【考點(diǎn)1 二次根式的概念】
【方法點(diǎn)撥】掌握二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被開方數(shù)
是非負(fù)數(shù)，給出一個(gè)式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字
母取值范圍．
【例1】（2020春?安慶期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．?x?2B．xC．a(chǎn)2+1D．x2?2
【變式1-1】（2020春?文登區(qū)期中）在式子，x2（x＞0），2，y+1（y＝﹣2），?2x（x＞0），33，x2+1，x+y中，二次根式有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【變式1-2】（2020春?青云譜區(qū)校級(jí)期中）在式子π?3.14，a2+b2，a+5，?3y2，m2+1，|ab|中，是二次根式的有（ ）
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
【變式1-3】（2019春?平輿縣期末）下列各式中①38；②?(?b)；③a2；④1|x|+0.1；⑤x2+2x+1一定是二次根式的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【考點(diǎn)2 二次根式有意義的條件（求取值范圍）】
【方法點(diǎn)撥】對(duì)于二次根式有意義的條件求取值范圍類題型，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)
以及分式分母不為零．
【例2】（2020春?文登區(qū)期末）若式子m?1m?2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則m的取值范圍是（ ）
A．m≥1B．m≤1且m≠2C．m≥1且m≠2D．m≠2
【變式2-1】（2020?合肥校級(jí)期中）要使2x?1+13?x有意義，則x的取值范圍為（ ）
A．12≤x≤3B．12＜x≤3C．12≤x＜3D．12＜x＜3
【變式2-2】（2020?日照二模）若使式子2?x≥x?1成立，則x的取值范圍是（ ）
A．1.5≤x≤2B．x≤1.5C．1≤x≤2D．1≤x≤1.5
【變式2-3】（2020秋?北辰區(qū)校級(jí)月考）等式a?3a?1=a?3a?1成立的條件是（ ）
A．a(chǎn)≠1B．a(chǎn)≥3且a≠﹣1C．a(chǎn)＞1D．a(chǎn)≥3
【考點(diǎn)3 二次根式有意義的條件（被開方數(shù)互為相反數(shù)）】
【方法點(diǎn)撥】對(duì)于解決此類型的題目關(guān)鍵從被開方數(shù)中找出一對(duì)相反數(shù)，利用二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)
數(shù)進(jìn)行求解即可.
【例3】（2020春?蘄春縣期中）已知，x、y是有理數(shù)，且y=x?2+2?x?4，則2x+3y的立方根為 ．
【變式3-1】（2019春?咸寧期中）若a，b為實(shí)數(shù)，且b=a2?9+9?a2a+3+4，則a+b的值為（ ）
A．﹣1B．1C．1或7D．7
【變式3-2】（2019秋?新化縣期末）已知2x+y?3+x?2y?4=a+b?2020×2020?a?b，
（1）求a+b的值；
（2）求7x+y2020的值．
【變式3-3】（2019秋?南江縣期末）已知3x+y?z?8+x+y?z=x+y?2019+2019?x?y，求（z﹣y）2的值．
【考點(diǎn)4 二次根式的性質(zhì)與化簡（根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）】
【方法點(diǎn)撥】對(duì)于解決此類型的題目關(guān)鍵根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)確定相關(guān)字母的符號(hào)，利用二次根式的性
質(zhì)即可化簡.
【例4】（2020春?沭陽縣期末）已知a≠0且a＜b，化簡二次根式?a3b的正確結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn)abB．﹣aabC．a(chǎn)?abD．﹣a?ab
【變式4-1】（2020春?徐州期末）與根式﹣x?1x的值相等的是（ ）
A．?xB．﹣x2?xC．??xD．?x
【變式4-2】（2020春?東湖區(qū)校級(jí)月考）化簡﹣a1a的結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn)B．?aC．??aD．?a
【變式4-3】（2020春?柯橋區(qū)期中）把代數(shù)式（a﹣1）11?a中的a﹣1移到根號(hào)內(nèi)，那么這個(gè)代數(shù)式等于（ ）
A．?1?aB．a(chǎn)?1C．1?aD．?a?1
【考點(diǎn)5 二次根式的性質(zhì)與化簡（根據(jù)字母取值范圍或數(shù)軸）】
【例5】（2020春?河北期末）若1≤x≤4，則|1?x|?(x?4)2化簡的結(jié)果為（ ）
A．2x﹣5B．3C．3﹣2xD．﹣3
【變式5-1】（2020?攀枝花）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(a+1)2+(b?1)2?(a?b)2的結(jié)果是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2aD．2b
【變式5-2】（2020春?潮南區(qū)期末）若a、b、c為三角形的三條邊，則(a+b?c)2+|b﹣a﹣c|＝（ ）
A．2b﹣2cB．2aC．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c
【變式5-3】（2020春?邗江區(qū)校級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡a2+|a﹣c|+(b?c)2?|b|．
【考點(diǎn)6 最簡二次根式的概念】
【方法點(diǎn)撥】最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不
含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．
【例6】（2020春?廣州期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A．8B．2x2yC．a(chǎn)b2D．3x2+y2
【變式6-1】（2020春?包河區(qū)期末）在根式xy、12、ab2、x?y、x2y中，最簡二次根式有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式6-2】（2019秋?新化縣期末）若二次根式5a+3是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為 ．
【變式6-3】（2019春?望花區(qū)校級(jí)月考）若2m+3和32m?n+1都是最簡二次根式，則m+n＝ ．
【考點(diǎn)7 同類二次根式的概念】
【方法點(diǎn)撥】同類二次根式的概念：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式，同類二次根式可以合并．
【例7】（2019春?濰城區(qū)期中）下列二次根式：32，18，43，?125，0.48，其中不能與12合并的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式7-1】（2020春?西城區(qū)校級(jí)期中）若最簡二次根式x+3與最簡二次根式2x是同類二次根式，則x的值為（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【變式7-2】（2020春?賽罕區(qū)期末）若最簡二次根式3m+n，24m?2可以合并，則m﹣n的值為 ．
【變式7-3】（2019春?隨州期中）若最簡二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11是同類二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求x2+y2的值．
【考點(diǎn)8 二次根式的加減運(yùn)算】
【方法點(diǎn)撥】二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變解答．
【例8】（2019春?江夏區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）33?8+2?27
（2）7a7a?4a218a+7a2a
【變式8-1】（2019春?硚口區(qū)期中）計(jì)算：
（1）212?613+348
（2）5x5+524x5?x20x
【變式8-2】（2019春?江寧區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）23+312?48
（2）324x?（15x25?2x2）（x＞0）
【變式8-3】（2019春?海陵區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算
（1）27?45?20+75
（2）2a?3a2b+54a?2ba2b(a≥0，b＞0)
【考點(diǎn)9 二次根式的乘除運(yùn)算】
【方法點(diǎn)撥】掌握二次根式的乘除法法則是解決此類題的關(guān)鍵，①兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變；②兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.
【例9】（2019秋?閔行區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：313÷(25213)×(4125)．
【變式9-1】（2019秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：nmn3m3?(?1mn3m3)÷n2m3．
【變式9-2】（2019春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）化簡：2x3y2x3y3?(4x9xy)÷(4x2y3x2y)
【變式9-3】（2019秋?嘉定區(qū)期中）計(jì)算：2bab?（?32a3b）÷13ba（a＞0）
【考點(diǎn)10 二次根式的混合運(yùn)算】
【方法點(diǎn)撥】二次根式的混合運(yùn)算可以說是二次根式乘、除法、加、減法的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
①觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的；
②在運(yùn)算過程中，每個(gè)根式可以看作是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作是“多項(xiàng)式”；
【例10】（2020春?宜春期末）（1）計(jì)算：3×12+6÷2?27；
（2）化簡：18x+2xx32+x÷x2．
【變式10-1】（2020春?永城市期末）（1）計(jì)算：12×34+24÷6．
（2）計(jì)算：(5+3)2?(5+2)(5?2)．
【變式10-2】（2020春?吳忠期末）計(jì)算：
（1）（23?1）2+（3+2）（3?2）；
（2）48÷23?27×63+412．
【變式10-3】（2020春?涪城區(qū)期末）計(jì)算：
（1）（3?2）（3+2）﹣（3?1）2+5；
（2）（22x3?10x?15）÷6x3．
【考點(diǎn)11 二次根式的化簡求值】
【例11】（2020春?涪城區(qū)校級(jí)月考）若x，y是實(shí)數(shù)，且y=4x?1+1?4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【變式11-1】（2019春?洛南縣期末）已知x=15?3，y=15+3，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）yx+xy．
【變式11-2】（2019春?臺(tái)安縣期中）已知x=12(5+3)，x=12(5?3)，求x2﹣3xy+y2的值．
【變式11-3】（2019秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知x=b2a+b?2a?b，y=b2a+b+2a?b，求x2﹣xy+y2的值．
【考點(diǎn)12 分母有理化】
【方法點(diǎn)撥】二次分母有理化就是通過分子和分母同時(shí)乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過分母有理化而進(jìn)行的．
【例12】（2020?唐山二模）閱讀下列材料，然后回答問題．
在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如53，23，23+1一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：53=5×33×3=533
23=2×33×3=63
23+1=2×(3?1)(3+1)(3?1)=2(3?1)(3)2?12=3?1
以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
（1）化簡327
（2）化簡25+3．
（3）化簡：13+1+15+3+17+5+?+12n+1+2n?1．
【變式12-1】（2020春?淮安區(qū)校級(jí)期末）閱讀下面計(jì)算過程：
12+1=1×(2?1)(2+1)(2?1)=2?1；
13+2=1×(3?2)(3+2)(3?2)=3?2；
15+2=1×(5?2)(5+2)(5?2)=5?2．
求：（1）17+6的值．
（2）1n+1+n（n為正整數(shù)）的值．
（3）12+1+13+2+14+3+?+1100+99的值．
【變式12-2】（2020春?孟村縣期末）觀察下列格式，5?12?25?1，8?22?28?2，13?32?213?3，20?42?220?4?
（1）化簡以上各式，并計(jì)算出結(jié)果；
（2）以上格式的結(jié)果存在一定的規(guī)律，請(qǐng)按規(guī)律寫出第5個(gè)式子及結(jié)果
（3）用含n（n≥1的整數(shù)）的式子寫出第n個(gè)式子及結(jié)果，并給出證明的過程．
【變式12-3】（2019春?微山縣期中）【閱讀材料】
材料一：把分母中的根號(hào)化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化
通常把分子、分母乘以同一個(gè)不等于0的式子，以達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的
例如：化簡13+2
解：13+2=1×(3?2)(3+2)(3?2)=3?2
材料二：化簡a±2b的方法：如果能找到兩個(gè)實(shí)數(shù)m，n，使m2+n2＝a，并且mn=b，那么a±2b=m2+n2±2mn=(m±n)2=m±n
例如：化簡3±22
解：3±22=(2)2+12±22=(2±1)2=2±1
【理解應(yīng)用】
（1）填空：化簡5+35?3的結(jié)果等于 ；
（2）計(jì)算：
①7?210；
②12+1+13+2+12+3+?+12018+2017+12019+2018．
【考點(diǎn)13 復(fù)合二次根式的化簡】
【例13】（2020春?安慶期末）閱讀理解題，下面我們觀察：
（2?1）2＝（2）2﹣2×1×2+12＝2﹣22+1＝3﹣22．
反之3﹣22=2﹣22+1＝（2?1）2，所以3﹣22=（2?1）2，
所以3?22=2?1．
完成下列各題：
（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：3+22；
（2）化簡：4+23；
（3）化簡：5?26．
【變式13-1】（2020春?思明區(qū)校級(jí)月考）觀察下式：（2?1）2＝（2）2﹣2?2?1+12＝2﹣22+1＝3﹣22
反之，3﹣22=2﹣22+1＝（2?1）2
根據(jù)以上可求：3?22=2?22+1=(2?1)2=2?1
求：（1）5+26；
（2）你會(huì)算4?12嗎？
【變式13-2】（2020秋?延慶縣期末）閱讀下面的解答過程，然后作答：
有這樣一類題目：將a+2b化簡，若你能找到兩個(gè)數(shù)m和n，使m2+n2＝a且mn=b，則a+2b可變?yōu)閙2+n2+2mn，即變成（m+n）2，從而使得a+2b，化簡：
例如：∵5+26=3+2+26=（3）2+（2）2+26=（3+2）2．
∴5+26=(3+2)2=3+2．
請(qǐng)你仿照上例將下列各式化簡：
（1）4+23；
（2）7?210．
【變式13-3】（2019秋?常德期末）先閱讀下列解答過程，然后再解答：
形如m+2n的化簡，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(a)2+(b)2=m，a×b=n，那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）
例如：化簡7+43：
解：首先把7+43化為7+212，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(4)2+(3)2=7，4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
問題：
①填空：4+23= ，9+45= ；
②化簡：19?415（請(qǐng)寫出計(jì)算過程）．
【考點(diǎn)14 含二次根式的數(shù)式規(guī)律題】
【例14】（2019秋?高邑縣期末）觀察下列各式：
1+112+122=1+11?12=112
1+122+132=1+12?13=116
1+132+142=1+13?14=1112
請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想：
（1）1+142+152= 1120
（2）請(qǐng)你按照上面每個(gè)等式反映的規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式： 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1) ；
（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：5049+164（仿照上式寫出過程）
【變式14-1】（2019春?當(dāng)涂縣期末）觀察下列各式：
1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，…
請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，
（1）計(jì)算
1+112+122+1+122+132+1+132+142+?+1+192+1102
（2）根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)寫出第n個(gè)等式（n≥1，且n為正整數(shù)）．
【變式14-2】（2020春?長嶺縣期末）觀察下列各式：①1+13=213，②2+14=314；③3+15=415，…
（1）請(qǐng)觀察規(guī)律，并寫出第④個(gè)等式： ；
（2）請(qǐng)用含n（n≥1）的式子寫出你猜想的規(guī)律： ；
（3）請(qǐng)證明（2）中的結(jié)論．
【變式14-3】（2020春?惠城區(qū)期末）觀察下列各式及其驗(yàn)算過程：
2+23=223，驗(yàn)證：2+23=2×3+23=233=223；
3+38=338，驗(yàn)證：3+38=3×8+38=338=338
（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想4+415的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．
（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．

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