TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11123" 題型一 機(jī)械能守恒的判斷 PAGEREF _Tc11123 \h 1
\l "_Tc12105" 題型二 單物體的機(jī)械能守恒問題 PAGEREF _Tc12105 \h 2
\l "_Tc10372" 題型三 連接體的機(jī)械能守恒問題 PAGEREF _Tc10372 \h 8
\l "_Tc26575" 類型1 鏈條類機(jī)械能守恒問題 PAGEREF _Tc26575 \h 9
\l "_Tc15726" 類型2 輕繩連接的物體系統(tǒng) PAGEREF _Tc15726 \h 9
\l "_Tc1213" 類型3 輕桿連接的物體系統(tǒng) PAGEREF _Tc1213 \h 15
\l "_Tc3640" 類型4 含“彈簧類”系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 PAGEREF _Tc3640 \h 18
\l "_Tc27584" 題型四 功能關(guān)系的理解和應(yīng)用 PAGEREF _Tc27584 \h 21
\l "_Tc23731" 類型1 功能關(guān)系的理解 PAGEREF _Tc23731 \h 25
\l "_Tc18152" 類型2 功能關(guān)系與圖像的結(jié)合 PAGEREF _Tc18152 \h 29
\l "_Tc1033" 類型3 功能關(guān)系的綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc1033 \h 35
\l "_Tc150" 題型五 能量守恒定律的理解和應(yīng)用 PAGEREF _Tc150 \h 41
題型一 機(jī)械能守恒的判斷
【解題指導(dǎo)】機(jī)械能是否守恒的三種判斷方法
(1)利用機(jī)械能的定義判斷：若物體動能、勢能之和不變，則機(jī)械能守恒．
(2)利用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功(或做功代數(shù)和為0)，則機(jī)械能守恒．
(3)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒有能量交換，物體或系統(tǒng)也沒有機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能守恒．
【例1】如圖所示，物體以速度沖向與豎直墻壁相連的輕質(zhì)彈簧，壓縮彈簧至最短的過程中（ ）
A．彈簧彈力對物體做正功B．彈簧的彈性勢能增加
C．合外力對物體做正功D．物體的機(jī)械能守恒
【答案】B
【詳解】AB．物體向左運(yùn)動，彈力方向向右，故彈力做負(fù)功，彈簧的彈性勢能增加，故A錯誤，B正確；
C．根據(jù)動能定理
所以合外力對物體做負(fù)功，故C錯誤；
D．因彈力對物體做負(fù)功，則物塊的機(jī)械能減小，故D錯誤。
故選B。
【變式演練1】(多選)如圖所示，將一個內(nèi)外側(cè)均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側(cè)有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點(diǎn)的正上方由靜止開始下落，從A點(diǎn)與半圓形槽相切進(jìn)入槽內(nèi)，則下列說法正確的是( )
A．小球在半圓形槽內(nèi)運(yùn)動的全過程中，只有重力對它做功
B．小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動的過程中，小球的機(jī)械能守恒
C．小球從A點(diǎn)經(jīng)最低點(diǎn)向右側(cè)最高點(diǎn)運(yùn)動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D．小球從下落到從右側(cè)離開半圓形槽的過程中，機(jī)械能守恒
【答案】 BC
【解析】 當(dāng)小球從半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動到半圓形槽右側(cè)的過程中小球?qū)Π雸A形槽的力使半圓形槽向右運(yùn)動，半圓形槽對小球的支持力對小球做負(fù)功，小球的機(jī)械能不守恒，A、D錯誤；小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動的過程中，半圓形槽靜止，則只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，B正確；小球從A點(diǎn)經(jīng)最低點(diǎn)向右側(cè)最高點(diǎn)運(yùn)動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統(tǒng)只有重力做功，機(jī)械能守恒，C正確．
【變式演練2】如圖，斜面體A放在水平面上，球體B放在斜面體的斜面與豎直墻壁之間，外力F作用在A上使A、B處于靜止?fàn)顟B(tài)，不計一切摩擦，現(xiàn)撤去F，在球B向下運(yùn)動的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．A對B不做功B．B對A不做功
C．B的機(jī)械能守恒D．A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
【答案】D
【詳解】ABCD．撤去推力后，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，B對A做正功，A對B做負(fù)功，A的機(jī)械能增大，B的機(jī)械能減小。
故選D。
題型二 單物體的機(jī)械能守恒問題
【解題指導(dǎo)】1．表達(dá)式
2．選用技巧
在處理單個物體機(jī)械能守恒問題時通常應(yīng)用守恒觀點(diǎn)和轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)，轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)不用選取零勢能面。
3．一般步驟
【例1】一個彈性很好的橡膠球從距離地面高為h處被豎直拋下，落到堅硬的水平地面上被彈回，回跳的高度比拋出點(diǎn)高h(yuǎn)0，已知重力加速度為g，不計空氣阻力和球與地面碰撞時的能量損失，則在拋出點(diǎn)必須以多大的速度將球向下拋出（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】從將球向下拋出到球上升到最高點(diǎn)，小球減少的動能為
小球增加的重力勢能為
由機(jī)械能守恒定律得
聯(lián)立得
故選C。
【例2】如圖1，在豎直平面內(nèi)固定一光滑的半圓形軌道，半徑為，小球以一定的初速度從最低點(diǎn)A沖上軌道，圖2是小球在半圓形軌道上從A運(yùn)動到的過程中，其速度平方與其對應(yīng)高度的關(guān)系圖像。已知小球在最高點(diǎn)受到軌道的作用力為，空氣阻力不計，點(diǎn)為軌道中點(diǎn)，重力加速度取，下列說法錯誤的是（ ）

A．最高點(diǎn)時小球所受的合外力豎直向下
B．圖2中
C．小球在B點(diǎn)受到軌道作用力為
D．小球質(zhì)量為
【答案】C
【詳解】A．在最高點(diǎn)，小球所受合外力提供向心力，故方向豎直向下，A正確，不符合題意；
D．由圖2可得在最高點(diǎn)，小球的速度，由牛頓第二定律
可解得小球的質(zhì)量
故D正確，不符合題意；
B．小球從A運(yùn)動到的過程中，由機(jī)械能守恒定律
解得
故B正確，不符合題意；
C．小球從A運(yùn)動到B的過程中，由機(jī)械能守恒定律
解得
小球在B點(diǎn)受到軌道作用力為
故C錯誤，符合題意。
故選C。
【變式演練1】運(yùn)動員某次投籃時，籃球的運(yùn)動過程可簡化為如圖所示，已知籃球的質(zhì)量為m，投出時籃球的初速度為，距離籃框的豎直距離為h，忽略籃球運(yùn)動過程中的空氣阻力，取籃框所在的平面為零勢能面，重力加速度為g，籃球可看成質(zhì)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．籃球拋出后在空中做平拋運(yùn)動
B．籃球在投出點(diǎn)的重力勢能為mgh
C．籃球剛進(jìn)入籃框時的機(jī)械能為
D．從投出至進(jìn)框的過程中，籃球重力勢能的變化量為mgh
【答案】D
【詳解】A．籃球拋出后在空中做斜拋運(yùn)動，故A錯誤；
B．取籃框所在的平面為零勢能面，籃球在投出點(diǎn)的重力勢能為
-mgh
故B錯誤；
C．籃球在拋出時的機(jī)械能為
且運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，故C錯誤；
D．籃球在投出點(diǎn)的重力勢能為
-mgh
進(jìn)框時的重力勢能為
0
從投出至進(jìn)框的過程中，籃球重力勢能的變化量為
故D正確。
故選D。
【變式演練2】從地面以的速度豎直向上拋出一物體，不計空氣阻力，重力加速度為g，以地面為重力勢能的零勢能面。當(dāng)物體的重力勢能為動能的時，物體離地面的高度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】物體上拋過程，機(jī)械能守恒，可得
又
聯(lián)立，解得
故選D。
【變式演練3】如圖所示，質(zhì)量為m的物體，以速度v離開高為H的桌子，當(dāng)它落到距地面高為h的A點(diǎn)時，在不計空氣阻力的情況下，以地面為重力勢能零，下列說法是正確的是（ ）
A．物體在A點(diǎn)具有的機(jī)械能是
B．物體在A點(diǎn)具有的機(jī)械能是
C．物體在A點(diǎn)具有的動能是
D．物體在A點(diǎn)具有的動能是mg（H-h）
【答案】A
【詳解】AB．物體在拋出點(diǎn)的機(jī)械能為
物體離開桌面后只有重力做功，機(jī)械能守恒，則物體在A點(diǎn)機(jī)械能也為該值，故A正確，B錯誤；
CD．根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
故A點(diǎn)的動能為
故CD錯誤。
故選A。
【變式演練4】如圖甲，O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，將力傳感器接在擺球與O點(diǎn)之間。現(xiàn)將擺球拉到A點(diǎn)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直面內(nèi)的A、C之間來回擺動，其中B點(diǎn)為運(yùn)動中的最低位置。圖乙表示細(xì)線對擺球的拉力大小F隨時間t變化的曲線，圖中為擺球從A點(diǎn)開始運(yùn)動的時刻，g取10，則擺球的質(zhì)量是（ ）

A．0.05kgB．0.10kgC．0.18kgD．0.21kg
【答案】B
【詳解】在A點(diǎn)
在B點(diǎn)
從A到B
另周期
聯(lián)立可得
故選B。
題型三 連接體的機(jī)械能守恒問題
1．解決多物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒的注意點(diǎn)
(1)要注意判斷物體運(yùn)動過程中系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。
(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。
(3)列機(jī)械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．常見的三種模型
(1)輕繩連接的物體系統(tǒng)模型
(2)輕桿連接的物體系統(tǒng)模型
(3)輕彈簧連接的物體系統(tǒng)模型
類型1 鏈條類機(jī)械能守恒問題
【例1】如圖所示，長為L的均勻鏈條放在光滑水平桌面上，且使長度的垂在桌邊，松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛剛離開桌邊時的速度大小為（重力加速度為g）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】設(shè)鏈條的總質(zhì)量為，選取桌面為零勢能面，則剛開始是的重力勢能
整個鏈條剛滑落桌面時的重力勢能
在此過程中，重力做的功
根據(jù)動能定理可得鏈條的速度
A正確。
故選A。
【變式演練1】有一條均勻金屬鏈條，一半長度在光滑的足夠高斜面上，斜面頂端是一個很小的圓弧，斜面傾角為，另一半長度豎直下垂，由靜止釋放后鏈條滑動，已知重力加速度，鏈條剛好全部滑出斜面時的速度大小為，則金屬鏈條的長度為（ ）
A．0.6mB．1mC．2mD．2.6m
【答案】C
【詳解】設(shè)鏈條的質(zhì)量為2m，以開始時鏈條的最高點(diǎn)為零勢能面，鏈條的機(jī)械能為
鏈條全部滑出后，動能為
重力勢能為
由機(jī)械能守恒可得
即
解得
故選C。
【變式演練2】如圖（a）所示，一根質(zhì)量為M、長度為L的均勻柔軟細(xì)繩置于光滑水平桌面上，繩子右端恰好處于桌子邊緣，桌面離地面足夠高。由于擾動，繩從靜止開始沿桌邊下滑。當(dāng)繩下落的長度為x時，加速度大小為a，繩轉(zhuǎn)折處O點(diǎn)的張力大小為T，桌面剩余繩的動能為、動量為p，如圖（b）所示。則從初態(tài)到繩全部離開桌面的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，張力T有最大值B．當(dāng)時，動量P有最大值
C．當(dāng)時，加速度a有最大值D．當(dāng)時，動能有最大值
【答案】B
【詳解】AC．繩子下落長度為時，對整條繩，由牛頓第二定律有
解得繩上各點(diǎn)的加速度大小為
對桌面上的繩子，由牛頓第二定律有
聯(lián)立解得
可知，當(dāng)時，加速度有最大值，當(dāng)時，張力有最大值，故AC錯誤；
B．繩子從開始運(yùn)動到繩子下落長度的過程中，由機(jī)械能守恒定律可得
解得
則桌面剩余繩的動量為
可知，當(dāng)時，動量有最大值，故B正確；
D．桌面剩余繩子的動能為
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)
即
動能有最大值，故D錯誤。
故選B。
類型2 輕繩連接的物體系統(tǒng)
【例2】如圖所示，一條不可伸長的輕繩跨過定滑輪，繩的兩端各系一個小球A和B，已知小球A的質(zhì)量為m，用手托住B球，輕繩剛好被拉緊時，B球離地面的高度為h，A球靜止于水平地面上?，F(xiàn)釋放B球，落地時的速度為。定滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦均不計，重力加速度為g。下列說法正確的是（ ）
A．B球的質(zhì)量為4m
B．A球上升h的過程中，輕繩對A球的拉力做的功為mgh
C．B球從釋放至落地，運(yùn)動的時間為
D．A球從地面開始上升的最大高度為1.6h
【答案】ACD
【詳解】A．設(shè)B球的質(zhì)量為M，根據(jù)動能定理
解得
故A正確；
B．設(shè)輕繩對A球的拉力做的功為W，根據(jù)動能定理
解得
故B錯誤；
C．將AB球看成整體，則根據(jù)牛頓第二定律
解得
所以，B球從釋放至落地，運(yùn)動的時間為
故C正確；
D．B球落地時，A球的位移為
此后A球做豎直上拋運(yùn)動，則位移為
所以，A球從地面開始上升的最大高度為
故D正確。
故選ACD。
【變式演練1】如圖所示，物體Q鎖定在水平地面上，不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線一端連接在Q上，另一端繞過三個光滑輕質(zhì)小滑輪后固定在地面上。物體P與滑輪2相連，系統(tǒng)靜止，四段細(xì)線都豎直，現(xiàn)解除對物體Q的鎖定，物體P觸地后靜止不動，物體P觸地瞬間連接物體Q的繩子斷開。已知物體P與地面間高度差為h，物體P、Q質(zhì)量分別為3m、m，重力加速度為g，天花板離滑輪1和3足夠高，物體P、Q均可視為質(zhì)點(diǎn)，不計空氣阻力。下列說法正確的是（ ）
A．物體Q上升過程中的最大速度為
B．物體Q上升過程中的最大速度為
C．物體Q上升的最大高度為
D．物體Q上升的最大高度為
【答案】AD
【詳解】AB．根據(jù)題意可知，物體P剛剛觸地時，Q速度最大，此時
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
解得
故A正確，B錯誤；
CD．繩子斷開后有
物體Q上升的最大高度
結(jié)合上述解得
故C錯誤，D正確。
故選AD。
【變式演練2】如圖，ab、cd為在同一豎直面內(nèi)的兩光滑水平軌道，兩軌道間的豎直距離為h。軌道上有兩個可視為質(zhì)點(diǎn)的物體A和B，質(zhì)量均為m，它們通過一根繞過定滑輪的不可伸長的輕繩相連接。現(xiàn)用水平向右的拉力拉著物塊A，使A、B一起運(yùn)動，當(dāng)輕繩OB與水平軌道的夾角時，撤掉拉力，此時物體A在cd軌道運(yùn)動的速率為v，設(shè)繩長BO遠(yuǎn)大于滑輪直徑，不計輕繩與滑輪間的摩擦，不計空氣阻力。下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)輕繩OB與水平軌道夾角為30°時，物體B的速度大小為
B．當(dāng)輕繩OB與水平軌道夾角為90°時，物體B的速度大小為
C．輕繩OB與水平軌道夾角從30°到90°的過程中，輕繩對B做的功為
D．輕繩OB與水平軌道夾角從30°到90°的過程中，輕繩對B做的功為
【答案】BD
【詳解】A．當(dāng)輕繩OB與水平軌道夾角為30°時，物體B的速度大小
選項(xiàng)A錯誤；
B．當(dāng)輕繩OB與水平軌道夾角為90°時，此時物體A的速度為零，從撤去外力到該位置由機(jī)械能守恒定律
解得物體B的速度大小為
選項(xiàng)B正確；
CD．輕繩OB與水平軌道夾角從30°到90°的過程中，輕繩對B做的功為
選項(xiàng)C錯誤，D正確。
故選BD。
類型3 輕桿連接的物體系統(tǒng)
【例3】如圖，一長為L的輕桿一端固定在光滑鉸鏈上，另一端固定質(zhì)量為m的小球。開始時，輕桿位于豎直方向，之后受輕微擾動后向左自由轉(zhuǎn)動。某時刻輕桿與豎直方向的夾角記為，取重力加速度為g，關(guān)于轉(zhuǎn)動過程中小球的以下說法正確的是（ ）

A．豎直速度先增大后減小B．重力的最大功率為
C．當(dāng)時，小球只受重力作用D．水平方向上速度最大值為
【答案】BCD
【詳解】A．小球受桿沿桿方向的支持力或拉力作用，豎直向下的重力作用，轉(zhuǎn)動過程中，重力一直做正功，豎直方向速度一直增加，故A錯誤；
B．桿對小球不做功，重力對小球做正功，當(dāng)時，有
解得
重力的最大功率為
故B正確；
C．當(dāng)時，由機(jī)械能守恒可得
解得
此時小球做圓周運(yùn)動需要的向心力為
重力沿桿方向的分力為
則桿對小球無作用力，小球只受重力作用，故C正確；
D．桿對小球的作用力由支持力逐漸變?yōu)槔?，則在水平方向?yàn)橄蜃蟮耐屏χ饾u變?yōu)?，再變?yōu)橄蛴业睦?；桿對小球無作用力時水平方向速度速度最大，為
故D正確。
故選BCD。
【變式演練1】如圖所示，O點(diǎn)為足夠長的光滑水平面與光滑豎直墻面的交點(diǎn)，長為3l的輕直剛性桿兩端分別用光滑鉸鏈連接一可視為質(zhì)點(diǎn)且完全相同的小球甲和乙?，F(xiàn)讓小球乙靜止于O點(diǎn)，使小球甲從墻面上距水平面高度為3l的a點(diǎn)由靜止開始無初速度下滑。已知墻面上沿豎直方向的各點(diǎn)間距ab=bc=cO=l，重力加速度為g，不計空氣阻力，則在小球甲從a點(diǎn)運(yùn)動到O點(diǎn)過程中，下列說法正確的是（ ）
A．小球甲的最大速度為
B．小球甲的最大速度為
C．小球甲運(yùn)動到b點(diǎn)時，小球乙的速度為
D．小球甲運(yùn)動到c點(diǎn)時，小球乙的速度為
【答案】BC
【詳解】AB．由分析知，當(dāng)小球甲運(yùn)動到O點(diǎn)時，小球乙的速度為零，此時小球甲的速度最大，設(shè)其最大速度為v甲，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
解得
故A錯誤，B正確；
C．小球甲運(yùn)動到b點(diǎn)時，設(shè)小球乙的速度為v2時，對應(yīng)的小球甲的速度大小為v1，桿與豎直方向的夾角為，對小球甲、乙組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律可得

其中
，
解得
小球甲運(yùn)動到b點(diǎn)時，小球乙的速度等于 ，選項(xiàng)C正確；
D．小球甲運(yùn)動到c點(diǎn)時，設(shè)小球乙的速度為v4時，對應(yīng)的小球甲的速度大小為v3，桿與豎直方向的夾角為，對小球甲、乙組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律可得

其中
，
解得
選項(xiàng)D錯誤。
故選BC。
【變式演練2】如圖所示，有一光滑軌道，部分豎直，部分水平，部分是半徑為的四分之一圓弧，其中與、相切。質(zhì)量均為的小球、（可視為質(zhì)點(diǎn)）固定在長為的豎直輕桿兩端，開始時球與點(diǎn)接觸且輕桿豎直，由靜止釋放兩球使其沿軌道下滑，重力加速度為。下列說法正確的是（ ）
A．球下滑過程中機(jī)械能減小
B．球下滑過程中機(jī)械能增加
C．球滑到水平軌道上時速度大小為
D．從釋放、球到兩球均滑到水平軌道的過程中，輕桿對球做功為
【答案】D
【詳解】C．兩個小球組成的系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故有
解得
即、球滑到水平軌道上時速度大小均為，故C錯誤；
D．b球在滑落過程中，設(shè)桿對b球做功為W，根據(jù)動能定理可得
聯(lián)立解得
對a球由動能定理可得
解得桿對a球做功為
故D正確；
AB．結(jié)合D項(xiàng)分析可知，桿對球做正功，對b球做負(fù)功，故下滑過程中球機(jī)械能增大，b球機(jī)械能減小，即對單個球來看，機(jī)械能均不守恒，故AB錯誤。
故選D。
【變式演練3】如圖所示，在兩個質(zhì)量分別為m和2m的小球A和B之間用一根長為L的輕桿連接，輕桿可繞中心O的水平軸無摩擦轉(zhuǎn)動，現(xiàn)讓桿處于水平位置無初速度釋放，在桿轉(zhuǎn)至豎直的過程中（輕桿質(zhì)量不計）（ ）
A．A球機(jī)械能減小
B．桿對B球不做功，B球機(jī)械能守恒
C．A球和B球總機(jī)械能守恒
D．A球和B球總機(jī)械能不守恒
【答案】C
【詳解】A．釋放后，A球向上運(yùn)動，速度增大，高度增大，所以A球的動能和勢能都增大，即A球的機(jī)械能增大，故A錯誤；
BCD．在桿從水平轉(zhuǎn)至豎直的過程中，A球和B球組成的系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，又根據(jù)機(jī)械能守恒可得
所以A球的機(jī)械能增大，B球的機(jī)械能減少，桿對B球做負(fù)功，故BD錯誤，C正確。
故選C。
類型4 含“彈簧類”系統(tǒng)的機(jī)械能守恒
1．通過其他能量求彈性勢能
根據(jù)機(jī)械能守恒，列出方程，代入其他能量的數(shù)值求解．
2．對同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量決定，彈簧伸長量和壓縮量相等時，彈簧彈性勢能相等．
3．物體運(yùn)動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關(guān)．
【例4】（2023春·河北·高三校聯(lián)考期中）如圖所示，輕質(zhì)彈簧下端與光滑固定斜面底端栓接，上端連接物塊B，物塊A通過細(xì)線跨過光滑定滑輪與物塊B連接，已知斜面傾角為，物塊B的質(zhì)量為不變，物塊A的質(zhì)量可以改變，彈簧的原長為，物塊A、B以及滑輪大小忽略不計。初始時在外力作用下，彈簧處于原長，細(xì)線剛好繃緊，物塊A、B處于等高位置。掛不同質(zhì)量的物塊A，撤去外力，讓物塊A、B自由運(yùn)動；當(dāng)時，物塊A能夠上升的最大高度為；當(dāng)時，物塊A能夠下降的最大高度為：當(dāng)時，物塊A下降時速度可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】當(dāng)時，由能量守恒可得
當(dāng)時，由能量守恒可得
解得
當(dāng)時，由能量守恒可得
解得
根據(jù)題意有
聯(lián)立可得
故選A。
【變式演練1】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧置于固定光滑斜面上的O點(diǎn)，下端與固定在斜面底端的擋板連接，彈簧處于原長時上端位于A點(diǎn)。一物塊由斜面上A點(diǎn)上方某位置由靜止釋放，將彈簧壓縮至最低點(diǎn)B，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，下列說法正確的是（ ）
A．物塊運(yùn)動到A點(diǎn)時的動能最大
B．物塊從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)過程中機(jī)械能守恒
C．物塊運(yùn)動到B點(diǎn)后將在B點(diǎn)保持靜止?fàn)顟B(tài)
D．彈簧彈性勢能的最大值等于物塊從O點(diǎn)到B點(diǎn)重力勢能的減少量
【答案】D
【詳解】A．物塊運(yùn)動到A點(diǎn)時，彈力為零，合力不為零，則物塊有沿斜面向下的加速度，則此時速度不是最大，即動能不是最大，選項(xiàng)A錯誤；
B．物塊從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)過程中彈簧的彈力對物塊做負(fù)功，則物塊的機(jī)械能不守恒，選項(xiàng)B錯誤；
C．物塊運(yùn)動到B點(diǎn)后合力沿斜面向上，則將沿斜面向上運(yùn)動，不會在B點(diǎn)保持靜止?fàn)顟B(tài)，選項(xiàng)C錯誤；
D．由能量關(guān)系可知，彈簧彈性勢能的最大值等于物塊從O點(diǎn)到B點(diǎn)重力勢能的減少量，選項(xiàng)D正確。
故選D。
【變式演練2】如圖所示，質(zhì)量均為m的物體A、B用跨過滑輪O的輕繩連接，A穿在固定的豎直光滑桿上，B置于傾角的光滑固定斜面上。一勁度系數(shù)的輕質(zhì)彈簧的一端固定在斜面底端的擋板上，另一端連接B。初始時，施加外力將A置于N點(diǎn)，輕繩恰好伸直但無拉力，段長為，與桿垂直，段與斜面平行?，F(xiàn)將A由靜止釋放，沿桿下滑到最低點(diǎn)，為中的一點(diǎn)，且。A、B均可視為質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動過程中B不會與滑輪相碰，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g，不計一切阻力。則A從N點(diǎn)下滑到M點(diǎn)的過程中（ ）
A．B沿斜面運(yùn)動的距離為B．A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
C．經(jīng)過M點(diǎn)時A的速度大小為D．輕繩對A做的功為
【答案】AC
【詳解】A．A從N點(diǎn)下滑到M點(diǎn)的過程，B沿斜面運(yùn)動的距離為
故A正確；
B．由于彈簧對B做功，所以A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，故B錯誤；
CD．開始運(yùn)動時，彈簧的壓縮量為
則A經(jīng)過M點(diǎn)時，彈簧的伸長量為
可知A從N點(diǎn)下滑到M點(diǎn)的過程，彈簧的彈性勢能變化量為0，根據(jù)能量守恒可得
根據(jù)速度關(guān)聯(lián)關(guān)系可得
其中
聯(lián)立解得經(jīng)過M點(diǎn)時A的速度大小為
對A根據(jù)動能定理可得
解得輕繩對A做的功為
故C正確，D錯誤。
故選AC。
【變式演練3】如圖所示，輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端與一質(zhì)量為m的小球相連，小球套在固定的豎直光滑桿上，P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為L，與桿垂直，桿上M、N兩點(diǎn)與O點(diǎn)的距離均為。已知彈簧的勁度系數(shù)為k，原長為L，重力加速度為g，現(xiàn)讓小球從M處由靜止釋放，下列說法正確的是（ ）
A．小球從M運(yùn)動到N的過程中，小球的機(jī)械能守恒
B．小球通過N點(diǎn)時速率為
C．小球從M運(yùn)動到N的過程中，彈簧彈性勢能先減小后增大
D．小球從M運(yùn)動到N的過程中，小球的動能和彈簧的彈性勢能之和先減小后增大
【答案】BC
【詳解】A．小球從運(yùn)動到的過程中，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但小球的機(jī)械能并不守恒，故A錯誤；
B．根據(jù)幾何關(guān)系有
解得
小球在M、N兩個位置時，彈簧的長度相等，所以彈簧的彈性勢能相等，在此過程中小球的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為動能，則
解得
故B正確；
C．，等于彈簧的原長，則小球位于P點(diǎn)時，彈簧彈力為0，彈簧的彈性勢能為0且最小，所以從運(yùn)動到N的過程中彈簧的彈性勢能先減小后增大，故C正確；
D．小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，小球的重力勢能一直在減小，所以小球的動能和彈簧的彈性勢能之和一直在增大，故D錯誤。
故選BC。
【變式演練4】如圖所示，輕質(zhì)彈簧一端固定在水平面上的光滑轉(zhuǎn)軸O上，另一端與套在光滑固定直桿A處質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）相連。A點(diǎn)距水平面的高度為h，直桿與水平面的夾角為30°，OA＝OC，B為AC的中點(diǎn)，OB等于彈簧原長。小球從A處由靜止開始下滑，經(jīng)過B處的速度為v。已知重力加速度為g，下列說法正確的是（ ）
A．小球在C點(diǎn)時的動能B．小球通過B點(diǎn)時的加速度為
C．彈簧具有的最大彈性勢能為D．小球下滑過程機(jī)械能守恒
【答案】AB
【詳解】A．小球在A點(diǎn)和C點(diǎn)時，彈簧的長度相同，即彈簧的形變量相同，具有相同的彈性勢能，全程彈簧的彈力做功為零，則小球從A點(diǎn)到C點(diǎn)的過程，根據(jù)動能定理
即
故A正確；
B．因在B點(diǎn)時彈簧在原長，則到達(dá)B點(diǎn)時的加速度為
故B正確；
C．彈簧形變量最大時彈性勢能最大，即小球在A點(diǎn)時，彈簧具有最大的彈性勢能，小球由A點(diǎn)到B點(diǎn)過程中，根據(jù)能量守恒
解得
故C錯誤；
D．小球下滑過程中，除了小球重力做功外，還有彈簧的彈力做功，所以小球下滑過程機(jī)械能不守恒，故D錯誤。
故選AB。
題型四 功能關(guān)系的理解和應(yīng)用
做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程．功是能量轉(zhuǎn)化的量度.
功與能量的變化是“一一對應(yīng)”的，如重力做功對應(yīng)重力勢能的變化，合外力做功對應(yīng)動能的變化等.
分析機(jī)械能的變化，既可以用定義法也可以根據(jù)除重力(彈簧彈力)以外的其他力做功來分析．
類型1 功能關(guān)系的理解
常見的功能關(guān)系
【例1】翼裝飛行是一項(xiàng)極具刺激的娛樂項(xiàng)目，亞洲翼裝飛行第一人張樹鵬的飛行夢始于張家界天門山。如圖所示為張樹鵬完成比賽時的情景，張樹鵬由高空靜止跳下，在空中滑行一段距離后安全地著陸在山腳下。則張樹鵬在空中下落的過程中（ ）。
A．機(jī)械能守恒B．重力勢能的減少大于動能的增加
C．合力做的功等于重力勢能的減少量D．重力做的功等于機(jī)械能的減少量
【答案】B
【詳解】A．張樹鵬在下落的過程中，重力做正功，空氣的阻力做負(fù)功，所以機(jī)械能不守恒，故A錯誤；
B．由動能定理可知
所以重力做的功大于動能的增加，即重力勢能的減少大于動能的增加，故B正確；
C．由動能定理可知合力的功等于動能的增加量，故C錯誤；
D．阻力的功等于機(jī)械能的減少量，故D錯誤。
故選B。
【變式演練1】如圖所示為低空跳傘極限運(yùn)動表演，運(yùn)動員從離地350m高的橋面一躍而下，實(shí)現(xiàn)了自然奇觀與極限運(yùn)動的完美結(jié)合。假設(shè)質(zhì)量為m的跳傘運(yùn)動員，由靜止開始下落，在打開傘之前受恒定阻力作用，下落的加速度，在運(yùn)動員下落h的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．運(yùn)動員重力做功為B．運(yùn)動員克服阻力做功為
C．運(yùn)動員的動能增加了D．運(yùn)動員的機(jī)械能減少了
【答案】D
【詳解】A．運(yùn)動員下落h，則重力做功為
故A錯誤；
B．根據(jù)
得
則運(yùn)動員克服阻力做功為
故B錯誤；
C．運(yùn)動員的動能增加量等于合外力做功，則
=
故C錯誤；
D．運(yùn)動員的機(jī)械能減少量等于克服阻力做功，即
故D正確。
故選D。
【變式演練2】在實(shí)際情況中，物體做拋體運(yùn)動時總會受到空氣阻力的影響。如圖所示，虛線是炮彈在忽略空氣阻力情況下計算出的飛行軌跡；實(shí)線是炮彈以相同的初速度和拋射角射出在空氣中實(shí)際的飛行軌跡，這種曲線叫作彈道曲線。由于空氣阻力的影響，彈道曲線的升弧和降弧不再對稱，升弧長而平伸，降弧短而彎曲。炮車的大小可以忽略。當(dāng)炮彈做彈道運(yùn)動時，結(jié)合學(xué)過的力學(xué)知識，分析判斷下列說法正確的是（ ）
A．炮彈上升的時間一定等于下降的時間
B．炮彈在最高點(diǎn)時的加速度等于重力加速度
C．炮彈在上升階段損失的機(jī)械能等于在下降階段損失的機(jī)械能
D．炮彈在上升階段重力勢能的增加量等于在下降階段重力勢能的減少量
【答案】D
【詳解】A．炮彈上升過程中，在豎直方向上，受到重力和阻力在豎直向下的分力，即
解得
炮彈下降過程中，在豎直方向，受到向下的重力和阻力在豎直向上的分力，即
解得
則
設(shè)炮彈上升的時間為t1，炮彈下降的時間為t2，根據(jù)
得
炮彈上升的時間一定小于下降的時間，A錯誤；
B．到達(dá)最高點(diǎn)時，除受豎直向下的重力外還受到水平方向的空氣阻力作用f，合力
由牛頓第二定律可知，炮彈在最高點(diǎn)時的加速度大于重力加速度，B錯誤；
C．假設(shè)空氣阻力大小不變，由微元法，上升過程克服空氣阻力做的功等于空氣阻力與上升過程路程的乘積，下降過程克服空氣阻力做的功等于空氣阻力與下降過程路程的乘積。升弧長而平伸，降弧短而彎曲。上升過程克服空氣阻力做的功大于下降過程克服空氣阻力做的功。又由功能關(guān)系，克服空氣阻力做的功等于機(jī)械能的減少量。炮彈在上升階段損失的機(jī)械能大于在下降階段損失的機(jī)械能。假設(shè)空氣阻力大小與速度成正比或與速度的平方成正比，由于空氣阻力始終做負(fù)功，同一高度處，上升過程的速度大小總是大于下降過程的速度大小，則同一高度處，上升過程的空氣阻力大小總是大于下降過程的空氣阻力大小。由微元法，上升過程克服空氣阻力做的功等于空氣阻力與上升過程路程的乘積，下降過程克服空氣阻力做的功等于空氣阻力與下降過程路程的乘積。升弧長而平伸，降弧短而彎曲。上升過程克服空氣阻力做的功大于下降過程克服空氣阻力做的功。又由功能關(guān)系，克服空氣阻力做的功等于機(jī)械能的減少量。炮彈在上升階段損失的機(jī)械能大于在下降階段損失的機(jī)械能。
C錯誤；
D．炮彈在上升階段重力勢能的增加量等于在下降階段重力勢能的減少量，D正確。
故選D。
【變式演練3】一個物塊從斜面底端沖上足夠長的斜面后，返回到斜面底端。已知小物塊的初動能為E，它返回斜面底端的速度大小為v，克服摩擦阻力做功為。若小物塊沖上斜面的初動能變?yōu)?E，則有（ ）
A．返回斜面底端時的動能為B．返回斜面底端時的動能為E
C．返回斜面底端時的速度大小為2vD．克服摩擦阻力做的功仍為
【答案】B
【詳解】ABD．設(shè)以初動能為E沖上斜面的初速度為，則以初動能為2E沖上斜面時，初速度為，由于兩次向上運(yùn)動的加速度相同，根據(jù)
，
可知第二次沖上斜面的位移是第一次的兩倍，所以第二次上升過程中克服摩擦力做功是第一次的兩倍，第二次整個上升返回過程中克服摩擦力做功是第一次的兩倍，即為E；根據(jù)能量守恒可知第二次返回到底端時的動能為
故AD錯誤，B正確；
C．第一次小物塊的初動能為E，它返回斜面底端的速度大小為v，克服摩擦阻力做功為，則有
若小物塊沖上斜面的初動能變?yōu)?E，設(shè)它返回斜面底端的速度大小為，由于克服摩擦阻力做功為E，則有
聯(lián)立可得
故C錯誤。
故選B。
類型2 功能關(guān)系與圖像的結(jié)合
【例2】從地面豎直向上拋出一物體，取地面為零勢能參考面，該物體的和隨上升高度h的變化如圖所示。重力加速度取，由圖中數(shù)據(jù)可得（ ）
A．物體的質(zhì)量為2.5 kg
B．h＝2 m時，物體的動能
C．h＝0時，物體的速度大小為
D．物體的速度大小為20 m/s時，距地面的高度h=2 m
【答案】AC
【詳解】A．由圖可知，上升的最大高度為4m，由重力勢能公式
可得
A正確；
BD．由圖可知時，物體的動能
物體的速度為
BD錯誤；
C．h＝0時，物體的速度大小為
C正確；
故選AC。
【變式演練1】一質(zhì)量為1kg的物體在水平拉力的作用下，由靜止開始在水平地面上沿x軸運(yùn)動，出發(fā)點(diǎn)為x軸零點(diǎn)，拉力做的功W與物體坐標(biāo)x的關(guān)系如圖所示。物體與水平地面間的動摩擦因數(shù)為0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列說法正確的是（ ）
A．從x=0運(yùn)動到x=2m過程中拉力的大小為12N
B．在x=3m時，物體的動能為15J
C．從x=0運(yùn)動到x=2m，物體機(jī)械能增加了4J
D．從x=0運(yùn)動到x=4m的過程中，物體的最大速度為2m/s
【答案】C
【詳解】A．由于拉力在水平方向，則拉力做的功為，可看出圖像的斜率代表拉力F，則從x=0運(yùn)動到x=2m過程中拉力的大小
故A錯誤；
B．由圖可知從x=0運(yùn)動到x=3m，拉力做功為W=15J，根據(jù)動能定理有
可得x=3m時物體的動能為
故B錯誤；
C．從x=0運(yùn)動到x=2m，拉力做功
W=12J
物體克服摩擦力做的功為
根據(jù)功能關(guān)系
故C正確；
D．根據(jù)圖像可知在0~2m的過程中，2~4m的過程中，由于物體受到的摩擦力恒為f=4N，則物體在x=2m處速度最大，根據(jù)動能定理有
可得
故D錯誤。
故選C。
【變式演練2】如圖甲所示，將物塊從傾角為θ=30°的斜面頂端由靜止釋放，取地面為零勢能面，物塊在下滑過程中的動能Ek、重力勢能Ep與下滑位移x間的關(guān)系如圖乙所示，取g=10m/s2，下列說法正確的是（ ）

A．物塊的質(zhì)量是0.1kg
B．物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為
C．當(dāng)下滑的距離為4.8m時，物塊動能與勢能相等
D．當(dāng)物體的勢能為8J時，動能為J
【答案】D
【詳解】A．由圖知，小球下滑的最大位移為 x=12m，在最高點(diǎn)時，小球的重力勢能
得小球的質(zhì)量
故A錯誤；
B．根據(jù)除重力以外其他力做的功
可知
由圖知，最高點(diǎn)的機(jī)械能為
最低點(diǎn)的機(jī)械能為
又
x=12m
解得
故B錯誤；
C．設(shè)小球動能和重力勢能相等時的高度為h，此時有
由動能定理有
聯(lián)立解得
h=2.4m
故C錯誤；
D．由圖可知，在物塊下滑4m處，小球的重力勢能是8J，動能為
故D正確。故選D。
【變式演練3】從地面豎直向上拋出一物體，其機(jī)械能等于動能與重力勢能之和。取地面為重力勢能零點(diǎn)，該物體的和隨它離開地面的高度h的變化如圖所示。重力加速度取。由圖中數(shù)據(jù)可得（ ）
A．物體的質(zhì)量為1kg
B．h＝0時，物體的速率為20m/s
C．物體上升4m過程中，物體的動能減少了80J
D．物體上升2m過程中，克服阻力做功10J
【答案】D
【詳解】A．根據(jù)題意，由公式結(jié)合圖像可得，物體的質(zhì)量為
故A錯誤；
B．h＝0時，物體的重力勢能為0，則有
解得
故B錯誤；
C．由圖可知，物體上升到4m時
此時物體的動能為0，則物體的動能減少了
故C錯誤；
D．由圖可知，物體上升到2m時
，
則此時的動能為
由動能定理有
解得
故D正確。
故選D。
【變式演練4】滑草是一項(xiàng)使用滑草車沿傾斜草地滑行的運(yùn)動，深受青年人喜愛，甲圖為滑草運(yùn)動場地鳥瞰圖。某滑草運(yùn)動場地由傾斜滑道AB和水平滑道BC兩部分組成，B點(diǎn)處平滑連接，如圖乙所示。傾斜滑道AB長100m，與水平面夾角為18°。某游客乘坐滑草車從A點(diǎn)由靜止開始沿滑道下滑，滑草車在AB段做勻加速直線運(yùn)動。取傾斜滑道底端為零勢能面，游客與滑草車在AB上運(yùn)動的機(jī)械能、重力勢能隨著位移x的變化情況如圖丙所示。重力加速度大小取，，下列說法正確的是（ ）
A．游客和滑草車總質(zhì)量為186kg
B．游客到達(dá)B點(diǎn)時的速度為10m/s
C．滑草車與傾斜滑道間的動摩擦因數(shù)為0.26
D．游客在傾斜滑道上的加速度為
【答案】B
【詳解】A．游客和滑草車開始下滑時的重力勢能為
總質(zhì)量為
m=60kg
選項(xiàng)A錯誤；
B．游客到達(dá)B點(diǎn)時的動能等于機(jī)械能為3000J，則根據(jù)
可得速度為
vB=10m/s
選項(xiàng)B正確；
C．滑草車下滑過程中由能量關(guān)系
解得與傾斜滑道間的動摩擦因數(shù)為
μ=0.274
選項(xiàng)C錯誤；
D．游客在傾斜滑道上的加速度為
選項(xiàng)D錯誤。
故選B。
類型3 功能關(guān)系的綜合應(yīng)用
【例3】（2024·山東·高考真題）如圖所示，質(zhì)量均為m的甲、乙兩同學(xué)，分別坐在水平放置的輕木板上，木板通過一根原長為l的輕質(zhì)彈性繩連接，連接點(diǎn)等高且間距為d（d

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