TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30831" 【題型1 行程問題】 PAGEREF _Tc30831 \h 1
\l "_Tc24903" 【題型2 工程問題】 PAGEREF _Tc24903 \h 3
\l "_Tc15368" 【題型3 銷售、利潤問題】 PAGEREF _Tc15368 \h 7
\l "_Tc5080" 【題型4 數(shù)字問題】 PAGEREF _Tc5080 \h 10
\l "_Tc7260" 【題型5 年齡問題】 PAGEREF _Tc7260 \h 13
\l "_Tc14951" 【題型6 分配問題】 PAGEREF _Tc14951 \h 15
\l "_Tc17201" 【題型7 和、差、倍、分問題】 PAGEREF _Tc17201 \h 19
\l "_Tc8960" 【題型8 幾何問題】 PAGEREF _Tc8960 \h 22
\l "_Tc27711" 【題型9 圖表信息問題】 PAGEREF _Tc27711 \h 25
\l "_Tc4336" 【題型10 方案問題】 PAGEREF _Tc4336 \h 29
【題型1 行程問題】
【例1】（2022·黑龍江齊齊哈爾·七年級期末）甲乙二人分別從相距千米的A，兩地出發(fā)，相向而行．如果甲比乙早出發(fā)半小時(shí)，那么在乙出發(fā)后小時(shí)，他們相遇；如果他們同時(shí)出發(fā)，那么小時(shí)后兩人還相距千米，求甲乙二人每小時(shí)各走多少千米？
【答案】甲每小時(shí)走千米，乙每小時(shí)走千米
【分析】設(shè)甲每小時(shí)走千米，乙每小時(shí)走千米，根據(jù)題意列出方程組解答即可．
【詳解】解：設(shè)甲每小時(shí)走千米，乙每小時(shí)走千米，
根據(jù)題意，得．
整理，得．
解得．
答：甲每小時(shí)走千米，乙每小時(shí)走千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．
【變式1-1】（2022·江蘇·無錫市查橋中學(xué)七年級階段練習(xí)）甲、乙二人在一個(gè)大型環(huán)形場地上從A點(diǎn)同時(shí)同向勻速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，當(dāng)4分鐘時(shí)兩人首次相遇，此時(shí)乙還需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及環(huán)形場地的周長．
【答案】甲的速度為375米/分，乙的速度為150米/分，環(huán)形場地的周長為900米．
【分析】設(shè)乙的速度為x米/分，則甲的速度為2.5x米/分，環(huán)形場地的周長為y米，根據(jù)環(huán)形問題的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝環(huán)形周長建立方程組求出其解即可．
【詳解】解：設(shè)乙的速度為x米/分，則甲的速度為2.5x米/分，環(huán)形場地的周長為y米，
由題意，得：，
解得：，
∴甲的速度為：2.5×150＝375米/分；
答：甲的速度為375米/分，乙的速度為150米/分，環(huán)形場地的周長為900米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答時(shí)運(yùn)用環(huán)形問題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022·安徽·肥西縣嚴(yán)店初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）小北同學(xué)早晨騎車去上學(xué)，半小時(shí)可到達(dá)學(xué)校，媽媽發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學(xué)書丟在家中，在小北出發(fā)小時(shí)后乘上出租車去學(xué)校送書，出租車每小時(shí)的速度比小北騎車的速度快20千米，由于市政建設(shè)，出租車到校行駛的路程比小北騎車行駛的路程多1千米，恰好與小北同時(shí)到達(dá)學(xué)校．求小北需要騎行多少千米到學(xué)校？
【答案】5千米
【分析】設(shè)小北每小時(shí)騎行x千米，騎行y千米到達(dá)學(xué)校，利用小北同學(xué)早晨騎車去上學(xué)，半小時(shí)可到達(dá)學(xué)校和出租車到校行駛的路程比小北騎車行駛的路程多1千米，恰好與小北同時(shí)到達(dá)學(xué)校列出方程組即可求解．
【詳解】解：設(shè)小北每小時(shí)騎行x千米，騎行y千米到達(dá)學(xué)校，
由題意可得，
解得，
答：小北需要騎行5千米到達(dá)學(xué)校．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題意，找出題目的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022·安徽合肥·七年級期末）甲從A地出發(fā)步行到B地，乙同時(shí)從B地步行出發(fā)至A地，2小時(shí)后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小時(shí)．若設(shè)甲剛出發(fā)時(shí)的速度為a千米/小時(shí)，乙剛出發(fā)的速度為b千米/小時(shí)．
（1）A、B兩地的距離可以表示為 千米（用含a，b的代數(shù)式表示）；
（2）甲從A到B所用的時(shí)間是： 小時(shí)（用含a，b的代數(shù)式表示）；
乙從B到A所用的時(shí)間是： 小時(shí)（用含a，b的代數(shù)式表示）．
（3）若當(dāng)甲到達(dá)B地后立刻按原路向A返行，當(dāng)乙到達(dá)A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小時(shí)36分鐘又再次相遇，請問AB兩地的距離為多少？
【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+）；（2+）；（3）36.
【分析】（1）根據(jù)兩地間的距離=兩人的速度之和×第一次相遇所需時(shí)間，即可得出結(jié)論；
（2）利用時(shí)間=路程÷速度結(jié)合2小時(shí)后第一次相遇，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)AB兩地的距離為S千米，根據(jù)路程=速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于（a+b），S的二元一次方程組（此處將a+b當(dāng)成一個(gè)整體），解之即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）A、B兩地的距離可以表示為2（a+b）千米．
故答案為：2（a+b）．
（2）甲乙相遇時(shí)，甲已經(jīng)走了千米，乙已經(jīng)走了千米，
根據(jù)相遇后他們的速度都提高了1千米/小時(shí)，得甲還需小時(shí)到達(dá)B地，乙還需小時(shí)到達(dá)A地，
所以甲從A到B所用的時(shí)間為（2+ ）小時(shí)，乙從B到A所用的時(shí)間為（2+）小時(shí)．
故答案為：（2+）；（2+）．
（3）設(shè)AB兩地的距離為S千米，3小時(shí)36分鐘＝小時(shí)．
依題意，得： ，
令x＝a+b，則原方程變形為，
解得：．
答：AB兩地的距離為36千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式以及二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【題型2 工程問題】
【例2】（2022·陜西·西安高新一中實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期末）某廠的甲、乙兩個(gè)小組共同生產(chǎn)某種產(chǎn)品，若甲組先生產(chǎn)1天，然后兩組又各自生產(chǎn)7天，則兩組產(chǎn)品一樣多；若甲組先生產(chǎn)了300個(gè)產(chǎn)品，然后兩組又各自生產(chǎn)了5天，則乙組比甲組多生產(chǎn)200個(gè)產(chǎn)品；求兩組每天各生產(chǎn)多少個(gè)產(chǎn)品？
【答案】甲、乙兩組每天個(gè)各生產(chǎn)700、800個(gè)產(chǎn)品
【分析】設(shè)甲、乙兩組每天個(gè)各生產(chǎn)x、y個(gè)產(chǎn)品，則根據(jù)若甲組先生產(chǎn)1天，然后兩組又各自生產(chǎn)了7天，則兩組產(chǎn)量一樣多．若甲組先生產(chǎn)了300個(gè)產(chǎn)品，然后兩組各自生產(chǎn)5天，則乙組比甲組多生產(chǎn)200個(gè)產(chǎn)品兩個(gè)等量關(guān)系列方程組求解即可．
【詳解】解：設(shè)甲、乙兩組每天個(gè)各生產(chǎn)x、y個(gè)產(chǎn)品，根據(jù)題意得：

解得：
答：甲、乙兩組每天個(gè)各生產(chǎn)700、800個(gè)產(chǎn)品．
【點(diǎn)睛】本題考查列二元一次方程組解應(yīng)用題，掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題的方法與步驟，抓住等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·江蘇淮安·七年級期中）一家商店進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可以完成，需付費(fèi)用3480元．
(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元；
(2)已知甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需24天，單獨(dú)請哪個(gè)組，商店所需費(fèi)用少？
(3)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現(xiàn)有如下三種方式裝修：①甲單獨(dú)做；②乙單獨(dú)做；③甲乙合做，你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）問的條件及結(jié)論）
【答案】(1)甲組工作一天，商店應(yīng)付300元，乙組工作一天，商店應(yīng)付140元
(2)單獨(dú)請乙組，商店所需費(fèi)用少
(3)安排甲乙合作施工更有利于商店
【分析】（1）根據(jù)題意建立方程組并求解；
（2）將單獨(dú)請甲乙組的費(fèi)用計(jì)算出來，再進(jìn)行比較，得出答案；
（3）將三種方案損失費(fèi)用計(jì)算出來進(jìn)行比較，得出答案．
（1）
設(shè)甲組工作一天，商店應(yīng)付x元，乙組工作一天，商店應(yīng)付y元，
依題意得：，
解得：．
答：甲組工作一天，商店應(yīng)付300元，乙組工作一天，商店應(yīng)付140元．
（2）
300×12＝3600（元），
140×24＝3360（元）．
∵3600＞3360，
∴單獨(dú)請乙組，商店所需費(fèi)用少．
（3）
選擇①：（300+200）×12＝6000（元）；
選擇②：（140+200）×24＝8160（元）；
選擇③：（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴安排甲乙合作施工更有利于商店．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際運(yùn)用，熟練掌握方程組的實(shí)際運(yùn)用是本題解題關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·廣西賀州·七年級期末）在某外環(huán)公路改建工程中，某路段長6140米，現(xiàn)準(zhǔn)備由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)擬在25天內(nèi)(含25天)合作完成，已知兩個(gè)工程隊(duì)各有20名工人(設(shè)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的工人全部參與生產(chǎn)，甲工程隊(duì)每人每天工作量相同，乙工程隊(duì)每人每天工作量相同)，甲工程隊(duì)1天、乙工程隊(duì)2天共修路400米；甲工程隊(duì)2天、乙工程隊(duì)3天共修路700米．
（1）試問：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天分別修路多少米?
（2）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)施工8天后，由于工作需要需從甲隊(duì)調(diào)離m人去其他工程工作，總部要求在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成，請問：甲工程隊(duì)最多可以調(diào)離多少人?
【答案】（1）甲、乙兩工程隊(duì)每天分別修路200米和100米；（2）8人
【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)每天修路x米，乙工程隊(duì)每天修路y米．，根據(jù)題意列出方程組求解即可；
（2）設(shè)甲工程隊(duì)最多可以調(diào)走m人，根據(jù)路段長6140米，在25天內(nèi)合作完成和甲、乙工程每天修路的米數(shù)，列出方程，求出m的值即可；
【詳解】解：（1）設(shè)甲工程隊(duì)每天修路x米，乙工程隊(duì)每天修路y米．
依題意，得：
解之得：
答：甲、乙兩工程隊(duì)每天分別修路200米和100米．
（2）設(shè)甲工程隊(duì)最多可以調(diào)走m人．
依題意，得：
8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m) =6140．
解之得：m=8．
答：甲工程隊(duì)最多可以調(diào)走8人．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題目信息，理清題中的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵.
【變式2-3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）面對某國不斷對我國的打壓，我國自主品牌抗住壓力．以華為手機(jī)為例，今年一月份我國某工廠用自主創(chuàng)新的、兩種機(jī)器人組裝某款華為手機(jī)，每小時(shí)一臺(tái)種機(jī)器人比一臺(tái)種機(jī)器人多組裝50個(gè)該款華為手機(jī)，每小時(shí)10臺(tái)種機(jī)器人和5臺(tái)種機(jī)器人共組裝3500個(gè)該款華為手機(jī)．
（1）今年一月份，該工廠每小時(shí)一臺(tái)種機(jī)器人、一臺(tái)種機(jī)器人分別能組裝多少個(gè)該款華為手機(jī)？
（2）該工廠原有、兩種機(jī)器人的數(shù)量相等，因市場銷售火爆，二月份該工廠增加了一部分種機(jī)器人并淘汰了一部分種機(jī)器人，這樣種機(jī)器人的數(shù)量增加了，種機(jī)器人數(shù)量減少了．同時(shí)，該工廠對全部種機(jī)器人進(jìn)行了升級改造，升級改造后的機(jī)器人命名為種機(jī)器人，已知每小時(shí)一臺(tái)種機(jī)器人組裝該款華為手機(jī)的數(shù)量比原一臺(tái)種機(jī)器人組裝該款華為手機(jī)的數(shù)量增加了，每小時(shí)種機(jī)器人和種機(jī)器人組裝該款華為手機(jī)的數(shù)量之和比種機(jī)器人和種機(jī)器人組裝該款華為手機(jī)的數(shù)量之和提高了，求的值．
【答案】（1）A種機(jī)器人每小時(shí)組裝250個(gè)該款華為手機(jī)，B種機(jī)器人每小時(shí)組裝200個(gè)該款華為手機(jī)；（2）m的值為．
【分析】（1）設(shè)A種機(jī)器人每小時(shí)組裝a個(gè)該款華為手機(jī)，B種機(jī)器人每小時(shí)組裝b個(gè)該款華為手機(jī)，列出方程組解答即可；
（2）根據(jù)“每小時(shí)C種機(jī)器人和B種機(jī)器人組裝該款華為手機(jī)的數(shù)量之和比A種機(jī)器人和B種機(jī)器人組裝該款華為手機(jī)的數(shù)量之和提高了20%”題意列出方程解答即可．
【詳解】解：（1）設(shè)A種機(jī)器人每小時(shí)組裝a個(gè)該款華為手機(jī)，B種機(jī)器人每小時(shí)組裝b個(gè)該款華為手機(jī)，
則
解得：；
答：A種機(jī)器人每小時(shí)組裝250個(gè)該款華為手機(jī)，B種機(jī)器人每小時(shí)組裝200個(gè)該款華為手機(jī)；
（2）設(shè)該工廠原有A、B兩種機(jī)器人的數(shù)量為臺(tái)，
則A種機(jī)器人的數(shù)量為（），B種機(jī)器人的數(shù)量為（），
每小時(shí)一臺(tái)C種機(jī)器人組裝250(1+)=300個(gè)該款華為手機(jī)，
根據(jù)題意得：，
設(shè)，
方程整理得：，即，
解得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應(yīng)的方程組．
【題型3 銷售、利潤問題】
【例3】（2018·貴州·貴陽樂灣國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）2018年某歌手地表最強(qiáng)巡回演唱會(huì)于11月17日在貴陽奧林匹克體育中心舉行，小穎購買了一張票價(jià)為四位數(shù)的場地票（動(dòng)感地帶專屬），而小明一張購買了票價(jià)為三位數(shù)的看臺(tái)票（動(dòng)感地帶專屬）．小穎說，“在你的票價(jià)前面多寫個(gè)1,都還比我的便宜200元”；小明說，“只需在我的票價(jià)后多寫個(gè)0，就比你的貴3120元”.請問小穎和小明購買的演唱會(huì)門票各是多少元？
【答案】1680元，480元.
【分析】設(shè)小穎的票價(jià)為x元，小明的票價(jià)為y元，根據(jù)“小穎說，“在你的票價(jià)前面多寫個(gè)1,都還比我的便宜200元”；小明說，“只需在我的票價(jià)后多寫個(gè)0，就比你的貴3120元”.”找到等量關(guān)系，列出方程組，解方程組即可.
【詳解】設(shè)小穎的票價(jià)為x元，小明的票價(jià)為y元，根據(jù)題意得：

解得：
答：小穎和小明購買的演唱會(huì)門票分別為：1680元，480元.
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，正確的找到等量關(guān)系是解答關(guān)鍵.
【變式3-1】（2022·江西吉安·八年級期末）2018年10月，吉州區(qū)井岡蜜柚節(jié)迎來了四方游客，游客李先生選購了井岡蜜柚和井岡板栗各一箱需要200元．他還準(zhǔn)備給4位朋友每人送同樣的井岡蜜柚一箱，6位同事每人送同樣的井岡板栗一箱，就還需要1040元．
（1）求每箱井岡蜜柚和每箱井岡板栗各需要多少元？
（2）李先生到收銀臺(tái)才得知井岡蜜柚節(jié)期間，井岡蜜柚可以享受6折優(yōu)惠，井岡板栗可以享受8折優(yōu)惠，此時(shí)李先生比預(yù)計(jì)的付款少付了多少元？
【答案】（1）每箱井岡蜜柚需要80元，每箱井岡板栗需要120元；（2）李先生比預(yù)計(jì)的付款少付了328元
【分析】（1）、根據(jù)“井岡蜜柚和井岡板栗各一箱需要200元，4箱井岡蜜柚和6箱井岡板栗需要1040元”列二元一次方程組，解之即可得.
（2）根據(jù)節(jié)省的錢數(shù)＝原價(jià)×數(shù)量﹣打折后的價(jià)格×數(shù)量，即可求出結(jié)論．
【詳解】解：（1）設(shè)每箱井岡蜜柚需要x元，每箱井岡板栗需要y元，
依題意，得：，
解得：．
答：每箱井岡蜜柚需要80元，每箱井岡板栗需要120元．
（2）200+1040﹣80×0．6×（4+1）﹣120×0．8×（6+1）＝328（元）．
答：李先生比預(yù)計(jì)的付款少付了328元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022·江蘇南通·七年級期末）小瑞去花店購買鮮花，若買5支玫瑰和3支百合，則她所帶的錢還剩下10元；若買3支玫瑰和5支百合，則她所帶的錢還缺4元．
(1)若小瑞所帶的錢是51元，請分別求出玫瑰和百合單價(jià)是多少元？
(2)若小瑞所帶的錢是m元，且一共只買8支玫瑰，請直接寫出小瑞所帶的錢還剩下多少元？
【答案】(1)玫瑰和百合單價(jià)分別是每支2.5元和每支9.5元
(2)小瑞所帶的錢還剩下31元
【分析】（1）設(shè)每支玫瑰x元，每支百合y元，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合小瑞帶的錢數(shù)不變，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，化簡后可得出；
(2)設(shè)玫瑰的單價(jià)是每支x元，百合單價(jià)是每支y元，因?yàn)樾∪饚У腻X為m元，所以列方程 ，用含m的代數(shù)式解出x和y，又因?yàn)榍乙还仓毁I8支玫瑰，所以剩下的錢為：m-8x即可求解；
（1）
解：設(shè)玫瑰的單價(jià)是每支x元，百合單價(jià)是每支y元．
由題意可得
解之得
答：玫瑰和百合單價(jià)分別是每支2.5元和每支9.5元．
（2）
解：設(shè)玫瑰的單價(jià)是每支x元，百合單價(jià)是每支y元，因?yàn)樾∪饚У腻X為m元
所以有 ，
解得： ，
又因?yàn)榍乙还仓毁I8支玫瑰，
所以剩下的錢為：m-8x=m- =31 （元）
答：小瑞所帶的錢還剩下31元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2022·廣西南寧·七年級期中）為響應(yīng)國家“足球進(jìn)收園”的號召，滿足學(xué)校對足求的需求．某商家第一次購進(jìn)了38個(gè)A類足球和20個(gè)B類足球進(jìn)行銷售，共花費(fèi)了5580元，已知商家購進(jìn)一個(gè)B類足球的價(jià)格是購進(jìn)一個(gè)A類足球價(jià)格的1.2倍．
(1)求商家購進(jìn)一個(gè)A類足球和一個(gè)B類足球各需多少元？
(2)若一個(gè)A類足球的售價(jià)為110元．兩類足球銷售完畢，商家要獲得1880元的利銅，則B類足球的總售價(jià)為多少元？
(3)為了回饋客戶，商家決定進(jìn)行打折銷售，若商家第二次又以原進(jìn)價(jià)購進(jìn)A、B兩類足球，購進(jìn)A類足球的件數(shù)不變，而購進(jìn)B類足球的件數(shù)是第一次的2倍，A類足球按原售價(jià)銷售，而B類足球打折銷售，若第二次兩類足球全部銷售完畢，要使得第二次銷售獲得利潤1688元，則B類足球是打幾折銷售的？
【答案】(1)一個(gè)A類足球需90元，一個(gè)B類足球需108元
(2)3280
(3)八折
【分析】（1）設(shè)商家購進(jìn)一個(gè)A類足球需x元，購進(jìn)一個(gè)B類足球需y元，由題意：某商家第一次進(jìn)了38個(gè)A類足球和20個(gè)B類足球進(jìn)行出售，共花費(fèi)了5580元，已知商家購進(jìn)一個(gè)B類足球的價(jià)格是購進(jìn)一個(gè)A類足球價(jià)格的1.2倍．列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)B類足球的售價(jià)為m元，由題意：一個(gè)A類足球的售價(jià)為110元，兩類足球銷售完畢，商家要獲得1880元的利潤，列出一元一次方程，解方程即可；
（3）B類足球是打n折銷售的，由題意：購進(jìn)A類足球的件數(shù)不變，而購進(jìn)B類足球的件數(shù)是第一次的2倍，A類足球按原售價(jià)銷售，使得第二次銷售獲得利潤1688元，列出一元一次方程，解方程即可．
(1)
解：設(shè)商家購進(jìn)一個(gè)A類足球需x元，購進(jìn)一個(gè)B類足球需y元，
由題意得：，
解得：，
答：商家購進(jìn)一個(gè)A類足球需90元，購進(jìn)一個(gè)B類足球需108元；
(2)
解∶ 設(shè)B類足球的售價(jià)為m元，
由題意得：（110-90）×38+（m-108）×20=1880，
解得：m=164，
則20×164=3280，
答：B類足球的總售價(jià)為3280元；
(3)
解∶設(shè)B類足球是打n折銷售的，
由題意得：（110-90）×38+（164×0.1n-108）×20×2=1688，
解得：n=8，
答：B類足球是打八折銷售的．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組和一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【題型4 數(shù)字問題】
【例4】（2022·甘肅·高臺(tái)縣第三中學(xué)八年級期末）一個(gè)兩位數(shù)，其個(gè)位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍，若交換一下位置，所得新的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大9，求原兩位數(shù)．
【答案】12
【分析】設(shè)原數(shù)個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)為b，然后根據(jù)“個(gè)位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍”和兩數(shù)的關(guān)系列方程組求出a和b，最后求出原數(shù)即可．
【詳解】解：設(shè)原數(shù)個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)為b
則有： ，解得
所以原數(shù)為10×1+2=12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，審清題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系、列出方程組是解答本題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2018·福建龍巖·七年級期末）已知表內(nèi)的各橫行中，從第二個(gè)數(shù)起的數(shù)都比它左邊相鄰的數(shù)大m；各豎列中，從第二個(gè)數(shù)起的數(shù)都比它上邊相鄰的數(shù)大n．求m，n以及表中x的值．
【答案】m＝3，n＝5，x=11．
【分析】根據(jù)表內(nèi)的各橫行中，從第二個(gè)數(shù)起的數(shù)都比它左邊相鄰的數(shù)大ｍ得出12+2m＝18，解方程求出m的值；再由各豎列中，從第二個(gè)數(shù)起的數(shù)都比它上邊相鄰的數(shù)大n，得出（12+m）+3n＝30，解方程求出n的值；進(jìn)而求得x的值．
【詳解】∵各橫行中，從第二個(gè)數(shù)起的數(shù)都比它左邊相鄰的數(shù)大m，
∴12+2m＝18，
解得m＝3．
又∵各豎列中，從第二個(gè)數(shù)起的數(shù)都比它上邊相鄰的數(shù)大n，
∴（12+m）+3n＝30，
將m＝3代入上述方程得 15+3n＝30，
解得n＝5．
此時(shí)x＝12﹣2m+n＝12﹣2×3+5＝11．
【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)題意列二元一次方程組解決數(shù)學(xué)問題，根據(jù)橫行和豎列的數(shù)值的變化規(guī)則，確定相等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）小杰、小明兩人做加法運(yùn)算，小杰將其中一個(gè)加數(shù)后面多寫了一個(gè)零，得和是1275，小明將同一個(gè)加數(shù)少寫了一個(gè)零，得和是87，求原來兩個(gè)加數(shù)．
【答案】原來兩個(gè)加數(shù)是120和75
【分析】根據(jù)題意，設(shè)這兩個(gè)加數(shù)為x和y，少寫一個(gè)零就是相當(dāng)于除以10，多寫一個(gè)零就是相當(dāng)于乘以10，列方程組求解．
【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)加數(shù)為x和y，
其中一個(gè)加數(shù)后面多寫一個(gè)零，和是1275，列式：，
同一個(gè)加數(shù)后面少寫一個(gè)零，和是87，列式：，
解方程組，解得．
答：這兩個(gè)加數(shù)是120和75．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找等量關(guān)系去列方程組求解．
【變式4-3】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）若在一個(gè)兩位正整數(shù) N 的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之間添上數(shù)字 2 ，組成一個(gè)新的三位數(shù)，我們稱這個(gè)三位數(shù)為 N 的“誠勤數(shù)”，如 34 的“誠勤數(shù)”為 324 ；若將一個(gè)兩位正整數(shù) M 加 2 后得到一個(gè)新數(shù)，我們稱這個(gè)新數(shù)為 M 的“立達(dá)數(shù)”，如 34 的“立達(dá)數(shù)”為 36．
（1）求證：對任意一個(gè)兩位正整數(shù) A ，其“誠勤數(shù)”與“立達(dá)數(shù)”之差能被 6 整除；
（2）若一個(gè)兩位正整數(shù) B 的“立達(dá)數(shù)”的各位數(shù)字之和是 B 的各位數(shù)字之和的一半，求 B 的值．
【答案】（1）見解析；（2） B 的值為68或59．
【分析】（1）設(shè)A的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，其“誠勤數(shù)”為100a+20+b、“立達(dá)數(shù)”為10a+b+2，作差整理即可得；
（2）設(shè)B=10a+b，1≤a≤9，0≤b≤9（B加上2后各數(shù)字之和變小，說明個(gè)位發(fā)生了進(jìn)位），根據(jù)““立達(dá)數(shù)”的各位數(shù)字之和是B的各位數(shù)字之和的一半”列出關(guān)于a、b的方程，求解可得．
【詳解】解：（1）設(shè)A的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，
則A＝10a+b，它的“誠勤數(shù)”為100a+20+b，它的“立達(dá)數(shù)”為10a+b+2，
∴100a+20+b-（10a+b+2）＝90a+18＝6（15a+3），
∵a為整數(shù)，
∴15a+3是整數(shù)，
則“誠勤數(shù)”與“立達(dá)數(shù)”之差能被6整除；
（2）設(shè)B＝10m+n，1≤m≤9，0≤n≤9（B加上2后各數(shù)字之和變小，說明個(gè)位發(fā)生了進(jìn)位），
∴B+2＝10m+n+2，
則B的“立達(dá)數(shù)”為10（m+1）+（n+2-10），
∴m+1+n+2﹣10=（m+n），
整理，得m+n＝14，
∵1≤m≤9，0≤n≤9，
∴、、、、，
經(jīng)檢驗(yàn)：77、86和95不符合題意，舍去，
∴所求兩位數(shù)為68或59．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字問題，根據(jù)題意表示出A、B兩數(shù)的“立達(dá)數(shù)”、“誠勤數(shù)”及其變化是解題的關(guān)鍵．
【題型5 年齡問題】
【例5】（2022·江蘇·七年級）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．
(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）
(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？
【答案】(1)爸爸36歲，爺爺76歲
(2)爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子
【分析】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲，根據(jù)“爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40”列出二元一次方程組求解即可．
（2）用現(xiàn)在年份減去年齡加15即可得到答案．
(1)
設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36歲，爺爺76歲；
(2)
（年）
（年）
小明的爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022·重慶市松樹橋中學(xué)校七年級階段練習(xí)）7月4日，2020長白山地下森林徒步活動(dòng)鳴槍開始，一名34歲的男子帶著他的兩個(gè)孩子一同參加了比賽．下面是兩個(gè)孩子與記者的部分對話：
妹妹：我和哥哥的年齡和是16歲．
哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加恰好等于爸爸的年齡．
根據(jù)對話內(nèi)容，請你用方程的知識(shí)幫記者求出現(xiàn)在哥哥和妹妹的年齡各是多少歲？
【答案】現(xiàn)在哥哥10歲，妹妹6歲．
【分析】設(shè)現(xiàn)在哥哥x歲，妹妹y歲，根據(jù)兩孩子的對話，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)現(xiàn)在哥哥x歲，妹妹y歲，
根據(jù)題意得
解得
答：現(xiàn)在哥哥10歲，妹妹6歲．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用題目信息，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程解決．
【變式5-2】（2022·甘肅酒泉·八年級期末）5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現(xiàn)在這對母女的年齡分別是多少？
【答案】母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲
【分析】設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，然后根據(jù)5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲，列出方程組求解即可．
【詳解】解：設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，則
解得
答：母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意列出方程求解．
【變式5-3】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）聰聰在給媽媽過生日時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的年齡與媽媽的年齡的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字正好相反.同時(shí)，他還發(fā)現(xiàn)，過10年，媽媽歲數(shù)減1（歲）剛好是自己歲數(shù)加1（歲）的2倍；再過1年，他們兩人的年齡又一次相反，且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和為7，求聰聰和他媽媽現(xiàn)在的年齡.
【答案】聰聰現(xiàn)在的年齡為14歲，媽媽現(xiàn)在的年齡為41歲.
【分析】設(shè)聰聰?shù)哪挲g為(10x+y)歲，媽媽的年齡為(10y+x)歲，根據(jù)“過10年，媽媽歲數(shù)減1(歲)剛好是自己歲數(shù)加1(歲)的2倍；再過1年，他們兩人的年齡又一次相反，且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和為7”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】(1)設(shè)聰聰?shù)哪挲g為(10x+y)歲，則媽媽的年齡為(10y+x)歲，
根據(jù)題意得： ，
解得： ．
答：聰聰今年14歲，媽媽今年41歲．
【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于設(shè)聰聰?shù)哪挲g為(10x+y)歲.
【題型6 分配問題】
【例6】（2022·河北承德·七年級期末）某企業(yè)有，兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線，在一天內(nèi)，生產(chǎn)線共加工噸原材料，加工時(shí)間為小時(shí)；在一天內(nèi)，生產(chǎn)線共加工噸原材料，加工時(shí)間為小時(shí)．
(1)當(dāng)時(shí)，兩條生產(chǎn)線的加工時(shí)間分別時(shí)多少小時(shí)？
(2)第一天，該企業(yè)把5噸原材料分配到．兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時(shí)間相同，則分配到兩條生產(chǎn)線的的噸數(shù)是多少？
(3)第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配了5噸原材料后，又給生產(chǎn)線分配了噸原材料，給生產(chǎn)線分配了噸原材料，若兩條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時(shí)間相同，則和有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若此時(shí)與的和為6噸，則和的值分別為多少噸？
【答案】(1)兩條生產(chǎn)線的的加工時(shí)間分別為5小時(shí)和5小時(shí)
(2)分配到生產(chǎn)線2噸，分配到生產(chǎn)線3噸
(3)與的關(guān)系為，當(dāng)噸時(shí)，為2噸，為4噸
【分析】（1）把代入和，即可求解；
（2）設(shè)分配到生產(chǎn)線噸，則分配到生產(chǎn)線噸，根據(jù)“把5噸原材料分配到．兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時(shí)間相同，”列出方程組，即可求解；
（3）根據(jù)“加工時(shí)間相同，”可得，從而得到，再由，即可求解．
（1）解：當(dāng)時(shí)， ，；即兩條生產(chǎn)線的的加工時(shí)間分別為5小時(shí)和5小時(shí)．
（2）解∶設(shè)分配到生產(chǎn)線噸，則分配到生產(chǎn)線噸，根據(jù)題意得：，解得，即分配到生產(chǎn)線2噸，則分配到生產(chǎn)線3噸；
（3）解：根據(jù)題意得：，整理得：，∵，∴，，答：與的關(guān)系為，當(dāng)噸時(shí)，為2噸，為4噸．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2022·山東菏澤·七年級期中）一套餐桌有一張桌子和六把椅子組成．如果1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子．現(xiàn)有15立方米的木料，請你設(shè)計(jì)一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？
【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．
【分析】根據(jù)題意找出等量關(guān)系：1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子和總共15立方米的木料，設(shè)出未知量列方程組計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)用立方米的木料做桌子，用立方米的木料做椅子，
根據(jù)題意，得，
解這個(gè)方程組，得，
經(jīng)檢驗(yàn)，方程組的解符合題意．
所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．
【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程的應(yīng)用，難度一般，找準(zhǔn)等量關(guān)系是關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022·全國·七年級）我市某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批禮品盒制作業(yè)務(wù)，為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進(jìn)行試生產(chǎn)．他們購得規(guī)格是的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料，每張標(biāo)準(zhǔn)板材再按照裁法一或裁法二裁下A型與B型兩種板材（不計(jì)損耗），如圖甲．（單位：）
(1)列出方程（組），求出圖甲中a與b的值；
(2)在試生產(chǎn)階段，若將30張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法一裁剪，4張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側(cè)面和底面，做成圖乙的豎式（高大于長）與橫式（長大于高）兩種無蓋禮品盒．
①兩種裁法共生產(chǎn)A型板材_________張，B型板材_______張；
②能否在做成若干個(gè)上述的兩種無蓋禮品盆后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，則豎式無蓋禮品盒與橫式無蓋禮品盒分別做了幾個(gè)？若不能，則最多能做成豎式和橫式兩種無蓋禮品盒共多少個(gè)？
【答案】(1)60、40；
(2)①64，38；②最多能做成豎式和橫式兩種無蓋禮品盒共20個(gè)．
【分析】（1）由圖示列出關(guān)于a、b的二元一次方程組求解．
（2）①根據(jù)已知和圖示計(jì)算出兩種裁法共產(chǎn)生A型板材和B型板材的張數(shù)； ②根據(jù)豎式與橫式禮品盒所需要的A、B兩種型號板材的張數(shù)列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，求解，即可得出結(jié)論．
(1)
解：由題意得：，
解得： ，
即圖甲中a與b的值分別為60，40；
(2)
①由圖示裁法一產(chǎn)生A型板材為：，裁法二產(chǎn)生A型板材為：，
∴兩種裁法共產(chǎn)生A型板材為：（張），
由圖示裁法一產(chǎn)生B型板材為：，裁法二產(chǎn)生B型板材為：
所以兩種裁法共產(chǎn)生B型板材為：（張），
故答案為：64，38；
②根據(jù)題意豎式無蓋禮品盒的x個(gè)，橫式無蓋禮品盒的y個(gè)，則A型板材需要個(gè)，B型極材要個(gè)，
．
解得：，
∵x、y是自然數(shù)，
∴不能恰好把①中的A型板材和B型板材用完，
∵x+y=，
∴最多能做成豎式和橫式兩種無蓋禮品盒共20個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)已知先列出二元一次方程組求出a、b的值，根據(jù)圖示列出算式以及關(guān)于x、y的二元一次方程組．
【變式6-3】（2022·四川·沐川縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級期末）某工廠生產(chǎn)如圖1所示的長方形和正方形紙板，做成如圖2所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒，其中豎式紙盒由4個(gè)長方形和1個(gè)正方形紙板做成，橫式紙盒由3個(gè)長方形和2個(gè)正方形紙板做成（給定的長方形和正方形紙板都不用裁剪，也不考慮接縫）．
(1)現(xiàn)有長方形紙板340張，正方形紙板160張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完，求兩種紙盒生產(chǎn)個(gè)數(shù)．
(2)紙板車間共有78名工人，每個(gè)工人一天能生產(chǎn)70張長方形紙板或者100張正方形紙板，已知一個(gè)豎式紙盒與一個(gè)橫式紙盒配套，要求紙板車間一天生產(chǎn)的紙板由其它車間做成豎式紙盒與橫式紙盒配套，問紙板車間應(yīng)該如何安排工人生產(chǎn)兩種紙板？
【答案】(1)40個(gè)，60個(gè)
(2)分配18個(gè)工人生產(chǎn)正方形紙板，則60個(gè)工人生產(chǎn)長方形紙板
【分析】（1）設(shè)做成的型盒有個(gè)，型盒子有個(gè)，根據(jù)長方形紙板340張，正方形紙板160張，可得出二元一次方程組；
（2）設(shè)分配a個(gè)工人生產(chǎn)正方形紙板，則78－a個(gè)工人生產(chǎn)長方形紙板，所以能生產(chǎn)正方形紙板100a張，長方形紙板700（78－a）張，列出等式進(jìn)行求解即可．
（1）解：設(shè)能做成的豎式紙盒有x個(gè)，橫式紙盒子有y個(gè)，根據(jù)題意得：,解方程得答：設(shè)能做成的豎式紙盒有40個(gè)，橫式紙盒子有60個(gè)．
（2）解：設(shè)分配a個(gè)工人生產(chǎn)正方形紙板，則78－a個(gè)工人生產(chǎn)長方形紙板，所以能生產(chǎn)正方形紙板100a張，長方形紙板700（78－a）張．由題意得解方程得a＝18，則78－a＝60答：分配18個(gè)工人生產(chǎn)正方形紙板，則60個(gè)工人生產(chǎn)長方形紙板．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出方程或方程組進(jìn)行求解．
【題型7 和、差、倍、分問題】
【例7】（2022·吉林·東北師大附中七年級階段練習(xí)）某校七、八年級學(xué)生共600人，學(xué)校組織學(xué)生參觀科技博物館和偽皇宮的活動(dòng)，參觀科技博物館的人數(shù)是參觀偽皇宮人數(shù)的2倍多60人．分別求參觀科技博物館和偽皇宮的學(xué)生的人數(shù)．
【答案】參觀科技博物館人數(shù)為420人，參觀偽皇宮的學(xué)生人數(shù)是180人
【分析】設(shè)參觀科技博物館人數(shù)為x人，參觀偽皇宮的學(xué)生人數(shù)是y人，根據(jù)學(xué)生共600人、參觀科技博物館的人數(shù)是參觀偽皇宮人數(shù)的2倍多60人．列方程組求解即可．
【詳解】解：設(shè)參觀科技博物館人數(shù)為x人，參觀偽皇宮的學(xué)生人數(shù)是y人，
由題意，得，
解得，
答：參觀科技博物館人數(shù)為420人，參觀偽皇宮的學(xué)生人數(shù)是180人．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程（組），再求解．
【變式7-1】（2022·海南省直轄縣級單位·一模）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，它由橋梁和隧道兩部分組成，橋梁和隧道全長共，其中橋梁長度比隧道長度的9倍少，求港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度．
【答案】港珠澳大橋的橋梁長度49km，隧道長度6km
【分析】設(shè)港珠澳大橋隧道長度為，橋梁長度為，由橋梁和隧道全長共，得，橋梁長度比隧道長度的9倍少，得，然后列出方程組，解方程組即可．
【詳解】解：設(shè)港珠澳大橋隧道長度為，橋梁長度為，根據(jù)題意得：
由題意列方程組得：，
解得：，
答：港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度分別為和．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組．
【變式7-2】（2022·山東·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級階段練習(xí)）某校辦工廠去年的總收入比總支出多50萬元，今年的總收入比去年增加10%，總支出節(jié)約20%，因而總收入比總支出多100萬元．求去年的總收入和總支出．
【答案】去年總收入為200萬元，總支出為150萬元
【分析】設(shè)去年總收入為x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)利潤=收入?支出即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)去年總收入為x萬元，總支出為y萬元
根據(jù)題意得：
解得
答：去年總收入為200萬元，總支出為150萬元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)利潤=收入?支出列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2022·重慶巴南·七年級期末）某街道為了綠化一塊閑置空地，購買了甲、乙兩種樹木共72棵種植在這個(gè)空地上，購買時(shí)，已知甲種樹木的單價(jià)是乙種樹木的單價(jià)的，乙種樹木的單價(jià)是每棵80元，購買甲、乙兩種樹木的總費(fèi)用是6160元．
(1)甲、乙兩種樹木各購買了多少棵？
(2)經(jīng)過一段時(shí)間后，種植的這批樹木成活率高，綠化效果好，該街道決定再次購買這兩種樹木來綠化另一塊閑置空地，購買時(shí)，發(fā)現(xiàn)甲種樹木的單價(jià)比第一次購買時(shí)的單價(jià)下降了，乙種樹木的單價(jià)比第一次購買時(shí)的單價(jià)下降了，于是，該街道購買甲種樹木的數(shù)量比第一次多了，購買乙種樹的數(shù)量比第一次多了，且購買甲、乙兩種樹木的總費(fèi)用比第一次多了，請求出a的值．
【答案】(1)甲種樹木購買了40棵，乙種樹木購買了32棵
(2)a的值為5
【分析】( 1 )根據(jù)題意可得等量關(guān)系∶①甲、乙兩種樹木共72棵；②共用去資金6160元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可；
(2)用a表示出甲種樹木單價(jià)，求出乙種樹木單價(jià)為72元，再根據(jù)總費(fèi)用比第一 次多了0，列出一元-次方程，解方程即可．
(1)
解：設(shè)甲種樹木購買了x棵，乙種樹木購買了y棵，由題意得：
，
解得∶，
答∶甲種樹木購買了40棵，乙種樹木購買了32棵；
(2)
解：由題意得∶甲種樹木單價(jià)為 (元)，乙種樹木單價(jià)為 (元)，
由題意得∶
解得∶ a=5，
答∶a的值為5．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是∶ （1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組； （2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．
【題型8 幾何問題】
【例8】（2022·江蘇·靖江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中）小東在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)一樣大小的長方形，恰好可以拼成一個(gè)大的長方形如圖1所示．小林看見了說：“我也來試一試．”結(jié)果小林七拼八湊，拼成了如圖2那樣的正方形，中間還留下了一個(gè)恰好是邊長為3cm的小正方形，求小長方形的面積．
【答案】小長方形的面積為135．
【分析】設(shè)小長方形的寬為xcm，長為ycm，根據(jù)圖1中大長方形的長、圖2中大正方形的邊長的不同表示方法得出方程組，解方程組求出小長方形的寬和長即可解決問題．
【詳解】解：設(shè)小長方形的寬為x cm，長為y cm，
則圖1中大長方形的長可以表示為5x cm或3y cm，圖2中大正方形的邊長可以表示為cm或cm，
那么可得出方程組為：，
解得：，
則小長方形的面積為：9×15＝135，
答：小長方形的面積為135．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，觀察圖形得出等量關(guān)系，列出方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2022·安徽淮南·七年級期末）列二元一次方程組解應(yīng)用題：
某居民小區(qū)為了綠化小區(qū)環(huán)境，建設(shè)和諧家園．準(zhǔn)備將一塊周長為76米的長方形空地，設(shè)計(jì)成長和寬分別相等的9塊小長方形，如圖所示．計(jì)劃在空地上種上各種花卉，經(jīng)市場預(yù)測，綠化每平方米空地造價(jià)210元，請計(jì)算每塊小長方形的長和寬；要完成這塊綠化工程，預(yù)計(jì)花費(fèi)多少元？
【答案】每塊小長方形的長為10米，寬為4米；要完成這塊綠化工程預(yù)計(jì)材料花費(fèi)75600元
【分析】設(shè)小長方形的長為米，寬為米，則根據(jù)長方形的性質(zhì)可列方程組 再解方程組即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)小長方形的長為米，寬為米
依題意得
解得
所以（元）．
答：每塊小長方形的長為10米，寬為4米；要完成這塊綠化工程預(yù)計(jì)材料花費(fèi)75600元．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)長方形的性質(zhì)列出方程組是解本題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2022·全國·七年級課前預(yù)習(xí)）如圖，長方形ABCD中放置了9個(gè)形狀、大小都相同的小長方形（尺寸如圖），求圖中陰影部分的面積．
【答案】82
【詳解】解：設(shè)小長方形長為x，寬為y。
依題意，得
解此方程組，得
所以S陰影＝22×（7＋3×3）－10×3×9＝82。
答：圖中陰影部分的面積為82。
【變式8-3】（2022·福建·南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）學(xué)校舉辦“藝術(shù)周”創(chuàng)意設(shè)計(jì)展覽，如圖，現(xiàn)有一個(gè)大正方形和四個(gè)一樣的小正方形，小明、小聰、小方分別用這些正方形設(shè)計(jì)出了圖1，圖2，圖3三種圖案：
(1)根據(jù)圖1，圖2中所標(biāo)數(shù)據(jù)，求出大正方形和小正方形的邊長分別是多少厘米？
(2)圖3中四個(gè)小正方形的重疊部分也是三個(gè)一樣的小正方形，求陰影部分的面積．
【答案】(1)大正方形邊長，小正方形邊長
(2)
【分析】（1）設(shè)大正方形和小正方形的邊長分別是x和y，根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)四個(gè)小正方形的重疊部分形成小正方形的邊長為a，根據(jù)題意列方程得到a=，根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論．
（1）
設(shè)大正方形邊長，小正方形邊長，
依題意得，
解得，
答：大正方形和小正方形的邊長分別是12和4；
（2）
設(shè)有重疊的小正方形邊長，
依題意得，
解得，
∴陰影面積.
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正方形的面積的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
【題型9 圖表信息問題】
【例9】（2022·湖北·武漢市第二初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）童威在某商店給媽媽購買商品A、B共三次，只有一次購買時(shí)，商品A、B同時(shí)打相同的折扣，其余兩次均按標(biāo)價(jià)購買，三次購買商品A、B的數(shù)量和費(fèi)用如下表：
(1)以折扣價(jià)購買商品A、B是第________次購物；
(2)求出商品A、B的標(biāo)價(jià)；
(3)若商品A、B的折扣相同，問商店是打幾折出售這兩種商品的？
【答案】(1)三
(2)商品A的標(biāo)價(jià)為72元，商品B的標(biāo)價(jià)為54元
(3)商店是打八折出售這兩種商品的
【分析】（1）根據(jù)買到A、B商品多，且花錢少來判斷即可；
（2）設(shè)商品A的標(biāo)價(jià)為x元，商品B的標(biāo)價(jià)為y元，列出方程組求出x和y的值；
（3）設(shè)商店是打m折出售這兩種商品，根據(jù)題意列出方程求解即可．
（1）
根據(jù)圖表可得童威第三次購物花的錢最少，買到A、B商品又是最多，所以童威以折扣價(jià)購買商品A、B是第三次購物，
故答案是：三；
（2）
（2）設(shè)商品A的標(biāo)價(jià)為x元，商品B的標(biāo)價(jià)為y元，
根據(jù)題意，得，
解得：，
答：商品A的標(biāo)價(jià)為72元，商品B的標(biāo)價(jià)為54元；
（3）
設(shè)商店是打m折出售這兩種商品，
由題意得，，
解得：m=8．
答：商店是打八折出售這兩種商品的．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．
【變式9-1】（2022·安徽合肥·七年級期末）某公司生產(chǎn)的一種營養(yǎng)品信息如下表．已知甲食材每千克的進(jìn)價(jià)是乙食材的2倍，購買4千克的甲食材比購買5千克的乙食材多花60元．
(1)甲、乙兩種食材每千克的進(jìn)價(jià)分別是多少元？
(2)該公司每日用18000元購進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完，那么該公司每日購進(jìn)甲、乙兩種食材各多少千克？
【答案】(1)甲食材每千克的進(jìn)價(jià)為40元，乙食材每千克的進(jìn)價(jià)為20元
(2)該公司每日購進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克
【分析】（1）設(shè)乙食材每千克的進(jìn)價(jià)為a元，則甲食材每千克的進(jìn)價(jià)為2a元，由購買4千克的甲食材比購買5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可
（2）抓住兩個(gè)等量關(guān)系列方程求解：一是甲、乙兩種食材每日購買的進(jìn)價(jià)和為18000；二是制成營養(yǎng)品的含鐵量與甲、乙兩種食材含鐵量的和相等，列出方程組即可求解．
（1）
設(shè)乙食材每千克的進(jìn)價(jià)為a元，則甲食材每千克的進(jìn)價(jià)為2a元，由題意，得
4×2a－5×a＝60，
解得a＝20，
則2a＝40．
答：甲、乙兩種食材每千克的進(jìn)價(jià)分別是40元、20元；
（2）
設(shè)該公司每日購進(jìn)甲食材x千克，乙食材y千克，
由題意，得
解得
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程及一元二次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系列方程是解題關(guān)鍵．
【變式9-2】（2022·湖北·武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）七年級期中）某山區(qū)有若干名中，小學(xué)生因貧困失學(xué)需要捐助，資助一名中學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要a元，資助一名小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要b元．某校學(xué)生積極捐款，初中各年級學(xué)生捐款數(shù)額與其捐助貧困中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)的部分情況如下表：
(1)求a，b的值；
(2)九年級學(xué)生的捐款恰好解決了剩余貧困中小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用，請計(jì)算九年級學(xué)生可捐助的貧困小學(xué)生人數(shù)．
【答案】(1)a的值為800，b的值為600
(2)初三年級學(xué)生可捐助1名貧困中學(xué)生，捐助7名貧困小學(xué)生或捐助4名貧困中學(xué)生，捐助3名貧困小學(xué)生
【分析】（1）根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是捐款額，列方程組求解即可．
（2）利用九年級的捐款額5000列方程求人數(shù)．
(1)
解：由題意得：
，
解得：，
∴a的值為800，b的值為600；
(2)
解：設(shè)初三年級學(xué)生捐助x名貧困中學(xué)生，捐助y名貧困小學(xué)生．
由題意得：800x+600y=5000，
得：4x+3y=25，
∵x、y均為非負(fù)整數(shù)，
∴x=1，y=7或x=4，y=3，
答：初三年級學(xué)生可捐助1名貧困中學(xué)生，捐助7名貧困小學(xué)生；
或捐助4名貧困中學(xué)生，捐助3名貧困小學(xué)生．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程（組）的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．
【變式9-3】（2022·重慶豐都·七年級期末）豐都是旅游文化名城，廟會(huì)期間有爵士舞和和民族舞兩個(gè)文娛節(jié)目，兩節(jié)目組主要演員和次要演員每天的費(fèi)用分別相同．從節(jié)省資金和保證節(jié)目效果兩個(gè)角度，現(xiàn)兩個(gè)節(jié)目組有方案如下表：
（1）方案中主要演員和次要演員每天的費(fèi)用分別多少元？
（2）在（1）問的結(jié)論下，現(xiàn)爵士舞和民族舞分別表演若干天，已知兩節(jié)目組主要演員費(fèi)用共為元，次要演員費(fèi)用共為元，問兩節(jié)目各表演多少天？
【答案】（1）主要演員和次要演員每天的費(fèi)用分別200元，100元；（2）爵士舞表演2天，民族舞表演3天
【分析】（1）設(shè)主要演員和次要演員每天的費(fèi)用分別x元，y元，根據(jù)表格中的總費(fèi)用列出方程組，解之即可；
（2）設(shè)爵士舞表演a天，民族舞表演b天，根據(jù)主要演員費(fèi)用共為元，次要演員費(fèi)用共為元列出方程組，解之即可．
【詳解】解：（1）設(shè)主要演員和次要演員每天的費(fèi)用分別x元，y元，
由題意可得：，
解得：，
∴主要演員和次要演員每天的費(fèi)用分別200元，100元；
（2）設(shè)爵士舞表演a天，民族舞表演b天，
由題意可得：，
解得：，
∴爵士舞表演2天，民族舞表演3天．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系，列出方程組．
【題型10 方案問題】
【例10】（2022·黑龍江·樺南縣第三中學(xué)七年級期中）某運(yùn)輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運(yùn)貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運(yùn)貨160噸．
(1)請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨多少噸？
(2)目前有190噸貨物需要運(yùn)輸，該運(yùn)輸公司計(jì)劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運(yùn)完（A、B兩種貨車均滿載），其中每輛A貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)500元，每輛B貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)400元，請你列出所有的運(yùn)輸方案，并指出哪種運(yùn)輸方案費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為多少元．
【答案】(1)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨20噸和15噸
(2)共有3種運(yùn)輸方案，方案1：安排A貨車8輛，B貨車2輛；方案2：安排A貨車5輛，B貨車6輛；方案3：安排A貨車2輛，B貨車10輛；安排A貨車8輛，B貨車2輛費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為4800元
【分析】（1）設(shè)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨x噸和y噸，根據(jù)3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運(yùn)貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運(yùn)貨160噸，列出方程求解即可；
（2）設(shè)安排A貨車輛，B貨車輛，根據(jù)目前有190噸貨物需要運(yùn)輸，列出方程求解即可．
（1）
設(shè)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨x噸和y噸．
根據(jù)題意得
解得．
答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨20噸和15噸．
（2）
設(shè)安排A貨車輛，B貨車輛，依題意，得
，即，
又因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，
所以或或，
所以共有3種運(yùn)輸方案，方案1：安排A貨車8輛，B貨車2輛；
方案2：安排A貨車5輛，B貨車6輛；方案3：安排A貨車2輛，B貨車10輛．
方案1所需費(fèi)用：500×8+400×2=4800（元）；
方案2所需費(fèi)用：500×5+400×6=4900（元）；
方案3所需費(fèi)用：500×2+400×10=5000（元）；
因?yàn)?800

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初中數(shù)學(xué)滬科版（2024）七年級上冊4.4 角復(fù)習(xí)練習(xí)題：

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數(shù)學(xué)七年級上冊1.6 有理數(shù)的乘方當(dāng)堂檢測題：

這是一份數(shù)學(xué)七年級上冊1.6 有理數(shù)的乘方當(dāng)堂檢測題，文件包含滬科版數(shù)學(xué)七上同步講練專題15有理數(shù)的乘方十大題型原卷版doc、滬科版數(shù)學(xué)七上同步講練專題15有理數(shù)的乘方十大題型解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共34頁， 歡迎下載使用。

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初中數(shù)學(xué)滬科版（2024）七年級上冊電子課本 舊教材

3.4 二元一次方程組的應(yīng)用

版本： 滬科版（2024）

年級： 七年級上冊

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