1．（2020秋?贛榆區(qū)期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，內(nèi)切圓半徑為1，則三角形的周長為（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】作出圖形，設(shè)內(nèi)切圓⊙O與△ABC三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OE、OF可得四邊形OECF是正方形，根據(jù)正方形的四條邊都相等求出CE、CF，根據(jù)切線長定理可得AD＝AF，BD＝BE，從而得到AF+BE＝AB，再根據(jù)三角形的周長的定義解答即可．
【解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓⊙O與△ABC三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OE、OF，
∵∠C＝90°，
∴四邊形OECF是正方形，
∴CE＝CF＝1，
由切線長定理得，AD＝AF，BD＝BE，
∴AF+BE＝AD+BD＝AB＝5，
∴三角形的周長＝5+5+1+1＝12．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理，作輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于將三角形的三邊分成若干條小的線段，作出圖形更形象直觀．
2．（2020秋?鼓樓區(qū)期末）如圖所示，在4×4的網(wǎng)格中，A，B，C，D，O均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)O是（ ）
A．△ACD的外心B．△ACD的內(nèi)心C．△ABC的內(nèi)心D．△ABC的外心
【分析】根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理得出OA＝OD＝OC，進(jìn)而判斷即可．
【解答】解：由勾股定理可知：
OA＝OD＝OC，
所以點(diǎn)O是△ACD的外心，
故選：A．
【點(diǎn)評】此題考查三角形的外接圓與外心問題，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出OA＝OD＝OC．
3．（2021秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段EF上，△PAB內(nèi)切圓半徑的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】由三角形APB的面積為12，可知AP+BP最小時，r有最大值，連接CA與EF交于點(diǎn)P'，求出AC＝10，由三角形面積公式可得出答案．
【解答】解：∵點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是矩形，
∴EF∥AB，
∵P在EF上，AB＝8，BC＝6，
∴S△PAB8×3＝12，
設(shè)△PAB內(nèi)切圓半徑是r，
∵S△PAB（AP+PB+AB）?r＝12，
∴AP+BP最小時，r有最大值，
如圖，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B關(guān)于EF的對稱點(diǎn)是C點(diǎn)，連接CA與EF交于點(diǎn)P'，
∵AP+BP＝AP+CP≥CA，
∴此時CA即為AP+BP最小值，
∵AB＝8，AD＝6，
∴AC10，
∴AP+BP最小值為10，
∴PA＝PB＝5，
∴8×r＝12，
解得r．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，軸對稱求最短距離；能夠?qū)P+BP最小值轉(zhuǎn)化為CA的長是解題的關(guān)鍵．
4．（2019秋?海陵區(qū)校級期末）下列說法正確的是（ ）
A．三角形的外心一定在三角形的外部
B．三角形的內(nèi)心到三個頂點(diǎn)的距離相等
C．外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形
D．直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點(diǎn)連線的夾角為125°
【分析】利用三角形內(nèi)心以及三角形外心的性質(zhì)判斷得出即可．
【解答】解：A、三角形的外心不一定在三角形的外部，錯誤；
B、三角形的內(nèi)心到三個邊的距離相等，錯誤；
C、外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形，正確；
D、直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點(diǎn)連線的夾角為135°，錯誤；
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形內(nèi)外心的區(qū)別，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
二．填空題（共4小題）
5．（2021秋?邗江區(qū)期末）如圖所示，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC＝76°，則∠BOC的度數(shù)為 128° ．
【分析】由點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，可得∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，又由∠BAC＝76°，可求得∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，
∴BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∵∠BAC＝76°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝104°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°104°＝128°．
故答案為：128°．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．
6．（2020秋?濱湖區(qū)期末）設(shè)兩直角邊分別為3、4的直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑長分別為R和r，則R﹣r＝ 1.5 ．
【分析】利用三角形的外心與內(nèi)心的性質(zhì)即可進(jìn)行計算．
【解答】解：因為直角三角形的外接圓半徑等于斜邊長的一半，
所以R2.5；
如圖，
若Rt△ABC的邊AC＝3，BC＝4，
根據(jù)勾股定理，得AB5，
其內(nèi)切圓⊙O分別切AB、BC、AC于D、E、F．
設(shè)OE＝OF＝OD＝r，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
即AC?BCAB?ODBC?OEAC?OF，
3×45×r4×r3×r，
6r（5+4+3），
6＝6r，
∴r＝1，
則R﹣r＝2.5﹣1＝1.5．
故答案為：1.5．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心關(guān)系，牢記這些定義和計算方法是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2019秋?鼓樓區(qū)期末）已知三點(diǎn)A（0，0），B（5，12），C（14，0），則△ABC內(nèi)心的坐標(biāo)為 （6，4） ．
【分析】作BQ⊥OC，由題意可得BQ＝12，根據(jù)勾股定理分別求出OB的長，利用面積法可得△ABC內(nèi)切圓半徑，設(shè)AD＝AE＝x，則CD＝CF＝14﹣x，BE＝BF＝13﹣x，由BC＝BF+CF列方程，解之求出x的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得出答案．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BQ⊥OA于點(diǎn)Q，連接PA，PB，PC，
則OQ＝5，BQ＝12，
∴OB13，CQ＝AC﹣AQ＝14﹣5＝9，
∴BC15，
設(shè)⊙P的半徑為r，
過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，PF⊥BC于F，PE⊥OB于E，
S△ABC
則r4，
設(shè)AD＝AE＝x，則CD＝CF＝14﹣x，BE＝BF＝13﹣x，
∵BC＝BF+CF，
∴13﹣x+14﹣x＝15，
解得：x＝6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）．
故答案為：（6，4）．
【點(diǎn)評】本題主要考查勾股定理、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)及切線長定理，根據(jù)面積法及切線長定理求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
8．（2021秋?鼓樓區(qū)期末）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)O是△ABC的外心，則OI＝ 14.3 ．
【分析】設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，∠DAB＝∠CAD，得到內(nèi)心I和外心O都在直線AD上，根據(jù)勾股定理得到AD＝5，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則IO＝DI+OD，根據(jù)勾股定理列方程得到R＝16.9，求得OD＝11.9，根據(jù)三角形的面積公式得到r＝2.4，于是得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，連接AD，
∵AB＝AC＝13，
∴AD⊥BC，∠DAB＝∠CAD，
∵點(diǎn)O為△ABC的外心，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，
∴內(nèi)心I和外心O都在直線AD上，
∵AB＝AC＝13，BC＝24，
∴BD＝CD＝12，
∴AD5，
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則IO＝DI+OD，
連接OB，在Rt△ODB中，OD＝R﹣5，OB＝R，DB＝12，
由勾股定理得（R﹣5）2+122＝R2，
∴R＝16.9，
∴OD＝AO﹣AD＝16.9﹣5＝11.9，
∵S△ABCBC?AD（AB+BC+AC）?r，
∴r2.4，
∴r＝DI＝2.4，
∴IO＝DI+OD＝2.4+11.9＝14.3．
故答案為：14.3．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計算，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共4小題）
9．（2018秋?武進(jìn)區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（3，0）為圓心，5為半徑作⊙A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （0，4） ；
（2）△AOB的內(nèi)切圓半徑為 1 個單位長度；
（3）將⊙A在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)平移，使其與x軸、y軸都相切，記平移后的圓的圓心為A1，則AA1 為或 個單位長度．
【分析】（1）連接AB，利用勾股定理計算出OB即可得到B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用直角三角形內(nèi)切圓的半徑（a、b為直角邊，c為斜邊）進(jìn)行計算即可；
（3）根據(jù)切線的性質(zhì)可判定A1的坐標(biāo)為（5，5）或（﹣5，5）或（﹣5，﹣5）或（5，﹣5），然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計算AA1的長即可．
【解答】解：（1）連接AB，如圖，
在Rt△OAB中，OB4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）；
（2）△AOB的內(nèi)切圓半徑1；
（3）∵⊙A1與x軸、y軸都相切，
而⊙A1的半徑為5，
∴A1的坐標(biāo)為（5，5）或（﹣5，5）或（﹣5，﹣5）或（5，﹣5），
若A1的坐標(biāo)為（5，5），則AA1；
若A1的坐標(biāo)為（﹣5，5），則AA1；
若A1的坐標(biāo)為（﹣5，﹣5），則AA1；
若A1的坐標(biāo)為（5，﹣5），則AA1；
綜上所述，AA1為或個單位長度．
故答案為（0，4）；1；為或．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個內(nèi)角．也考查了切線的性質(zhì)．
10．（2010秋?灌云縣期末）△ABC外切于⊙O，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半徑為．求：
（1）求BF+CE的值；
（2）求△ABC的周長．
【分析】（1）根據(jù)切線長定理得到BF＝BD，CE＝CD，代入求出即可；
（2）根據(jù)切線長定理得到AE＝AF，求出∠OAE＝30°，根據(jù)含30度得直角三角形和勾股定理求出OA、AE，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC外切于⊙O，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F，
∴BF＝BD，CE＝CD，
∴BF+CE＝BD+CD＝BC＝7，
答：BF+CE的值是7．
（2）連接OE、OF、OA，
∵△ABC外切于⊙O，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F，
∴∠OEA＝90°，∠OAE∠BAC＝30°，
∴OA＝2OE＝2，
由勾股定理得：AE＝AF3，
∴△ABC的周長是AB+BC+AC＝AF+AE+CE+BF+BC＝7+7+3+3＝20，
答：△ABC的周長是20．
【點(diǎn)評】本題主要考查對勾股定理，含30度角的直角三角形，切線長定理，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心等知識點(diǎn)的理解和掌握，熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
11．（2012秋?徐州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5cm，AC﹣AB＝1cm．
（1）求AB、AC的長；
（2）求△ABC內(nèi)切圓的半徑．
【分析】（1）設(shè)AB＝xcm，則AC＝（x+1）cm，根據(jù)勾股定理得出方程（x+1）2﹣x2＝52，求出x即可；
（2）設(shè)內(nèi)切圓的半徑為y，根據(jù)三角形面積公式得出S△ABC5×125r12r13r，求出即可．
【解答】解：（1）設(shè)AB＝xcm，則AC＝（x+1）cm，
∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2﹣AB2＝BC2，
∴（x+1）2﹣x2＝52，
解得：x＝12，
即AB＝12cm，AC＝13cm；
（2）
連接AO、BO、CO、OD、OE、OF，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為y，根據(jù)題意，得S△ABC5×125r12r13r，
解得：r＝2，
即所求內(nèi)切圓的半徑為2cm．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積，三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，勾股定理的應(yīng)用，用了方程思想．
12．（2010秋?海陵區(qū)期末）如圖，I是△ABC的內(nèi)心，∠BAC的平分線與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E．
（1）寫出圖中與△CAE相似的所有三角形；
（2）求證：DI＝DB；
（3）求證：DI2＝DE?DA．
【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得∠C＝∠D，∠CAE＝∠DBE，再由角平分線定義，則△DBE∽△ABC，△DAB∽△ABC；
（2）連接BI，CI，CD，求證△BCD為等腰三角形，再利用BI為∠ABC平分線，求證△DBI為等腰三角形，利用等量代換即可證明；
（3）證△DBE∽△DAB，得DB2＝DE?DA，再由（2）得DI2＝DE?DA．
【解答】（1）解：與△CAE相似的所有三角形：△DBE，△DAB；
∵∠C＝∠D，∠CAE＝∠DBE，
∴△DBE∽△CAE；
∵∠C＝∠D，AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝∠EAC，
∴△DAB∽△CAE；
（2）證明：連接BI，CI，CD，
∵I為內(nèi)心，
∴AI為∠BAC角平分線，
BI為∠ABC平分線，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠DAC，
∵∠BID＝∠ABI+∠BAI，
∠CBD＝∠DAC＝∠BAI，
∴∠BID＝∠CBI+∠CBD＝∠DBI，
∴△DBI為等腰三角形，
∴DB＝DI；
（3）證明：∵∠DBE＝∠CAD，∠BAE＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠EBD，
∴△DBE∽△DAB，
∴，
∴DB2＝DE?DA，
又∵DB＝DI（已證），
∴DI2＝DE?DA．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的相似和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，證明此題的關(guān)鍵是連接BI，CI，CD，求證△BCD為等腰三角形，再利用BI為∠ABC平分線，求證△DBI為等腰三角形．
一．選擇題（共4小題）
1．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，在一張Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著⊙O的切線DE剪下一塊三角形ADE，則△ADE的周長為（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)F，H，G，連接OF，OH，OG，得四邊形OHCG是正方形，由切線長定理可知：AF＝AG，根據(jù)DE是⊙O的切線，可得MD＝MF，EM＝EG，根據(jù)勾股定理可得AB＝5，再求出內(nèi)切圓的半徑（AC+BC﹣AB）＝1，進(jìn)而可得△ADE的周長．
【解答】解：如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)F，H，G，連接OF，OH，OG，
∴四邊形OHCG是正方形，
由切線長定理可知：AF＝AG，
∵DE是⊙O的切線，
∴MD＝MF，EM＝EG，
∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB5，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴內(nèi)切圓的半徑（AC+BC﹣AB）＝1，
∴CG＝1，
∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3，
∴△ADE的周長＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝6．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．
2．（2022秋?海陵區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，I為△ABC的內(nèi)心，ID∥AC，IE∥BC，則△IDE的周長為（ ）
A．6B．5C．4.8D．4
【分析】先解直角三角形得到AB＝5，連接IA、IB，如圖，利用三角形的內(nèi)心的性質(zhì)得到∠1＝∠2，再證明∠2＝∠3得到DA＝DI，同理可得EI＝EB，所以△IDE的周長＝AB＝5．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
連接IA、IB，如圖，
∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴AI平分∠CAB，
即∠1＝∠2，
∵ID∥AC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴DA＝DI，
同理可得EI＝EB，
∴△IDE的周長＝ID+DE+IE＝DA+DE+EB＝AB＝5．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．
3．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD，CB是⊙O的切線，D，B為切點(diǎn)，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE的延長線交BC于點(diǎn)F，連接AD，BD，給出以下四個結(jié)論：①AD∥OC；②E為△CDB的內(nèi)心；③FC＝FE．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【分析】①利用切線長定理和等腰三角形三線合一證明即可；
②由垂徑定理得，再由切線性質(zhì)推角相等，進(jìn)一步證明DE平分∠CDB，BE平分∠CBD，最后證點(diǎn)E為△CDB的內(nèi)心；
③利用①的結(jié)論AD∥OC推∠NDA＝∠NCM，再根據(jù)切線性質(zhì)推角相等，等量代換后推∠MCB＝∠DBA，由不一定等于，推角也不一定相等．
【解答】解：①∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵CD、CB為⊙O的切線，
∴CD＝CB，CO平分∠DCB，
∴CO⊥BD，
∴∠OHB＝90°，
∴∠OHB＝∠ADB，
∴AD∥OC，故①正確；
②連接DE、BE，
∵CD為⊙O的切線，
∴∠CDE＝∠DAE，
∵CO⊥BD，
∴，
∴∠DAF＝∠EDB，
∴∠CDE＝∠EDB，
∴DE平分∠CDB，
同理可證BE平分∠CBD，
∵CO平分∠DCB，
∴點(diǎn)E為△CDB的內(nèi)心，故②正確；
③∵AD∥OC，
∴∠NDA＝∠NCM．
∵CO平分∠DCB，
∴∠DCM＝∠MCB，
∵CD為⊙O的切線，
∴∠NDA＝∠DBA，
∴∠MCB＝∠DBA，
∵∠CEF＝∠AEM，
不一定等于，
∴∠CFE，∠AGB不一定相等
∴FC、EF也不一定相等，故③不正確，
∴正確的結(jié)論是①②．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了切線長定理、圓周角的性質(zhì)定理、外角性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，輔助線的作法是解題關(guān)鍵．
4．（2022?邗江區(qū)校級開學(xué)）如圖，點(diǎn)I和O分別是△ABC的內(nèi)心和外心，若∠AIB＝125°，則∠AOB的度數(shù)為（ ）
A．120°B．125°C．135°D．140°
【分析】根據(jù)圓周角定義，以及內(nèi)心的定義，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到兩個角的關(guān)系．
【解答】解：∵點(diǎn)O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C∠AOB，
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠IAB∠CAB，∠IBA∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°（∠CAB+∠CBA），
＝180°（180°﹣∠C）
＝90°∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°∠AOB，
∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
∵∠AIB＝125°，
∴∠AOB＝140°．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)接圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是正確利用∠C表示∠AIB的度數(shù)．
二．填空題（共4小題）
5．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，若等邊△ABC的邊長為8，則陰影部分的面積是 16π ．
【分析】連接OE、OB、OC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠ACB＝60°，BC＝8，再利用切線的性質(zhì)和內(nèi)心性質(zhì)得到OE⊥BC，BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，從而得到∠OBE＝∠OCE＝30°，再計算OE，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用S陰影部分＝S△ABC﹣S⊙O＝3S△OBC﹣S⊙O進(jìn)行計算即可．
【解答】解：如圖，連接OE、OB、OC，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BC＝8，
∵⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，
∴OE⊥BC，BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBE＝∠OCE＝30°，
∵OB＝OC，OE⊥BC，
∴BE＝CEBC＝4，
在Rt△OBE中，OEBE，
∴S陰影部分＝S△ABC﹣S⊙O
＝3S△OBC﹣S⊙O
＝38π×（）2
＝16π．
故答案為：16π．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心定義．
6．（2022秋?云龍區(qū)校級月考）如圖，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，則∠BOC＝ 125 °．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念得到∠OBC∠ABC＝30°，∠OCB∠ACB＝25°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴∠OBC∠ABC60°＝30°，∠OCB∠ACB50°＝25°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°，
故答案為：125．
【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
7．（2020秋?亭湖區(qū)校級月考）如圖，已知圓O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，則圓O的半徑為 2 ．
【分析】設(shè)BF＝BD＝x，利用切線長定理，構(gòu)建方程先求出證明四邊形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解決問題．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC5，
∵⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
如圖，連接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四邊形OECF是正方形，
設(shè)OE＝OF＝CE＝CF＝x，則AD＝AE＝5﹣x，BF＝BD＝12﹣x，
∵AD+BD＝13，
∴5﹣x+12﹣x＝13，
∴x＝2，
則圓O的半徑為2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線長定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
8．（2021秋?高新區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，I是△ABC的內(nèi)心，O是AB邊上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)B且與AI相切于點(diǎn)I，若tan∠BAC，則sin∠ACB的值為 ．
【分析】連接OI，BI，作OE⊥AC，可證△AOD是等腰三角形，然后證明OD∥BC，進(jìn)而∠ADO＝∠ACB，解三角形AOD即可．
【解答】解：如圖，
連接OI并延長交AC于D，連接BI，
∵OI與⊙O相切，
∴AI⊥OD，
∴∠AIO＝∠AID＝90°，
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠OAI＝∠DAI，∠ABI＝∠CBI，
∵AI＝AI，
∴△AOI≌△ADI（ASA），
∴AO＝AD，
∵OB＝OI，
∴∠OBI＝∠OIB，
∴∠OIB＝∠CBI，
∴OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C，
作OE⊥AC于E，
∵tan∠BAC，
∴不妨設(shè)OE＝24k，AE＝7k，
∴OA＝AD＝25k，
∴DE＝AD﹣AE＝18k，
∴OD30k，
∴sin∠ACB，
故答案是：．
【點(diǎn)評】本題考查課圓的切線性質(zhì)，內(nèi)心性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，解斜三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是有機(jī)地組合條件，發(fā)現(xiàn)特殊性．
三．解答題（共4小題）
9．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線AF交⊙O于點(diǎn)G，過G作DE∥BC分別交AB，AC的延長線于點(diǎn)D，E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）已知AG＝8，，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，求GI的長．
【分析】（1）連接OG，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAG＝∠CAG，根據(jù)垂徑定理得到OG⊥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OG⊥EF，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）連接BI，BG，根據(jù)角平分線定義得到∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，推出∠BIG＝∠GBI，得到BG＝IG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接OG，
∵∠BAC的平分線AF交⊙O于點(diǎn)G，
∴∠BAG＝∠CAG，
∴，
∴OG⊥BC，
∵DE∥BC
∴OG⊥EF，
∵OG是⊙O的半徑，
∴DE為⊙O的切線；
（2）解：連接BI，BG，
∵點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，
∴∠BAI＝∠CBG，
∴∠BIG＝∠GBI，
∴BG＝IG，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADG，
∴，
∵AG＝8，
∴AF＝6，
∴FG＝2，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
∴，
∴，
∴BG＝4（負(fù)值舍去），
∴GI的長為4．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．
10．（2022秋?泰州月考）如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．
（1）求證：EB＝EI；
（2）若AB＝8，AC＝6，BE＝4，求AI的長．
【分析】（1）根據(jù)I是△ABC的內(nèi)心，于是得到AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到結(jié)論；
（2）連接EC．根據(jù)已知條件得到BE＝EC＝4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIE＝∠BAE+∠ABI，∠IBE＝∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE＝∠CAE，
∴∠BIE＝∠EBI，
∴EB＝EI；
（2）解：連接EC．
∵∠BAE＝∠CAE，
∴，
∴BE＝EC＝4，
∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠DCE，
∴△ADB∽△CDE，
∴2，設(shè)DE＝m，CD＝n，則BD＝2m，AD＝2n，
同法可證：△ADC∽△BDE，
∴，
∴，
∴n：m＝3：2，設(shè)n＝3k，m＝2k，
∵∠CED＝∠AEC，∠ECD＝∠BAE＝∠CAE，
∴△ECD∽△EAC，
∴EC2＝ED?EA，
∴8＝m?（m+2n），
∴8＝2k（2k+6k）
∴k＝1或﹣1（舍棄），
∴DE＝2，AD＝6，
∴AE＝8，
∵EI＝BE＝4，
∴AI＝AE﹣EI＝4．
【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考壓軸題．
11．（2021?武進(jìn)區(qū)校級自主招生）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對角線，AC的中點(diǎn)I是△ABD的內(nèi)心．求證：
（1）OI是△IBD的外接圓的切線；
（2）AB+AD＝2BD．
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)，以及等角對等邊即可證得C是△IBD的外心，然后證得OI⊥CI，即可證得OI是△IBD的外接圓的切線；
（2）根據(jù)（1）可以得到AI＝CD，AB＝2BF，即可證得．
【解答】解：（1）∵∠CID＝∠IAD+∠IDA，∠CDI＝∠CDB+∠BDI＝∠BAC+∠IDA＝∠IAD+∠IDA
∴∠CID＝∠CDI，
∴CI＝CD．
同理，CI＝CB．
故點(diǎn)C是△IBD的外心．
連接OA，OC，
∵I是AC的中點(diǎn)，且OA＝OC，
∴OI⊥AC，即OI⊥CI．
∴OI是△IBD外接圓的切線．
（2）由（1）可得：
∵AC的中點(diǎn)I是△ABD的內(nèi)心，
∴∠BAC＝∠CAD
∴∠BDC＝∠DAC＝∠BAC，
又∵∠ACD＝∠DCF，
∴△ADC∽△DFC，
∴，
∵AC＝2CI
∴AC＝2CD
∴AD＝2DF
同理可得：AB＝2BF
∴AB+AD＝2BF+2DF＝2BD．
【點(diǎn)評】本題考查了圓的切線的證明，以及三角形的內(nèi)心的計算，證得C是△IBD的外心是關(guān)鍵．
12．（2022秋?建湖縣期中）如圖，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D．
（1）求證：∠BAD＝∠CBD；
（2）求證：BD＝ID；
（3）連接BI、CI，求證：點(diǎn)D是△BIC的外心．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；
（2）連接BI，根據(jù)I是△ABC的內(nèi)心可得出∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBC，再由圓周角定理可知∠DBC＝∠DAC，BID是△ABI的一個外角可知∠BID＝∠BAD+∠ABI，故可得出∠IBD＝∠BID，由等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）連接BI，CI，由AD平分∠BAC，證明BD＝CD，結(jié)合（2）可得BD＝CD＝ID，進(jìn)而可以得點(diǎn)D是△BIC的外心．
【解答】證明：（1）∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD；
（2）如圖，連接BI，
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∴∠BID＝∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，
∵∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠IBD，
∴ID＝BD；
（3）如圖，連接BI、CI，DC，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD，
∴BD＝CD＝ID，
∴點(diǎn)D是△BIC的外心．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的外接圓和外心，垂徑定理，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解此題的關(guān)鍵．

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