一、經(jīng)典基礎(chǔ)題
題型1 方程與一元一次方程的辨別
題型2 利用一元一次方程的定義和方程的解求值
題型3 等式的性質(zhì)及應(yīng)用
題型4 一元一次方程中的同解問題
題型5 方程的特殊解問題（求參數(shù)的值）
題型6 解方程
題型7 含參數(shù)的一元一次方程
題型8 一元一次方程中的錯解和遮擋問題
題型9 一元一次方程中的新定義問題
題型11 一元一次方程中的整體換元
題型12 一元一次方程中的實際應(yīng)用
二、優(yōu)選提升題
題型1 方程與一元一次方程的辨別
例1．（2022·吉林·大安市七年級期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+2y=5B．x2+x-1=0C．D．3x+1= 10
變式1．（2022·河南三門峽·七年級期末）在①；②；③；④中，方程共有（ ）
A．1個B．3個C．2個D．4個
變式2．（2022·廣東湛江·七年級期末）下列各式中，不是方程的是（ ）
A．B．C．D．
題型2 利用一元一次方程的定義和方程的解求值
【解題技巧】依據(jù)一元一次方程的定義，x的次數(shù)為1，系數(shù)不為0
方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．
例1．（2022·河南鄭州·七年級期末）若使方程是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值是（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2022·福建泉州·七年級期末）若是關(guān)于的方程的解，則的值為（ ）
A．2B．8C．－3D．－8
變式2．（2022·河南南陽·七年級期末）若是關(guān)于的一元一次方程，則的值可以是______寫出一個即可
題型3 等式的性質(zhì)及應(yīng)用
【解題技巧】
等式的性質(zhì)1：等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；
等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．
例1．（2022·海南·七年級期末）已知，根據(jù)等式的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出的是（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2022·四川成都·八年級期末）某小組設(shè)計了一組數(shù)學(xué)實驗，給全班同學(xué)展示以下三個圖，其中（a）（b）中天平保持左右平衡，現(xiàn)要使（c）中的天平也平衡，需要在天平右盤中放入砝碼的克數(shù)為（ ）
A．25克B．30克C．40克D．50克
變式2．（2022·江蘇泰州·七年級期末）已知方程x-2y=5，請用含x的代數(shù)式表示y，則y=_______．
題型4 一元一次方程中的同解問題
解題技巧：通過前一個方程求得x的值并代入后一個方程，轉(zhuǎn)化為含另一未知數(shù)的方程、
例1．（2022·黑龍江大慶·期末）關(guān)于x的方程的解是的解的2倍，則m的值為（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2022·遼寧大連·七年級期末）如果方程與方程的解相同，則k的值為（ ）
A．2B．C．4D．
變式2．（2022·山東煙臺·期末）若關(guān)于x的方程的解與關(guān)于x的方程的解互為相反數(shù)，則k=______．
題型5 方程的特殊解問題（求參數(shù)的值）
解題技巧：求含參數(shù)一元一次方程的逆過程
例1．（2022·河南安陽·七年級期末）關(guān)于x的方程的解是正整數(shù)，則整數(shù)k可以取的值是__________．
變式1．（2022·上海金山·八年級期末）如果關(guān)于x的方程ax＝b無解，那么a、b滿足的條件（ ）
A．a(chǎn)＝0，b＝0B．a(chǎn)≠0，b≠0C．a(chǎn)≠0，b＝0D．a(chǎn)＝0，b≠0
變式2．（2022·湖南）關(guān)于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，則a的值為（ ）
A．a(chǎn)≠0B．a(chǎn)≠1C．a(chǎn)≠﹣1D．a(chǎn)≠±1
變式3．（2022·黑龍江大慶·期末）關(guān)于x的方程有無窮多個解，則______．
題型6 解方程
【解題技巧】
解含有括號的一元一次方程：一般方法是由內(nèi)到外逐層去括號，但有時這樣做不一定能簡化運(yùn)算。因此，應(yīng)根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恰當(dāng)?shù)娜ダㄌ柕姆椒?，以達(dá)到計算簡便準(zhǔn)確的目的。
對于多重括號，即可以按由內(nèi)向外的順序去括號，也可以按由外向內(nèi)的順序去括號。有時，依據(jù)題目的數(shù)字特點(diǎn)，采取由外向內(nèi)的順序依次去括號，會使方程的變形更為簡潔。
同時，當(dāng)括號前面的系數(shù)較大時，且各項有相同的因式時，也可以整體上把握，逆用分配律，可使方程求解過程更為簡單。
解分子分母中含有小數(shù)系數(shù)的方程：此類題型，需要運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，先將分子和分母同時擴(kuò)大，將小數(shù)化為整數(shù)，然后按照分?jǐn)?shù)解方程的步驟，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1來解方程。
例1．（2022·黑龍江七年級期末）解方程：（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）； （2）．
變式1．（2022·浙江七年級期末）解方程：
（1） （2）
變式2．（2022·天津和平·七年級期末）解下列方程：
（1）﹣2； （2）．
題型7 含參數(shù)的一元一次方程
解題技巧：一元一次方程ax=b的解由a，b共同決定。
此類方程一般先化為一元一次方程的最簡形式ax＝b，再分三種情況分類討論：
（1）當(dāng)a≠0時，；（2）當(dāng)a＝0，b＝0時，x為任意有理數(shù)；（3）當(dāng)a＝0，b≠0時，方程無解．
例1、（2022·江蘇七年級期中）解關(guān)于的方程：
變式1．（2022·上海市松江區(qū)八年級期中）解關(guān)于的方程：
題型8 一元一次方程中的錯解和遮擋問題
例1．（2022·河南·鄭州七年級期末）小明在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中的一個常數(shù)污染了看不清楚，被污染的方程是： x - 3 = 2（x + 1）- ，怎么辦呢？小明想了想，便翻看書后答案，此方程的解是 x = -5 ，于是很快就補(bǔ)好了這個常數(shù)，他補(bǔ)出的這個常數(shù)是____．
變式1．（2022·湖南衡陽·七年級期末）關(guān)于的方程，★處被蓋住了一個數(shù)字，已知方程的解是，那么*處的數(shù)字是（ ）
A．－1B．－17C．15D．17
變式2．（2022·重慶酉陽·七年級期末）劉明同學(xué)在解一元一次方程時，不小心把？處的系數(shù)弄得看不清了，他便問鄰桌，但是鄰桌只告訴他，該方程的解是（鄰桌的答案是正確的），劉明同學(xué)便由此計算出了?處的系數(shù)，那么這個系數(shù)是_________．
題型9 一元一次方程中的新定義問題
例1．（2022·河南駐馬店·七年級期末）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解為，則稱該方程為“商解方程”．例如：2＋x＝4的解為x＝2且，則方程2＋x＝4是“商解方程”．請回答下列問題：(1)判斷3＋x＝5是不是“商解方程”．(2)若關(guān)于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
變式1．（2022·湖南七年級期末）規(guī)定：用{}表示大于的最小整數(shù)，如{2.6}=3，{7}=8，{}=，用[]表示不大于的最大整數(shù)，例如：[]=2，[]=，[]=．如果整數(shù)滿足關(guān)系式2[]{}=29，那么=______．
變式2．（2022·河南南陽·七年級期中）我們把 稱為二階行列式，且 =，如=－=－10．若=6，則的值為（ ）
A．8B．－2C．2D．－5
題型11 一元一次方程中的整體換元
解題技巧：將含x的式子當(dāng)作一個整體進(jìn)行求解
例1．（2022·山西忻州市·七年級期末）閱讀材料，完成任務(wù)．
七年級同學(xué)在學(xué)完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)在一元一次方程的部分習(xí)題和練習(xí)題中，存在著許多解題技巧，只要在解題中注重研究其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和特殊規(guī)律，巧妙地運(yùn)用某些基本性質(zhì)、法則，就可以達(dá)成“一點(diǎn)通”的效果．小明是一名喜歡動腦筋的學(xué)生，在解方程時，不是直接給方程去括號，而是假設(shè)，然后把方程變形為：
，
，
．
，
解，得．
上面的問題中利用新的未知量來代替原來的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原來的未知量，從而得以求解，這種解方程的方法叫做換元法．
任務(wù)：參照材料中的解題方法解方程．
變式1．（2022·江西景德鎮(zhèn)·七年級期末）若是關(guān)于的方程的解，則關(guān)于的方程的解為______．
變式2．（2022·浙江杭州市·七年級期末）已知關(guān)于x的一元一次方程點(diǎn)①與關(guān)于y的一元一次方程②，若方程①的解為，則方程②的解為______．
題型12 一元一次方程中的實際應(yīng)用
解題技巧：與用字母表示式子的思路相同，尋找題干中的等量關(guān)系，利用未知數(shù)表示出來。
例1．（2022·河南南陽·七年級期末）【問題呈現(xiàn)】
某中學(xué)的學(xué)生以4千米/時的速度步行去某地參加社會公益活動，出發(fā)30分鐘后，學(xué)校派一名通信員騎自行車以12千米/時的速度去追趕隊伍，請問通信員用多少分鐘可以追上隊伍．
【自主思考】(1)根據(jù)題意，請畫出示意圖：
(2)相等關(guān)系為（請?zhí)羁眨篲___________．
【建模解答】（請你完整解答本題）
變式1．（2022·山東七年級期末）某商場專柜賣出A，B兩件衣服，每件售價都是600元，其中每件A衣服賺25%，每件B衣服賠25%．下列說法正確的有（ ）個
①每件A衣服的成本價是480元． ②每件B衣服的成本價是800元． ③專柜售出這兩件衣服是賠了80元． ④專柜售出這兩件衣服是不賺也不賠
A．4B．3C．2D．1
變式2．（2022·江蘇南京·初一期末）列方程解應(yīng)用題：
用甲、乙、丙三部抽水機(jī)從礦井里抽水，單獨(dú)用一部抽水機(jī)抽完，用甲需要24小時，用乙需要30小時，用丙需要40小時，現(xiàn)在甲、丙同時抽了6小時后，把乙機(jī)加入，問乙加入后還需要多少時間才能把井里的水抽完．
1．（2022·河南鶴壁·七年級期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．（2022·黑龍江大慶·期末）下列各式運(yùn)用等式的性質(zhì)變形，正確的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．若，則
3．（2022·浙江金華·七年級期末）已知，則代數(shù)式的值為（ ）
A．3021B．1021C．21D．4021
4．（2022·長沙市七年級月考）閱讀：關(guān)于x方程ax=b在不同的條件下解的情況如下：（1）當(dāng)a≠0時，有唯一解x=；（2）當(dāng)a=0，b=0時有無數(shù)解；（3）當(dāng)a=0，b≠0時無解．請你根據(jù)以上知識作答：已知關(guān)于x的方程 ?a= ﹣ （x﹣6）無解，則a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a(chǎn)≠1
5．（2022·重慶巴南·七年級期末）從，，，1，2，4中選一個數(shù)作為的值，使得關(guān)于的方程的解為整數(shù)，則所有滿足條件的的值的積為（ ）
A．B．C．32D．64
6．（2022·山東七年級期末）關(guān)于x的方程有負(fù)整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m的值可能是（ ）
A．-1B．3C．1D．2
7．（2022·江蘇南通市·七年級期末）在有理數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”：，如：．如果成立，則的值是（ ）
A．B．5C．0D．2
8．（2022·山東青島·一模）小賢在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中的一個常數(shù)污染了看不清楚，被污染的方程是x﹣2＝x +，怎么辦呢？小賢想了想，便翻看書后答案，此方程的解是x＝﹣6，于是他很快就補(bǔ)好了這個常數(shù)，你能補(bǔ)出這個常數(shù)嗎？它應(yīng)是（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣9D．﹣2
9．（2022·河北滄州·七年級期末）規(guī)定符號表示，兩個數(shù)中較小的一個，規(guī)定符號表示，兩個數(shù)中較大的一個，例如：，.則______；若，則的值為______.
10．（2022·福建·廈門市湖濱中學(xué)七年級期末）已知5是關(guān)于x的方程的解，則關(guān)于的方程的解是__________．
11．（2022·浙江杭州·七年級期末）已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么關(guān)于y的一元一次方程的解為________．
12．（2022·四川成都·七年級期末）關(guān)于x的方程5m+3x＝1+x的解比方程2x＝6的解小2，則m＝_____．
13．（2022·浙江麗水·七年級期末）已知關(guān)于的方程的解為，則________．
14．（2022·四川成都實外七年級期末）關(guān)于x方程是一元一次方程，則方程的解是_____．
15．（2022·湖北襄陽·七年級期末）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，在慶祝建黨100周年活動中，某學(xué)校組織開展了一次“中國共產(chǎn)黨黨史”競賽，其中筆答環(huán)節(jié)共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，每題必答，下表是其中三名參賽者的得分情況．
參賽者D得72分，他答錯了______道題．
16．（2022·浙江杭州·七年級期末）解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
17．（2022·山西七年級期末）（1）解方程： （2）解方程：
18．（2022·吉林寬城區(qū)·七年級期中）解方程：．
19．（2022·廣東七年級期中）春節(jié)臨近，各商家紛紛開展促銷活動，甲、乙兩個服裝店的促銷方式如下：
甲：全場按標(biāo)價的6折銷售；
乙：滿100元送80元的購物券，再購買時購物券可以沖抵現(xiàn)金，但不再送券．
（如，顧客在乙店購買服裝花370元，贈券240元，再次購買時，這240元券可以沖抵現(xiàn)金，但不再送券，且再次購買金額不低于240元）
小明發(fā)現(xiàn)，這兩家店同時出售：A型上衣，標(biāo)價均為340元；B型褲子，標(biāo)價均為250元．
（1）小明要買一件A型上衣和一條B型褲子，選擇哪一家店比較省錢？
（2）小明又發(fā)現(xiàn)，這兩家店還同時出售C型褲子，標(biāo)價也相同，且在240元以上．若分別在兩家店購買一件A型上衣和一條C型褲子，最后付款額恰好一樣，請問C型褲子的標(biāo)價是多少元？
20．（2022·江西贛州市·七年級期末）已知關(guān)于x的方程，在解這個方程時，粗心的小琴同學(xué)誤將看成了，從而解得，請你幫他求出正確的解．
參賽者
答對題數(shù)
答錯題數(shù)
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
18
2
86

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