東·期末）若方程表示一個圓，則實數(shù)m的取值范圍是．
【答案】
【知識點】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系、圓的一般方程與標準方程之間的互化
【分析】將圓的一般方程寫成標準方程，在根據(jù)等號右邊的式子大于0求解.
【詳解】原方程可化為，方程表示圓，則有，即.
故答案為：
十五、求圓的方程（共3小題）
1．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知圓過點，則圓的標準方程是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知識點】求過已知三點的圓的標準方程、由圓心（或半徑）求圓的方程
【分析】由題意可得圓心，半徑，即可得圓的標準方程.
【詳解】由在圓上，故圓心在直線上，
由在圓上，故圓心在直線上，
即圓心，半徑，
故方程為.
故選：A.
2．（23-24高三上·江蘇·期末）已知的頂點是，，，則的外接圓的方程是．
【答案】
【知識點】求圓的一般方程
【分析】設(shè)圓的一般方程為，分別將三個點坐標代入圓的方程，解方程組求出，即可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)所求圓的一般方程為，
因為點，，在圓上，
所以，
解得，
則所求圓的一般方程為：，
.故答案為：.
3．（23-24高二上·河北滄州·期末）在△OAB中，O是坐標原點，，．
(1)求AB邊上的高所在直線的方程；
(2)求△OAB的外接圓方程
【答案】(1)
(2)
【知識點】直線的點斜式方程及辨析、求圓的一般方程、由兩條直線垂直求方程
【分析】（1）先求出邊上的高線的斜率，再利用點斜式求出邊上的高所在直線的方程；
（2）設(shè)的外接圓的方程為（），則把的坐標代入求得的值，可得圓的方程．
【詳解】（1）∵直線AB的斜率，
∴AB邊上的高所在直線的斜率，
又AB邊上的高所在直線過原點O，
∴AB邊上的高所在直線的方程為．
（2）設(shè)的外接圓的方程為（），
則，解得，
∴的外接圓方程為．
十六、直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）
1．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直線和曲線，當時，直線與曲線的交點個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．無法確定
【答案】B
【知識點】判斷直線與圓的位置關(guān)系、直線過定點問題
【分析】根據(jù)直線所過定點，結(jié)合圖象即可判定.
【詳解】直線的方程可化為，
所以直線恒過點，
曲線即，
表示圓心為坐標原點，半徑為3的圓的上半部分（如圖），
由圖可知，當時，直線與曲線的交點個數(shù)為1.
故選：B.
2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）已知直線和圓，則直線l與圓C（）
A．相切B．相離
C．相交D．相交且過圓心
【答案】A
【知識點】判斷直線與圓的位置關(guān)系、求點到直線的距離
【分析】計算圓心到直線的距離，將這個距離和半徑比較即可.
【詳解】由圓，可得圓心，半徑，
則圓心到直線的距離為，即，
所以直線與圓相切.
故選：A.
3．（23-24高三上·河北秦皇島·期末）在平面直角坐標系中，若對任意，圓與直線恒相切，則直線的斜率是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】由題意可得，結(jié)合的任意性以及恒成立問題分析求解即可．
【詳解】設(shè)直線，則到直線的距離，
若要對任意恒成立，則，且，
解得，由，有．
故選：A
4．（多選）（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直線與圓交于A，B兩點，則的值可以為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】AB
【知識點】求點到直線的距離、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】直線與圓相交得到圓心到直線的距離小于半徑求解即可得到答案．
【詳解】解：因為直線與圓相交于不同的兩點、，
所以圓心到直線的距離，解得，
選項中只有3,4滿足，
故選：AB．
十七、圓與圓的位置關(guān)系（共5小題）
1．（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）
A．內(nèi)切B．相交C．外切D．外離
【答案】B
【知識點】判斷圓與圓的位置關(guān)系、由標準方程確定圓心和半徑
【分析】將圓的方程化為標準方程，得各自的半徑，圓心，結(jié)合圓心距滿足的條件即可判斷.
【詳解】由題意圓：即圓：的圓心，半徑分別為，
圓：即圓：的圓心，半徑分別為，
所以兩圓的圓心距滿足，
所以兩圓的位置關(guān)系為相交.
故選：B.
2．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圓：（，）與圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（）
A．相交B．相切C．外離D．與m的取值有關(guān)
【答案】C
【知識點】判斷圓與圓的位置關(guān)系
【分析】求出兩圓心距離，判斷其與兩圓半徑和的大小即可得答案.
【詳解】圓：，
即，圓心，半徑，
圓：，
即，圓心，半徑，
所以當時，
所以圓與圓的位置關(guān)系是外離.
故選：C.
3．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）設(shè)，若圓與圓有公共點，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點】由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍
【分析】根據(jù)兩圓心距離與半徑和與差的關(guān)系列不等式求解.
【詳解】圓，圓心為，半徑為，
圓，圓心為，半徑為，
若圓與圓有公共點，
則，又，所以.
故選：D
4．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）已知與圓：和圓：都相切的直線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【知識點】圓的公切線條數(shù)、由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍
【分析】由題意可得兩圓相交，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求參即可.
【詳解】圓：的圓心，半徑，
圓：的圓心，半徑，
因為與圓：和圓：都相切的直線有且僅有兩條，
所以兩圓相交，則，
即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
5．（23-24高二上·福建龍巖·期末）已知圓與圓外離，則實數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】
【知識點】由標準方程確定圓心和半徑、由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍
【分析】由題意表示出兩圓的圓心半徑，進一步結(jié)合兩圓外離列出不等式即可求解.
【詳解】由題意圓與圓的圓心、半徑依次分別為，
因為兩圓外離，
所以圓心距滿足，解得，
即實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
十八、圓錐曲線中的定義問題（共4小題）
1．（23-24高二上·天津?qū)幒印て谀┰O(shè)橢圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，其中一個焦點在拋物線的準線上，且橢圓上的任意一點到兩個焦點的距離的和等于10，則橢圓的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識點】利用橢圓定義求方程、橢圓的方程與橢圓（焦點）位置的特征、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、根據(jù)拋物線方程求焦點或準線
【分析】根據(jù)拋物線方程有準線為，由題意可得、，進而寫出橢圓方程.
【詳解】由拋物線的準線為，故橢圓的一個焦點為，則，
由橢圓定義知，故，
所以橢圓方程為.
故選：C
2．（多選）（23-24高二上·山東聊城·期末）若平面內(nèi)的動點Px,y滿足，則（）
A．時，點的軌跡為圓
B．時，點的軌跡為圓
C．時，點的軌跡為橢圓
D．時，點的軌跡為雙曲線
【答案】ABD
【知識點】求平面軌跡方程、橢圓定義及辨析、軌跡問題——圓、利用雙曲線定義求方程
【分析】根據(jù)條件，結(jié)合選項，利用圓、橢圓、雙曲線的定義，逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】對于選項A，當時，由，得到，
其表示動點到定點的距離為，由圓的定義知點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以選項A正確，
對于選項B，當時，由，得到，
整理得到，即，所以選項B正確，
對于選項C，當時，由，
得到，其表示動點到定點和的距離之和為，
又兩定點，間的距離為，所以點的軌跡為線段上的點，故選項C錯誤，
對于選項D，當時，由，
得到，其表示動點到定點和的距離之差的絕對值為，
又，由雙曲線的定義知，點的軌跡為雙曲線，
故選：ABD.
3．（多選）（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知圓，圓，圓，圓，直線，則（）
A．與圓都外切的圓的圓心軌跡是雙曲線的一支
B．與圓外切?內(nèi)切的圓的圓心軌跡是橢圓
C．過點且與直線相切的圓的圓心軌跡是拋物線
D．與圓都外切的圓的圓心軌跡是一條直線
【答案】ABC
【知識點】利用拋物線定義求動點軌跡、軌跡問題——橢圓、求雙曲線的軌跡方程
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系確定，A正確，，B正確，根據(jù)拋物線定義知C正確，確定，得到D錯誤，得到答案.
【詳解】對選項A：設(shè)圓心為，半徑為，則，，故，
圓心軌跡是雙曲線的一支，正確；
對選項B：設(shè)圓心為，半徑為，則，，故，
圓心軌跡是橢圓，正確；
對選項C：設(shè)圓心為，半徑為，故到定點和定直線的距離相等為，
圓心軌跡是拋物線，正確；
對選項D：設(shè)圓心為，半徑為，則，，故，
在兩圓外，圓心軌跡是兩條射線，錯誤；
故選：ABC.
4．（23-24高二下·上海寶山·期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常常可以巧妙地解決問題，所以“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法之一.比如：這個代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點可得，方程的解為 .
【答案】
【知識點】由距離求點的坐標、利用雙曲線定義求方程
【分析】將原方程配方，方程的解轉(zhuǎn)化為直線與雙曲線的交點的縱坐標。
【詳解】原方程可化為，
其幾何意義為點到0,4，距離之差的絕對值等于，
則該點的軌跡滿足雙曲線的定義，根據(jù)雙曲線的定義得：，，，所以，
又因為雙曲線焦點在軸上，所以雙曲線的標準方程為：，
令得，所以原方程的解為。
故答案為：
十九、圓錐曲線中上的點到定點的和差問題（共6小題）
1．（23-24高二上·山西太原·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，點M在C上，點N的坐標為，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】橢圓上點到焦點和定點距離的和、差最值
【分析】根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合三點共線來求得的取值范圍.
【詳解】依題意，，，，
，，
所以，當位于線段與橢圓交點處時等號成立.
根據(jù)橢圓的定義可知，
如圖所示，設(shè)的延長線與橢圓相交于，
則當位于時，取得最大值為，
綜上所述，的取值范圍為.
故選：B
【點睛】在橢圓中，求解橢圓上的點到焦點、定點的距離的和或差的最值，可以考慮通過橢圓的定義進行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合三點共線來確定最值.在解題過程中，要畫出對應(yīng)的圖象，結(jié)合圖象來進行求解.
2．（23-24高二上·山東青島·期末）設(shè)拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）
A．3B．2C．D．5
【答案】B
【知識點】求點到直線的距離、拋物線定義的理解、拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值、根據(jù)拋物線方程求焦點或準線
【分析】求出拋物線的焦點坐標及準線方程，利用拋物線定義及點到直線的距離公式求解即得.
【詳解】拋物線的焦點，準線，
過點作于，垂直于直線于點，顯然，
點到直線的距離，
則，
當且僅當點是點到直線的垂線段與拋物線的交點時取等號，
所以的最小值為2.
故選：B

3．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，點是拋物線上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【知識點】拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值、拋物線定義的理解
【分析】根據(jù)拋物線定義確定，分析出圓的圓心和半徑，點是圓上的一點，則有,即，由此將求的最小值問題轉(zhuǎn)化為求最小值問題，得出當且僅當、、三點共線時，取得最小值即可.
【詳解】

由題意知是拋物線的焦點，拋物線準線方程為：，過點
作垂直于準線，垂足為,即點到拋物線線的準線的距離為：；
圓是圓心為，半徑的圓，根據(jù)拋物線定義有：
，因為點是圓上的一點,所以,
即,由此有：，
當且僅當、、三點共線時，取得最小值，
所以，
所以的最小值為6.
故選：B.
4．（多選）（21-22高二上·河北滄州·期末）已知點為雙曲線右支上一點，、分別為圓：、：上的動點，則的值可能為（）
A．2B．6C．9D．12
【答案】BC
【知識點】雙曲線定義的理解、利用定義求雙曲線中線段和、差的最值、由標準方程確定圓心和半徑
【分析】先由已知條件可知雙曲線的兩個焦點為兩個圓的圓心，再利用平面幾何知識把轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點到兩焦點之間的距離，結(jié)合雙曲線的定義可求出的范圍，從而可得答案
【詳解】由雙曲線的方程可得，焦點為，
圓：的圓心為，半徑為2，
圓：的圓心為，半徑為1，
所以，，
所以,
，
所以，
故選：BC
5．（23-24高二上·山東臨沂·期中）已知是橢圓的左焦點，點為該橢圓上一動點，若在橢圓內(nèi)部，則的最大值為；的最小值為．
【答案】 8
【知識點】橢圓上點到焦點和定點距離的和、差最值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
【分析】設(shè)右焦點為，根據(jù)橢圓的定義得到，則，求出橢圓的左準線方程，根據(jù)圓錐曲線的第二定義，設(shè)到左準線的距離為，則，所以，則，即可得解.
【詳解】橢圓中，，，則，
設(shè)右焦點為，則，離心率，
則，所以，
所以，當且僅當在的延長線與橢圓的交點時取等號；

又橢圓左準線方程為，
設(shè)到左準線的距離為，則，所以，
所以，
當且僅當在過點作左準線的垂線與橢圓的交點時取等號..

故答案為：；
6．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知，是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為．
【答案】7
【知識點】利用定義求雙曲線中線段和、差的最值、求雙曲線的焦點坐標、利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題
【分析】由題意結(jié)合雙曲線定義將轉(zhuǎn)換為，進一步由三角形三邊關(guān)系即可求解.
【詳解】如圖所示：

由題意，設(shè)為雙曲線右焦點，線段與雙曲線右支交于點，
所以，等號成立當且僅當重合，
所以的最小值為7.
故答案為：7.
二十、焦點三角形問題（共6小題）
1．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知橢圓C：的左右焦點分別為，，P是橢圓C上的動點，點，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．面積的最大值是
C．橢圓C的離心率為D．最小值為
【答案】ACD
【知識點】橢圓中焦點三角形的面積問題、橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓上點到焦點和定點距離的和、差最值
【分析】A選項，根據(jù)橢圓定義求出答案；B選項，數(shù)形結(jié)合得到當在上頂點或下頂點時，面積最大，求出最大值；C選項，由直接求解即可；D選項，作出輔助線，結(jié)合橢圓定義得到，當三點共線且在之間時,取得最小值，得到答案.
【詳解】A選項，由題意得，
由橢圓定義可得，A正確；
B選項，當在上頂點或下頂點時，面積最大，
最大值為，B錯誤；
C選項，離心率，C正確；
D選項，因為，所以點在橢圓內(nèi)，連接，
由橢圓定義可知，故，
故，
當三點共線且在之間時，取得最小值，
最小值為，
所以最小值為，D正確.
故選：ACD
2．（多選）（23-24高二上·重慶·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，上項點為B，直線與橢圓C相交于M、N兩點，點，則下列選項正確的是（）
A．四邊形的周長為12
B．當時，的面積為
C．直線，的斜率之積為
D．若點P為橢圓C上的一個動點，則的最小值為
【答案】AD
【知識點】橢圓中焦點三角形的面積問題、橢圓上點到焦點和定點距離的和、差最值、橢圓中焦點三角形的周長問題、橢圓中的定值問題
【分析】根據(jù)橢圓定義結(jié)合橢圓對稱性可判斷A；利用焦點三角形的面積公式可判斷B；設(shè)Mx1,y1，，表示出，的斜率之積，結(jié)合點在橢圓上即可化簡求值，判斷C；將轉(zhuǎn)化為，利用圖形的幾何意義求解，判斷D.
【詳解】對于A，由題意知對于橢圓，，
與橢圓交于，兩點，
則，關(guān)于原點對稱，且，,
故四邊形的周長為，A正確；
對于B，因為，所以，的面積為，
故B錯誤；
對于C，設(shè)Mx1,y1，則，而，
故，
而Mx1,y1在橢圓上，即，
即，故，C錯誤；
對于D，由于點為橢圓上的一個動點，故,
則，故，
當且僅當共線時，且P在之間時等號成立，
而，，
故的最小值為，D正確，
故選：AD.
3．（多選）（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知為橢圓上一點，分別為橢圓的上焦點和下焦點，若構(gòu)成直角三角形，則點坐標可能是（）.
A．B．
C．D．
【答案】AD
【知識點】橢圓中焦點三角形的其他問題、求橢圓上點的坐標
【分析】根據(jù)給定條件，按直角頂點為點和焦點分類求出點坐標.
【詳解】橢圓的焦點，設(shè)，
由為直角三角形，則直角可能為
若為直角，則，由，得；
若為直角，則，由，得；
若為直角，則在圓上，
由，解得，
所以點坐標可能是AD.
故選：AD
4．（多選）（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓C：，，分別為橢圓的左、右焦點，A，B分別為橢圓的左、右頂點，點P是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論正確的有（）
A．存在點P使得
B．的最小值為
C．若，則的面積為1
D．直線PA與直線PB的斜率乘積為定值
【答案】AC
【知識點】橢圓中焦點三角形的面積問題、橢圓中焦點三角形的其他問題、橢圓中的定值問題
【分析】設(shè)橢圓短軸頂點為根據(jù)的符號即可判斷A；記，則，結(jié)合余弦定理與基本不等式求解判斷B；結(jié)合題意得，進而計算面積判斷C；設(shè)，直接求解即可判斷D.
【詳解】設(shè)橢圓短軸頂點為，
由題知橢圓：中，，
則，，，，
對于A選項，由于，，
所以的最大角為鈍角，故存在P使得，故A正確；
對于B選項，記，則，
由余弦定理得
，當且僅當時取“”，故B錯誤；
對于C選項，由于，
故，
所以，故C正確；
對于D選項，設(shè)，
則，，
于是，故D錯誤.
故選：AC.
5．（多選）（23-24高二下·貴州六盤水·期末）圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點處發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線在點處反射后，反射光線所在直線經(jīng)過另一個焦點，且雙曲線在點處的切線平分．如圖，對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線過點，其左、右焦點分別為．若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上一點反射的光線為，點處的切線交軸于點，則下列說法正確的是（）
A．雙曲線的方程為
B．過點且垂直于的直線平分
C．若，則
D．若，則
【答案】ABD
【知識點】利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、等軸雙曲線、余弦定理解三角形
【分析】選項A，利用條件，設(shè)雙曲線方程為，再利用雙曲線過點，即可求解；選項B，根據(jù)條件，借助圖形，即可求解；選項C，利用余弦定理及雙曲線的定義，得到，再結(jié)合條件，即可求解；選項D，利用C中結(jié)果，再結(jié)合條件，即可求解.
【詳解】對于A，因為雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，
所以，解得，得到雙曲線的方程為，正確，
對于B，如圖，由題知，，所以，
若，所以，正確，
對于C，記，所以，
又，得到，又，
所以，又，
由，得，錯誤，
對于D，因為，，
由，得，
又，得到，得到，
從而有，得到，
由，得到，
從而有，解得，正確，
故選：ABD.
6．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知分別為雙曲線的左、右焦點，點A為雙曲線右支上任意一點，點，下列結(jié)論中正確的是（）
A．
B．若，則的面積為2
C．過P點且與雙曲線只有一個公共點的直線有3條
D．存在直線與雙曲線交于M，N兩點，且點P為中點
【答案】AB
【知識點】求弦中點所在的直線方程或斜率、利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題
【分析】對A，根據(jù)雙曲線的定義判斷即可；對B，根據(jù)雙曲線定義結(jié)合勾股定理求解即可；對C，數(shù)形結(jié)合分析判斷即可；對D，根據(jù)點差法結(jié)合雙曲線性質(zhì)求解即可.
【詳解】對A，根據(jù)雙曲線的定義可得，故A正確；
對B，因為，，則，
又，故，即，
故，故B正確；
對C，由雙曲線的漸近線可得，過點且與雙曲線只有一個公共點的直線有
與兩條漸近線分別平行的兩條直線、與雙曲線右支相切的兩條直線，共4條，故C錯誤；
對D，設(shè)存在兩點，為中點，則，
即，又，故，
，故，即.
由漸近線的性質(zhì)可得過點且斜率為2的直線與雙曲線無交點，
故不存在直線與雙曲線交于M，N兩點，且點P為中點，故D錯誤.

故選：AB
二十一、離心率問題（共11小題）
1．（23-24高二下·廣東廣州·期末）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.將油紙傘撐開后擺放在戶外場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（某時刻，陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，則該橢圓的離心率為（）

A．B． C．D．
【答案】B
【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
【分析】結(jié)合橢圓的知識以及正弦定理求得，進而可得橢圓的離心率.
【詳解】如圖，為傘沿所在圓的直徑，為橢圓形的左右頂點，
由題意可得，則，
陽光照射方向與地面的夾角為60°，即，
則，
，
在中，，即，
即，解得，而，故,
.
故選：B.
2．（23-24高二下·海南?？凇て谀┮阎?，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，，，則C的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中焦點三角形的其他問題
【分析】根據(jù)已知向量關(guān)系得出直角，再根據(jù)定義得出長軸長及焦距關(guān)系計算出離心率即可.
【詳解】
因為所以,
在中,
所以,
所以,
所以.
故選：A.
3．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知雙曲線的左右焦點分別為，曲線上存在一點，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】雙曲線定義的理解、利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】畫出圖形，用雙曲線定義和勾股定理構(gòu)造方程求解即可.
【詳解】如圖所示，為等腰直角三角形，且，
運用勾股定理，知道根據(jù)．由雙曲線定義，知道，
即，解得，故離心率為：.
故選：C.
4．（23-24高二下·山西長治·期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為，，過點的直線交的左支于兩點，若，，成等差數(shù)列，且，則的離心率是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】雙曲線定義的理解、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】由題意可得，再結(jié)合雙曲線的定義可得，設(shè)，在中，利用余弦定理求出，再利用雙余弦定理得出的關(guān)系式，即可得解.
【詳解】因為，，成等差數(shù)列，
所以，即，
又因為，
所以，所以，
設(shè)，則，
故，
在中，由余弦定理得，
，
解得（舍去），
所以，
因為，所以，
即，
即，
整理得，所以，
即的離心率是.
故選：A.
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
5．（23-24高二下·江蘇鹽城·期末）若雙曲線C：的漸近線與圓沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進而利用圓心到漸近線的距離大于半徑求得a和b的關(guān)系，進而利用求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可求．
【詳解】雙曲線漸近線為，且與圓沒有公共點，
圓心到漸近線的距離大于半徑，即，，，．
故選：B．
6．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點、，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最小值為 .
【答案】/
【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】利用橢圓和雙曲線的定義，在焦點三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解.
【詳解】不妨設(shè)為第一象限的點，為左焦點，
設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，
則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，
，所以，，
，在△中，，
由余弦定理得，
化簡得，即．
所以，從而，
當且僅當，且，即，時等號成立．
故答案為：
7．（23-24高二下·四川德陽·期末）已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：的右焦點，若C上存在一點P，使得為等邊三角形，則橢圓C的離心率為 .
【答案】/
【知識點】橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
【分析】由條件可知為直角三角形，結(jié)合橢圓定義確定關(guān)系，由此可求離心率.
【詳解】取橢圓的左焦點，連結(jié)，

由為等邊三角形，則，
可知為直角三角形，且，
設(shè)，則，，
可得，則，
所以橢圓的離心率是.
故答案為：.
8．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知橢圓的左?右焦點分別是是橢圓上兩點，四邊形為矩形，延長交橢圓于點，若，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
【分析】設(shè)，則，，表示出，在中求出PF1，再結(jié)合橢圓的定義可得，然后在中利用勾股定理列方程可求出離心率.
【詳解】設(shè)，則由題意可得，，，
所以，
在中，，
因為，所以，解得，
所以，，
因為，所以，
所以，解得，
所以離心率.
故答案為：
9．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）已知圓與雙曲線的漸近線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為．
【答案】
【知識點】求點到直線的距離、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、已知方程求雙曲線的漸近線、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進而利用圓心到漸近線的距離小于等于半徑求得a和b的關(guān)系，進而利用求得a和c的不等關(guān)系，即雙曲線的離心率范圍可求．
【詳解】圓，雙曲線的漸近線為，
圓與雙曲線的漸近線有公共點，
圓心到漸近線的距離，
，，即，
．
故答案為：．
10．（23-24高二下·貴州遵義·期末）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過點作垂直于一條漸近線的直線l，分別交兩漸近線于A，B兩點，且A，B分別在第一、四象限，若，則該雙曲線的離心率為．
【答案】##
【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、已知方程求雙曲線的漸近線
【分析】先根據(jù)點到直線距離公式求得，再由，用表示出，根據(jù)雙曲線的漸近線方程及正切二倍角公式，即可求得與的等量關(guān)系式，進而求得雙曲線的離心率.
【詳解】由題意知：雙曲線的右焦點，漸近線方程為，
即，
由點到直線距離公式可知：，
又，
，
∵，即，
設(shè)，則，
而，，
由正切二倍角公式可知：，
即，化簡可得：，
即，
由雙曲線離心率公式可知.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
11．（23-24高二下·安徽·期末）在天文望遠鏡的設(shè)計中利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點出發(fā)的入射光線經(jīng)雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為是的右支上一點，直線與相切于點.由點出發(fā)的入射光線碰到點后反射光線為，法線（在光線投射點與分界面垂直的直線）交軸于點，此時直線起到了反射鏡的作用.若，則的離心率為 .

【答案】43/113
【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】根據(jù)光學(xué)性質(zhì)可得，進而根據(jù)可得，故，結(jié)合雙曲線的定義，以及相似即可求解.
【詳解】

過點作于點，延長交的延長線于點，設(shè)上有一點，
由題意可得，，
又，所以，所以，故，
由雙曲線定義可得，故，
因為，，所以，故，
故離心率為，
故答案為：.
二十二、弦長問題（含焦點弦）（共10小題）
1．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知直線與橢圓交于，兩點，當取最大值時的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】求橢圓中的弦長、求直線與橢圓的交點坐標
【分析】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出交點坐標，即可表示出AB，再由二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，由，
消去整理得，解得或，則，，
則，，
所以
，
所以當，即時AB取最大值.
故選：C
2．（23-24高二下·廣東茂名·期末）已知直線與拋物線：交于兩點，則（）
A．B．5C．D．
【答案】B
【知識點】求直線與拋物線相交所得弦的弦長、與拋物線焦點弦有關(guān)的幾何性質(zhì)
【分析】證明直線過焦點，再利用焦半徑公式和韋達定理即可得到答案.
【詳解】將與拋物線聯(lián)立得，
設(shè)，
顯然拋物線焦點坐標為，令，即，則，則直線過焦點，
則.
故選：B.
3．（23-24高二上·寧夏固原·期末）直線過拋物線的焦點，且與該拋物線交于不同的兩點?，若，則弦的長是（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【知識點】拋物線的焦半徑公式、求直線與拋物線相交所得弦的弦長
【分析】利用拋物線的焦點弦公式可求得弦的長.
【詳解】拋物線的準線方程為，
因為直線過拋物線的焦點，
且與該拋物線交于不同的兩點Ax1,y1、Bx2,y2，
則.
故選：D.
4．（23-24高三上·河南·期末）已知拋物線，過點且斜率為的直線l交C于M，N兩點，且，則C的準線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點】由弦長求參數(shù)、根據(jù)拋物線方程求焦點或準線
【分析】設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，求出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用計算即可.
【詳解】設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，直線，
聯(lián)立得，
則，，又l經(jīng)過C的焦點，
則，解得，故的準線方程為．
故選：D．
5．（23-24高二上·山東聊城·期末）已知橢圓的上頂點為A，過點A的直線與C交于另一點B，則的最大值為．
【答案】
【知識點】求橢圓中的弦長、求橢圓中的最值問題
【分析】設(shè)出點，根據(jù)兩點間距離公式列式運算得解.
【詳解】設(shè)，則，，又，
所以，
當且僅當時，取得最大值.
所以的最大值為.
故答案為：.
6．（23-24高三上·北京東城·期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是；直線與雙曲線相交于，兩點，則 .
【答案】
【知識點】已知方程求雙曲線的漸近線、求雙曲線中的弦長、求直線與雙曲線的交點坐標
【分析】由已知可判斷雙曲線為焦點在軸上的雙曲線，可知，，表示漸近線方程即可；由可求的值，從而得到交點坐標，即可得到距離.
【詳解】由雙曲線：知雙曲線的焦點在軸，且，，
即，，所以雙曲線的漸近線方程為；
當時，，
設(shè)，則，所以.
故答案為：；.
7．（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）過點作直線與交于A，B兩點，若，則直線的傾斜角為 .
【答案】
【知識點】由弦長求參數(shù)、利用焦半徑公式解決直線與拋物線交點問題
【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程可求得，再利用拋物線的焦點弦公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】因為拋物線的焦點坐標，準線為，
則直線過拋物線的焦點，且由題意可知直線的斜率不為0，
不妨設(shè)直線為，，，
聯(lián)立，消去，得，
易知，則，故，
因為，所以，即，故，
所以直線的方程為，則直線的傾斜角為.
故答案為：.
8．（23-24高二下·安徽安慶·期末）已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，且，過點且與x軸不重合的直線與橢圓C交于P，Q兩點，已知的周長為8．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點作直線與直線垂直，且與橢圓C交于A，B兩點，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【知識點】求橢圓中的弦長、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求的值，從而得解；
（2）分的斜率不存在和存在兩種情況討論，利用弦長公式求出兩個弦長，然后用二次函數(shù)知識求出范圍即可得解.
【詳解】（1）已知，故，
的周長為，
故，，
故橢圓C的方程為；
（2）

①當?shù)男甭什淮嬖跁r，則的斜率為0，
設(shè)P的坐標為，Q的坐標為，代入方程，
解得，同理可得，所以，AB為長軸，
∴；
②當?shù)男甭蚀嬖跁r且不為0，則的斜率存在且不為0，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
設(shè)直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為，
將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得：
3+4k2x2?8k2x+4k2?12=0，，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
令，則，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴，即.
綜上①②可知，的取值范圍為.
9．（23-24高二上·重慶·期末）已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，且橢圓的短軸頂點到長軸頂點的距離為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過橢圓左頂點的直線與橢圓相交于另一點，設(shè)點為線段的中點，點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、求橢圓中的參數(shù)及范圍、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、求橢圓中的弦長
【分析】（1）由題意根據(jù)已知條件以及平方關(guān)系求出即可.
（2）通過三角代換設(shè)點的坐標，從而得點的坐標，結(jié)合兩點間距離公式以及三角函數(shù)值域即可求解.
【詳解】（1）由題意橢圓的一個焦點為，
不妨設(shè)它的標準方程為，
所以，
又橢圓的短軸頂點到長軸頂點的距離為，
所以，，
所以橢圓的標準方程為.
（2）
由題意設(shè)，所以點，
又因為，
所以，
所以.
10．（23-24高二上·河南南陽·期末）已知橢圓C：（，）的長軸為，短軸長為4．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設(shè)直線l：與橢圓C交于不同兩點A、B，且，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【知識點】根據(jù)弦長求參數(shù)、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程
【分析】（1）由長軸長和短軸長可得橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理和弦長公式即可求得m的值，則直線的方程可求.
【詳解】（1）由已知長軸為，短軸長為4，
可得，，
則橢圓C的標準方程為：；
（2）依題意，
解得，
因為，可得，
且，
因為，
解得，
所以直線的方程為l：．
二十三、中點弦問題（共10小題）
1．（多選）（23-24高二上·河南開封·期末）已知橢圓與直線相交于兩個不同的點，點為線段的中點，則（）
A．B．或
C．弦長的最大值為D．點一定在直線上
【答案】AD
【知識點】由韋達定理或斜率求弦中點、求橢圓中的弦長、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍
【分析】先聯(lián)立橢圓與直線的方程，得一元二次方程，用判別式求的取值范圍，進而判斷選項A、B；得出韋達定理形式，求弦長的表達式，判斷選項C；得到中點的坐標形式，判斷選項D.
【詳解】設(shè)兩點的坐標為：，
聯(lián)立橢圓與直線的方程，
得：，
由判別式，得，即，選項A正確，選項B不正確；
韋達定理：，
弦長，
當時，弦長取最大值，，選項C不正確；
由直線，線段中點的坐標為，
即，所以點的坐標滿足直線方程，選項D正確.
故選：AD.
2．（多選）（23-24高二上·廣東佛山·期末）設(shè)是雙曲線上的兩點，下列四個點中，可以作為線段中點的是（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【知識點】求弦中點所在的直線方程或斜率、由韋達定理或斜率求弦中點、由弦中點求弦方程或斜率
【分析】根據(jù)點差法，整理直線斜率與中點的等量關(guān)系，分別檢驗四個選項，利用一元二次方程根的存在性求解.
【詳解】當直線的斜率不存在時，由雙曲線的對稱性，則中點的縱坐標為，不合題意；
斜率存在時，設(shè)且中點坐枟為，將A,B代入，
可得: ，兩式相減可得：，
設(shè)直線的斜率存在，整理可得.
對于A，，直線，
化簡可得，代入可得，
整理可得，顯然方程無解，故A錯誤；
對于B，，直線，
化簡可得，代入可得，
，，
.由，
，故B正確；
對于C，，直線，
化簡可得，代入可得，
，，
，，
，故C正確；
對于，直線，
化簡可得，代入可得，
，，
，，
，故D正確.
故選：BCD.
3．（23-24高二上·山東臨沂·期末）已知橢圓的離心率為，直線與交于兩點，直線與的交點恰好為線段的中點，則的斜率為 .
【答案】/0.25
【知識點】由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數(shù)、由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍、由弦中點求弦方程或斜率、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍
【分析】根據(jù)橢圓的離心率可得，設(shè)，利用點差法，結(jié)合直線與的交點恰好為線段AB的中點，即可求得答案.
【詳解】由題意知橢圓的離心率為，
故，，
設(shè)，由題意知l的斜率存在，則，
設(shè)線段AB的中點為，
則直線l的斜率為，直線的斜率，
由，兩式相減得，
即得，即，
故，
故答案為：
4．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知雙曲線，過點的直線與相交于兩點，且為線段的中點，則直線的方程為 .
【答案】
【知識點】由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數(shù)
【分析】因為為線段的中點，所以由點差法可以得到直線的斜率，進而可以得到直線方程.
【詳解】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則兩式相減得，
即，所以
因為為線段的中點，
所以，
所以，即
由點斜式方程可得直線的方程為：，
即，經(jīng)檢驗適合題意.
故答案為：
5．（23-24高二上·江西·期中）設(shè)橢圓：（）的上頂點為，左焦點為.且，在直線上.
(1)求的標準方程；
(2)若直線與交于，兩點，且點為中點，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【知識點】由弦中點求弦方程或斜率、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程
【分析】
（1）由題意，可直接求出點，，從而確定基本量的值，進而求出橢圓的方程；
（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況分析，當斜率不存在時，直曲聯(lián)立，解方程即可進行取舍；當斜率存在時，直曲聯(lián)立，結(jié)合韋達定理和中點坐標公式列方程即可求.
【詳解】（1）
由題意，直線與軸的交點為，與軸的交點為，
所以，，，
因此的標準方程為.
（2）
當直線的斜率不存在時，：，
聯(lián)立，解得或，
故，，不滿足，即不是的中點，不符合題意.
當直線的斜率存在時，設(shè)直線：，，.
聯(lián)立可得，
即.
所以.
由于為的中點，所以，即，解得.
綜上，直線的方程為，即.
6．（23-24高二下·貴州六盤水·期末）定義：若橢圓上的兩個點Ax1,y1,Bx2,y2滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”．
如圖，為橢圓的“共軛點對”，已知，且點在直線上，直線過原點．

(1)求直線的方程；
(2)已知是橢圓上的兩點，為坐標原點，且．
（i）求證：線段被直線平分；
（ii）若點在第二象限，直線與相交于點，點為的中點，求面積的最大值．
【答案】(1)；
(2)（i）證明見解析；（ii）．
【知識點】橢圓中三角形（四邊形）的面積、由韋達定理或斜率求弦中點、根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、橢圓中的定直線
【分析】（1）根據(jù)“共軛點對”的定義可得；
（2）（i）方法一：利用點差法可證；方法二：設(shè)聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理可證；
（ii）利用弦長公式和點到直線的距離公式表示出，利用韋達定理化簡，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.
【詳解】（1）由已知，點在直線上，
又因為直線過原點，
所以所求直線的方程為：．

（2）（i）方法1：因為，所以
設(shè)，則，
兩式相減得，
整理得，
即，所以線段的中點在直線上．
所以線段被直線平分．
方法2：因為，，
所以設(shè)，
由，
由韋達定理得，于是，
從而，所以線段的中點在直線上．
（ii）由（i）可知為的中點，而為的中點，
所以．
由解得，設(shè)，
由，
由，
由韋達定理得．
點到直線的距離，
令，則，
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減；
所以，所以的最大值為．
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問第二小問解答關(guān)鍵在于對所求面積的轉(zhuǎn)化，以及韋達定理的運用，將所求問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解可得.
7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知標準雙曲線的焦點在軸上，且虛軸長，過雙曲線的右焦點且垂直軸的直線交雙曲線于兩點，的面積為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點的直線交雙曲線于兩點，且點是線段的中點，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【知識點】由弦中點求弦方程或斜率、根據(jù)a、b、c求雙曲線的標準方程
【分析】（1）根據(jù)題意，表示出AB，再由的面積，并結(jié)合雙曲線中的關(guān)系求解；
（2）法一：設(shè)出直線的點斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助韋達定理和中點坐標公式求解；法二：利用點差法求解.
【詳解】（1）由題設(shè)雙曲線，直線的方程為
聯(lián)立方程解得
，又，
，則
而
所以雙曲線的標準方程為.
（2）法一：因為過點的直線與雙曲線相交于兩點，
可知，直線的方程不是，
設(shè)直線的方程為即
聯(lián)立方程
得①
解得
將代入①，得
故直線的方程為.
法二：因為過點的直線與雙曲線相交于兩點，
可知，直線的方程不是，
設(shè)
得，
,
直線的方程為，即，
聯(lián)立方程
得，
故直線的方程為.
8．（23-24高二下·陜西西安·期末）已知橢圓過點，且其一個焦點與拋物線的焦點重合.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓交于，兩點，若點是線段的中點，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【知識點】根據(jù)橢圓過的點求標準方程、根據(jù)拋物線方程求焦點或準線、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、拋物線的中點弦
【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過的點以及焦點，即可求解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，即可根據(jù)中點關(guān)系求解.
【詳解】（1）拋物線的焦點為，
由題意得，解得，，
所以橢圓的方程為.
（2）直線的斜率存在，設(shè)斜率為，
直線的方程為，即，
聯(lián)立，
消去得：，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
因為，即，
所以，解得，
此時滿足題意
所以所求直線的方程為.
9．（23-24高二上·山東威?！て谀┮阎獟佄锞€的焦點為，過點的直線與圓相切于點，且.
(1)求；
(2)若點在拋物線上，且線段的中點為，求.
【答案】(1)2
(2)
【知識點】拋物線的中點弦、求直線與拋物線相交所得弦的弦長、根據(jù)焦點或準線寫出拋物線的標準方程
【分析】（1）由題意得，設(shè)圓心，由已知有，求解即可得出答案；
（2）直線的斜率存在，設(shè)，，方法一：利用直線與拋物線方程聯(lián)立，利用中點坐標公式、韋達定理，及弦長公式計算即可得出答案；方法二：利用點差法計算，即可得出答案.
【詳解】（1）由題意知，拋物線的焦點，
圓的圓心設(shè)為，半徑，
則，
又，可得.
（2）法一：由題意知，直線存在斜率，設(shè)的方程為，
，，
由，可得，
所以，，
因為線段的中點為，
所以，
即，所以，
所以，
所以.
法二：設(shè)，，
由，可得，
即，
因為線段的中點為，
所以，，
所以，
由，由，可得：，所以，所以，
所以.
10．（22-23高二上·廣西貴港·期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線交于兩點，且線段的中點坐標為，求直線的斜率.
【答案】(1)
(2)2
【知識點】根據(jù)拋物線上的點求標準方程、拋物線的中點弦
【分析】（1）根據(jù)點在拋物線上及焦半徑公式，列方程組求解即可；
（2）設(shè)出坐標，代入拋物線方程，結(jié)合弦中點，利用點差法即可求得直線的斜率.
【詳解】（1）由題可知，，解得，故拋物線的方程為.
（2）設(shè)，則，兩式相減得，
即.因為線段的中點坐標為，所以，則，
故直線的斜率為2.

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