【人教版】



【考點(diǎn)1 幾何圖形】
【方法點(diǎn)撥】掌握幾何圖形相關(guān)概念是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.
【例1】（2019秋?嶧城區(qū)期末）下面的幾何體中，屬于棱柱的有（　　）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】根據(jù)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱，可得答案．
【答案】解：從左到右依次是長(zhǎng)方體，圓柱，棱柱，棱錐，圓錐，棱柱．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了認(rèn)識(shí)立體圖形，有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．
【變式1-1】（秋?淶水縣期末）如圖，左面的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)面動(dòng)成體，梯形繞下底邊旋轉(zhuǎn)是圓錐加圓柱，可得答案．
【答案】解：梯形繞下底邊旋轉(zhuǎn)是圓錐加圓柱，故C正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)、線、面、體，利用面動(dòng)成體，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)是圓錐，矩形繞邊旋轉(zhuǎn)是圓柱．
【變式1-2】（2019?章貢區(qū)期末）圖①是由白色紙板拼成的立體圖形，將它的兩個(gè)面的外表面涂上顏色，如圖②．則下列圖形中，是圖②的表面展開(kāi)圖的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開(kāi)圖的特點(diǎn)解題．
【答案】解：由圖中陰影部分的位置，首先可以排除C、D，
又陰影部分正方形在左，三角形在右，而且相鄰，故只有選項(xiàng)B符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何體的展開(kāi)圖，本題雖然是選擇題，但答案的獲得需要學(xué)生經(jīng)歷一定的實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程，當(dāng)然學(xué)生也可以將操作活動(dòng)轉(zhuǎn)化為思維活動(dòng)，在頭腦中模擬（想象）折紙、翻轉(zhuǎn)活動(dòng)，較好地考查了學(xué)生空間觀念．
【變式1-3】（2019秋?廣豐區(qū)期末）下圖右邊四個(gè)圖形中，哪個(gè)是左邊立體圖形的展開(kāi)圖？（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】本題考查正方體的表面展開(kāi)圖及空間想象能力．在驗(yàn)證立方體的展開(kāi)圖時(shí)，要細(xì)心觀察每一個(gè)標(biāo)志的位置是否一致，然后進(jìn)行判斷．
【答案】解：A、折疊后不能滿足黑三角和黑正方形相鄰，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、折疊后符合題意，故本選項(xiàng)正確；
C、折疊后不能滿足黑三角的黑色的邊與圓形相鄰，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、折疊后不能滿足黑三角和黑正方形相鄰，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開(kāi)圖，這類題學(xué)生容易對(duì)相關(guān)圖的位置想象不準(zhǔn)確，從而錯(cuò)選，解決這類問(wèn)題時(shí)，不妨動(dòng)手實(shí)際操作一下，即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)2 基本概念】
【方法點(diǎn)撥】知識(shí)點(diǎn)1：線段
像長(zhǎng)方體的棱、長(zhǎng)方形的邊，這些圖形都是線段．線段有兩個(gè)端點(diǎn)，兩個(gè)方向均不延伸，線段的長(zhǎng)度是可以測(cè)量的．線段有兩種表示方法：
(1)一條線段可以用它的兩個(gè)端點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示，如圖，以A，B為端點(diǎn)的線段，可記作“線段AB”或“線段BA”；

(2)一條線段可以用一個(gè)小寫字母來(lái)表示，如圖，線段AB也可記作“線段a”．
知識(shí)點(diǎn)2：射線
將線段向一個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)就得到了射線．射線有一個(gè)端點(diǎn)，射線向一個(gè)方向無(wú)限延伸，射線是無(wú)法測(cè)量的．
射線的表示法：
兩個(gè)大寫字母：一條射線可以用表示它的端點(diǎn)和射線上的另一點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母來(lái)表示，如圖中的射線，點(diǎn)O是端點(diǎn)，點(diǎn)A是射線上異于端點(diǎn)的另一點(diǎn)，那么這條射線可以記作射線OA.

注意：
①表示射線的兩個(gè)大寫字母，其中一個(gè)一定是端點(diǎn)，并且要把它寫在前面．
②端點(diǎn)相同的射線不一定是同一條射線，端點(diǎn)不同的射線一定不是同一條射線
③兩條射線為同一射線必須具備的兩個(gè)條件：①端點(diǎn)相同；②延伸的方向相同．
知識(shí)點(diǎn)3：直線
將線段向兩個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)就形成了直線．直線沒(méi)有端點(diǎn)，直線向兩個(gè)方向無(wú)限延伸，直線是無(wú)法測(cè)量的．
直線的兩種表示方法：
(1)一條直線可以用一個(gè)小寫字母表示，如圖中的直線可記作：直線a.

(2)一條直線也可以用在這條直線上的表示兩個(gè)點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示，如圖中的直線可記作：直線AB或直線BA.
【例2】（2019秋?宜城市期末）下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①線段AB和射線AB都是直線的一部分；
②直線AB和直線BA是同一條直線；
③射線AB和射線BA是同一條射線；
④把線段向一個(gè)方向無(wú)限延伸可得到射線，向兩個(gè)方向無(wú)限延伸可得到直線．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義以及表示方法對(duì)各小題分析判斷即可得解．
【答案】解：①線段AB和射線AB都是直線的一部分，正確；
②直線AB和直線BA是同一條直線，正確；
③射線AB的端點(diǎn)是點(diǎn)A，射線BA的端點(diǎn)是點(diǎn)B，不是同一條射線，故本小題錯(cuò)誤；
④把線段向一個(gè)方向無(wú)限延伸可得到射線，向兩個(gè)方向無(wú)限延伸可得到直線，正確．
綜上所述，說(shuō)法正確的是①②④共3個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段的定義與表示，是基礎(chǔ)題，熟記概念與它們的區(qū)別與聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2019秋?岑溪市期末）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（　?。?br /> ①射線AB與射線BA表示同一條射線．
②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，則∠2＝∠3．
③一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫這個(gè)角的平分線．
④連結(jié)兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)之間的距離．
⑤40°50ˊ＝40.5°．
⑥互余且相等的兩個(gè)角都是45°．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】根據(jù)射線的定義，同角的補(bǔ)角相等，角平分線的定義，兩點(diǎn)之間的距離的定義，度分秒的換算以及余角的定義對(duì)各小題分析判斷即可得解．
【答案】解：①射線AB與射線BA不表示同一條射線，因?yàn)樗鼈兊亩它c(diǎn)不同，故本小題錯(cuò)誤；
②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，則∠2＝∠3，正確；
③應(yīng)為一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角相等的角，這條射線叫這個(gè)角的平分線，故本小題錯(cuò)誤；
④應(yīng)為連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)之間的距離，故本小題錯(cuò)誤；
⑤40°50′≈40.83°，故本小題錯(cuò)誤；
⑥互余且相等的兩個(gè)角都是45°，正確．
綜上所述，說(shuō)法正確的有②⑥共2個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了余角與補(bǔ)角的定義，射線的定義，角平分線的定義以及度分秒的換算，是基礎(chǔ)題，熟記相關(guān)概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2019秋?李滄區(qū)期末）下列說(shuō)法：
①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；
②在數(shù)軸上與表示﹣1的點(diǎn)距離是3的點(diǎn)表示的數(shù)是2；
③連接兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)間的距離；
④射線AB和射線BA是同一條射線；
⑤若AC＝BC，則點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)；
⑥一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線是這個(gè)角的平分線，其中錯(cuò)誤的有（　?。?br /> A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的求解，近似數(shù)，射線、線段的中點(diǎn)的定義，角平分線的定義對(duì)各小題分析判斷即可得解．
【答案】解：①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，正確；
②在數(shù)軸上與表示﹣1的點(diǎn)距離是3的點(diǎn)表示的數(shù)是﹣4和2，故本小題錯(cuò)誤；
③應(yīng)為連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離，故本小題錯(cuò)誤；
④射線AB和射線BA不是同一條射線，故本小題錯(cuò)誤；
⑤若AC＝BC，則點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，錯(cuò)誤，因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C不一定共線；
⑥應(yīng)為從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線是這個(gè)角的平分線，故本小題錯(cuò)誤．
綜上所述，錯(cuò)誤的有②③④⑤⑥共5個(gè)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了射線、線段的性質(zhì)，數(shù)軸，近似數(shù)，兩點(diǎn)間的距離的定義，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記各性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2019春?廣饒縣期末）如圖的四個(gè)圖形和每一個(gè)圖形相應(yīng)的一句描述，其中所有圖形都是畫在同一個(gè)平面上．

①線段AB與射線MN不相交；②點(diǎn)C在線段AB上；③直線a和直線b不相交；④延長(zhǎng)射線AB，則會(huì)通過(guò)點(diǎn)C．其中正確的語(yǔ)句的個(gè)數(shù)有（　?。?br /> A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
【分析】根據(jù)直線、線段、射線的定義以及其性質(zhì)分別判斷得出即可．
【答案】解：①線段AB與射線MN不相交，根據(jù)圖象可得出此選項(xiàng)正確；
②根據(jù)圖象點(diǎn)C不在線段AB上，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③根據(jù)圖象可得出直線a和直線b會(huì)相交，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④根據(jù)圖象可得出應(yīng)為延長(zhǎng)線段AB，到點(diǎn)C，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故正確的語(yǔ)句的個(gè)數(shù)是1個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線、線段、射線的定義的應(yīng)用，正確根據(jù)題意畫出圖形是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3 余角與補(bǔ)角定義】
【方法點(diǎn)撥】余角和補(bǔ)角：
（1）若α＋β＝90°，則α與β互余．
（2）若α＋β＝180°，則α與β互補(bǔ)．
（3）同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等．
【例3】（2019春?東阿縣期末）一個(gè)角的余角是它的，則這個(gè)角的補(bǔ)角等于　 　°．
【分析】互補(bǔ)的兩角和為180°，互為余角的和90°，從而計(jì)算得．
【答案】解：設(shè)這個(gè)角為α，
由題意該角為：90°﹣α＝α，
解得：α＝54°，
則該角的補(bǔ)角為180°﹣54°＝126°，
故答案為：126．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的補(bǔ)角和余角，從平角180°為互補(bǔ)角的和，從而解得．
【變式3-1】（秋?宜賓期末）如果一個(gè)角的余角與它的補(bǔ)角度數(shù)之比為2：5，則這個(gè)角等于　 　度．
【分析】根據(jù)和為180度的兩個(gè)角互為補(bǔ)角；和為90度的兩個(gè)角互為余角解答即可．
【答案】解：設(shè)該角為x°，
則5（90°﹣x°）＝2（180﹣x°），
得x＝30°．
故答案為：30．
【點(diǎn)睛】本題考查了余角與補(bǔ)角的定義，表示出這個(gè)角的余角和補(bǔ)角并列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2019秋?化德縣校級(jí)期末）若一個(gè)角的3倍比這個(gè)角補(bǔ)角的2倍還少5°，則這個(gè)角等于　 ?。?br /> 【分析】設(shè)這個(gè)角為x，根據(jù)互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于180°列方程求解即可．
【答案】解：設(shè)這個(gè)角為x，
由題意得，3x＝2（180°﹣x）﹣5°，
解得x＝71°．
答：這個(gè)角等于71°．
故答案為：71°．
【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角，互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于180°．
【變式3-3】（秋?涼山州期末）一個(gè)角的補(bǔ)角加上10°后等于這個(gè)角的余角的3倍，則比這個(gè)角小15°32′的角的度數(shù)是　 ?。?br /> 【分析】先設(shè)出這個(gè)角，可表示出其補(bǔ)角和余角，根據(jù)題意我們可列出等式，解這個(gè)等式即可得出這個(gè)角的度數(shù)，然后求得即可．
【答案】解：設(shè)這個(gè)角為x°，則它的余角為90°﹣x°，補(bǔ)角為180°﹣x°，
根據(jù)題意，得180°﹣x°+10°＝3×（90°﹣x°），
解得x＝40
40°﹣15°32'＝24°28'，
故答案為：24°28'
【點(diǎn)睛】本題考查的是角的余角和補(bǔ)角的關(guān)系，以及對(duì)題意的準(zhǔn)確把握．
【考點(diǎn)4 鐘面上的角度問(wèn)題】
【例4】（2019秋?宛城區(qū)期末）上午9點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)鐘的時(shí)針和分針?biāo)鶌A的較小的角是　 　度．
【分析】在9點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針從數(shù)字9開(kāi)始轉(zhuǎn)了30×0.5°＝15°，分針從數(shù)字12開(kāi)始轉(zhuǎn)了30×6°＝180°，所以此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角＝9×30°+15°﹣180°，然后進(jìn)行角度計(jì)算．
【答案】解：上午9點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了30×0.5°＝15°，分針轉(zhuǎn)了30×6°＝180°，
所以此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角＝9×30°+15°﹣180°＝105°．
故答案為105．
【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角：鐘面被分成12大格，每大格為30°；分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°．
【變式4-1】（2019秋?蓮湖區(qū)校級(jí)月考）時(shí)鐘表面11點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A角的度數(shù)是　 　度．
【分析】根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．
【答案】解：11點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針相距份，
11點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A角的度數(shù)是30×＝＝112.5°，
故答案為：112.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，利用了時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，確定時(shí)針與分針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵．
【變式4-2】（2019秋?大冶市期末）中午12點(diǎn)30分時(shí)，鐘面上時(shí)針和分針的夾角是　 　度．
【分析】畫出圖形，利用鐘表表盤的特征解答．
【答案】解：12點(diǎn)半時(shí)，時(shí)針指向1和12中間，分針指向6，
鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，半個(gè)格是15°，
因此12點(diǎn)半時(shí)，分針與時(shí)針的夾角正好是30°×5+15°＝165°．
故答案為：165．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了鐘面角，本題是一個(gè)鐘表問(wèn)題，鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°．借助圖形，更容易解決．
【變式4-3】（春?單縣期末）上午八點(diǎn)二十五分，鐘表上時(shí)針和分針的夾角的度數(shù)為　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5度，分針每分鐘轉(zhuǎn)6度計(jì)算即可．
【答案】解：上午八點(diǎn)二十五分，鐘表上時(shí)針和分針的夾角的度數(shù)：3×30°+0.5°×25＝102.5°，
故答案為：102.5°．
【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角的問(wèn)題，掌握時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5度，分針每分鐘轉(zhuǎn)6度是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)5 尺規(guī)作圖】
【例5】（春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）已知：∠α，∠β，線段c．
求作：△ABC，使∠A＝α，∠B＝∠β，AB＝c
（不寫作法，保留作圖痕跡）

【分析】①先作∠MAN＝∠α，②在AM上截取AB＝a，③在AB的同側(cè)作∠ABD＝∠β，AN與BD交于點(diǎn)C，即可得出△ABC．
【答案】解：如圖所示：△ABC即為所求．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖﹣復(fù)雜作圖、角的作法；熟練掌握三角形的基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2019秋?翁牛特旗期末）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：線段a，b，求作：線段AB，使AB＝2b﹣a．

【分析】以A為端點(diǎn)畫射線，在射線上截AC＝b、CD＝b、BD＝a，如圖AB即為所求作的線段．
【答案】解：
AB＝2b﹣a．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖中的復(fù)雜作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2019秋?渦陽(yáng)縣期末）作圖題：學(xué)過(guò)用尺規(guī)作線段與角后，就可以用尺規(guī)畫出一個(gè)與已知三角形一模一樣的三角形來(lái)．比如給定一個(gè)△ABC，可以這樣來(lái)畫：先作一條與AB相等的線段A′B′，然后作∠B′A′C′＝∠BAC，再作線段A′C′＝AC，最后連結(jié)B′C′，這樣△A′B′C′就和已知的△ABC一模一樣了．請(qǐng)你根據(jù)上面的作法畫一個(gè)與給定的三角形一模一樣的三角形來(lái)．（請(qǐng)保留作圖痕跡）

【分析】首先作一條射線，進(jìn)而截取AB＝A′B′，∠CAB＝∠C′A′B′，進(jìn)而截取AC＝A′C′，進(jìn)而得出答案．
【答案】解：如圖所示：△A′B′C′即為所求．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了作一三角形全等于已知三角形，正確作出∠CAB＝∠C′A′B′是解題關(guān)鍵．
【變式5-3】（秋?安慶期末）如圖，在同一平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D．
（1）請(qǐng)按要求作出圖形（注：此題作圖不需寫出畫法和結(jié)論）：
①作射線AC
②作直線BD，交射線AC于點(diǎn)O
③分別連接AB，AD．
（2）觀察所作圖形，我們能得到：AO+OC＝　 ??；DB﹣OB＝　 ?。崭裉幪顚憟D中線段）

【分析】（1）根據(jù)直線、射線和線段的定義作圖可得；
（2）根據(jù)線段的和差可得．
【答案】解：（1）如圖所示：


（2）由圖形知AO+OC＝AC，DB﹣OB＝DO，
故答案為：AC，DO．
【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握線段、直線、射線的定義及線段和差的計(jì)算．
【考點(diǎn)6 與中點(diǎn)有關(guān)的長(zhǎng)度計(jì)算】
【方法點(diǎn)撥】線段的中點(diǎn)
如圖，點(diǎn)C在線段AB上且使線段AC，CB相等，這樣的點(diǎn)C叫做線段AB的中點(diǎn)．

中點(diǎn)定義的推理步驟：
(1)∵AC＝CB(已知)，
∴點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)(中點(diǎn)的定義)．
(2)∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)(已知)，
∴AC＝BC或AC＝AB或BC＝AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中點(diǎn)的定義)．
【例6】（2019秋?洛寧縣期末）已知：點(diǎn)C在直線AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)．
【分析】分類討論：點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得MC、NC的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答案．
【答案】解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，
由點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，得
MC＝AC＝×8cm＝4cm，CN＝BC＝×6cm＝3cm，
由線段的和差，得MN＝MC+CN＝4cm+3cm＝7cm；
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
由點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，得
MC＝AC＝×8cm＝4cm，CN＝BC＝×6cm＝3cm．
由線段的和差，得MN＝MC﹣CN＝4cm﹣3cm＝1cm；
即線段MN的長(zhǎng)是7cm或1cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．
【變式6-1】（2019秋?郯城縣期末）如圖，線段AB，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)．
（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求線段MN的長(zhǎng)；
（2）若BC＝a，試用含a的式子表示線段MN的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)定義求出AM和AN，則MN＝AM﹣AN；
（2）由MN＝AM﹣AN得：MN＝＝．
【答案】解：（1）因?yàn)锳B＝8cm，M是AB的中點(diǎn)，
所以AM＝＝4cm，
又因?yàn)锳C＝3.2cm，N是AC的中點(diǎn)，
所以AN＝＝1.6cm，
所以MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm；
（2）因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，
所以AM＝，
因?yàn)镹是AC的中點(diǎn)，
所以AN＝，
∴MN＝AM﹣AN＝＝＝＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的定義及線段的和、差、倍、分，若點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，則有①AC＝BC＝AB，②AB＝2AC＝2BC；注意（1）的條件和結(jié)論（2）不能運(yùn)用．
【變式6-2】（2019秋?永新縣期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．
（1）求線段MN的長(zhǎng)．
（2）若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿足AC+CB＝acm，其他條件不變，不用計(jì)算你猜出MN的長(zhǎng)度嗎？
（3）若C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且滿足AC﹣BC＝acm，M，N仍分別為AC，BC的中點(diǎn)，你還能猜出線段MN的長(zhǎng)度嗎？
（4）由此題你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？

【分析】（1）根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，找到線段之間的關(guān)系，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，找到線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，找到線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論；
（4）分析上面結(jié)論，即可得出“MN的長(zhǎng)度與C點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，只與AB的長(zhǎng)度有關(guān)”這一結(jié)論．
【答案】解：（1）MN＝MC+CN＝AC+CB＝×10+×8＝5+4＝9cm．
答：線段MN的長(zhǎng)為9cm．
（2）MN＝MC+CN＝AC+CB＝（AC+CB）＝cm．
（3）如圖，

MN＝AC﹣AM﹣NC＝AC﹣AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝cm．
（4）當(dāng)C點(diǎn)在AB線段上時(shí)，AC+BC＝AB，
當(dāng)C點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，AC﹣BC＝AB，
故找到規(guī)律，MN的長(zhǎng)度與C點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，只與AB的長(zhǎng)度有關(guān)．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，找到線段之間的關(guān)系．
【變式6-3】（2019秋?榆社縣期末）已知：點(diǎn)M，N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)．
（1）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求線段MN的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)C為線段AB上任一點(diǎn)，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)度．
（3）若點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且AC＝acm，CB＝bcm，請(qǐng)你畫出圖形，并且用含有a，b的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)度．

【分析】（1）根據(jù)“點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)”，先求出MC、CN的長(zhǎng)度，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的長(zhǎng)度即可，
（2）當(dāng)C為線段AB上一點(diǎn)，且M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，可表示線段MC、CN的長(zhǎng)度，再利用MN＝CM+CN，則存在MN＝（a+b）；
（3）點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，即可求出MN的長(zhǎng)度．
【答案】解：（1）∵AC＝9cm，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，
∴CM＝0.5AC＝4.5cm，
∵BC＝6cm，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，
∴CN＝0.5BC＝3cm，
∴MN＝CM+CN＝7.5cm，
∴線段MN的長(zhǎng)度為7.5cm，
（2）MN＝cm，
∵點(diǎn)M，N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)．
∴MC＝AC＝a，CN＝CB＝b，
∴MN＝＝；
（3）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖：

則AC＞BC，
∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，
∴CM＝AC＝a，
∵點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，
∴CN＝＝b，
∴MN＝CM﹣CN＝a﹣b＝．
【點(diǎn)睛】利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡(jiǎn)潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．
【考點(diǎn)7 與角平分線有關(guān)的角度計(jì)算】
【方法點(diǎn)撥】角平分線：
（1）把一個(gè)角平分成二等分的射線，稱為角平分線．
（2）若OC平分∠AOB，則有①∠AOC＝∠BOC．②∠AOC＝∠AOB．③∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
【例7】（2019秋?化德縣校級(jí)期末）如圖，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．
求：（1）∠AOC的度數(shù)；
（2）∠MON的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)角的和差關(guān)系，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，于是得到結(jié)論．
【答案】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
又∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝120°；

（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC，
∵∠AOC＝120°，
∴∠MOC＝60°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC，
∵∠BOC＝30°，
∴∠NOC＝15°，
∵∠MON＝∠MOC﹣∠NOC，
∴∠MON＝45°．
【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2019秋?瀏陽(yáng)市校級(jí)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD，垂足為O，求：
（1）求∠BOE的度數(shù)．
（2）求∠EOF的度數(shù)．

【分析】（1）由∠BOD＝∠AOC＝72°，OF⊥CD，求出∠BOF＝90°﹣72°＝18°，再由OE平分∠BOD，得出∠BOE＝∠BOD＝36°，
（2）由∠EOF＝∠BOF+∠BOE，得出∠EOF的度數(shù)．
【答案】解：（1）∵直線AB和CD相交于點(diǎn)O，
∴∠BOD＝∠AOC＝72°，
∵OF⊥CD，
∴∠BOF＝90°﹣72°＝18°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝36°；
（2）∵∠EOF＝∠BOF+∠BOE，
∴∠EOF＝36°+18°＝54°．
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂線以及角平分線的定義；弄清各個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2019秋?襄陽(yáng)期末）如圖所示．
（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)；
（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大?。?br />
【分析】（1）根據(jù)題意可知，∠AOC＝120°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；推出∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，由圖形可知，∠MON＝∠MOC﹣∠CON，即∠MON＝45°；
（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，根據(jù)圖形便可推出∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．
【答案】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°；
故答案為：45°；

（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，
則∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，角的度數(shù)的計(jì)算，關(guān)鍵在于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想推出∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠MON＝∠MOC﹣∠CON．
【變式7-3】（2019秋?沙河口區(qū)期末）已知∠AOB＝α，過(guò)O作射線OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）如圖，若α＝120°，當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，求∠MON的度數(shù)；
（2）當(dāng)OC在∠AOB外部時(shí)，畫出相應(yīng)圖形，求∠MON的度數(shù)（用含α的式子表示）．

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠NOC與∠BOC的關(guān)系，∠COM與∠COA的關(guān)系，根據(jù)角的和差，可得答案；
（2）根據(jù)角的和差，可得∠AOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠COM的度數(shù)，∠CON的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案．
【答案】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝α＝60°；

（2）如圖：
，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝（∠AOB+∠BOC），∠CON＝∠BOC．
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（AOB+∠BOC）﹣∠BOC＝∠AOB＝α．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，利用了角平分線的性質(zhì)，角的和差．
【考點(diǎn)8 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的角度計(jì)算】
【例8】（2019秋?啟東市校級(jí)月考）O為直線AD上一點(diǎn)，以O(shè)為頂點(diǎn)作∠COE＝90°，射線OF平分∠AOE．

（1）如圖①，∠AOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系為　 　，∠COF和∠DOE的數(shù)量關(guān)系為　 　_；
（2）若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，OF依然平分∠AOE，請(qǐng)寫出∠COF和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖③的位置，射線OF依然平分∠AOE，請(qǐng)直接寫出∠COF和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）根據(jù)已知條件和圖形可知：∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，從而可以得到∠AOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系；由射線OF平分∠AOE，∠AOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系，從而可以得到∠COF和∠DOE的數(shù)量關(guān)系；
（2）由圖②，可以得到各個(gè)角之間的關(guān)系，從而可以得到∠COF和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）由圖③和已知條件可以建立各個(gè)角之間的關(guān)系，從而可以得到∠COF和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，
∴∠AOC+∠DOE＝90°，
∵射線OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE，
∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝∠AOE﹣（90°﹣∠DOE）＝（180°﹣∠DOE）﹣90°+∠DOE＝∠DOE，
故答案為：互余，∠COF＝∠DOE；
（2）∠COF＝∠DOE；理由如下：
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOE，
∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝90°﹣∠AOE+∠AOE＝90°﹣∠AOE，
∵∠AOE＝180°﹣∠DOE，
∴∠COF＝90°﹣（180°﹣∠DOE）＝∠DOE，
即∠COF＝∠DOE；
（3）∠COF＝180°﹣∠DOE；理由如下：
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOE，
∴∠COF＝∠COE+∠EOF＝90°+∠AOE＝90°+（180°﹣∠DOE）＝180°﹣∠DOE，
即∠COF＝180°﹣∠DOE．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是找出各個(gè)角之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想找出所求問(wèn)題需要的條件．
【變式8-1】（2019秋?武昌區(qū)期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本題中的角均為大于0°且小于等于180°的角）．
（1）如圖1，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；
（2）當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90）時(shí)，∠AOE﹣∠BOF的值是否為定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180）時(shí)，滿足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，則n＝　 ?。?br />
【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得∠EOB和∠COF的度數(shù)，然后根據(jù)∠EOF＝∠EOB+∠COF求解；
（2）解法與（1）相同，只是∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°；
（3）利用n表示出∠AOD，求得∠EOF的度數(shù)，根據(jù)∠AOD+∠EOF＝6∠COD列方程求解．
【答案】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOB＝∠AOB＝×100°＝50°，∠COF＝∠COD＝×40°＝20°，
∴∠EOF＝∠EOB+∠COF＝50°+20°＝70°；
（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：
當(dāng)0＜n＜80時(shí)，如圖2．∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：
∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝（100°+n°），∠BOF＝∠BOD＝（40°+n°），
∴∠AOE﹣∠BOF＝（100°+n°）﹣（40°+n°）＝30°；
當(dāng)80＜n＜90時(shí)，如圖3．
∠AOE＝（360°﹣100°﹣α）＝130°﹣α，
∠BOF＝（40°+α），
則∠AOE﹣∠BOF＝110°﹣α，不是定值；
（3）當(dāng)0＜＜α＜40時(shí)，C和D在OA的右側(cè)，
∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＝100°+40°+n°＝140°+n°，
∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠EOC+∠COD﹣∠DOF＝（100°+n°）+40°﹣（40°+n°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，
∴（140+n）+70°＝6×40，
∴n＝30．
當(dāng)40≤α＜80時(shí)，如圖2所示，D在OA的左側(cè)，C在OA的右側(cè)．
當(dāng)∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＞180°時(shí)，∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，
∴220°﹣n°+70°＝6×40°，
解得n＝50．
當(dāng)80＜α＜140時(shí)，如圖3所示，
∠AOD＝360°﹣100°﹣40°﹣α＝220°﹣n°，∠EOF＝360°﹣（130°﹣n）﹣（40°+n）﹣100°＝110°，
則（220﹣n）+110°＝240°，
解得n＝90°；
當(dāng)140≤n＜180時(shí)，
∠AOD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，
則220﹣n+70＝240，解得n＝50（舍去）．
故答案是：30或50°或90°．


【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算以及角的平分線的性質(zhì)，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．
【變式8-2】（2019秋?南江縣期末）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝110°．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處（∠OMN＝30°），一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度數(shù)．
（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒5°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為　 ?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）．
（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄俊螦OM與∠NOC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及直角的定義，即可求得∠BON的度數(shù)；
（2）分兩種情況：ON的反向延長(zhǎng)線平分∠AOC或射線ON平分∠AOC，分別根據(jù)角平分線的定義以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)∠MON＝90°，∠AOC＝70°，分別求得∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，再根據(jù)∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）進(jìn)行計(jì)算，即可得出∠AOM與∠NOC的數(shù)量關(guān)系．
【答案】解：（1）如圖2，∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
又∵∠BOC＝110°，
∴∠MOB＝55°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°；

（2）分兩種情況：
①如圖2，∵∠BOC＝110°
∴∠AOC＝70°，
當(dāng)直線ON恰好平分銳角∠AOC時(shí)，∠AOD＝∠COD＝35°，
∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，
即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為55°，
由題意得，5t＝55°
解得t＝11；
②如圖3，當(dāng)NO平分∠AOC時(shí)，∠NOA＝35°，
∴∠AOM＝55°，
即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為：180°+55°＝235°，
由題意得，5t＝235°，
解得t＝47，
綜上所述，t＝11s或47s時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC；
故答案為：11或47；

（3）∠AOM﹣∠NOC＝20°．
理由：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）＝20°，
∴∠AOM與∠NOC的數(shù)量關(guān)系為：∠AOM﹣∠NOC＝20°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角的計(jì)算、角平分線的定義的運(yùn)用，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意分類思想和方程思想的運(yùn)用．
【變式8-3】（2019秋?安慶期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)O按如圖方式疊放在一起．

（1）如圖（1）若∠BOD＝35°，求∠AOC的度數(shù)，若∠AOC＝135°，求∠BOD的度數(shù)．
（2）如圖（2）若∠AOC＝150°，求∠BOD的度數(shù)．
（3）猜想∠AOC與∠BOD的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖（1）說(shuō)明理由．
（4）三角尺AOB不動(dòng)，將三角尺COD的OD邊與OA邊重合，然后繞點(diǎn)O按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛉我廪D(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，當(dāng)∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度時(shí)，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出∠AOD角度所有可能的值，不用說(shuō)明理由．
【分析】（1）由于是兩直角三角形板重疊，根據(jù)∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD可分別計(jì)算出∠AOC、∠BOD的度數(shù)；
（2）根據(jù)∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD計(jì)算可得；
（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC可知兩角互補(bǔ)；
（4）分別利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分別求出即可．
【答案】解：（1）若∠BOD＝35°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣35°＝145°，
若∠AOC＝135°，
則∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣135°＝45°；

（2）如圖2，若∠AOC＝150°，
則∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD
＝360°﹣150°﹣90°﹣90°
＝30°；

（3）∠AOC與∠BOD互補(bǔ)．
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
即∠AOC與∠BOD互補(bǔ)．

（4）OD⊥AB時(shí)，∠AOD＝30°，
CD⊥OB時(shí)，∠AOD＝45°，
CD⊥AB時(shí)，∠AOD＝75°，
OC⊥AB時(shí)，∠AOD＝60°，
即∠AOD角度所有可能的值為：30°、45°、60°、75°．

【點(diǎn)睛】本題題主要考查了互補(bǔ)、互余的定義，垂直的定義以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．
【考點(diǎn)9 與幾何有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題】
【例9】（2019秋?禹會(huì)區(qū)校級(jí)月考）閱讀表：
線段AB上的點(diǎn)數(shù)n（包括A，B兩點(diǎn)）
圖例
線段總條數(shù)N
3

3＝2+1
4

6＝3+2+1
5

10＝4+3+2+1
6

15＝5+4+3+2+1
解答下列問(wèn)題：
（1）根據(jù)表中規(guī)律猜測(cè)線段總數(shù)N與線段上的點(diǎn)數(shù)n（包括線段兩個(gè)端點(diǎn)）有什么關(guān)系？
（2）根據(jù)上述關(guān)系解決如下實(shí)際問(wèn)題：有一輛客車往返于A，B兩地，中途?？咳齻€(gè)站點(diǎn)，如果任意兩站間的票價(jià)都不同，問(wèn)：①有　 　種不同的票價(jià)？②要準(zhǔn)備　 　種車票？（直接寫答案）
【分析】（1）根據(jù)表格找出規(guī)律即可求解．（2）由題意可知：n＝5，然后代入（1）的等式即可求出答案．
【答案】解：（1）由表格可知：點(diǎn)數(shù)n時(shí)，N＝（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1＝，
（2）由題意可知：n＝5，
∴N＝10，
由于客車是往返行使，故準(zhǔn)備2×10＝20種車票．
故答案為：10；20
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律，涉及代入求值問(wèn)題，注重考查學(xué)生觀察推理能力．
【變式9-1】（秋?灤縣期中）（1）試驗(yàn)探索：
如果過(guò)每?jī)牲c(diǎn)可以畫一條直線，那么請(qǐng)下面三組圖中分別畫線，并回答問(wèn)題：
第（1）組最多可以畫條直線；
第（2）組最多可以畫條直線；
第（3）組最多可以畫條直線．
（2）歸納結(jié)論：
如果平面上有n（n≥3）個(gè)點(diǎn)，且每3個(gè)點(diǎn)均不在一條直線上，那么最多可以畫出直線條．（作用含n的代數(shù)式表示）
（3）解決問(wèn)題：
某班50名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，若每?jī)扇宋找淮问謫?wèn)好，則共握　 　次手；最后，每?jī)蓚€(gè)人要互贈(zèng)禮物留念，則共需　 　件禮物．

【分析】（1）根據(jù)圖形畫出直線即可；
（2）根據(jù)上面得到的規(guī)律用代數(shù)式表示即可；
（3）將n＝50代入即可求解．
【答案】解：（1）根據(jù)圖形得：如圖：（1）試驗(yàn)觀察
如果每過(guò)兩點(diǎn)可以畫一條直線，那么：
第①組最多可以畫3條直線；
第②組最多可以畫6條直線；
第③組最多可以畫10條直線．

（2）探索歸納：
如果平面上有n（n≥3）個(gè)點(diǎn)，且每3個(gè)點(diǎn)均不在1條直線上，那么最多可以畫1+2+3+…+n﹣1＝條直線．（用含n的代數(shù)式表示）
（3）解決問(wèn)題：某班50名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，若每?jī)扇宋?次手問(wèn)好，那么共握1225次手．最后，每?jī)蓚€(gè)人要互贈(zèng)禮物留念，則共需2450件禮物．
故答案為1225，2450．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)的觀察圖形并找到其中的規(guī)律．
【變式9-2】（2019秋?江山市期末）為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分，我們從最簡(jiǎn)單的情形入手．
（1）一條直線把平面分成2部分；
（2）兩條直線最多可把平面分成4部分；
（3）三條直線最多可把平面分成7部分…；
把上述探究的結(jié)果進(jìn)行整理，列表分析：
直線條數(shù)
把平面分成部分?jǐn)?shù)
寫成和形式
1
2
1+1
2
4
1+1+2
3
7
1+1+2+3
4
11
1+1+2+3+4
…
…
…
（1）當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，把平面最多分成　 　部分，寫成和的形式　 ??；
（2）當(dāng)直線為10條時(shí)，把平面最多分成　 　部分；
（3）當(dāng)直線為n條時(shí)，把平面最多分成　 　部分．（不必說(shuō)明理由）
【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．
【答案】解：（1）根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5＝16；
（2）根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線為10條時(shí)，把平面最多分成56部分，為1+1+2+3+…+10＝56；
（3）設(shè)直線條數(shù)有n條，分成的平面最多有m個(gè)．
有以下規(guī)律：
n m
1 1+1
2 1+1+2
3 1+1+2+3
：
：
：
n m＝1+1+2+3+…+n＝+1．
【點(diǎn)睛】本題體現(xiàn)了由“特殊到一般再到特殊”的思維過(guò)程，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的探究意識(shí)．
【變式9-3】（秋?橋東區(qū)校級(jí)期中）觀察下圖，回答下列問(wèn)題：
（1）在圖①中有幾個(gè)角？
（2）在圖②中有幾個(gè)角？
（3）在圖③中有幾個(gè)角？
（4）以此類推，如圖④所示，若一個(gè)角內(nèi)有n條射線，此時(shí)共有多少個(gè)角？

【分析】解答此題首先要弄清楚題目的規(guī)律：當(dāng)圖中有n條射線時(shí)，每條射線都與（n﹣1）條射線構(gòu)成了（n﹣1）個(gè)角，則共有n（n﹣1）個(gè)角，由于兩條射線構(gòu)成一個(gè)角，因此角的總數(shù)為：，可根據(jù)這個(gè)規(guī)律，直接求出（1）（2）（3）的結(jié)論；
在解答（4）題時(shí)，首先要弄清圖中共有多少條射線，已知角內(nèi)共n條射線，那么圖中共有（n+2）條射線，代入上面的規(guī)律，即可得到所求的結(jié)論．
【答案】解：由分析知：
（1）①圖中有2條射線，則角的個(gè)數(shù)為：＝1（個(gè)）；
（2）②圖中有3條射線，則角的個(gè)數(shù)為：＝3（個(gè)）；
（3）③圖中有4條射線，則角的個(gè)數(shù)為：＝6（個(gè)）；
（4）由前三問(wèn)類推，角內(nèi)有n條射線時(shí)，圖中共有（n+2）條射線，則角的個(gè)數(shù)為個(gè)．
【點(diǎn)睛】解答此類規(guī)律型問(wèn)題，一定要弄清題目的規(guī)律，可以從簡(jiǎn)單的圖形入手進(jìn)行總結(jié)，然后得到一般化結(jié)論再進(jìn)行求解．
【考點(diǎn)10 線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】
【例10】（2019秋?麒麟?yún)^(qū)期末）如圖，線段AB＝12cm，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C，使BC＝AB，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD中點(diǎn)．
（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；
（2）求DE的長(zhǎng)；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝3cm？

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）根據(jù)線段間的和差倍分關(guān)系進(jìn)行解答；
（3）需要分類討論：點(diǎn)P、Q未相遇前和當(dāng)點(diǎn)P、Q未相遇后兩種情況．
【答案】解：（1）如圖所示：
．

（2）∵BC＝AB，AB＝12cm，
∴BC＝AB＝6cm，
∴AC＝AB+BC＝18cm．
∵D是BC中點(diǎn)，
∴DC＝BC＝3cm，
∴AD＝AC﹣CD＝15cm．
∵E是AD中點(diǎn)，
∴DE＝AD＝7.5cm；

（3）由題意得 AP＝t，CQ＝2t，
①當(dāng)點(diǎn)P、Q未相遇前，
AP+PQ+CQ＝AC
t+3+2t＝18
解得 t＝5；
②當(dāng)點(diǎn)P、Q相遇后，
t+2t﹣3＝18，
解得 t＝7．
答：當(dāng)t＝5s或t＝7s時(shí)，PQ＝3cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和一元一次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
【變式10-1】（2019秋?孝南區(qū)期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且滿足（a﹣6）2+|b+4|＝0．
（1）寫出a、b及AB的距離：
a＝　 　 b＝　 　 AB＝　 　
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度向左勻速運(yùn)動(dòng)．
①若P、Q同時(shí)出發(fā)，問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒追上點(diǎn)Q？
②若M為AP的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段MN的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a﹣6＝，b+4＝0，計(jì)算出a、b的值，然后可計(jì)算出AB的長(zhǎng)度；
（2）①設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)追上點(diǎn)Q，由題意可得等量關(guān)系：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程﹣點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程＝10，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可；
②此題要分兩種情況：當(dāng)P在線段AB之間時(shí)；當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)線段之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．
【答案】解：（1）∵（a﹣6）2+|b+4|＝0，
∴a﹣6＝，b+4＝0，
解得a＝6，b＝﹣4，
∴AB＝10，
故答案為：6；﹣4；10；

（2）①設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)追上點(diǎn)Q，則
6t﹣4t＝10，
∴t＝5，
即：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)追上點(diǎn)Q；

②答：線段MN不發(fā)生變化，理由：
當(dāng)P在線段AB之間時(shí)：
MN＝AB﹣（BN+AM），
＝AB﹣（BP+AP）
＝AB﹣（BP+AP），
＝AB﹣AB＝5，
當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
MN＝AP﹣PB＝AB＝5，
故MN的長(zhǎng)不發(fā)生變化．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及線段的和差，關(guān)鍵是正確理解題意，考慮全面，畫出圖形．
【變式10-2】（2019春?金牛區(qū)校級(jí)月考）如圖，線段AB＝24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)．
（1）出發(fā)多少秒后，PB＝2AM
（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明2BM﹣BP為定值．
（3）當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，N為BP的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N長(zhǎng)度不變； ②MN+PN的值不變．選出一個(gè)正確的結(jié)論，并求其值．

【分析】（1）分兩種情況討論，①點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊，②點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊，分別求出t的值即可．
（2）AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．
（3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN＝PB＝x﹣12，分別表示出MN，MN+PN的長(zhǎng)度，即可作出判斷．
【答案】解：（1）如圖1，設(shè)出發(fā)x秒后PB＝2AM，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，PA＝2x，PB＝24﹣2x，AM＝x，
由題意得，24﹣2x＝2x，
解得：x＝6；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，P′A＝2x，P′B＝2x﹣24，AM＝x，
由題意得：2x﹣24＝2x，方程無(wú)解；
綜上可得：出發(fā)6秒后PB＝2AM．

（2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，
∴2BM﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝24；

（3）選①；
如圖2，∵PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN＝PB＝x﹣12，
∴①M(fèi)N＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12（定值）；
②MN+PN＝12+x﹣12＝x（變化）．


【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是用含時(shí)間的式子表示出各線段的長(zhǎng)度，有一定難度．
【變式10-3】（2019秋?嶧城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O為原點(diǎn)，A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，AB＝15，且OA：OB＝2．
（1）A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為　 　、　 ??；
（2）點(diǎn)A、B分別以4個(gè)單位/秒和3個(gè)單位/秒的速度相向而行，則幾秒后A、B相距1個(gè)單位長(zhǎng)度？
（3）點(diǎn)A、B以（2）中的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從原點(diǎn)O以7個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，是否存在常數(shù)m，使得4AP+3OB﹣mOP為定值，若存在請(qǐng)求出m值以及這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【分析】（1）根據(jù)題意求出OA、OB的長(zhǎng)，根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)解答；
（2）分點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)、點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)兩種情況，列方程解答；
（3）根據(jù)題意列出關(guān)系式，根據(jù)定值的確定方法求出m即可．
【答案】解：（1）設(shè)OA＝2x，則OB＝x，
由題意得，2x+x＝15，
解得，x＝5，
則OA＝10、OB＝5，
∴A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣10、5，
故答案為：﹣10；5；
（2）設(shè)x秒后A、B相距1個(gè)單位長(zhǎng)度，
當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，4x+3x＝15﹣1，
解得，x＝2，
當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，4x+3x＝15+1，
解得，x＝，
答：2或秒后A、B相距1個(gè)單位長(zhǎng)度；
（3）設(shè)t秒后4AP+3OB﹣mOP為定值，
由題意得，4AP+3OB﹣mOP＝4×[7t﹣（4t﹣10）]+3（5+3t）﹣7mt
＝（21﹣7m）t+55，
∴當(dāng)m＝3時(shí)，4AP+3OB﹣mOP為定值55．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出一元一次方程、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．

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