一、經(jīng)典基礎(chǔ)題
題型1 直線、射線、線段、 角的基本概念
題型2 角的表示、換算及比較大小
題型3 直線、射線、線段的實際生活中的應(yīng)用
題型4 線段、角度中的計數(shù)問題
題型5 作圖問題
題型6 與線段有關(guān)的計算
題型7 實際背景下線段的計算問題
題型8 鐘面上的角度問題
題型9 方位角問題
題型10 一副直角三角形板中的角度問題
題型11 與角平分線（角的和差）有關(guān)的計算
題型12 余角、補角、對頂角的相關(guān)計算
題型13 七巧板相關(guān)問題
二、優(yōu)選提升題
題型1 直線、射線、線段、 角的基本概念
解題技巧：熟練掌握直線、射線、線段基本性質(zhì)和概念。
例1．（2022·廣東汕頭七年級期末）下列說法：（1）兩點之間線段最短；（2）兩點確定一條直線；（3）同一個銳角的補角一定比它的余角大90°；（4）A、B兩點間的距離是指A、B兩點間的線段；其中正確的有（ ）
A．一個B．兩個C．三個D．四個
【答案】C
【分析】（1）根據(jù)線段的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)直線的性質(zhì)即可求解；（3）余角和補角一定指的是兩個角之間的關(guān)系，同角的補角比余角大90°；（4）根據(jù)兩點間的距離的定義即可求解．
【解析】（1）兩點之間線段最短是正確的；（2）兩點確定一條直線是正確的；
（3）同一個銳角的補角一定比它的余角大90°是正確的；
（4）A、B兩點間的距離是指A、B兩點間的線段的長度，原來的說法是錯誤的．故選C．
【點睛】本題考查了補角和余角、線段、直線和兩點間的距離的定義及性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．
變式1．（2022·山東濰坊·七年級期末）如圖，下列說法正確的是（ ）
A．點O在射線上B．點B是直線AB的端點
C．到點B的距離為3的點有兩個D．經(jīng)過A，B兩點的直線有且只有一條
【答案】D
【分析】根據(jù)射線、直線定義判斷A、B，根據(jù)兩點間的距離判斷C，根據(jù)直線公理判斷D．
【詳解】解：點O在射線AB上，故A錯誤，不符合題意；
直線沒有端點，故B錯誤，不符合題意；
平面內(nèi)到點B距離為3的點有無數(shù)個，故C錯誤，不符合題意；
經(jīng)過A，B兩點的直線有且只有一條，故D正確，符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查射線、直線定義，兩點間的距離及直線公理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)定義、定理、公理．
變式2．（2022·河北七年級期末）下列說法正確的是( )
A．連接兩點的線段，叫做兩點間的距離 B．射線OA與射線AO表示的是同一條射線
C．經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線 D．從一點引出的兩條直線所形成的圖形叫做角
【答案】C
【分析】根據(jù)線段、射線、直線的定義即可解題.
【解析】解：A. 連接兩點的線段長度，叫做兩點間的距離
B. 射線OA與射線AO表示的是同一條射線,錯誤,射線具有方向性,
C. 經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線,正確,
D. 錯誤,應(yīng)該是從一點引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，故選Ｃ.
【點睛】本題考查了線段、射線、直線的性質(zhì),屬于簡單題,熟悉定義是解題關(guān)鍵.
題型2 角的表示、換算及比較大小
例1．（2022·山東菏澤·七年級期末）角度換算：＝___°．
【答案】26.8
【分析】根據(jù)度分秒的換算法則求解即可．
【詳解】解：=，故答案為：26.8．
【點睛】本題考查了度分秒的換算，解決本題的關(guān)鍵是掌握度分秒的換算法則．
變式1．（2022·江西吉安·七年級期末）如下圖，下列說法正確的是（ ）
A．與表示同一個角 B． C．圖中共有兩個角：， D．表示
【答案】A
【分析】根據(jù)角的表示方法表示各個角，再判斷即可．
【詳解】解：A．∠1與∠AOB表示同一個角，正確，故本選項符合題意；
B．不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；
C．圖中共有三個角：，，∠AOC，故選項錯誤，不符合題意；
D．表示，故選項錯誤，不符合題意．故選：A．
【點睛】本題考查了對角的表示方法的應(yīng)用，正確表示角是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2022·湖南永州·七年級期末）若，，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將三個角的度數(shù)都轉(zhuǎn)化成度分秒的形式后，即可得到三個角的大小關(guān)系．
【詳解】解：∵1°=60′；∴0.25°=60′×0.25=15′；∴∠C=32°15′；
∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；∴∠A＞∠B＞∠C．故選：A．
【點睛】本題主要考查角的大小比較，需要熟練掌握度數(shù)與度分秒形式之間的轉(zhuǎn)化．
題型3 直線、射線、線段的實際生活中的應(yīng)用
解題技巧：主要考查“兩點確定一條直線”和“兩點之間，線段最短”，弄明白兩者的區(qū)別即可
例1．（2022·陜西·西安鐵一中分校七年級期末）下列現(xiàn)象能用“兩點確定一條直線”來解釋的是（ ）
①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②從地到地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段架設(shè)；
③植樹時，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；
④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．
A．①③B．①②C．②④D．③④
【答案】A
【分析】直接利用直線的性質(zhì)以及兩點之間線段最短分析得出答案．
【詳解】解：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，根據(jù)是兩點確定一條直線；
②從地到地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段架設(shè)，根據(jù)是兩點之間線段最短；
③植樹時，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，根據(jù)是兩點確定一條直線；
④把彎曲的公路改直，就能縮短路程，根據(jù)是兩點之間線段最短．故選：A．
【點睛】此題主要考查了線段以及直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確把握相關(guān)性質(zhì)．
變式1．（2022·河南漯河·七年級期末）下列現(xiàn)象：
（1）用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；
（2）從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB架設(shè)；
（3）植樹時，只要確定兩顆樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；
（4）把彎曲的公路改直，就能縮短路程．
其中能用“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有( )
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（2）（4）
【答案】D
【分析】利用直線和線段的性質(zhì)對選項逐一進行判斷得出結(jié)論．
【詳解】（1）利用兩點確定一條直線解釋，故不符合題意；
（2）可用“兩點之間，線段最短”解釋，故符合題意；
（3）利用兩點確定一條直線解釋，故不符合題意；
（4）可用“兩點之間，線段最短”解釋，故符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查直線和線段的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是對直線和線段的性質(zhì)熟練應(yīng)用并熟悉兩者的區(qū)別．
題型4 線段、角度中的計數(shù)問題
例1．（2022·山西·右玉縣七年級期末）閱讀并填空：
問題：在一條直線上有，，，四個點，那么這條直線上總共有多少條線段？
要解決這個問題，我們可以這樣考慮，以為端點的線段有，，3條，同樣以為端點，以為端點，以為端點的線段也各有3條，這樣共有4個3，即4×3＝12（條），但和是同一條線段，即每一條線段重復一次，所以一共有______條線段．那么，若在一條直線上有5個點，則這條直線上共有______條線段；若在一條直線上有個點，則這條直線上共有______條線段．
知識遷移：若在一個銳角內(nèi)部畫2條射線，，則這個圖形中總共有______個角；若在內(nèi)部畫條射線，則總共有______個角．
學以致用：一段鐵路上共有5個火車站，若一列火車往返過程中，必須?？棵總€車站，則鐵路局需為這段線路準備______種不同的車票．
【答案】6 ，10，，6，，20
【分析】問題：根據(jù)線段的定義解答；知識遷移：根據(jù)角的定義解答；
學以致用：先計算出線段的條數(shù)，再根據(jù)兩站之間需要兩種車票解答．
【詳解】解：問題：根據(jù)題意，則；；；
知識遷移：在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有6個不同的角，在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+n+（n+1）=個不同的角；
學以致用：5個火車站代表的所有線段的條數(shù)×5×4=10，需要車票的種數(shù)：10×2=20（種）．
故答案為：6 ，10，，6，，20；
【點睛】此題考查了線段的計數(shù)問題，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．
變式1．（2022·山東青島·七年級期末）平面內(nèi)兩兩相交的7條直線，其交點個數(shù)最少是m個，最多是n個，則m+n的值為（ ）
A．18B．20C．22D．24
【答案】C
【分析】根據(jù)平面內(nèi)兩兩相交直線交點的個數(shù)所呈現(xiàn)的規(guī)律得出m、n的值即可．
【詳解】解：平面內(nèi)兩兩相交的7條直線，其交點個數(shù)最少是1個，即m＝1，
平面內(nèi)兩兩相交的7條直線，其交點個數(shù)最多是1+2+3+4+5+6＝21（個），即n＝21，
所以m+n＝22，故選：C．
【點睛】本題主要考查了直線相交的交點情況，找出交點個數(shù)是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2022·廣西賀州·七年級期末）如圖，從的頂點引出兩條射線OC，OD，圖中的角共有（ ）
A．3個B．4個C．6個D．7個
【答案】C
【分析】按一定的規(guī)律數(shù)角的個數(shù)即可．
【詳解】解：以O(shè)A 為一邊的角有：，
以O(shè)D為一邊的角有：，以O(shè)C為一邊的角有：，
所以，圖中共有6個角，故選：C．
【點睛】本題通過數(shù)角的個數(shù)，鞏固角的概念，難度適中．
題型5作圖問題
解題技巧：（1）尺規(guī)作圖：做已知線段的和差倍數(shù)問題；（2）常規(guī)作圖：與線段射線直線有關(guān)的基本作圖。
例1．（2022·河北保定·七年級期末）如圖，在平面內(nèi)有三點．(1)畫直線，射線，線段；(2)在線段上任取一點D（不同于），連接，并延長至E，使；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(3)數(shù)一數(shù)，此時圖中線段共有___條．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)8條
【分析】（1）根據(jù)直線、射線、線段的定義作圖；
（2）根據(jù)在線段BC上任取一點D（不同于B，C），連接線段AD，并延長AD至點E，使DE=AD即可；（3）根據(jù)圖中的線段為AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到圖中線段的條數(shù)．
（1）如圖，直線AB，線段BC，射線AC即為所求；
（2）如圖，線段AD和線段DE即為所求；
（3）圖中有線段AB、AC、AD、AE、DE、BC、BD、CD，一共8條．
【點睛】考查了直線、射線、線段的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線、射線、線段定義．
變式1．（2022·安徽宣城·七年級期末）（1）請在給定的圖中按照要求畫圖：
①畫射線AB；②畫平角∠BAD；③連接AC．（2）點B、C分別表示兩個村莊，它們之間要鋪設(shè)燃氣管道．若節(jié)省管道，則沿著線段BC鋪設(shè)．這樣做的數(shù)學依據(jù)是： ．
【答案】（1）①見解析；②見解析；③見解析；（2）兩點之間，線段最短
【分析】（1）①根據(jù)射線的定義，作出圖形即可；②根據(jù)平角的定義，作出圖形即可；③根據(jù)線段的定義，作出圖形即可；（2）根據(jù)兩點之間線段最短解決問題．
【詳解】解：（1）①如圖，射線AB即為所求；
②如圖，∠BAD即為所求；③如圖，線段AC即為所求；
（2）沿著線段BC鋪設(shè)．這樣做的數(shù)學依據(jù)是：兩點之間線段最短．
【點睛】本題主要考查了直線，射線，平角的定義，線段的基本事實，熟練掌握直線是兩端都沒有端點、可以向兩端無限延伸、不可測量長度的線；射線是只有一個端點，它從一個端點向另一邊無限延長不可測量長度的線；直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段；兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2022·河南淮濱縣·七年級期末）如圖，在同一平面內(nèi)有四個點，，，，請用直尺按下列要求作圖：（1）作射線；作直線：連接；（2）如果圖中點，，，表示四個村莊，為解決四個村莊的缺水問題，政府準備投資修建一個蓄水池，要求蓄水池P到四個村莊的距離和最小，請你找出蓄水池的位置．
【答案】（1）見解析；（2）圖見解析，理由：兩點之間，線段最短
【分析】（1）根據(jù)直線的定義：兩端沒有端點，可以向兩端無限延伸，不可測量長度，射線的定義：直線 上的一點和它一旁的部分所組成的圖形，線段的定義：兩點都有端點，不可延長，作圖即可；
（2）根據(jù)兩點之間線段最短即可確定P的位置．
【詳解】解：（1）所作圖形如圖1所示．

（2）如圖2，連接，，
則與的交點為滿足要求的蓄水池的位置，理由：兩點之間，線段最短．
【點睛】本題主要考查了兩點之間線段最短，直線，射線與線段的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．
題型6 與線段有關(guān)的計算
例1．（2022·浙江·七年級期末）如圖，線段是線段上一點，M是的中點，N是的中點．（1），求線段的長；（2）若線段，線段，求的長度（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】（1）CM=1cm，NM=2.5cm；（2）
【分析】（1）求出AM長，代入CM=AM-AC求出即可；分別求出AN、AM長，代入MN=AM-AN求出即可；
（2）分別求出AM和AN，利用AM-AN可得MN．
【詳解】解：（1），是的中點，，
，；
，，是的中點，是的中點，
，，；
（2），，，
是的中點，是的中點，，，
．
【點睛】本題考查了兩點之間的距離，線段中點的定義的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AM、AN的長．
變式1．（2022·湖南新邵縣·七年級期末）如圖，線段AB＝22cm，C是AB上一點，且AC＝14cm，O是AB的中點，線段OC的長度是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】B
【分析】根據(jù)O是AB的中點，求得的長，即可求解．
【詳解】解：∵O是AB的中點，AB＝22cm，∴OA＝OB＝AB＝×22＝11（cm），
∴OC＝AC﹣AO＝14﹣11＝3（cm）．故選：B．
【點睛】此題主要考查了線段中點的性質(zhì)，熟練掌握線段中點的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2022·浙江·）定義：當點C在線段AB上，時，我們稱為點C在線段AB上的點值，記作．
甲同學猜想：點C在線段AB上，若，則．
乙同學猜想：點C是線段AB的三等分點，則
關(guān)于甲乙兩位同學的猜想，下列說法正確的是（ ）
A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確 C．兩人都正確 D．兩人都不正確
【答案】A
【分析】本題根據(jù)題目所給的定義對兩人的猜想分別進行驗證即可得到答案，對于乙的猜想注意進行分類討論．
【詳解】解：甲同學：點C在線段AB上，且，，，甲同學正確．
乙同學：點C在線段AB上，且點C是線段AB的三等分點，有兩種情況，
①當時，，②當時，，乙同學錯誤．故選：A．
【點睛】本題主要考查對于新定義和線段的等分點的理解，對于線段的三等分點注意分類討論即可．
題型7 實際背景下的計算問題
例1．（2022·北京海淀區(qū)·七年級期中）如圖，直線上的四個點A，B，C，D分別代表四個小區(qū)，其中A小區(qū)和B小區(qū)相距am，B小區(qū)和C小區(qū)相距200m，C小區(qū)和D小區(qū)相距am，某公司的員工在A小區(qū)有30人，B小區(qū)有5人，C小區(qū)有20人，D小區(qū)有6人，現(xiàn)公司計劃在A，B，C，D四個小區(qū)中選一個作為班車?？奎c，為使所有員工步行到?？奎c的路程總和最小，那么?？奎c的位置應(yīng)設(shè)在（ ）
A．A小區(qū)B．B小區(qū)C．C小區(qū)D．D小區(qū)
【答案】B
【分析】根據(jù)題意分別計算停靠點分別在B、D、C各點時員工步行的路程和，選擇最小的即可求解．
【詳解】解：因為當停靠點在A區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：5a+20×（200+a）+6（2a+200）＝37a+5200（m），
因為當停靠點在B區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和是：30a+20×200+6（a+200）＝36a+5200（m），
當停靠點在C區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和是：30（a+200）+5×200+6a＝36a+7000（m），
當?？奎c在D區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和是：30×（2a+200）+5（a+200）+20a＝98a+7000（m），
因為36a+5200＜37a+5200＜36a+7000＜98a+7000，
所以當?？奎c在B小區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和最小，那么停靠點的位置應(yīng)該在B區(qū)．故選：B．
【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，理清題意，正確列出算式是解答本題的關(guān)鍵．
變式1．（2022·浙江·七年級期中）在數(shù)軸上有一線段，左側(cè)端點，右側(cè)端點．將線段沿數(shù)軸向右水平移動，則當它的左端點移動到和右端點原位置重合時，右端點在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為24，若將線段沿數(shù)軸向左水平移動，則右端點移動到左端點原位置時，左端點在軸上所對應(yīng)的數(shù)為6（單位：）（1）線段長為_________．（2）由題（1）的啟發(fā)，請你借助“數(shù)軸”這個工具幫助小紅解決下列問題：問題：一天，小紅去問曾當過數(shù)學老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g．爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要等30年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是120歲的老壽星了，哈哈！”則推算爺爺現(xiàn)在的年齡是_________
【答案】 70歲
【分析】（1）據(jù)題意，可知點和點之間的距離為18，且正好是線段AB長的3倍，則可求出AB的長（2）在求爺爺年齡時，借助數(shù)軸，把小紅和爺爺?shù)哪挲g差看做線段AB的長，結(jié)合（1）即可求出爺爺?shù)哪挲g．
【詳解】（1）如圖所示，，， 所以．
（2）借助數(shù)軸，把小紅和爺爺?shù)哪挲g差看做線段AB的長，類似爺爺和小紅大時看做當B點移動到A點時，此時點A'對應(yīng)的數(shù)為-30，小紅和爺爺一樣大時看做當點A移動到B點時，此時點B'所對應(yīng)的數(shù)為120，根據(jù)（1）中提示，可知爺爺比小紅大（歲）
所以爺爺?shù)哪挲g為（歲）．故答案為：①6cm；②70歲．
【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離和線段的應(yīng)用，找出蘊含的數(shù)量關(guān)系，以及利用數(shù)軸直觀解決問題是解題關(guān)鍵．
變式2．（2022·江蘇宿遷·七年級期末）如圖，直線l上有A，B，C，D四點，點P從點A的左側(cè)沿直線l從左向右運動，當出現(xiàn)點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，點P就稱為這兩個點的黃金伴侶點，例：若PA＝PB，則在點P從左向右運動的過程中，點P成為黃金伴侶點的機會有（ ）
A．4次B．5次C．6次D．7次
【答案】C
【分析】由題意知，點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，恰好點P是其中一條線段的中點，根據(jù)線段中點定義解答即可．
【詳解】解：由題意知，點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，恰好點P是其中一條線段的中點，圖中共有六條線段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，
∴點P成為黃金伴侶點的機會有六次，故選：C．
【點睛】此題考查了線段中點的定義，確定線段的數(shù)量，正確理解題意得到線段中點定義是解題的關(guān)
題型8 鐘面上的角度問題
例1．（2022·福建泉州·七年級期末）時鐘上的分針和時針像兩個運動員，繞著它們的跑道晝夜不停地運轉(zhuǎn)．以下請你解答有關(guān)時鐘的問題：(1)分針每分鐘轉(zhuǎn)了幾度？
(2)中午12時整后再經(jīng)過幾分鐘，分針與時針所成的鈍角會第一次等于？
(3)在(2)中所述分針與時針所成的鈍角等于后，再經(jīng)過幾分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于？
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)分針一小時轉(zhuǎn)一圈即360°，用360°除以60計算即得；（2）根據(jù)分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差是，列方程解答即可；（3）相對于12時整第二次所成的鈍角第二次等于時，時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差超過180°，這個差與之和是360°．
（1）解：∵分針一小時轉(zhuǎn)一圈即360°,
∴分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是： ,答：分針每分鐘轉(zhuǎn)了6度；
（2）設(shè)中午12時整后再經(jīng)過x分鐘，分針與時針所成的鈍角會第一次等于121°，
∵時針一小時轉(zhuǎn)動角度為： ，時分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是： ；
∵分針與時針所成的鈍角會第一次等于，
∴時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差是，∴，解得：，
答：中午12時整后再經(jīng)過22分鐘，分針與時針所成的鈍角會第一次等于121°；
（3）設(shè)經(jīng)過y分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于，
則從12時算起經(jīng)過(y+22)分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于，
因為時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差超過180°，這個差與之和是360°，
故列得方程：，
解得：，解得：，
答：經(jīng)過分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于．
【點睛】本題通過鐘面角考查一元一次方程，掌握時針分針的轉(zhuǎn)動情況，會根據(jù)已知條件列方程是解題的關(guān)鍵．選擇合適的初始時刻會簡化理解和運算難度，起到事半功倍的效果．
變式1．（2022·遼寧葫蘆島·七年級期末）每天中午12點30分是“校園之聲”節(jié)目都會如約而至，此時時針與分針所夾的的角為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)時鐘上一大格是30°進行計算即可解答．
【詳解】解：由題意得： 6×30°-×30°=180°-15°=165°， ∴時針與分針所夾的的角為165°， 故選：B．
【點睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時鐘上一大格是30°是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2022·浙江麗水·七年級期末）如圖是從圖的時鐘抽象出來的圖形，已知三角形是等邊三角形，，當時針正對點時恰好是：，若時針與三角形一邊平行時，時針所指的時間不可能是（ ）
A．：B．：C．：D．：
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知，需要分三種情況，分別畫出圖形，可根據(jù)時鐘得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，需要分三種情況，如下圖所示：

當時，如圖2（1），此時對應(yīng)的時間為：或：；
當時，如圖2（2），此時對應(yīng)的時間為：或：；
當時，如圖2（3），此時對應(yīng)的時間為：或：；故選：D．
【點睛】本題主要考查分類討論思想，對于時鐘的認識，找到每種情況是解題關(guān)鍵．
題型9 方位角問題
例1．（2022·浙江麗水·七年級期末）如圖,射線OA表示北偏東30°方向,射線OB表示北偏西50°方向,則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得∠AOB=30°+50°，進而得出答案．
【詳解】解：如圖所示：
∵射線OA表示北偏東30°方向，射線OB表示北偏西50°方向，
∴∠AOB=30°+50°=80°．故選：B
【點睛】此題主要考查了方向角問題，根據(jù)題意借助互余兩角的關(guān)系求出是解題關(guān)鍵．
變式1．（2022·河北廊坊·七年級期末）如圖，小明從A處沿南偏西方向行走至點B處，又從點B處沿北偏西方向行走至點E處，則∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)方位角以及平行線的性質(zhì)可得∠2=∠3=、∠1=，則∠ABE＝∠1+∠2，最后計算即可．
【詳解】解：如圖：
∵小明從A處沿南偏西方向行走至點B處，又從點B處沿北偏西方向行走至點E處
∴∠2=∠3=，∠1=∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．故答案為D．
【點睛】本題主要考查了方位角和角的運用，正確認識方位角成為解答本題的關(guān)鍵．
變式2．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，是表示北偏東的一條射線，是表示北偏西的一條射線，若，則表示的方向是（ ）
A．北偏東 B．北偏東 C．北偏東 D．北偏東
【答案】C
【分析】根據(jù)題意求得∠AOB的度數(shù)，根據(jù)角的和差以及，可得∠DOC的度數(shù)，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，
∵是表示北偏東的一條射線，是表示北偏西的一條射線，
∴，∴，
∵，，
，．故選C．
【點睛】本題考查了方位角的表示，幾何圖形中角度的計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
題型10 一副直角三角形板中的角度問題
例1．（2022·山東棗莊·七年級期中）如圖，將兩個直角三角板的頂點疊放在一起進行探究．
(1)如圖①，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分線，請你猜想此時CB是不是∠ECD的平分線，并簡述理由；(2)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CB始終在∠DCE的內(nèi)部，請猜想∠ACE與∠DCB是否相等，并簡述理由．
【答案】(1)CB是∠ECD的角平分線；理由見詳解；(2)∠ACE=∠DCE；理由見詳解；
【分析】（1）根據(jù)∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分線，可知∠ECB=∠ACB=45°，進而可知∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，則∠ECB=∠DCB，由此可證CB是∠ECD的角平分線；
（2）由∠ACB=∠DCE=90°，可知∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，則∠ACE=∠DCB．
（1）解：猜想CB是∠ECD的角平分線，理由如下：
∵∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ECB=∠ACB=45°，∴∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，
∴∠ECB=∠DCB，∴CB是∠ECD的角平分線；
（2）猜想：∠ACE=∠DCE，理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，∴∠ACE=∠DCB．
【點睛】本題考查角平分線的判定，角度的轉(zhuǎn)換，能夠根據(jù)題意分析出角的變換過程是解決本題的關(guān)鍵．
變式1．（2022·山東威?！て谀┯靡桓比前宀荒墚嫵龅慕鞘牵? ）．
A．75°B．105°C．110°D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角畫；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角畫；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角畫；110°角用一副三角板不能畫出．
【詳解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角畫；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角畫；110°角用一副三角板不能畫出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角畫。故選：C．
【點睛】本題考查了利用一副三角板畫出的特殊角，找出規(guī)律是解決此類題的最好方法，應(yīng)讓學生記住凡是能用一副三角板畫出的角的度數(shù)都是15°的整數(shù)倍．
變式2．（2022·山東濟南·七年級期末）如圖，將一副三角尺的兩個直角項點O按如圖方式疊放在一起，若∠AOC＝130°，則∠BOD＝（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得，推算出的度數(shù)，即可得出的度數(shù)．
【詳解】解：由題可知，，
∵∠AOC＝130°，∴
∴故選B．
【點睛】本題考查了角度的和差計算，推理出角度之間的關(guān)系是本題的關(guān)鍵．
題型11 與角平分線（角的和差）有關(guān)的計算
例1．（2022·遼寧大連市·）如圖1，在內(nèi)部作射線，，在左側(cè)，且．
（1）圖1中，若平分平分，則______；
（2）如圖2，平分，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）設(shè)，過點O作射線，使為的平分線，再作的角平分線，若，畫出相應(yīng)的圖形并求的度數(shù)（用含m的式子表示）．
【答案】（1）120；（2），見解析；（3）見解析，或
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再結(jié)合已知條件即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)與已知條件進行角之間的加減即可證明出結(jié)論；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合已知條件進行角度之間的加減運算，分類討論得出結(jié)論即可．
【詳解】解：（1）∵，，∴，∴ ，
∵平分平分，∴，
∴，∴，故答案為：120；
（2）．
證明：∵平分，∴，
∵，∴．
∴．
∵，∴．
∵，∴，∴；
（3）如圖1，當在的左側(cè)時，
∵平分，∴，，∴，
∵，，
∴，∴，∴．
∵為的平分線，∴．∴；
如圖2，當在的右側(cè)時，∵平分，∴，
∵，∴，∵，，
∴，∴，∴．
∵為的平分線，．綜上所述，的度數(shù)為或．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與角度之間的加減運算，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形分析出各角之間的數(shù)量關(guān)系．
變式1．（2022·天津和平區(qū)·七年級期中）如圖，點O是直線AB上的一點，∠COD＝80°，OE平分∠BOC．
（1）如圖1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)．（2）在圖1中若∠AOC＝α（其中20°＜α＜100°），請直接用含α的代數(shù)式表示∠DOE的度數(shù)，不用說明理由．（3）如圖2，①請直接寫出∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，不用說明理由．②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF．試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，直接寫出關(guān)系式即可，不用說明理由．
【答案】（1）10°；（2）α﹣10°；（3）①∠AOC＝2∠DOE+20°；②4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．
【分析】（1）由∠AOC的度數(shù)可以求得∠BOC的度數(shù)，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度數(shù)，又由∠DOC＝80°可以求得∠DOE的度數(shù)；（2）由第（1）問的求法，可以直接寫出∠DOE的度數(shù)；
（3）①首先寫出∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，由∠COD＝80°，OE平分∠BOC，∠BOC+∠AOC＝180°，可以建立各個角之間的關(guān)系，從而可以得到∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系；
②首先得到∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，由∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，∠COD＝80°，OE平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的關(guān)系，可以建立各個角之間的關(guān)系，從而可以得到∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系．
【詳解】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．
∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC．∴∠COE＝70°．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝80°﹣70°＝10°．
（2）∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α．
∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC．∴∠COE＝90°﹣α．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝80°﹣90°+α＝α﹣10°．
（3）①∠AOC＝2∠DOE+20°．
理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD＝80°，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE+∠COE＝80°，∠AOC+2∠COE＝180°∴∠COE＝80°﹣∠DOE．
∵∠AOC+2∠COE＝180°．∴∠AOC+2（80°﹣∠DOE）＝180°．化簡，得：∠AOC＝2∠DOE+20°；
②4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．
理由：∵∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，∴∠AOC﹣2∠BOE＝5∠AOF．
∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOE，∴∠AOC﹣2∠EOC＝5∠AOF．
由（3）①知：∠AOC＝2∠DOE+20°，∴2∠DOE+20°﹣2∠EOC＝5∠AOF．
∵∠EOC＝∠COD﹣∠DOE＝80°﹣∠DOE，∴2∠DOE+20°﹣2（80°﹣∠DOE）＝5∠AOF．
∴4∠DOE﹣140°＝5∠AOF．即4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．
【點睛】此題主要考查角度的關(guān)系綜合，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)、鄰補角的特點．
變式2．（2022·廣西南寧市·）如圖，己知，是內(nèi)的一條射線，且．
（1）求，的度數(shù)：（2）作射線平分，在內(nèi)作射線，使得，求的度數(shù)；（3）過點作射線，若，求的度數(shù)．
【答案】（1），；（2）；（3）或
【分析】（1）由，即可求出，的度數(shù)；
（2）由，，求出；由平分,且，求出的度數(shù)；然后由得到結(jié)果；
（3）分類討論，畫出相關(guān)圖形，當射線在內(nèi)部時，根據(jù)條件，計算出相關(guān)角度，由，得到結(jié)果；當射線在外部時，由，得到結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵，
∴,
（2）∵，∴
又∵射線平分,且∴
∴
（3）分兩種情況，討論：①當射線在內(nèi)部時，作圖如下：

∵∴
又∵,且∴
∴，
又∵∴
②當射線在外部時，作圖如下：
∵且∴
又∵∴
∴，
又∵∴
綜上所述，或
【點睛】本題考查的是角度的計算，角平分線的性質(zhì)等，利用分類討論思想解題是關(guān)鍵．
題型12 余角、補角、對頂角的相關(guān)計算
例1．（2022·山東煙臺·期中）如圖，在同一平面內(nèi)，，，點為反向延長線上一點（圖中所有角均指小于的角）．下列結(jié)論：
①；②；③；
④．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，結(jié)合即可判斷①正確；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，結(jié)合即可判斷②正確；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判斷∠AOD=∠AOC，即可判斷③不正確；由E、O、F三點共線得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，從而可判斷④正確．
【詳解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，而∠AOF=∠DOF，
∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，即∠COE=∠BOE，所以①正確；
∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，所以②正確；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而，所以③不正確；
∵E、O、F三點共線，∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正確．
所以，正確的結(jié)論有3個．故選：C．
【點睛】題考查余角和補角、角度的計算、余角的性質(zhì)及角平分線的定義等知識，準確識圖是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2022·江蘇淮安·七年級期末）若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，則∠2＝∠3，理由是_____．
【答案】同角的補角相等
【分析】根據(jù)補角的性質(zhì)：同角的補角相等進行解答即可．
【詳解】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3（同角的補角相等）．故答案為：同角的補角相等．
【點睛】本題考查了補角的定義和性質(zhì)，解題時牢記同角的補角是解題關(guān)鍵．
例2．（2022·江蘇洪澤區(qū)·七年級期末）（問題情境）
蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學七上第178頁第13題有這樣的一個問題：“如圖1，OC是∠AOB內(nèi)一條射線，OD、OE分別平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度數(shù)”，小明在做題中發(fā)現(xiàn)：解決這個問題時∠AOC的度數(shù)不知道也可以求出∠DOE的度數(shù)．也就是說這個題目可以簡化為：如圖1，OC是∠AOB內(nèi)一條射線，OD、OE分別平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度數(shù)．
（1）請你先完成這個簡化后的問題的解答；
（變式探究）小明在完成以上問題解答后，作如下變式探究：（2）如圖1，若∠BOC＝m°，則∠DOE＝ °；
（變式拓展）小明繼續(xù)探究：（3）已知直線AM、BN相交于點O，若OC是∠AOB外一條射線，且不與OM、ON重合，OD、OE分別平分∠AOB、∠AOC，當∠BOC＝m°時，求∠DOE的度數(shù)（自己在備用圖中畫出示意圖求解）．
【答案】（1）45°；（2）；（3）
【分析】（1）首先假設(shè)∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根據(jù)OD，OE兩條角平分線，推出∠DOE即可；（2）首先假設(shè)∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根據(jù)OD，OE兩條角平分線，用m°表示∠DOE即可；（3）分三種情況討論，第一種：OC在AM上，第二種：OC在AM下側(cè)，∠MON之間，第三種：OC在∠AON之間，即可得到∠DOE，
【詳解】解：（1）設(shè)∠AOC＝a°，則∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+90°）﹣a°＝＝45°；
（2）設(shè)∠AOC＝a°，則∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+m°）﹣a°＝，故答案為：；
（3）①當OC在AM上，即OC在∠BOM之間，設(shè)∠AOC＝a°，
則∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+m°）﹣a°＝；

②當OC在直線AM下方，且OC在∠MON之間時，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝m°，
∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝∠AOC+∠AOB＝∠BOC＝；
③當OC在直線AM下方，且OC在∠AON之間時，
由②得，∠BOC＝m°，∠DOE＝∠AOC+∠AOB＝∠BOC＝；綜上所述，∠DOE＝．
【點睛】本題考查了對頂角，鄰補角，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是引入?yún)?shù)a，即設(shè)∠AOC=a°，然后在計算中消掉a．
題型13 七巧板相關(guān)問題
例1．（2022·山東青島·七年級期末）把一幅七巧板按如圖所示方式進行編號，①～⑦號分別對應(yīng)著七巧板的七塊．如果編號⑤的面積比編號③的面積小6，則由這幅七巧板拼得的“天鵝”的面積為_________．
【答案】32
【分析】根據(jù)七巧板，可知小正方形的面積等于2個小三角形面積，中等三角形的面積等于2個小三角形面積，小平行四邊形面積等于2個小三角形面積，一個大三角形面積等于4個小三角形面積求解即可．
【詳解】解：設(shè)編號⑤對應(yīng)的面積等于，編號③對應(yīng)的面積等于，
編號⑤的面積比編號③的面積小6，，，
∴這幅七巧板拼得的“天鵝”的面積等于．故答案為：．
【點睛】本題考查七巧板中的幾何圖形；能夠理解七巧板的構(gòu)圖原理是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2022·河南中原區(qū)·七年級期末）今年是牛年，在班級“牛年拼牛畫”的活動中，小剛同學用一個邊長為8cm的正方形做成的七巧板（如圖1）拼成了一頭牛的圖案（如圖2），則牛頭部所占的面積為（ ）
A．4 cm2B．8 cm2C．16 cm2D．20 cm2
【答案】C
【分析】由圖1的正方形的邊長為8cm，可求正方形的面積，再根據(jù)牛頭所占面積為正方形面積的可得
答案．
【詳解】解：∵圖1的正方形的邊長為8cm，∴正方形的面積是64cm2，
由牛的拼法可知，牛的頭部占正方形的，∴牛頭部所占的面積是64×=16cm2，故選：C．
【點睛】本題是一道趣味性探索題，結(jié)合我國傳統(tǒng)玩具七巧板，用七巧板來拼接圖形，可以培養(yǎng)學生動手
能力，展開學生的豐富想象力．
變式2．（2022·福建寧德·七年級期末）七巧板是中國傳統(tǒng)數(shù)學文化的重要載體．將一塊正方形木板制成如圖1所示的一副七巧板，小明選擇該副七巧板中的若干塊拼成了如圖2所示的“帆船”圖案，其中已經(jīng)用上編號為①和③的兩塊，則拼成該“帆船”圖案還需要的木塊一定是（ ）
A．②⑥B．④⑥⑦C．⑤⑥⑦D．④⑤⑥
【答案】A
【分析】根據(jù)七巧板拼湊的方法及拼圖的線條即可求解．
【詳解】解：圖2中“帆”的部分由兩塊大三角形組成，即圖1中的①③④，左側(cè)船體是一塊小三角形，即③，右側(cè)船體由于帆有一些重合，但根據(jù)線條形狀不難看出是一個平行四邊形，即⑥⑦，所以拼成該“帆船”圖案還需要的木塊一定是④、⑥和⑦，故選：A．
【點睛】本題考查了七巧板的運用，熟練掌握七巧板的拼湊方法是解題的關(guān)鍵．
1．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，下列說法不正確的是（ ）
A．∠BAC和∠DAE是同一個角 B．∠ABC和∠ACB不是同一個角
C．∠ABC可以用∠B表示 D．∠AED可以用∠E表示
【答案】D
【分析】根據(jù)角的表示方法，對四種說法逐一甄別．
【詳解】解：A、∠BAC和∠DAE兩邊相同，頂點相同，故是同一個角，選項正確，不符合題意；
B、由∠ABC和∠ACB頂點不同即可判斷二者并非同一角，選項正確，不符合題意；
、點處只有一個角，故可以用表示，選項正確，不符合題意；
D、由于以點為頂點的角有三個，故不可用表示，選項錯誤，符合題意；故選：D．
【點睛】此題考查角的表示方法，解題的關(guān)鍵是要明確，在同一頂點處有多個角時，只能用三個字母表示．
2．（2022·河北石家莊·一模）將量角器按如圖方式放置，其中角度為45°的角是（ ）
A．∠AOBB．∠BOCC．∠CODD．∠DOE
【答案】B
【分析】根據(jù)量角器分別得出每個角的度數(shù)即可．
【詳解】解：由量角器可知，∠AOB＝40°，∠BOC＝45°，∠COD＝55°，∠DOE＝35°，故選：B．
【點睛】本題主要考查角的概念，熟練掌握角的概念是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·天津益中學校七年級期末）下列生產(chǎn). 生活中的現(xiàn)象可用“兩點之間，線段最短”來解釋的是（ ）
A．如圖1，把彎曲的河道改直，可以縮短航程
B．如圖2，用兩個釘子就可以把一根木條固定在墻上
C．如圖3，植樹時只要定出兩棵樹的位置，就能確定一行樹所在的直線
D．如圖4，將甲. 乙兩個尺子拼在一起，兩端重合，如果甲尺經(jīng)校訂是直的，那么乙尺就不是直的
【答案】A
【分析】利用兩點確定一條直線以及兩點之間線段最短的性質(zhì)得出即可．
【詳解】解A. 把彎曲的河道改直，可以縮短航程，可用“兩點之間，線段最短”來解釋，故本選項符合題意；
B. 用兩個釘子就可以把一根木條固定在墻上，可用“兩點確定一條直線”，故本選項不符合題意；
C. 植樹時只要定出兩棵樹的位置，就能確定一行樹所在的直線，可用“兩點確定一條直線”，故本選項不符合題意；
D. 將甲. 乙兩個尺子拼在一起，兩端重合，如果甲尺經(jīng)校訂是直的，那么乙尺就不是直的，可用“兩點確定一條直線”，故本選項不符合題意；故選：A
【點睛】此題主要考查了線段的性質(zhì)，正確把握兩點之間線段最短的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
4．（2022·河北秦皇島·七年級期末）往返于甲、乙兩地的火車，中途?？咳?，每兩站間距離各不相等，需要準備（ ）種不同的車票
A．4B．8C．10D．20
【答案】D
【分析】把甲乙兩地看作是一條線段，線段上有3個點，先求出線段條數(shù)，再乘以2即是車票的種類．
【詳解】解：把甲乙兩地看作是一條線段，線段上有3個點，如圖，
∴線段一共有（條），而，
∴需要準備20種不同的車票，故選D
【點睛】本題主要考查運用數(shù)學知識解決生活中的問題；關(guān)鍵是需要掌握正確數(shù)線段的方法．
2．（2022·黑龍江·綏棱縣綏中鄉(xiāng)學校期末）芳芳家位于琪琪家東偏北35°方向，則琪琪家位于芳芳家（ ）方向．
A．北偏東35°B．南偏西35°C．西偏南35°D．西偏南25°
【答案】C
【分析】根據(jù)方向的相對性，東偏北對西偏南，度數(shù)不變，進行分析．
【詳解】芳芳家位于琪琪家東偏北35°方向，則琪琪家位于芳芳家西偏南35°方向．故選C．
【點睛】本題解題的關(guān)鍵是理解方向的相對性，地圖上一般按上北下南左西右東確定方向．
3．（2022·上海理工大學附屬初級中學期末）如圖，點B在點A的（ ）方向．
A．北偏東35°B．北偏東55°C．北偏西35°D．北偏西55°
【答案】C
【分析】先求出55°的余角，再根據(jù)方向角的定義，即可解答．
【詳解】解：由題意得：90°﹣55°＝35°，∴如上圖，點B在點A的北偏西35°方向，故選：C．
【點睛】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·重慶·七年級期中）如圖是一個時鐘某一時刻的簡易圖，圖中的條短線刻度位置是時鐘整點時時針（短針）位置，根據(jù)圖中時針和分針（長針）位置，該時鐘顯示時間是（ ）
A．點B．點C．點D．點
【答案】A
【分析】先根據(jù)每個刻度間的角度確定12點或6點的位置，即可確定此時的時間．
【詳解】解：由圖知：時針轉(zhuǎn)動了4小格，每一小格代表： ，即時針轉(zhuǎn)了24°，
∵分針每轉(zhuǎn)動1°，時針轉(zhuǎn)動 ，由此知：分針轉(zhuǎn)動： ，
由每一大格對應(yīng)30°知： ，即分針走了9大格，3個小格，從而確定12點位置：
由此確定此時是10點53分；故答案為：A．
【點睛】此題考查角度的計算，根據(jù)指針的位置確定12點是關(guān)鍵．
6．（2022·新疆·七年級期末）把一副三角板按照如圖所示的位置擺放，使其中一個三角板的直角頂點放在另一個三角板的邊上，形成的兩個夾角分別為，，若，則的度數(shù)是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．75°
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可得，，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，，則，故選：A
【點睛】此題考查了涉及三角板的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是掌握三角板中有關(guān)角的度數(shù)．
7．（2022·河南鄭州·七年級期末）如圖，若，且，求的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)角的和差可得，又根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)即可得．
【詳解】解：，，，
，，
又，，，故選：A．
【點睛】本題考查了幾何圖形中的角度計算，正確找出圖形中的角之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．
8．（2022·浙江金華·七年級期末）一張小凳子的結(jié)構(gòu)如圖所示，，，則( )
A．B．C．D．無法確定
【答案】B
【分析】根據(jù)和互為補角，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和為，，得，即可求出的角度．
【詳解】∵和互為補角∴∵∴
又∵在中，，∴∴故選：B．
【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、補角的知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理、補角的性質(zhì)．
9．（2022·安徽合肥·七年級期末）若∠1與∠3互余，∠2與∠3互補，則∠1與∠2的關(guān)系是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1與∠2互余C．∠1與∠2互補D．∠2－∠1＝90°
【答案】D
【分析】根據(jù)余解和補角的定義求解即可．
【詳解】解：∠1與∠3互余，∠1＋∠3＝90°，∠3＝90°－∠1．
∠2與∠3互補，∠2＋∠3＝180°，∠2＋90°－∠1＝180°，即∠2－∠1＝90°．故選：D．
【點睛】本題考查余角和補角定義，兩角的和等于90度，這兩角和互為余角；兩角和為180度，則這兩角互為補角．
10．（2022·河北泊頭初一期中）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點．點P沿直線l從右向左移動，當出現(xiàn)點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，就會發(fā)出警報，則直線l上會發(fā)出警報的點P最多有____________個．
【答案】6
【分析】點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，也就是點P恰好是其中一條線段中點．而圖中共有線段六條，所以出現(xiàn)報警次數(shù)最多6次．
【解析】解：由題意知，當P點經(jīng)過任意一條線段中點的時候會發(fā)出警報，
∵圖中共有線段DC、DB、DA、CB、CA、BA∴發(fā)出警報的點P最多有6個．故答案為：6．
【點睛】本題考查的是直線與線段的相關(guān)內(nèi)容，正確理解題意、利用轉(zhuǎn)化的思想去思考線段的總條數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，可以減少不必要的分類．
11．（2022·浙江杭州市·七年級期中）工作流水線上順次排列5個工作臺A、B、C、D、E，一只工具箱應(yīng)該放在_________處，工作臺上操作機器的人取工具所走的路程最短？如果工作臺由5個改為A、B、C、D、E、F，6個，那么工具箱應(yīng)該放在___________________，操作機器的人取工具所走的路程之和最短？
【答案】C C與D之間
【分析】假設(shè)工具箱分別設(shè)置在A、B、C、D、E的位置，根據(jù)圖示求出設(shè)置在以上位置時工人經(jīng)過的總路程，然后進行比較即可；再根據(jù)題意及圖示，分工具箱的安放位置在A與B之間，在B與C之間，在C與D之間，在D與E之間，在E與F之間進行討論．
【詳解】解：如圖，
∵若放在A點，則總路程=AB+AC+AD+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB；
若放在B點，則總路程=AB+BC+BD+BE=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在C點，則總路程=AC+BC+CD+CE=2AB+AB+AB+2AB=6AB；
若放在D點，則總路程=DE+CD+BD+AD=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在E點，則總路程=DE+CE+BE+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB，
∴將工具箱放在C處，才能使工作臺上操作機器的人取工具所走的路程最短．
如果工作臺由5個改為6個，如圖，
位置在A與B之間：拿到工具的距離和＞AF+BC+BD+BE；
位置在B與C之間：拿到工具的距離和＞AF+BC+CD+CE；
位置在C與D之間：拿到工具的距離和=AF+BE+CD；
位置在D與E之間：拿到工具的距離和＞AF+BE+CD；
位置在E與F之間：拿到工具的距離和＞AF+BE+CE；
∴將工具箱放在C與D之間，能使6個操作機器的人取工具所走的路程之和最短．
【點睛】本題考查的是兩點間的距離，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
12．（2022·甘肅·甘州中學七年級期末）鐘表上的時針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，從8點到8點40分，時針轉(zhuǎn)了_____度，分針轉(zhuǎn)了_____度，8點40分時針與分針所成的角是_____度．
【答案】 20 240 20
【分析】根據(jù)分針每分鐘走6度，時針每分鐘走0.5度，乘以走的時間即可求解
【詳解】鐘表上的時針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，鐘表一圈有360度、60分鐘、12個小時，所以分針轉(zhuǎn)動的速度等于 度/分鐘，時針轉(zhuǎn)動的速度等于 度/分鐘．由題意可知，時針和分針都走了40分鐘，所以時針轉(zhuǎn)了 度，分針轉(zhuǎn)了 度，8點時時針與分針所形成的角是120度，所以8點40分時針與分針所形成的角是 度．
故答案為：20；240；20
【點睛】本題考查鐘面角，需注意一開始時針與分針的位置不一定重合
13．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，將一副三角板的直角頂點重合放置于A處（兩塊三角板可以在同一平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動），給出以下結(jié)論：
①；②；③；④．
其中不正確的是_________．（寫出序號）
【答案】①③④
【分析】根據(jù)三角板中角之間的關(guān)系解答即可．
【詳解】解：∵，，
∴當時， ，故①不正確；
∵∴②正確；
∵∴③不正確；
∵，，∴∴④不正確；
綜上所述：不正確的是①③④，故答案為：①③④
【點睛】本題考查三角板中角度的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖象找出角之間的關(guān)系．
14．（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖，射線OB、OC為銳角∠AOD的三等分線，若圖中所有銳角度數(shù)之和為200°，則∠AOD的度數(shù)為 _____．
【答案】60°##60度
【分析】設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度數(shù)為x，由∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝200°求出x，進而求解．
【詳解】解：∵OB、OC為銳角∠AOD的三等分線，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度數(shù)為x，
∴∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝x＋x＋x＋2x＋3x＋2x＝10x＝200°，
∴x＝20°，∴∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3x＝60°，故答案為：60°．
【點睛】本題考查角的計算，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖象列出所有銳角和為200°．
15．（2022·湖北黃石·七年級期末）如圖是用一副七巧板拼成的正方形，邊長是10cm．圖中小正方形（涂色部分）的面積是 ．
【答案】12.5
【分析】如圖，將正方形分成4個大三角形，再將右面的三角形分成4個小三角形，陰影部分占2個小三角形，所以占右下大三角形的一半，它的面積就用正方形的面積除以4再除以2求得．
【詳解】解：正方形的面積為10×10=100（）
∴100÷4÷2=12.5（）∴涂色正方形的面積是12.5．故答案為：12.5．
【點睛】本題考查了七巧板，利用了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為正方形面積的幾分之幾．
16．（2022·江蘇鹽城·七年級期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)為端點引出1條射線，那么圖中共有3個角；如果引出2條射線，共有6個角；如果引出n條射線，共有______個角．
【答案】
【分析】首先分析在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)端點引1條射線，有1+2個角，引2條線段，有1+2+3個角，···進而得出引n條線段，有角的個數(shù)，得出答案即可．
【詳解】在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)端點引1條射線，有1+2=3（個）角，
引2條線段，有1+2+3=6（個）角，···
引n條線段，有（個）角，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了數(shù)角的個數(shù)，掌握數(shù)字變化規(guī)律式解題的關(guān)鍵．
17．（2022·河北承德·七年級期末）（1）如圖，平面上有四個點A，B，C，D，根據(jù)下列語句畫圖：
①畫直線AB；②畫射線DC交直線AB于點E；③連接BD，反向延長BD到點F，使得BF=BD．
（2）如圖，某小區(qū)將鋪設(shè)一個長方形綠化帶，四個角都鋪一塊半徑相同的四分之一圓形的花卉區(qū)，其余地帶都鋪設(shè)草坪．若圓形的半徑為R，長方形的長為a，寬為b．
①用式子表示花卉區(qū)的面積為______，草坪的面積為________；
②若長方形的長為，寬為，圓形的半徑為，鋪設(shè)每平方m草坪的費用是10元，求鋪設(shè)草坪大約共需支付多少錢？（）．
【答案】（1）見解析；（2）①πR2；ab-πR2．②鋪設(shè)草坪大約共需支付47000元．
【分析】（1）根據(jù)直線、射線、線段的定義畫出圖形即可．
（2）①利用圓的面積公式可求得花卉區(qū)的面積，根據(jù)草坪的面積等于長方形的面積減去花卉區(qū)的面積即可求解；
②根據(jù)題①的結(jié)論，將相應(yīng)的數(shù)代入計算即可得．
【詳解】解：（1）①直線AB如圖所示：
②如圖所示；③如圖所示；
（2）①花卉區(qū)的面積為πR2；
草坪的面積=長方形的面積-花卉區(qū)的面積=ab-πR2，故答案為：πR2；ab-πR2．
②當a=100m，b=50m，R=10m時，
草坪的面積=100×50-π×102=5000-100π（m2），
鋪設(shè)草坪大約共需支付10×(5000-100π)≈47000(元) ．
∴鋪設(shè)草坪大約共需支付47000元．
【點睛】本題考查作圖-復雜作圖、直線、射線、線段的定義以及列代數(shù)式、代數(shù)式求值等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，依據(jù)題意，正確列出代數(shù)式．
18．（2022·山東東昌府區(qū)·七年級期末）如圖，點C為線段AB上一點，AC=16cm，CB=10cm，點M、N分別是AC、BC的中點．（1）求線段MN的長；（2）若AC+BC=bcm，其他條件不變，求出線段MN的長并說明理由．
【答案】（1）13cm；（2）bcm，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)線段中點求出CM、CN長，相加即可求出答案；
（2）根據(jù)線段中點得出CM=AC，CN=BC，求出MN=（AC+BC），代入即可得出答案．
【詳解】解：（1）∵點M、N分別是AC、BC的中點，AC=16cm，CB=12cm，
∴CM=AC=16cm，CN=BC=10cm，∴MN=CM+CN=16cm+10cm=13cm，即線段MN的長是13cm；
（2）∵點M、N分別是AC、BC的中點，AC+CB=bcm，∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=bcm，即線段MN的長是bcm．
【點睛】本題考查了線段中點定義和兩點間的距離的應(yīng)用，主要考查學生的計算能力，本題比較典型，是一道比較好且比較容易出錯的題目．
19．（2022·河北石家莊市·七年級期中）如圖，點P是線段AB上的一點，點M、N分別是線段AP、PB的中點．（1）如圖1，若點P是線段AB的中點，且MP＝4cm，則線段AB的長 cm；
（2）如圖2，若點P是線段AB上的任一點，且AB＝12cm，求線段MN的長；
（3）小明由（1）（2）猜想到，若點P是直線AB上的任意一點，且AB＝12cm，線段MN的長與（2）中結(jié)果一樣，你同意他的猜想嗎？說明你的理由．
【答案】（1）16；（2）MN＝6cm；（3）同意，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義可求解AP的長，進而可求解AB的長；（2）根據(jù)線段中點的定義可求得AB=2MN，即可求解MN的值；（3）可分兩種情況：當P點在線段AB延長線上時，當P點在線段BA延長線上時，根據(jù)中點的定義求解M，N兩點間的距離．
【詳解】解：（1）∵點M、N分別是線段AP、PB的中點，∴AP=2MP，BP=2PN，
∵MP=4cm，∴AP=8cm，∵P為AB的中點，∴AB=2AP=16cm，故答案為：16；
（2）∵點M、N分別是線段AP、PB的中點，∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP+BP=2MP+2PN=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm；
（3）同意．理由：當P點在線段AB延長線上時，
∵點M、N分別是線段AP、PB的中點，
∴AP=2MP，BP=2PN，∴AP-BP=2MP-2PN=2MN，即AB=2MN，
∵AB=12cm，∴MN=6cm；
當P點在線段BA延長線上時，
∵點M、N分別是線段AP、PB的中點，∴AP=2MP，BP=2PN，
∴BP-AP=2PN-2MP=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm．
【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，線段的中點，由線段中點的定義求解兩點間的距離是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·山東鄆城縣·七年級期末）某攝制組從市到市有一天的路程，由于堵車中午才趕到一個小鎮(zhèn)（），只行駛了原計劃的三分之一（原計劃行駛到地），過了小鎮(zhèn)，汽車趕了千米，傍晚才停下來休息（休息處），司機說：再走從地到這里路程的二分之一就到達目的地了，問：，兩市相距多少千米．
【答案】A，B兩市相距600千米．
【分析】根據(jù)題意可知DE的距離且可以得到，，，由計算即可得出結(jié)果．
【詳解】如圖，由題意可知，千米，，，
∴ （千米）
∴ （千米）
答：A，B兩市相距600千米．
【點睛】本題考查了求解線段長度在實際生活中的應(yīng)用，能夠找出線段之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
21．（2022·陜西秦都區(qū)·七年級期中）如圖，已知是的角平分線，是的角平分線．
（1）若，，求的度數(shù)；
（2）若，且，求的度數(shù)．
【答案】（1）100°；（2）22.5°
【分析】（1）由角平分線的定義可知∠BOC=2∠COD，∠AOC=2∠AOE，根據(jù)∠AOB=∠AOC-∠BOC易得結(jié)果；（2）由角平分線定義，設(shè)∠COD=∠BOD=x．得∠BOE=45°?x，∠COE=45°+x．∠AOE=∠COE=45°+x再根據(jù)題意∠AOC+∠BOC=180°，列方程，求出x，即可得．
【詳解】解：（1）因為是的角平分線，，所以．
因為是的角平分線，所以．
所以．
（2）因為是的角平分線，所以設(shè)．
因為，所以，．
因為是的角平分線，所以
因為，所以，
所以，即．
【點睛】本題考查了角平分線知識，關(guān)鍵是根據(jù)題意，由角平分線得定義得出角之間的等量關(guān)系，從而根據(jù)等量關(guān)系求出角的度數(shù)．
22．（2022·成都市七中育才學校七年級期末）如圖1，在表盤上12：00時，時針、分針都指向數(shù)字12，我們將這一位置稱為“標準位置”(圖中)．小文同學為研究12點分()時，時針與分針的指針位置，將時針記為，分針記為．如：12：30時，時針、分針的位置如圖2所示，試解決下列問題：
（1）分針每分鐘轉(zhuǎn)動 °；時針每分鐘轉(zhuǎn)動 °；
（2）當與在同一直線上時，求的值； （3）當、、兩兩所夾的三個角、、中有兩個角相等時，試求出所有符合條件的的值．(本小題中所有角的度數(shù)均不超過180°)
【答案】（1）6，0.5；（2）的值為；（3）的值為或
【分析】（1）由題意根據(jù)分針每60分鐘轉(zhuǎn)動一圈，時針每12小時轉(zhuǎn)動一圈進行分析計算；
（2）由題意與在同一直線上即與所圍成的角為180°，據(jù)此進行分析計算；
（3）根據(jù)題意分當時以及當時兩種情況進行分析求解.
【詳解】解：（1）由題意得分針每分鐘轉(zhuǎn)動：；
時針每分鐘轉(zhuǎn)動：.故答案為：6，0．5.
（2）當與在同一直線上時，時針轉(zhuǎn)了度，即
分針轉(zhuǎn)了度，即 ∴ 解得， ∴的值為．
（3）①當時， ∵ ∴∴；
②當時，∵
∴∴；∴綜上所述，符合條件的的值為或.
【點睛】本題考查鐘表角的實際應(yīng)用，根據(jù)題意熟練掌握并運用方程思維進行分析是解答此題的關(guān)鍵.
23．（2022·廣西貴港·七年級期末）.如圖1，在∠AOB中，OC是∠AOB內(nèi)部任意一條射線，ON、OM分別平分∠AOC和∠BOC．
(1)若∠AOB=100°，求∠MON的度數(shù)．
(2)若∠AOB=ɑ，直接寫出∠MON的度數(shù)= （結(jié)果用含α的代數(shù)式表示）．
(3)若射線OC在∠AOB外部（∠BOC＜180°），其它條件不變，如圖2所示，∠AOB=，求∠MON的度數(shù)（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)50°
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根據(jù)，即可計算；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論直接得到答案；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根據(jù)角的和差計算．
（1）
解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，
所以∠MON=∠COM+∠CON
=∠BOC+∠AOC
=（∠BOC+∠AOC）
=
=50°；
（2）
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，
所以∠MON=∠COM+∠CON
=∠BOC+∠AOC
=（∠BOC+∠AOC）
=
=；
故答案為：；
（3）
如圖2所示：
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，
所以∠MON=∠COM﹣∠CON
=∠BOC﹣∠AOC
=（∠BOC﹣∠AOC）
=
=．
如圖3所示，
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，
所以∠MON=∠COM+∠CON
=∠BOC+∠AOC
=（∠BOC+∠AOC）
=
=，
綜上所述，∠MON的度數(shù)或．
【點睛】本題考查角的和差計算，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和理解角的和差運算是解題的關(guān)鍵．
24．（2022·遼寧撫順縣·七年級期末）如圖1，A、O、B三點在同一直線上，∠BOD與∠BOC互補．
（1）請判斷∠AOC與∠BOD大小關(guān)系，并驗證你的結(jié)論；
（2）如圖2，若OM平分∠AOC，ON平分∠AOD，∠BOD＝30°，請求出∠MON的度數(shù)．
【答案】（1）∠AOC＝∠BOD，證明見解析；（2）60°
【分析】（1）根據(jù)補角的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)角平分線的定義以及等量關(guān)系列出方程求解即可．
【詳解】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：
∵A，O，B三點共線，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC與∠BOC互補，
∵∠BOD與∠BOC互補，∴∠AOC＝∠BOD；
（2）∵∠BOD＝30°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵OM平分∠AOC，∴，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
∵ON平分∠AOD，∴，∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°．
【點睛】本題考查的是角的有關(guān)計算和角平分線的定義，理解并靈活運用角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
25．（2022·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，直線，相交于點O，．
(1)如圖1，若，求的度數(shù)；
(2)如圖1，請直接寫出圖中所有互余的角；
(3)如圖2，若射線在的內(nèi)部，且，請比較與的大小并說明理由．
【答案】(1)
(2)和互余，和互余，和互余，和互余；
(3)，見解析
【分析】（1）根據(jù)題意得，再求出，即可得；
（2）根據(jù)互余的定義“如果兩個角的和等于，就說這兩個角互為余角”，和角之間的關(guān)系進行計算即可得；
（3）根據(jù)，得，設(shè)，則，，根據(jù)得，進而得出．
（1）
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）
解：∵，
∴，
，
∴和互余，
和互余，
∵，
∴，
，
∴和互余，
和互余，
綜上，和互余，和互余，和互余，和互余；
（3）
，理由如下：
解：∵，
∴，
設(shè)，則，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
，
∴．
【點睛】本題考查了角之間的運算，互余，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．

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