TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18780" 題型一 多運(yùn)動(dòng)組合問題 PAGEREF _Tc18780 \h 1
\l "_Tc20309" 題型二 “傳送帶”模型綜合問題 PAGEREF _Tc20309 \h 11
\l "_Tc21438" 類型1 水平傳送帶問題 PAGEREF _Tc21438 \h 12
\l "_Tc6648" 類型2 傾斜傳送帶 PAGEREF _Tc6648 \h 21
\l "_Tc18836" 題型三 “滑塊－木板”模型綜合問題 PAGEREF _Tc18836 \h 32
題型一 多運(yùn)動(dòng)組合問題
【解題指導(dǎo)】1．分析思路
(1)受力與運(yùn)動(dòng)分析：根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析物體的受力情況，以及不同運(yùn)動(dòng)過(guò)程中力的變化情況；
(2)做功分析：根據(jù)各種力做功的不同特點(diǎn)，分析各種力在不同運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的做功情況；
(3)功能關(guān)系分析：運(yùn)用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律或能量守恒定律進(jìn)行分析，選擇合適的規(guī)律求解．
2．方法技巧
(1)“合”——整體上把握全過(guò)程，構(gòu)建大致的運(yùn)動(dòng)情景；
(2)“分”——將全過(guò)程進(jìn)行分解，分析每個(gè)子過(guò)程對(duì)應(yīng)的基本規(guī)律；
(3)“合”——找出各子過(guò)程之間的聯(lián)系，以銜接點(diǎn)為突破口，尋求解題最優(yōu)方案．
【例1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示一軌道ABCD豎直放置，AB段和CD段的傾角均為θ=37°，與水平段BC平滑連接，BC段的豎直圓形軌道半徑為R，其最低點(diǎn)處稍微錯(cuò)開，使得滑塊能進(jìn)入或離開。AB段和CD段粗糙，其余各段軌道光滑。將一質(zhì)量為m的小滑塊從軌道上離B點(diǎn)距離L=125R處由靜止釋放，滑塊經(jīng)過(guò)圓形軌道后沖上CD段上升一段距離后再次滑下，往返滑動(dòng)多次后靜止于軌道上某處?；瑝K和軌道AB、CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度大小為g，sin37°=0.6，cs37°=0.8。求：
（1）滑塊第一次到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大?。?br>（2）滑塊第一次在CD段向上滑行的最大距離；
（3）整個(gè)過(guò)程中滑塊在AB段滑行的總路程。
【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）滑塊第一次到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理
在最高點(diǎn)，對(duì)滑塊由牛頓第二定律
由牛頓第三定律可知，滑塊第一次到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為
（2）滑塊第一次在CD段向上滑行的過(guò)程中，由動(dòng)能定理
解得滑塊第一次在CD段向上滑行的最大距離為
（3）滑塊第二次到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理
解得
設(shè)滑塊第一次在AB段向上滑行的最大距離為s1，由動(dòng)能定理
解得
滑塊第三次到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理
解得
所以滑塊第三次進(jìn)入圓形軌道無(wú)法到達(dá)最高點(diǎn)，假設(shè)其運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中不脫軌且上升的最大高度為h，由動(dòng)能定理可得
解得
所以滑塊第三次進(jìn)入圓形軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沒有脫軌，之后僅在AB段與圓形軌道間來(lái)回滑動(dòng)，最終停在B點(diǎn)，設(shè)滑塊在AB段滑行的路程為s2，由動(dòng)能定理
整個(gè)過(guò)程中滑塊在AB段滑行的總路程為
聯(lián)立解得
【變式演練1】如圖所示，斜面和水平面相交于B點(diǎn)，是豎直放置的半徑為的光滑半圓軌道，與相切于C點(diǎn)，E點(diǎn)與圓心O點(diǎn)等高。質(zhì)量為m的小球從離水平面h處由靜止釋放，經(jīng)過(guò)水平面后并滑上半圓軌道，已知小球與水平地面及與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為，斜面的傾角，BC長(zhǎng)，取，如果讓小球進(jìn)入半圓軌道后不脫離半圓軌道，則h的取值可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【詳解】小球不脫離半圓軌道的臨界條件有兩個(gè)：
一是恰好從D點(diǎn)飛出，小球剛好能從D點(diǎn)飛出應(yīng)滿足
得
二是小球在半圓形導(dǎo)軌在E點(diǎn)減到速度為零，由動(dòng)能定理
得
小球能進(jìn)入半圓軌道有
得
，
故選AC。
【變式演練2】如圖所示，不可伸長(zhǎng)的輕繩一端固定在距離水平地面高為h的O點(diǎn)，另一端系有質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，將小球從與O等高的A點(diǎn)由靜止釋放，小球在豎直平面內(nèi)以O(shè)點(diǎn)為圓心做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)，繩恰好被拉斷，小球水平飛出。不計(jì)空氣阻力及繩斷時(shí)的能量損失，重力加速度為g。求：
（1）小球飛出時(shí)的速率v。
（2）繩能承受拉力的最大值Fm。
（3）小球落地點(diǎn)到B點(diǎn)的水平距離x。
【答案】（1）；（2）3mg；（3）
【詳解】（1）根據(jù)動(dòng)能定理有
解得小球飛出時(shí)的速率
（2）設(shè)繩對(duì)小球的拉力為T，依據(jù)牛頓第二定律有
解得
T=3mg
根據(jù)牛頓第三定律，繩受到的拉力大小
Fm=T=3mg
（3）設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則
解得
拋出的水平距離
【變式演練2】如圖所示，桌面右側(cè)的水平地面有一豎直放置的半徑為R的光滑圓弧軌道為其豎直直徑，桌面與圓弧軌道MNP中間有一光滑管道Q，其右端與P相切平滑連接，管道內(nèi)徑略大于小球直徑，桌面到水平地面的豎直距離也為R，勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧放置在光滑的水平桌面上，一端固定在光滑桌面左端的擋板上。一質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點(diǎn)的小球與彈簧不粘連，現(xiàn)移動(dòng)小球壓縮彈簧后由靜止釋放小球，小球到達(dá)圓弧的C點(diǎn)時(shí)剛好脫離軌道。已知彈簧壓縮量為s，彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式為（x為彈簧的形變量），不計(jì)其他阻力及小球在管道Q和圓弧軌道中運(yùn)動(dòng)的能量損耗，重力加速度為g。
（1）求C點(diǎn)與O點(diǎn)的高度差h；
（2）若只改變小球的質(zhì)量，使小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離圓弧軌道，求小球質(zhì)量的取值范圍。

【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）小球到達(dá)圓弧的C點(diǎn)時(shí)剛好脫離軌道，則小球在C點(diǎn)只有重力沿方向的分力提供向心力，設(shè)重力方向與的夾角為θ，由牛頓第二定律有
由幾何關(guān)系有
從靜止釋放到C點(diǎn)，由能量守恒定律有
聯(lián)立解得
（2）小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，可知小球能通過(guò)M點(diǎn)，則應(yīng)有
從靜止釋放到M點(diǎn)，由能量守恒定律有
解得
【變式演練3】小丁同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)玩具遙控賽車的軌道裝置，軌道的主要部分可簡(jiǎn)化為如圖所示的模型，水平軌道AB和傾斜軌道OD分別與圓軌道相切于B點(diǎn)和D點(diǎn)，彎曲軌道AE與水平軌道平滑連接，E點(diǎn)切線方向恰好水平。O點(diǎn)固定一彈射裝置，剛開始時(shí)裝置處于鎖定狀態(tài)。當(dāng)賽車從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)圓軌道進(jìn)入OD軌道，到達(dá)O點(diǎn)時(shí)恰好可以觸發(fā)彈射裝置將賽車原路彈回，最終進(jìn)入回收裝置F。測(cè)得賽車與彈射裝置碰撞時(shí)機(jī)械能損失，每次彈射后裝置可自動(dòng)鎖定到初始時(shí)的彈性勢(shì)能值。已知賽車質(zhì)量為，電動(dòng)機(jī)功率恒為，圓軌道半徑為，E點(diǎn)離水平軌道高度和與F點(diǎn)間水平距離均為，AB軌道長(zhǎng)，賽車在水平軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力等于其對(duì)軌道壓力的0.25倍，賽車在軌道其余部分上所受摩擦力可忽略，賽車看成質(zhì)點(diǎn)。
（1）若賽車恰好能過(guò)C點(diǎn)，求賽車經(jīng)過(guò)H點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大??；
（2）若某次測(cè)試時(shí)，賽車電動(dòng)機(jī)工作，經(jīng)過(guò)一次彈射后恰好落入回收裝置之中，則此次測(cè)試中給彈射裝置設(shè)置的彈性勢(shì)能為多大？
（3）若某次測(cè)試時(shí)，賽車電動(dòng)機(jī)工作，最終停在水平軌道AB上，且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中賽車不能脫軌，求彈射裝置的彈性勢(shì)能取值范圍。
【答案】（1）6N；（2）2.3J；（3）
【詳解】（1）賽車恰好過(guò)C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律
解得
從H到C，由動(dòng)能定理有
解得
根據(jù)指向圓心方向合力提供向心力有
解得
根據(jù)牛頓第三定律在H點(diǎn)對(duì)軌道壓力；
（2）賽車從E到F做平拋運(yùn)動(dòng)，有
解得
對(duì)賽車，從A出發(fā)最終到E的過(guò)程中，根據(jù)功能關(guān)系可得
代入數(shù)據(jù)解得
（3）題中所述賽車最終停在水平軌道AB上，有兩種臨界情況
①假設(shè)賽車第一次彈回時(shí)，恰好能過(guò)C點(diǎn)，此時(shí)最小，由上分析可知
小車從出發(fā)到第二次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，根據(jù)能量守恒定律
解得
設(shè)賽車最高到達(dá)A點(diǎn)右側(cè)彎曲軌道上高度h處，從C點(diǎn)到高度h處，根據(jù)動(dòng)能定理
可得
所以賽車不會(huì)從E點(diǎn)飛出，有
②假設(shè)賽車第一次彈回時(shí)，恰好能運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，從E點(diǎn)滑下到左側(cè)圓軌道，根據(jù)動(dòng)能定理
可得
則
賽車要脫離軌道。所以賽車從AE軌道返回時(shí)最多運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)，設(shè)賽車從AE返回時(shí)恰能到達(dá)H點(diǎn)，從出發(fā)到從AE返回恰運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)能量守恒定律
解得
綜上，當(dāng)
時(shí)可滿足要求。
【變式演練4】（2024·河北保定·三模）如圖所示，處于豎直平面內(nèi)的軌道裝置，由傾角光滑直軌道AB、圓心為的半圓形光滑軌道BCD，圓心為的光滑圓弧外軌道EF組成。且，B為軌道間的相切點(diǎn)，B、、D、和處于同一直線上。已知滑塊質(zhì)量，軌道BCD和EF的半徑為。滑塊開始時(shí)從軌道AB上某點(diǎn)由靜止釋放。（，，，，）
（1）若釋放點(diǎn)距離B點(diǎn)的高度差為h，求滑塊在最低點(diǎn)C時(shí)軌道對(duì)滑塊支持力與高度h的函數(shù)關(guān)系；
（2）若釋放點(diǎn)距離地面的高度差為，滑塊在軌道BCD上的P點(diǎn)剛好脫離軌道，求滑塊能達(dá)到距離地面的最大高度；（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）
（3）若釋放點(diǎn)距離地面的高度差為5R，求滑塊從F點(diǎn)拋出后水平位移和重力的沖量。（結(jié)果保留2位有效數(shù)字）
【答案】（1）；（2）0.148m； （3），
【詳解】（1）滑塊從釋放到C點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理可得
在C點(diǎn)時(shí)，根據(jù)向心力公式可得
聯(lián)立解得
（2）設(shè)小球在與圓心的連線跟豎直方向夾角為θ處脫離軌道，有
從釋放點(diǎn)到圓軌道最低點(diǎn)，由動(dòng)能定理，有
解得
從圓軌道的最低點(diǎn)到脫離處P點(diǎn)，由
可得
解得
小球脫離軌道后做斜拋運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)的速度
從圓軌道的最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由
可得
解得
（3）從釋放點(diǎn)到F點(diǎn)，由動(dòng)能定理可知
解得
由幾何關(guān)系可知，在F點(diǎn)滑塊的速度與水平方向夾角為69°。
小球脫離軌道后做斜拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)從F點(diǎn)處到最高處的時(shí)間為，則有水平方向
豎直方向
解得
豎直方向上升的高度
此后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，
解得
滑塊從F點(diǎn)拋出后水平位移
重力的沖量
【變式演練5】自由滑雪大跳臺(tái)是冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目，其賽道簡(jiǎn)化為如圖所示的模型，其中助滑區(qū)傾斜賽道AB與圓弧賽道BCD相切于B點(diǎn)，圓弧賽道半徑R=10m，起跳點(diǎn)D與圓心的連線與豎直方向的夾角θ=25°。質(zhì)量m=50kg（連同裝備）的運(yùn)動(dòng)員從助滑區(qū)的A點(diǎn)由靜止開始下滑，到達(dá)起跳點(diǎn)D時(shí)斜向上飛離雪道，落在著陸坡上的E點(diǎn)。已知A點(diǎn)到C點(diǎn)（C為圓弧賽道的最低點(diǎn)）的豎直高度差h1=30m，運(yùn)動(dòng)員到達(dá)圓弧上的D點(diǎn)時(shí)對(duì)賽道的壓力FN=950N，D、E兩點(diǎn)間的豎直高度差h2=12m，重力加速度g取10m/s2，sin25°=0.4，cs25°=0.9，不計(jì)空氣阻力，運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)。求：
（1）運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)克服阻力做的功；
（2）起跳點(diǎn)D到落地點(diǎn)E之間的水平距離。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）在D點(diǎn)，根據(jù)牛頓第三定律，賽道對(duì)運(yùn)動(dòng)員的支持力
對(duì)D點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律
可得
運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)根據(jù)動(dòng)能定理
解得
（2）點(diǎn)D到落地點(diǎn)E之間做斜拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向
水平方向
解得
題型二 “傳送帶”模型綜合問題
【解題指導(dǎo)】1．計(jì)算摩擦力對(duì)物塊做的功和摩擦力對(duì)傳送帶做的功要用動(dòng)能定理，計(jì)算摩擦產(chǎn)生的熱量要用Q＝Ffx相對(duì)或能量守恒定律.
2.電機(jī)做的功一部分增加物塊的機(jī)械能，一部分轉(zhuǎn)化為因摩擦產(chǎn)生的熱量．
【核心歸納】1．設(shè)問的角度
(1)動(dòng)力學(xué)角度：首先要正確分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，做好受力分析，然后利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合牛頓第二定律求物體及傳送帶在相應(yīng)時(shí)間內(nèi)的位移，找出物體和傳送帶之間的位移關(guān)系。
(2)能量角度：求傳送帶對(duì)物體所做的功、物體和傳送帶由于相對(duì)滑動(dòng)而產(chǎn)生的熱量、因放上物體而使電動(dòng)機(jī)多消耗的電能等，常依據(jù)功能關(guān)系或能量守恒定律求解。
2．功能關(guān)系分析
(1)功能關(guān)系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
(2)對(duì)W和Q的理解
①傳送帶克服摩擦力做的功：W＝Ffx傳；
②產(chǎn)生的內(nèi)能：Q＝Ffx相對(duì)。
類型1 水平傳送帶問題
【例1】（2024·遼寧大連·二模）物流公司傳送小件貨物，簡(jiǎn)化的傳輸系統(tǒng)如圖所示。曲面AB末端與水平面BC平滑連接于B點(diǎn)，水平面BC與傳送帶等高。工人將小件甲從A點(diǎn)由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)以速度與遺留在平面末端C點(diǎn)的小件乙發(fā)生碰撞（碰撞時(shí)間極短，碰撞前后甲、乙在同一條直線上運(yùn)動(dòng)），碰后甲、乙分別以速度和沖上順時(shí)針運(yùn)行的傳送帶上，傳送帶的速度，傳送帶足夠長(zhǎng)。已知曲面高度，小件甲的質(zhì)量，小件甲、乙均可視為質(zhì)點(diǎn)，且與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，重力加速度取。求：
（1）小件甲從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過(guò)程中克服摩擦阻力所做的功；
（2）小件乙的質(zhì)量及甲、乙碰撞過(guò)程損失的機(jī)械能；
（3）小件甲和乙沖上傳送帶到都與傳送帶共速過(guò)程中，傳送帶的電動(dòng)機(jī)需額外多消耗的電能。
【答案】（1）；（2），；（3）
【詳解】（1）甲從A到C，由動(dòng)能定理
得
（2）甲、乙碰撞，由動(dòng)量守恒定律
解得
則損失的機(jī)械能
解得
（3）甲沖上傳送帶先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律
可得
甲加速到與傳送帶共速的時(shí)間
此過(guò)程傳送帶發(fā)生的位移
傳送帶克服甲物體摩擦力做功
乙沖上傳送帶先做勻減速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)牛頓第二定律
可得
乙減速到與傳送帶共速的時(shí)間
此過(guò)程傳送帶發(fā)生的位移
乙物體對(duì)傳送帶的摩擦力做了正功
電動(dòng)機(jī)需額外消耗的電能
【變式演練1】如圖所示，質(zhì)量為m的物體在水平傳送帶上由靜止釋放，傳送帶由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，始終保持以速度v勻速運(yùn)動(dòng)，物體與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體過(guò)一會(huì)兒能保持與傳送帶相對(duì)靜止，對(duì)于物體從靜止釋放到相對(duì)靜止這一過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．摩擦力對(duì)物體做的功為mv2
B．電動(dòng)機(jī)多做的功為
C．系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能為
D．傳送帶克服摩擦力做的功為
【答案】C
【詳解】A．根據(jù)動(dòng)能定理有，摩擦力對(duì)物體做的功為
故A錯(cuò)誤；
B．電動(dòng)機(jī)多做的功轉(zhuǎn)化為物體的動(dòng)能和內(nèi)能，所以電動(dòng)機(jī)多做的功一定大于，故B錯(cuò)誤；
CD．設(shè)共速前物體相對(duì)地面的位移為，傳送帶相等地面的位移為則有
，
可知
可知傳送帶克服摩擦力做的功為摩擦力對(duì)物體做功的二倍，即為，則系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能為
故C正確，D錯(cuò)誤。
故選C。
【變式演練2】如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定圓心角的光滑弧形軌道BC，B、C兩點(diǎn)的高度差，軌道末端B點(diǎn)與水平傳送帶右端平滑對(duì)接，傳送帶以恒定的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。將質(zhì)量的小物塊從C點(diǎn)無(wú)初速釋放，小物塊能返回圓弧軌道，返回后上升的最大高度。已知傳送帶長(zhǎng)，各處粗糙程度相同，重力加速度，，。
（1）求小物塊第一次滑至B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大??；
（2）求傳送帶的速度大小和小物塊與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)的最小值；
（3）若小物塊與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)為最小值，求小物塊第2022次在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)，小物塊與傳送帶間因摩擦而產(chǎn)生的熱量。
【答案】（1）；（2），；（3）
【詳解】（1）小物塊沿弧形軌道從C到B的過(guò)程中由機(jī)械能守恒定律有
代入數(shù)據(jù)得
由幾何關(guān)系可得
由向心力公式可得
聯(lián)立解得小物塊受到的支持力大小為
由牛頓第三定律可知小物塊第一次滑至B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小
（2）對(duì)物塊由機(jī)械能守恒定律有
解得小物塊離開傳送帶時(shí)的速度為
由于，所以木塊返回時(shí)先勻加速運(yùn)動(dòng)，后與傳送帶共速，所以傳送帶的速度為2m/s，小物塊能返回弧形軌道，不會(huì)從A端掉下，則有
其中
由牛頓第二定律
解得
所以動(dòng)摩擦因數(shù)的最小值為0.4
（3）小物塊從第2次開始每次向左滑上傳送帶、向右離開傳送帶時(shí)速度均為2m/s，小物塊第2022次在傳送帶上運(yùn)動(dòng)，小物塊從B點(diǎn)到回到B點(diǎn)的過(guò)程中，位移，所用時(shí)間
傳送帶的位移
小物塊與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量
解得
【變式演練3】我國(guó)物流市場(chǎng)規(guī)模連續(xù)七年位列全球第一。某物流分揀中心為轉(zhuǎn)運(yùn)貨物安裝有水平傳送帶，傳送帶空載時(shí)保持靜止，一旦有貨物置于傳送帶上，傳送帶就會(huì)以的加速度向前加速運(yùn)行。在傳送帶空載的某時(shí)刻，某質(zhì)量為20kg的貨物向前以3m/s的初速度滑上傳送帶。已知傳送帶長(zhǎng)為6m，貨物和傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，取，求：
（1）貨物用多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)傳送帶末端；
（2）整個(gè)過(guò)程傳送帶對(duì)貨物做的功；
（3）傳送帶與貨物由于摩擦產(chǎn)生的熱量。
【答案】（1）3s；（2）0；（3）60J
【詳解】（1）對(duì)貨物受力分析，由牛頓第二定律可知
解得
設(shè)經(jīng)時(shí)間t1兩者共速，則
解得
故貨物運(yùn)動(dòng)1s后兩者共速。此時(shí)的速度大小
貨物的位移
由題意知，兩者共速后，一起以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩者共速后，貨物再運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2到達(dá)傳送帶末端，則
解得
所以貨物到達(dá)傳送帶末端所用的時(shí)間
（2）設(shè)貨物到達(dá)傳送帶末端的速度大小為，則
解得
貨物從被推上傳送帶至到達(dá)傳送帶末端的過(guò)程，由動(dòng)能定理得
解得
（3）貨物和傳送帶之間的相對(duì)位移
所以整個(gè)過(guò)程因摩擦產(chǎn)生的熱量
【變式演練4】如圖所示，豎直平面內(nèi)有一段固定的光滑圓弧軌道PQ，圓心為O點(diǎn)，圓弧所對(duì)圓心角，半徑為，末端Q點(diǎn)與粗糙水平地面相切。圓弧軌道左側(cè)有一長(zhǎng)度為的水平傳送帶，傳送帶沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，傳送帶上表面與P點(diǎn)高度差為?，F(xiàn)在傳送帶左側(cè)由靜止放置一個(gè)質(zhì)量為的可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊A，滑塊由P點(diǎn)沿圓弧切線方向進(jìn)入軌道，滑行一段距離后靜止在地面上。已知滑塊A與傳送帶、地面間的動(dòng)摩因數(shù)均為μ＝0.5，重力加速度g取10，，，求：
（1）滑塊A離開傳送帶時(shí)速度的大??；
（2）滑塊A經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)受到彈力的大??；
（3）滑塊和傳送帶組成的系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能Q。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）滑塊A離開傳送帶做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向滿足
又A沿切線滑入圓軌道，滿足
解得
（2）滑塊A從在P點(diǎn)速度
從P到Q的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒可得
在Q點(diǎn)有
解得
（3）滑塊A隨傳送帶做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
由于
可知傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度為
滑塊A做勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
滑塊A相對(duì)于傳送帶的位移大小為
滑塊和傳送帶組成的系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱
【變式演練5】彎曲軌道與水平地面平滑連接，右側(cè)有一與地面等高的傳送帶，傳送帶始終以速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖甲所示。將一滑塊從軌道上高處無(wú)初速釋放，當(dāng)時(shí)，滑塊離開傳送帶時(shí)的速度不變，當(dāng)滑塊從其他高度釋放后，離開傳送帶時(shí)的速度大小與高度的圖像為如圖乙所示的曲線。已知滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)，彎曲軌道與水平地面均光滑，取重力加速度大小，求：
（1）傳送帶的傳送速度；
（2）傳送帶的長(zhǎng)度。

【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖乙可知，當(dāng)時(shí)，滑塊始終在傳送帶上加速，當(dāng)時(shí)，滑塊始終在傳送帶上減速，設(shè)滑塊滑上傳送帶的速度為，由機(jī)械能守恒定律有
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有
其中
解得
，
【變式演練6】如圖所示，一質(zhì)量的物塊以的速度從B端進(jìn)入水平傳送帶，最后能從C點(diǎn)水平拋出，已知水平傳送帶長(zhǎng)，該物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)，傳送帶以速度為v順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，物塊可視為質(zhì)點(diǎn)且不考慮傳送帶滑輪大小。重力加速度。求：
（1）當(dāng)傳送帶的速度時(shí)，將物塊從B傳送到C過(guò)程中物塊與傳送帶間因摩擦而產(chǎn)生的熱量是多少？
（2）若在傳送帶右側(cè)加裝一個(gè)收集裝置，如圖所示，其內(nèi)邊界截面為四分之一圓弧，C點(diǎn)為圓心，半徑為。調(diào)節(jié)傳送帶速度大小，使該物塊從C點(diǎn)拋出后，落到收集裝置時(shí)動(dòng)能最小，則該物塊落到收集裝置時(shí)最小動(dòng)能是多少？
【答案】（1）2J；（2）7.5J
【詳解】（1）小物塊的加速度
小物塊的加速時(shí)間
小物塊勻加速的位移
則小物塊先加速后勻速，傳送帶的位移
二者的相對(duì)位移
產(chǎn)生的熱量
（2）令小物塊從C點(diǎn)飛出后速度為，水平方向有
豎直方向有
根據(jù)幾何關(guān)系有
根據(jù)動(dòng)能定理有
解得
由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)時(shí)，最小，解得
類型2 傾斜傳送帶
【例2】（2024·河北衡水·一模）圖（a）為成都天府國(guó)際機(jī)場(chǎng)某貨物傳送裝置實(shí)物圖，簡(jiǎn)化圖如圖（b）所示，該裝置由傳運(yùn)帶ABCD及固定擋板CDEF組成，固定擋板CDEF與傳送帶上表面垂直，傳送帶上表面ABCD與水平地面的夾角為，CD與水平面平行。傳送帶勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，工作人員將質(zhì)量分布均勻的正方體貨物從D點(diǎn)由靜止釋放，貨物對(duì)地發(fā)生位移后被取走，貨物在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)的剖面圖如圖（c）所示。已知傳送帶勻速運(yùn)行的速度為，貨物質(zhì)量為，其底部與傳送帶ABCD的動(dòng)摩擦因數(shù)為，其側(cè)面與擋板CDEF的動(dòng)摩擦因數(shù)為。已知，，重力加速度g取，不計(jì)空氣阻力。求：
（1）貨物剛放上傳送帶時(shí)，其底面所受滑動(dòng)摩擦力的大小及側(cè)面所受滑動(dòng)摩擦力的大??；
（2）貨物在傳送帶上所經(jīng)歷的時(shí)間及傳送裝置多消耗的電能。
【答案】（1）40N，15N；（2）10.2s，163J
【詳解】（1）貨物放上傳送帶后，由剖面圖對(duì)貨物受力分析可得，傳送帶對(duì)貨物支持力為，貨物底面所受滑動(dòng)摩擦力為，擋板對(duì)貨物支持力為，貨物側(cè)面所受滑動(dòng)摩擦力為，由力的平衡條件有
由滑動(dòng)摩擦力計(jì)算式有
代入數(shù)據(jù)可得
（2）因?yàn)榕c運(yùn)動(dòng)方向相同，與運(yùn)動(dòng)方向相反，貨物將由靜止開始沿傳送帶做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，若能與傳送帶共速，則此后做勻速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可得
解得
設(shè)貨物勻加速至與傳送帶共速所用時(shí)間，對(duì)地位移為，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
貨物勻加速階段的位移為
因，故能夠共速。共速后，貨物做勻速直線運(yùn)動(dòng)，直至被取下，設(shè)此段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，位移為，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
貨物勻速階段所用的時(shí)間為
貨物運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為
傳送裝置多消耗的電能等于貨物與傳送裝置之間由于摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能和貨物增加的動(dòng)能之和。貨物與傳送帶之間由于摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能有
貨物與擋板之間由于摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能有
貨物增加的動(dòng)能
傳送裝置多消耗的電能
【變式演練1】（2024·安徽·二模）在快遞分類時(shí)常用傳送帶運(yùn)送快件，一傾角為37°的傳送帶在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下以恒定速率順時(shí)針方向運(yùn)行，傳送帶底端到頂端的距離為，如圖甲所示。傳送帶現(xiàn)將一質(zhì)量的快件靜止放于傳送帶底端，以傳送帶最底端為參考平面，快件在傳送帶上運(yùn)動(dòng)整個(gè)過(guò)程中速度的平方隨位移x的變化如圖乙所示，取重力加速度大小，，，快件可視為質(zhì)點(diǎn)，求：
（1）快件與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）快件從傳送帶底端到頂端過(guò)程電動(dòng)機(jī)多做的功W。
【答案】（1）0.875；（2）198J
【詳解】（1）快件放上傳送帶先做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)
結(jié)合圖乙可得快件做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為
m/s2
根據(jù)牛頓第二定律可得
解得動(dòng)摩擦因數(shù)為
=0.875
（2）設(shè)傳送帶的速度為v，根據(jù)圖像可知
v=3m/s
快件加速的時(shí)間為
s
快件與傳送帶的相對(duì)位移為
=4.5m
快件和傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量為
電動(dòng)機(jī)多消耗的電能等于快件重力勢(shì)能和動(dòng)能的增加量以及因摩擦而產(chǎn)生的熱量之和，即
解得
E=198J
【變式演練2】如圖所示，一輕彈簧原長(zhǎng)，其一端固定在傾角為的固定斜面的底端處，另一端位于處，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)，斜面長(zhǎng)。在間有一上表面與斜面平行且相切的傳送帶，且長(zhǎng)，傳送帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)速度為。傳送帶上端通過(guò)一個(gè)光滑直軌道與一個(gè)半徑為的光滑圓弧軌道相切于點(diǎn)，且端切線水平，均在同一豎直平面內(nèi)，且在同一豎直線上。質(zhì)量為的物塊P（可視為質(zhì)點(diǎn)）從點(diǎn)由靜止釋放，最低到達(dá)點(diǎn)（未畫出），隨后物塊P沿軌道被彈回，最高可到達(dá)點(diǎn)。已知物塊P與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，重力加速度，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，，，彈簧始終在彈性限度內(nèi)。
（1）求間距離及物塊P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能；
（2）改變物塊P的質(zhì)量，并將傳送帶轉(zhuǎn)動(dòng)方向改為順時(shí)針，轉(zhuǎn)動(dòng)速度大小不變。將物塊P推至點(diǎn)，從靜止開始釋放，在圓弧軌道的最高點(diǎn)處水平飛出后，恰好落于點(diǎn)，求物塊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的速度。
【答案】（1），；（2）
【詳解】（1）當(dāng)物塊P在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律得
解得物塊的加速度
a=12m/s2
當(dāng)物塊速度達(dá)到4m/s時(shí)，其位移為
故物塊P到達(dá)F點(diǎn)前已經(jīng)與傳送帶達(dá)到了共同速度。因
且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，所以物塊P與傳送帶達(dá)到了共同速度后做勻速直線運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)。設(shè)BE長(zhǎng)為L(zhǎng)0，則物塊從F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)的過(guò)程中，由能量守恒定律有
物塊P被彈回，從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)的過(guò)程中，由能量守恒定律有
聯(lián)立解得
L0=1m，Ep=80J
（2）由題意可知，物塊從D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)落于F點(diǎn)，設(shè)過(guò)D點(diǎn)的速度為vD，則水平方向上有
x0csθ=vDt
豎直方向上有
解得
vD=4m/s
【變式演練3】如圖，高為h傾角為的粗糙傳送帶以速率順時(shí)針運(yùn)行，將質(zhì)量為m的小物塊輕放到皮帶底端，同時(shí)施以沿斜面向上的拉力使物塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，不考慮輪的大小，物塊運(yùn)動(dòng)到斜面頂端時(shí)速率為，物塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，重力加速度為g，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．摩擦力對(duì)物塊所做的功為
B．整個(gè)過(guò)程皮帶與物塊間產(chǎn)生的熱量為
C．拉力所做的功為
D．皮帶因傳送物塊多消耗的電能為
【答案】BC
【詳解】A．物塊向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有
物塊與皮帶達(dá)到同速之前，物塊所受摩擦力方向沿皮帶向上，此過(guò)程的位移
物塊與皮帶達(dá)到同速之后，物塊所受摩擦力方向沿皮帶向下，此過(guò)程的位移
解得
，
則摩擦力對(duì)物塊所做的功為
解得
A錯(cuò)誤；
C．根對(duì)物塊，根據(jù)動(dòng)能定理有
解得
C正確；
B．物塊與皮帶達(dá)到同速之前經(jīng)歷的時(shí)間
結(jié)合上述解得
物塊與皮帶達(dá)到同速之后經(jīng)歷的時(shí)間
結(jié)合上述解得
則前后過(guò)程的相對(duì)位移分別為
，
則整個(gè)過(guò)程皮帶與物塊間產(chǎn)生的熱量為
B正確；
D．傳送帶通過(guò)摩擦力對(duì)物塊做功消耗能量，根據(jù)上述，摩擦力對(duì)物塊所做的功為，即表明物塊對(duì)傳送帶做正功，則傳送帶并沒有多消耗能量，D錯(cuò)誤。
故選BC。
【變式演練4】如圖甲所示，向飛機(jī)上裝貨時(shí)，通常用到可移動(dòng)式皮帶輸送機(jī)，簡(jiǎn)化模型如圖乙所示，皮帶輸送機(jī)傾角為，順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每隔2s在輸送帶下端A點(diǎn)無(wú)初速放入一件貨物（貨物足夠多）。每件貨物從下端A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上端B點(diǎn)的過(guò)程中，其機(jī)械能E與位移s的關(guān)系圖像（以A位置為零勢(shì)能參考面）如圖丙所示。已知貨物均可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量均為，重力加速度g取10，。則（ ）
A．貨物與輸送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.875
B．輸送帶A、B兩端點(diǎn)間的距離為8m
C．每件貨物從下端A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上端B點(diǎn)的時(shí)間為9s
D．皮帶輸送機(jī)因運(yùn)送一件貨物而多消耗的能量為515J
【答案】AC
【詳解】A．由圖像可知，貨物從開始運(yùn)動(dòng)到與傳送帶相對(duì)靜止，可知
解得
μ=
A正確；
B．由圖像可知，物塊沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)后與傳送帶相對(duì)靜止，此后物塊的動(dòng)能不變，重力勢(shì)能增加，則
解得
則輸送帶A、B兩端點(diǎn)間的距離為
B錯(cuò)誤；
C．加速階段的加速度大小為
傳送帶的速度大小為
則加速的時(shí)間為
勻速的時(shí)間為
共用時(shí)間為
C正確；
D．每一件貨物從低端到頂端要消耗的能量為
D錯(cuò)誤。
故選AC。
【變式演練5】如圖所示，繃緊的傳送帶與水平面所成的角為37°，在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下，傳送帶以2m/s的恒定速率順時(shí)針運(yùn)行，現(xiàn)將一質(zhì)量為20kg的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）輕輕放在傳送帶底端，貨物被傳送到h=3m的高處，貨物與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.8，sin37°=0.6，cs37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．貨物先受到滑動(dòng)摩擦力作用，后受到靜摩擦力作用
B．貨物在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為6s
C．貨物的機(jī)械能增加了1280J
D．貨物與傳送帶間由于摩擦產(chǎn)生的熱量為640J
【答案】D
【詳解】A．貨物剛放在傳送帶上時(shí)，對(duì)貨物有
解得
達(dá)到與傳送帶等速需要的時(shí)間為
此過(guò)程貨物運(yùn)動(dòng)的位移的大小為
剛好到達(dá)傳遞帶頂端，所以貨物在傳送帶上一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，一直受到滑動(dòng)摩擦力作用，故A錯(cuò)誤；
B．貨物在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為5s，故B錯(cuò)誤；
C．貨物的機(jī)械能增加了
故C錯(cuò)誤；
D．貨物與傳送帶間由于摩擦產(chǎn)生的熱量為
故D正確。
故選D。
【變式演練6】如圖所示為某小型購(gòu)物商場(chǎng)的電梯，長(zhǎng)L＝7.0m，傾角θ＝37°。在某次搬運(yùn)貨物時(shí)，售貨員將質(zhì)量為m＝50kg的貨物無(wú)初速度放在電梯的最下端，然后啟動(dòng)電機(jī)，電梯先以a0＝1m/s2的加速度向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到v0＝2m/s后勻速運(yùn)動(dòng)。已知貨物與電梯表面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.8，重力加速度g＝10m/s2，不計(jì)空氣阻力。求：
（1）貨物從電梯底端運(yùn)動(dòng)到頂端所用的時(shí)間；
（2）電機(jī)因運(yùn)送該貨物多做的功（忽略電梯自身動(dòng)能的變化）。
【答案】（1）6s；（2）3160J
【詳解】（1）對(duì)貨物進(jìn)行受力分析，貨物受到重力、支持力和沿斜面向上的摩擦力，當(dāng)摩擦力是最大靜摩擦力時(shí)，貨物獲得的加速度最大

解得

所以貨物先做加速度為0.4 m/s2的加速度向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度與傳送帶速度相等時(shí)再做勻速直線運(yùn)動(dòng)。根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，貨物加速階段的位移為
勻加速運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間為

之后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
貨物從電梯底端運(yùn)動(dòng)到頂端所用的時(shí)間
（2）根據(jù)功能關(guān)系，可知電機(jī)因運(yùn)送該貨物多做的功等于貨物增加的動(dòng)能和重力勢(shì)能以及在皮帶上產(chǎn)生的熱量
聯(lián)立解得
W＝3160J
【變式演練7】如圖甲，為機(jī)場(chǎng)工作人員利用傾斜傳送帶向飛機(jī)貨倉(cāng)裝載行李的場(chǎng)景，傳送帶保持恒定速率向上運(yùn)行。工作人員將行李箱間隔相同時(shí)間連續(xù)無(wú)初速度地放在傳送帶底端，所有行李箱在進(jìn)入飛機(jī)貨艙前都已做勻速運(yùn)動(dòng)，且相鄰兩個(gè)行李箱間不發(fā)生碰撞。如圖乙，A、B、C、D是傳送帶上4個(gè)進(jìn)入貨倉(cāng)前勻速運(yùn)動(dòng)的行李箱，其中A與B、B與C間的距離均為d，C與D間的距離小于d。已知傳送帶運(yùn)行的速率為，傾角為，傳送帶的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，重力加速度為g，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說(shuō)法正確的是（ ）．
A．A、B、C、D與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)相同，均滿足
B．A、B、C與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)大于D與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)
C．工作人員往傳送帶底端放置行李箱的時(shí)間間隔
D．若A的質(zhì)量為m，則由于傳送A，驅(qū)動(dòng)傳送帶的電機(jī)額外消耗的電能
【答案】C
【詳解】AB．傳送帶運(yùn)行的速率為，工作人員將行李箱間隔相同時(shí)間連續(xù)無(wú)初速度地放在傳送帶底端，則行李箱放在傳送帶上的初始位置間的距離相同，行李箱放在傳送帶上后，先加速，后勻速，設(shè)加速時(shí)間為t，加速過(guò)程的位移為x1，則對(duì)行李箱有

行李箱加速時(shí)，傳送帶的位移為x2，則

行李箱加速時(shí)，與傳送帶的相對(duì)位移為

A與B、B與C間的距離均為d，C與D間的距離小于d，則A、B、C與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)相同，D與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)大于A、B、C與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)，且A、B、C、D與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)均滿足，AB錯(cuò)誤；
C．由以上分析知，A、B、C釋放的初始位置間距等于它們勻速后的位置間距d，則工作人員往傳送帶底端放置行李箱的時(shí)間間隔為
C正確；
D．根據(jù)能量守恒定律知，驅(qū)動(dòng)傳送帶的電機(jī)額外消耗的電能轉(zhuǎn)化為了A的機(jī)械能和摩擦產(chǎn)生的熱能，有
D錯(cuò)誤。
故選C。
題型三 “滑塊－木板”模型綜合問題
【解題指導(dǎo)】1．分析滑塊與木板間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況，確定兩者間的速度關(guān)系、位移關(guān)系，注意兩者速度相等時(shí)摩擦力可能變化.
2.用公式Q＝Ff·x相對(duì)或動(dòng)能定理、能量守恒求摩擦產(chǎn)生的熱量．
【核心歸納】“滑塊—木板”模型問題的分析方法
(1)動(dòng)力學(xué)分析：分別對(duì)滑塊和木板進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求出各自的加速度；從放上滑塊到二者速度相等，所用時(shí)間相等，由t＝eq \f(Δv2,a2)＝eq \f(Δv1,a1)，可求出共同速度v和所用時(shí)間t，然后由位移公式可分別求出二者的位移．
(2)功和能分析：對(duì)滑塊和木板分別運(yùn)用動(dòng)能定理，或者對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用能量守恒定律．如圖所示，要注意區(qū)分三個(gè)位移：
①求摩擦力對(duì)滑塊做功時(shí)用滑塊對(duì)地的位移x滑；
②求摩擦力對(duì)木板做功時(shí)用木板對(duì)地的位移x板；
③求摩擦生熱時(shí)用相對(duì)位移Δx.
【例1】（2024·安徽·二模）一塊質(zhì)量為M、長(zhǎng)為l的長(zhǎng)木板A靜止放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的物體B（視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度從左端滑上長(zhǎng)木板A的上表面并從右端滑下。該過(guò)程中，物體B的動(dòng)能減少量大小為，長(zhǎng)木板A的動(dòng)能增加量為，A、B間摩擦產(chǎn)生的熱量為Q，關(guān)于，，Q的值，下列情況可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】AC．根據(jù)木板A和物體B組成的系統(tǒng)能量守恒
故AC錯(cuò)誤；
BD．畫出物體B和長(zhǎng)木板A的速度一時(shí)間圖線，分別如圖中1和2所示
圖中1和2之間的梯形面積表示板長(zhǎng)，1與軸所圍的面積表示物體B的位移，2與軸所圍的面積表示長(zhǎng)木板A的位移，由圖可知
根據(jù)功能關(guān)系
聯(lián)立解得
故B正確，D錯(cuò)誤。
故選B。
【例2】．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為l的木板靜止在光滑水平桌面上，另一質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從木板上的左端以速度v0開始運(yùn)動(dòng)。已知物塊與木板間的滑動(dòng)摩擦力大小為f，當(dāng)物塊從木板右端離開時(shí)（ ）

A．木板的動(dòng)能一定等于flB．木板的動(dòng)能一定小于fl
C．物塊的動(dòng)能一定大于D．物塊的動(dòng)能一定小于
【答案】BD
【詳解】設(shè)物塊離開木板時(shí)的速度為，此時(shí)木板的速度為，由題意可知
設(shè)物塊的對(duì)地位移為，木板的對(duì)地位移為
CD．根據(jù)能量守恒定律可得
整理可得
D正確，C錯(cuò)誤；
AB．因摩擦產(chǎn)生的摩擦熱
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式
因?yàn)?br>可得
則
所以
B正確，A錯(cuò)誤。
故選BD。
【變式演練1】（2024·四川成都·二模）如圖，一質(zhì)量為的木板靜止在水平地面上，一質(zhì)量為的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以的水平速度從木板左端滑上木板，木板始終保持靜止。木板足夠長(zhǎng)，滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（未知），重力加速度大小取，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．地面對(duì)木板的摩擦力方向水平向右
B．地面對(duì)木板的摩擦力大小為
C．可能為0.12
D．整個(gè)過(guò)程中，滑塊與木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量為
【答案】C
【詳解】A．根據(jù)受力分析可知滑塊對(duì)木板的滑動(dòng)摩擦力方向水平向右，因此地面對(duì)木板的靜摩擦力方向水平向左，故A錯(cuò)誤；
B．滑塊對(duì)木板的滑動(dòng)摩擦力大小
由于木板始終保持靜止，故地面對(duì)木板的靜摩擦力大小
故B錯(cuò)誤；
C．木板始終保持靜止，即
解得
故C正確；
D．整個(gè)過(guò)程中，滑塊的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能，產(chǎn)生的熱量
故D錯(cuò)誤。
故選C。
【變式演練2】．（2024·遼寧鞍山·二模）如圖所示，上表面粗糙的長(zhǎng)木板B靜止在光滑的水平面上，物塊A疊放在長(zhǎng)木板右端，輕彈簧一端連接在物塊A上，另一端連接在豎直墻面上，開始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，現(xiàn)對(duì)B施加一水平向右恒定的拉力F，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)且只分析A未離開B的過(guò)程，則正確的說(shuō)法是（ ）

A．施加拉力后最初的一段時(shí)間內(nèi)，物塊A和木板B一定無(wú)相對(duì)滑動(dòng)
B．施加拉力的瞬間，物塊A所受的摩擦力為零
C．施加拉力后的某一過(guò)程中，拉力做的功一定不小于A、B和彈簧整體機(jī)械能的增量
D．施加拉力后，在A與B相對(duì)滑動(dòng)過(guò)程中，A對(duì)B的摩擦力做功的絕對(duì)值等于A、B間產(chǎn)生的熱量
【答案】C
【詳解】A．由題干可知，施加水平向右的恒力F后，在物塊A與木板B未分離過(guò)程中，即施加力F后，物塊A與木板B即發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．由上述分析可知，施加拉力后，兩者之間即發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)物塊A與木板間存在滑動(dòng)摩擦力，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．由能量守恒可知，拉力F所做的功等于物塊A與木板B、彈簧整體機(jī)械能的增量以及A、B物體之間摩擦產(chǎn)生的熱，即施加拉力后的某一過(guò)程中，拉力做的功一定不小于A、B和彈簧整體機(jī)械能的增量，故C項(xiàng)正確；
D．由功能關(guān)系可知，A、B之間產(chǎn)生的熱等于A、B之間摩擦力與A、B兩物體間的相對(duì)位移的乘積即
故D項(xiàng)錯(cuò)誤。
故選C。
【變式演練3】如圖甲所示，質(zhì)量的長(zhǎng)木板靜止在足夠大的水平地面上，一小物塊以的速度從左端滑上長(zhǎng)木板后，不能從木板的右端掉落，其運(yùn)動(dòng)的圖像如圖乙所示。取重力加速度大小，求：
（1）小物塊與木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q；
（2）內(nèi)靜摩擦力對(duì)長(zhǎng)木板的沖量。
【答案】（1）；（2），方向向右
【詳解】解：（1）根據(jù)題意由圖乙可知，內(nèi)小物塊與長(zhǎng)木板發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，時(shí)，小物塊與長(zhǎng)木板具有相同速度，之后一起勻減速，連接坐標(biāo)原點(diǎn)與圖像的拐點(diǎn)，即為長(zhǎng)木板的圖像，如圖所示
設(shè)小物塊的質(zhì)量為，小物塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，長(zhǎng)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，前內(nèi)小物塊的加速度大小為，長(zhǎng)木板的加速度大小為，后小物塊和長(zhǎng)木板一起做勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為，由牛頓第二定律有
由圖像可得
聯(lián)立解得
由圖像可得，內(nèi)小物塊的位移為
長(zhǎng)木板的位移為
小物塊與木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量
（2）設(shè)內(nèi)長(zhǎng)木板受到小物塊的靜摩擦力大小為，該靜摩擦力的方向向右，則有
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得
方向向右。
【變式演練4】如圖甲，物體A的質(zhì)量m1= 1kg，靜止在光滑水平面上的木板B的質(zhì)量m2= 2kg，某時(shí)刻A以v0= 6m/s的初速度從左端滑上木板B的上表面，在A滑上B的同時(shí)，給B施加一個(gè)水平方向的拉力，隨時(shí)間變化如圖乙，共作用1.5s，以水平向右為正方向；已知A與B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，木板B足夠長(zhǎng)（忽略物體A的大?。?。求：
（1）0 ~ 1s內(nèi)，物體A和木板B的加速度分別為多大；
（2）1.5s末，A、B的速度分別為多大；
（3）最終，物體A和木板B由于摩擦產(chǎn)生的熱量（用分?jǐn)?shù)表示）。
【答案】（1）m/s2，m/s2；（2）v3 = 3m/s，v4 = 2.5m/s；（3）J
【詳解】（1）0 ~ 1s內(nèi)，若A一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，B一直做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)A有
對(duì)B有
解得
m/s2，m/s2
（2）1s時(shí)A的速度為
m/s
1s時(shí)B的速度為
m/s
1s后力反向，若一起減速，根據(jù)牛頓第二定律
解得
m/s2
A做勻減速運(yùn)動(dòng)的最大加速度為m/s2，即A以m/s2做勻減速運(yùn)動(dòng)，對(duì)B分析
解得
m/s2
1.5s時(shí)，A的速度為
m/s
1.5s時(shí)，B的速度為
m/s
（3）0 ~ 1s內(nèi)，物體A和木板B相對(duì)位移為
m
1s ~ 1.5s內(nèi)，物體A和木板B相對(duì)位移為
m
1.5s后A做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度為
m/s2
B做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律
解得
m/s2
共速時(shí)
解得
s
物體A和木板B相對(duì)位移為
m
之后，A和B一起做勻速運(yùn)動(dòng)，物體A和木板B由于摩擦產(chǎn)生的熱量為
解得
J

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