TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc46" 題型一 平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律 PAGEREF _Tc46 \h 1
\l "_Tc23100" 題型二 平拋運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問題 PAGEREF _Tc23100 \h 5
\l "_Tc1377" 題型三 斜面上的平拋問題 PAGEREF _Tc1377 \h 13
\l "_Tc11448" 類型1.順著斜面平拋斜面傾斜角是“位移”偏向角 PAGEREF _Tc11448 \h 13
\l "_Tc32333" 類型2.順著斜面（圓?。┢綊佇泵鎯A斜角是“速度”偏向角 PAGEREF _Tc32333 \h 18
\l "_Tc11507" 類型3.對著斜面平拋“垂直”打在斜面上斜面傾斜角為“速度”偏向角的余角 PAGEREF _Tc11507 \h 21
\l "_Tc2111" 類型4 對著斜面平拋“最小位移”打在斜面上斜面傾斜角為“位移”偏向角的余角 PAGEREF _Tc2111 \h 25
\l "_Tc3151" 題型四 有約束條件的平拋運(yùn)動(dòng)模型 PAGEREF _Tc3151 \h 29
\l "_Tc6968" 類型1 對著豎直墻壁的平拋運(yùn)動(dòng) PAGEREF _Tc6968 \h 29
\l "_Tc18020" 類型2 半圓內(nèi)的平拋問題 PAGEREF _Tc18020 \h 32
\l "_Tc412" 題型五 平拋的多解問題 PAGEREF _Tc412 \h 41
\l "_Tc3181" 題型六 平拋與圓周的臨界問題 PAGEREF _Tc3181 \h 44
\l "_Tc7805" 題型七 斜拋運(yùn)動(dòng)的理解和分析 PAGEREF _Tc7805 \h 48
\l "_Tc22768" 題型八 類平拋運(yùn)動(dòng) PAGEREF _Tc22768 \h 54
\l "_Tc32543" 題型九 拋體運(yùn)動(dòng)中的功能與動(dòng)量 PAGEREF _Tc32543 \h 59
題型一 平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律
【解題指導(dǎo)】1.性質(zhì)：平拋運(yùn)動(dòng)是加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線。
2.研究方法：運(yùn)動(dòng)的合成與分解
（1）水平方向：勻速直線運(yùn)動(dòng)。
（2）豎直方向：自由落體運(yùn)動(dòng)。
3.基本規(guī)律（如圖）
（1）速度eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(水平方向：vx＝v0,豎直方向：vy＝gt))
合速度的大小v＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))＝eq \r(veq \\al(2,0)＋g2t2)
設(shè)合速度的方向與水平方向的夾角為θ，有
tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)。
（2）位移eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(水平方向：x＝v0t,豎直方向：y＝\f(1,2)gt2))
合位移的大小s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(（v0t）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)gt))\s\up12(2))
設(shè)合位移的方向與水平方向的夾角為α，有
tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)。
（3）三個(gè)重要結(jié)論：①合速度方向與水平方向的夾角θ和合位移方向與水平方向的夾角α的關(guān)系，tan θ＝2tan α。
②做平拋（或類平拋）運(yùn)動(dòng)的物體任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，即xOC＝eq \f(x,2)。
③速度變化：平拋運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，故在相等的時(shí)間內(nèi)，速度的變化量（Δv＝gΔt）相等，且必沿豎直方向，如圖所示。任意兩時(shí)刻的速度與速度的變化量Δv構(gòu)成三角形，Δv沿豎直方向。
【例1】（2024·重慶沙坪壩·三模）一質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，先后經(jīng)過空中的、兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)速度方向與水平方向的夾角為30°，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)速度方向與水平方向的夾角為60°，則（ ）
A．到過程質(zhì)點(diǎn)做非勻變速運(yùn)動(dòng)
B．連線與水平方向夾角為60°
C．質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過、兩點(diǎn)時(shí)豎直速度之比為1：3
D．從拋出點(diǎn)到、兩點(diǎn)的水平位移之比為1：2
【答案】C
【詳解】A．平拋運(yùn)動(dòng)過程只受重力作用，加速度不變，所以P→Q，是勻加速曲線運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；
B．由圖可知PQ連線與水平方向夾角介于之間，故B錯(cuò)誤；
C．由平拋運(yùn)動(dòng)水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則
所以
故C正確；
D．平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到P、Q兩點(diǎn)的時(shí)間關(guān)系為
由時(shí)間關(guān)系得水平位移關(guān)系為
故D錯(cuò)誤。
故選C。
【變式演練1】從O點(diǎn)以水平速度v拋出一小物體，經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)速度大小為v，N點(diǎn)為O到M之間軌跡上與直線OM距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．小物體經(jīng)N點(diǎn)時(shí)的速度方向與OM不平行
B．小物體從O到N經(jīng)歷的時(shí)間為
C．O、N之間的距離為
D．曲線ON與MN關(guān)于過N點(diǎn)且與OM垂直的直線對稱
【答案】B
【詳解】A．小物體運(yùn)動(dòng)過程中與OM的距離最遠(yuǎn)，即沿與OM垂直方向的分速度為零，所以此時(shí)的速度方向與OM平行，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B．經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度與水平方向的夾角為45°，設(shè)OM與水平方向的夾角為α，由幾何關(guān)系可知
所以經(jīng)N點(diǎn)時(shí)的速度豎直分量
故從O到N的時(shí)間為
選項(xiàng)B正確；
C．ON之間的水平位移
豎直位移
O、N之間的距離為
選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
D．初速度為v，末速度為v，所以曲線ON與MN不對稱，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選B。
【變式演練2】．小朋友玩水槍游戲時(shí)，若水從槍口沿水平方向射出時(shí)的速度大小為15m/s，水射出后落到水平地面上。已知槍口離地面的高度為0.8m，重力加速度g取，忽略空氣阻力，則射出的水（ ）
A．在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0.16s
B．水平射程為6m
C．落地時(shí)的速度大小為19m/s
D．落地時(shí)豎直方向的速度大小為4m/s
【答案】BD
【詳解】A．由可得水在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
故A錯(cuò)誤；
B．水平射程
故B正確；
D．落地時(shí)豎直方向速度大小為
故D正確；
C．落地時(shí)的速度大小為
故C錯(cuò)誤。
故選BD。
【變式演練3】（2023·全國·高考真題）將扁平的石子向水面快速拋出，石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠(yuǎn)方，俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產(chǎn)生“水漂”效果，石子接觸水面時(shí)的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”，一同學(xué)將一石子從距水面高度為h處水平拋出，拋出速度的最小值為多少？（不計(jì)石子在空中飛行時(shí)的空氣阻力，重力加速度大小為g）
【答案】
【詳解】石子做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有
可得落到水面上時(shí)的豎直速度
由題意可知
即
石子拋出速度的最小值為。
【變式演練4】如圖所示，在距水平地面的光滑平臺邊緣O點(diǎn)，將質(zhì)量可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊，以的速度水平拋出，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度。
（1）求物塊拋出點(diǎn)O到落地點(diǎn)A所用的時(shí)間；
（2）求物塊拋出點(diǎn)O到落地點(diǎn)A之間的水平距離；
（3）求物塊落到A點(diǎn)時(shí)的速度的大小和方向。
【答案】（1）；（2）；（3），方向與水平面夾角為斜向下
【詳解】（1）設(shè)物塊由點(diǎn)所用時(shí)間為，由平拋知識得
代數(shù)解得
（2）設(shè)物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離為x，由平拋知識得
（3）物塊落到A點(diǎn)時(shí)速度大小v，由幾何知識得
速度與水平夾角滿足
則
速度方向與水平面夾角為斜向下
題型二 平拋運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問題
【解題指導(dǎo)】1．平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問題有兩種常見情形：(1)物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物體的速度方向恰好達(dá)到某一方向．
2．解題技巧：在題中找出有關(guān)臨界問題的關(guān)鍵字，如“恰好不出界”、“剛好飛過壕溝”、“速度方向恰好與斜面平行”、“速度方向與圓周相切”等，然后利用平拋運(yùn)動(dòng)對應(yīng)的位移規(guī)律或速度規(guī)律進(jìn)行解題．
【例1】將扁平的石子向水面快速拋出，石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠(yuǎn)方，俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產(chǎn)生“水漂”效果，石子接觸水面時(shí)的速度方向與水面的夾角不能大于。為了觀察到“水漂”，某同學(xué)將一石子從距水面高度為h處水平拋出，觀察到在水面跳了三次，第四次已不能從水面跳起。石子每次與水面接觸后水平方向的速度方向不變大小減為接觸前的一半、豎直方向的速度方向反向大小減為接觸前的四分之三。不計(jì)石子在空中飛行時(shí)的空氣阻力，重力加速度大小為g，求：
（1）第一次落至水面時(shí)豎直方向的速度大??；
（2）拋出速度大小的范圍。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）第一次接觸水面時(shí)豎直方向有
可得第一次落到水面上時(shí)的豎直速度
（2）設(shè)拋出速度大小為，由題意可知第三次落到水面時(shí)水平方向速度為，豎直方向速度為
則
第四次落到水面時(shí)水平方向速度為，豎直方向速度為
則
解得石子拋出速度范圍為
【變式演練1】恰好越過位于水平地面上高為h的豎直擋板，然后落在水平地面上的D點(diǎn)，碰前碰后的速度水平方向不變，豎直方向等大反向。球2恰好越過擋板也落在D點(diǎn)，忽略空氣阻力。擋板的高度h為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】A．設(shè)1、2球的初速度分別為、，從拋出到落到D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為、則對兩球在水平方向有
依題意
所以
又因兩球飛過豎直擋板前的水平位移相同，而速度的水平分量的關(guān)系為
故它們飛過擋板前的運(yùn)動(dòng)時(shí)間滿足
設(shè)球1從第一次落地到飛至擋板頂端所用的時(shí)間為t，則上述關(guān)系可寫為
球1第一次落地時(shí)速度的豎直分量為
到達(dá)擋板頂端時(shí)速度的豎直分量為
兩者滿足
聯(lián)立方程并代入數(shù)據(jù)可得
故選B。
【變式演練2】無人機(jī)操作員練習(xí)使用無人機(jī)將模擬彈從樓頂右端上方投進(jìn)如圖所示樓房的窗戶中，已知樓間距為l．窗戶距樓頂高度為h，為更好地將模擬彈投進(jìn)窗戶，模擬彈以與水平方向較小角度進(jìn)入窗戶的效果更好，重力加速度為g．不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．無人機(jī)水平飛行速度越大越好
B．無人機(jī)應(yīng)該斜向上飛行再投彈
C．無人機(jī)投彈的最佳位置是緊貼樓頂水平飛行
D．無人機(jī)投彈的最佳速度只能是
【答案】CD
【詳解】A．由于兩棟樓房的距離是固定的，模擬彈離開無人機(jī)后水平方向有
豎直方向有
則若無人機(jī)水平飛行速度過大，則有上述分析可知，其模擬彈運(yùn)動(dòng)時(shí)間將縮短，其豎直方向位移將變小，其將不會從窗戶進(jìn)入樓房，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．模擬彈進(jìn)入窗戶時(shí)，其與水平方向的夾角為，則有
若想模擬彈以與水平方向較小角度進(jìn)入窗戶，則應(yīng)該減小豎直方向的速度，而若斜向上飛行后投彈，則初始時(shí)豎直方向就會做速度，則進(jìn)入窗戶時(shí)，設(shè)初始時(shí)模擬彈的速度方向與水平方向的夾角為α，模擬彈的數(shù)值方向速度為
其大于無人機(jī)開始時(shí)水平飛行的豎直方向速度，故無人機(jī)不應(yīng)該斜向上飛行再投彈，而是水平方向飛行，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
CD．由上述分析可知，當(dāng)無人機(jī)水平飛行投彈，此時(shí)水平方向有
豎直方向有
，
則其夾角為
由此可知，若想角小，則其無人機(jī)投彈高度要小，即無人機(jī)應(yīng)該緊貼樓頂飛行，則其最佳速度為
故CD正確；
故選CD。
【變式演練3】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖所示，甲同學(xué)爬上山坡底端C點(diǎn)處的一棵樹，從樹上Q點(diǎn)正對著山坡水平拋出一個(gè)小石塊，石塊正好垂直打在山坡中點(diǎn)P。乙同學(xué)（身高不計(jì)）在山坡頂端的A點(diǎn)水平拋出一個(gè)小石塊，石塊也能落在P點(diǎn)。已知山坡長度，山坡與水平地面間夾角為，重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)，，，則（ ）
A．甲同學(xué)拋出的小石塊初速度大小為
B．甲同學(xué)拋出的小石塊初速度大小為
C．甲、乙兩同學(xué)拋出的石塊在空中飛行的時(shí)間之比為
D．甲、乙兩同學(xué)拋出的石塊在空中飛行的時(shí)間之比為
【答案】AD
【詳解】設(shè)甲拋出小石子的初速度為v0，Q點(diǎn)相對于P點(diǎn)的豎直高度為H，則
甲拋出的小石塊落在P點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度
甲拋出小石塊的水平位移

聯(lián)立可得
對乙同學(xué)
解得
甲、乙兩同學(xué)拋出的石塊在空中飛行的時(shí)間之比為
選項(xiàng)BC錯(cuò)誤，AD正確。
故選AD。
【變式演練4】（2024·山西晉城·三模）在第19屆杭州亞運(yùn)會女子排球決賽中，中國女排以3∶0戰(zhàn)勝日本女排，以六戰(zhàn)全勝且一局未失的戰(zhàn)績成功衛(wèi)冕。如圖所示，排球場的寬為d，長為2d，球網(wǎng)高為，發(fā)球員在底線中點(diǎn)正上方的O點(diǎn)將排球水平擊出，排球恰好擦著網(wǎng)落在對方場地邊線上的E點(diǎn)，，不計(jì)空氣阻力，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（ ）
A．O點(diǎn)距地面的高度為B．排球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
C．排球擊出時(shí)的速度大小為D．排球著地時(shí)的速度大小為
【答案】C
【詳解】AB．排球做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡在地面上的投影為，如圖所示
顯然
所以排球在左、右場地運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為1∶2，設(shè)排球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3t，有
，
解得
，
故AB錯(cuò)誤；
C．排球擊出時(shí)的速度大小
故C正確；
D．排球著地時(shí)的速度大小
故D錯(cuò)誤。
故選C。
題型三 斜面上的平拋問題
類型1.順著斜面平拋斜面傾斜角是“位移”偏向角
(1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如圖)
處理方法：分解位移.
x＝v0t
y＝eq \f(1,2)gt2
tan θ＝eq \f(y,x)
可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g).
(2)物體離斜面距離最大，已知速度方向沿斜面向下(如圖)
處理方法：分解速度
vx＝v0，vy＝gt
tan θ＝eq \f(vy,v0)
t＝eq \f(v0tan θ,g).
【例1】（2024·安徽合肥·三模）如圖所示，在某次跳臺滑雪比賽中，運(yùn)動(dòng)員以初速度從跳臺頂端A水平飛出，經(jīng)過一段時(shí)間后落在傾斜賽道上的B點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)離傾斜賽道最遠(yuǎn)，P點(diǎn)到賽道的垂直距離為PC，P點(diǎn)離賽道的豎直高度為PD，賽道的傾角為，重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)，運(yùn)動(dòng)員（包括滑雪板）視為質(zhì)點(diǎn)。則C、D兩點(diǎn)間的距離是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】對運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)沿平行斜面和垂直斜面方向分解可知，運(yùn)動(dòng)員從A運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)和從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用時(shí)間相等，因此運(yùn)動(dòng)員沿平行斜面方向的分運(yùn)動(dòng)從A到C的時(shí)間與從C到B的時(shí)間相等，運(yùn)動(dòng)員沿平行斜面做加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則
由于從A到P的水平位移與從P到B的水平位移相等，因此
則
運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng)有
，
又
解得
則
故選A。
【變式演練1】（2024·貴州遵義·三模）可視為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)員從P點(diǎn)以的速度水平飛出，若不計(jì)空氣阻力，運(yùn)動(dòng)員在空中飛行3s后落在斜面上Q點(diǎn)。簡化示意圖如圖所示，已知：sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，g取。則運(yùn)動(dòng)員由P到Q的過程中（ ）
A．水平初速度大小為30m/sB．水平初速度大小為20m/s
C．P到Q的位移大小為45mD．P到Q的位移大小為60m
【答案】B
【詳解】AB．運(yùn)動(dòng)員由P到Q的過程中，有
可得水平初速度大小為
故A錯(cuò)誤，B正確；
CD．運(yùn)動(dòng)員由P到Q的過程中，水平位移為
則P到Q的位移大小為
故CD錯(cuò)誤。
故選B。
【變式演練2】.近年來，國家大力開展冰雪運(yùn)動(dòng)進(jìn)校園活動(dòng)，目前已有多所冰雪特色學(xué)校，蹬冰踏雪深受學(xué)生喜愛。如圖所示，現(xiàn)有兩名滑雪運(yùn)動(dòng)員（均視為質(zhì)點(diǎn)）從跳臺a處先后沿水平方向向左飛出，其速度大小之比為，不計(jì)空氣阻力，則兩名運(yùn)動(dòng)員從飛出至落到斜坡（可視為斜面）上的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．他們飛行時(shí)間之比為
B．他們飛行的水平位移之比為
C．他們速度變化之比為
D．他們在空中離坡面的最大距離之比為
【答案】C
【詳解】A．運(yùn)動(dòng)員從跳臺a處水平飛出，設(shè)初速度為，飛行時(shí)間為，斜坡的傾角為，運(yùn)動(dòng)員在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，落到斜坡上時(shí)則有
解得
可得他們飛行時(shí)間之比為
A錯(cuò)誤；
B．運(yùn)動(dòng)員飛行的水平位移為
他們飛行的水平位移之比為
B錯(cuò)誤；
C．兩運(yùn)動(dòng)員在水平方向的速度不變，在豎直方向的速度變化為
因?yàn)樗麄冿w行時(shí)間之比為
則有他們速度變化之比為
C正確；
D．運(yùn)動(dòng)員在空中離坡面的最大距離為
他們在空中離坡面的最大距離之比為
D錯(cuò)誤。
故選C。
【變式演練3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）北京冬奧會跳臺滑雪比賽在國家跳臺滑雪中心“雪如意”舉行，跳臺滑雪主要分為四個(gè)階段：助滑階段、起跳階段、飛行階段和著陸階段。某大跳臺的著陸坡是傾角θ=37°的斜面。比賽中某質(zhì)量m=80kg（包括器械裝備）的運(yùn)動(dòng)員腳踏滑雪板沿著跳臺助滑道下滑，在起跳點(diǎn) O點(diǎn)以v0=20m/s的水平速度騰空飛出，身體在空中沿拋物線飛行落至著陸坡上的 M點(diǎn)后，沿坡面滑下并滑行到停止區(qū)，最終完成比賽，如圖所示。已知B 點(diǎn)（圖中未畫出）是該運(yùn)動(dòng)員在空中飛行時(shí)離著陸坡面最遠(yuǎn)的點(diǎn)，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8，以起跳點(diǎn) O點(diǎn)所在的平面為0勢能面，忽略空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．運(yùn)動(dòng)員在B點(diǎn)時(shí)的速度變化率大小為10m/s2
B．B點(diǎn)距離著陸坡面的距離為9 m
C．O、M間的距離為125m
D．運(yùn)動(dòng)員從O 點(diǎn)到B 點(diǎn)的位移大小等于從B點(diǎn)到M點(diǎn)的位移大小
【答案】AB
【詳解】A．由題意可知，運(yùn)動(dòng)員在B點(diǎn)的速度變化率為
故A正確；
B．將運(yùn)動(dòng)員的速度和加速度分解為沿斜面方向和垂直于斜面方向，垂直于斜面方向有
運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間
B點(diǎn)到著陸坡的距離
故B正確；
C．運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)到M點(diǎn)的飛行時(shí)間
O、M間的水平距離
O、M間的距離
故C錯(cuò)誤，
D．從O點(diǎn)到B點(diǎn)和從B點(diǎn)到M點(diǎn)的時(shí)間相同，水平位移相同，豎直位移不相同，合位移不相同，故D錯(cuò)誤。故選AB。
類型2.順著斜面（圓弧）平拋斜面傾斜角是“速度”偏向角
1.從斜面外恰好與斜面平行的方向落到斜面(如圖)：
合速度與水平速度的夾角等于斜面傾角，常用速度關(guān)系tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0).
2.從圓弧形軌道外平拋，恰好無碰撞地進(jìn)入圓弧形軌道，如圖所示，即已知速度方向沿該點(diǎn)圓弧的切線方向
分解速度tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)
【例2】如圖所示，從a點(diǎn)以初速度v0=6m/s水平拋出一質(zhì)量m=0.5kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），小球恰好從豎直放置的光滑圓弧軌道的b點(diǎn)沿切線進(jìn)入圓弧軌道，經(jīng)過最低點(diǎn)c，最后從d點(diǎn)飛出圓弧軌道。已知圓弧軌道半徑R=l.2m，bc段圓弧所對的圓心角α=60°，O為圓心，Od為水平半徑，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10m/s2。則下列分析錯(cuò)誤的是（ ）
A．a(chǎn)、b兩點(diǎn)的高度差為5.4m
B．小球在c點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力大小為70N
C．小球在d點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力大小為55N
D．小球從d點(diǎn)離開后還能上升的高度為4.8m
【答案】D
【詳解】A．小球恰好從豎直放置的光滑圓弧軌道的b點(diǎn)沿切線進(jìn)入圓弧軌道，則有
解得
h＝5.4m
故A正確，不符合題意；
B．規(guī)定c點(diǎn)為零勢能面根據(jù)能量守恒可得
在c點(diǎn)由牛頓第二定律
解得
故B正確，不符合題意；
C．由牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律
解得
故C正確，不符合題意；
D．由公式可得
解得
故D錯(cuò)誤，符合題意。
故選D。
【變式演練】如圖所示，以速度從O點(diǎn)水平拋出的小球，抵達(dá)光滑固定的斜面上端P處時(shí)，速度方向恰好沿著斜面方向，然后緊貼斜面PQ做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已知斜面傾角為（，），不計(jì)空氣阻力，取重力加速度為。下列說法正確的是（ ）
A．O點(diǎn)到P點(diǎn)的豎直距離為0.45m
B．小球在斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度大小比平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)的大
C．撤去斜面，小球仍從O點(diǎn)以相同速度水平拋出，落地時(shí)間將變小
D．撤去斜面，小球仍從O點(diǎn)以相同速度水平拋出，落地速度不變
【答案】AC
【詳解】A．由題意可知，小球落到斜面上時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角為，則有
解得
又因?yàn)?br>解得
故A項(xiàng)正確；
B．小球做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為，小球在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)
解得
故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．由于小球在斜面上的加速度，由之前分析可知為，則小球在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在豎直方向的加速度為
由此可知，有斜面時(shí)，小球在豎直方向上的加速度小于重力加速度，所以撤去斜面后，小球的下落時(shí)間變小，故C項(xiàng)正確；
D．根據(jù)機(jī)械能守恒得
撤去斜面，h不變，則落地的速率v不變，但是速度方向不同，故D項(xiàng)錯(cuò)誤。
故選AC。
類型3.對著斜面平拋“垂直”打在斜面上斜面傾斜角為“速度”偏向角的余角
對著斜面平拋
垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如圖)
處理方法：分解速度.
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝eq \f(vx,vy)＝eq \f(v0,gt)
可求得t＝eq \f(v0,gtan θ).
【例3】（2024·安徽安慶·三模）如圖所示，水平地面上固定有傾角為45°，高為h的斜面。O點(diǎn)位于A點(diǎn)正上方且與B點(diǎn)等高。細(xì)繩一端固定于O點(diǎn)，另一端與質(zhì)量為m的小球相連。小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩恰好拉斷，之后做平拋運(yùn)動(dòng)并垂直擊中斜面的中點(diǎn)（重力加速度為g），下列說法正確的是（ ）
A．細(xì)繩的長度為
B．繩剛要拉斷時(shí)張力為
C．小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
D．若球擊中斜面反彈的速度大小為擊中前的一半，則反彈后球能落到A點(diǎn)
【答案】D
【詳解】AC．小球做平拋運(yùn)動(dòng)并垂直擊中斜面的中點(diǎn)，有
解得
小球做平拋運(yùn)動(dòng)的豎直位移為
所以細(xì)繩的長度為
A和C均錯(cuò)誤；
B．在圓周運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)，有
解得，繩剛要拉斷時(shí)張力為
B錯(cuò)誤；
D．球擊中斜面時(shí)的速度為
反彈的速度大小為
設(shè)反彈后能擊中A點(diǎn)，則水平方向位移為，有
解得
豎直位移為
所以反彈后球恰好能落到A點(diǎn)，D正確。
故選D。
【變式演練1】如圖所示，從水平面上A點(diǎn)以傾角為α斜向上方拋出一小球，拋出時(shí)速度大小為。小球落到傾角為θ的斜面上C點(diǎn)時(shí)，速度方向正好與斜面垂直，B為小球運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，已知重力加速度為g，則（ ）
A．小球在B點(diǎn)的速度大小為
B．小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間為
C．小球落到C點(diǎn)前瞬間豎直方向的速度為
D．小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間為
【答案】C
【詳解】A．小球在B點(diǎn)的速度大小為
故A錯(cuò)誤；
B．小球在A點(diǎn)時(shí)豎直方向上速度大小為
則小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間為
故B錯(cuò)誤；
C．小球落到C點(diǎn)前瞬間豎直方向的速度為
故C正確；
D．小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間為
故D錯(cuò)誤。
故選C。
【變式演練2】如圖所示，傾角為的斜面體固定在水平面上，小球在斜面底端正上方以速度向右水平拋出，同時(shí)，小球在斜面頂端以速度向左水平拋出，兩球拋出點(diǎn)在同一水平線上，結(jié)果兩球恰好落在斜面上的同一點(diǎn)，且球落到斜面上時(shí)速度剛好與斜面垂直，不計(jì)小球的大小，，。則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】小球A垂直打在斜面上，如圖所示：
根據(jù)幾何關(guān)系可得
對于小球B
聯(lián)立得
=
故選D。
類型4 對著斜面平拋“最小位移”打在斜面上斜面傾斜角為“位移”偏向角的余角
在斜面外平拋，落在斜面上位移最小，如圖所示，已知位移方向垂直斜面
分解位移tan θ＝eq \f(x,y)＝eq \f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq \f(2v0,gt)
【例4】.如圖所示，傾角為37°的斜面體固定放置在水平面上，斜面的高度為，點(diǎn)是A點(diǎn)正上方與點(diǎn)等高的點(diǎn)，讓一小球（視為質(zhì)點(diǎn)）從點(diǎn)水平向左拋出，落在斜面的點(diǎn)，已知、兩點(diǎn)的連線與斜面垂直，重力加速度為g，、，下列說法正確的是（ ）
A．小球在點(diǎn)的速度為
B．小球從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
C．小球在點(diǎn)的速度大小為
D．小球在點(diǎn)的速度與水平方向夾角的正切值為2
【答案】A
【詳解】AB．過點(diǎn)作的垂線與的交點(diǎn)為，設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為，即、兩點(diǎn)之間的距離為，如圖所示
由幾何關(guān)系可得
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得
，
解得
、、
A正確、B錯(cuò)誤；
CD．小球在點(diǎn)沿豎直方向的分速度為
小球在點(diǎn)的速度大小為
與水平方向夾角的正切值為
解得
，
CD錯(cuò)誤。
故選A。
【變式演練1】（2023·四川雅安·模擬預(yù)測）如圖所示，傾角為37°的斜面與水平面的交點(diǎn)為 B，斜面上的 C點(diǎn)處有一小孔，若一小球從B點(diǎn)的正上方A 點(diǎn)水平拋出，恰好通過小孔落到水平地面上的 D點(diǎn)（小球視為質(zhì)點(diǎn)，小孔的直徑略大于小球的直徑，小球通過小孔時(shí)與小孔無碰撞）。已知A、C兩點(diǎn)的連線正好與斜面垂直，小球從 A到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，重力加速度為g， 下列說法正確的是（ ）

A．A、C兩點(diǎn)間的高度差為gt2B．小球在A點(diǎn)的速度為
C．A、C兩點(diǎn)間的距離為 D．A、D兩點(diǎn)間的高度差為
【答案】BD
【詳解】如圖

AB．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合幾何關(guān)系有
解得A、C兩點(diǎn)間的高度差為，小球在A點(diǎn)的速度為故A錯(cuò)誤，B正確；
C．A、C兩點(diǎn)間的距離為
故C錯(cuò)誤；
D．A、D兩點(diǎn)間的高度差為
故D正確；
故選BD。
【變式演練2】如圖所示，在斜面的上方A點(diǎn)，水平向右以初速度拋出一個(gè)小球，不計(jì)空氣阻力，若小球擊中斜面B點(diǎn)（圖中未畫出），且AB距離恰好取最小值，則小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】若小球擊中斜面B點(diǎn)，且AB距離恰好取最小值，則AB垂直斜面，此時(shí)有
可得
故選C。
【變式演練3】如圖所示，一小球從某固定位置以一定初速度水平拋出，已知當(dāng)拋出速度為v0時(shí)，小球落到一傾角為θ＝60°的斜面上，且球發(fā)生的位移最小，不計(jì)空氣阻力，則( )
A.小球從拋出到落到斜面的時(shí)間為eq \f(\r(3)v0,3g)
B.小球從拋出到落到斜面的時(shí)間為eq \f(2\r(3)v0,3g)
C.小球的拋出點(diǎn)到斜面的距離為eq \f(4veq \\al(2,0),3g)
D.小球的拋出點(diǎn)到斜面的距離為eq \f(2veq \\al(2,0),3g)
【答案】 BC
【解析】 球平拋的位移最小，則拋出點(diǎn)和落點(diǎn)的連線與斜面垂直，分解位移，如圖所示。
設(shè)平拋時(shí)間為t，結(jié)合幾何關(guān)系知，tan θ＝eq \f(x,y)，x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \f(2\r(3)v0,3g)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；s＝eq \f(x,sin θ)＝eq \f(v0t,sin θ)＝eq \f(4veq \\al(2,0),3g)，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。
題型四 有約束條件的平拋運(yùn)動(dòng)模型
類型1 對著豎直墻壁的平拋運(yùn)動(dòng)
如圖所示，水平初速度v0不同時(shí)，雖然落點(diǎn)不同，但水平位移d相同，t＝eq \f(d,v0)。
【例1】（2024·浙江·三模）如圖所示，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)在距離墻L處將網(wǎng)球以不同的水平速度射出打到豎直墻上。已知墻上的O點(diǎn)與網(wǎng)球出射點(diǎn)等高，A、B兩點(diǎn)分別為兩個(gè)擊中點(diǎn)，，擊中A點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為，空氣阻力忽略不計(jì)，網(wǎng)球可看作質(zhì)點(diǎn)。下列說法正確的是（ ）
A．擊中B點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為
B．擊中B點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為
C．要使原來擊中A點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中B點(diǎn)，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)沿OP方向后退
D．要使原來擊中B點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中A點(diǎn)，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)沿OP方向前進(jìn)
【答案】D
【詳解】AB．網(wǎng)球在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)
因，所以
又
得擊中點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為
AB錯(cuò)誤；
C．要使原來擊中A點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中B點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變長為原來的倍，所以水平距離也應(yīng)變?yōu)楸叮淳W(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)向后退，C錯(cuò)誤；
D．要使原來擊中B點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變短為原來的倍，所以水平距離也應(yīng)變?yōu)楸?，即網(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)向前進(jìn)，故D正確。
故選D。
【變式演練1】如圖所示，某同學(xué)從O點(diǎn)對準(zhǔn)前方的一塊豎直放置的擋板將小球水平拋出，O與A在同一高度，小球的水平初速度分別為、，不計(jì)空氣阻力，小球打在擋板上的位置分別是B、C，且AB=BC，則為（ ）
A．2∶1B．C．D．
【答案】B
【詳解】不計(jì)空氣阻力，小球在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律
，
聯(lián)立得
所以
又因?yàn)?br>所以
故選B。
【變式演練2】“飛鏢”是一項(xiàng)深受人們喜愛的運(yùn)動(dòng)。鏢靶如圖所示，一同學(xué)練習(xí)投鏢，若他每次都是將飛鏢水平投出，飛鏢在空中運(yùn)動(dòng)可視為平拋運(yùn)動(dòng)。某次飛鏢打在了靶中心的正上方某處，該同學(xué)下次打靶時(shí)做出調(diào)整，可能讓飛鏢打在靶中心的是（ ）
A. 保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和出手速度不變，減小飛鏢出手點(diǎn)到靶的水平距離
B. 保持飛鏢出手點(diǎn)到靶的水平距離和出手速度不變，降低飛鏢出手點(diǎn)距地高度
C. 保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和到靶的水平距離不變，增大飛鏢的出手速度
D. 保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和到靶的水平距離不變，減小飛鏢的出手速度
【答案】BD
【解析】A．保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和出手速度不變，減小飛鏢出手點(diǎn)到靶的水平距離，則運(yùn)動(dòng)到靶的時(shí)間變短，豎直位移更短，落點(diǎn)在靶中心的正上方，A錯(cuò)誤；
B．保持飛鏢出手點(diǎn)到靶的水平距離和出手速度不變，則運(yùn)動(dòng)到靶的時(shí)間不變，豎直位移不變，由于降低飛鏢出手點(diǎn)距地高度，落點(diǎn)可能在靶中心，故B正確
C．保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和到靶的水平距離不變，增大飛鏢的出手速度，則運(yùn)動(dòng)到靶的時(shí)間變短，豎直位移更短，落點(diǎn)在靶中心的正上方，故C錯(cuò)誤；
D．保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和到靶的水平距離不變，減小飛鏢的出手速度，則運(yùn)動(dòng)到靶的時(shí)間變長，豎直位移變長，落點(diǎn)可能在靶中心，故D正確；
故選BD
類型2 半圓內(nèi)的平拋問題
【例2】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）如圖所示，半球面半徑為R，A點(diǎn)與球心O等高，小球兩次從A點(diǎn)以不同的速率沿AO方向拋出，下落相同高度h，分別撞擊到球面上B點(diǎn)和C點(diǎn)，速度偏轉(zhuǎn)角分別為和，不計(jì)空氣阻力。則小球（ ）
A．運(yùn)動(dòng)時(shí)間B．兩次運(yùn)動(dòng)速度變化
C．在C點(diǎn)的速度方向可能與球面垂直D．
【答案】D
【詳解】A．根據(jù)
則運(yùn)動(dòng)時(shí)間
故A錯(cuò)誤；
B．根據(jù)
兩次運(yùn)動(dòng)速度變化
故B錯(cuò)誤；
C．若在C點(diǎn)的速度方向與球面垂直，則速度方向所在直線經(jīng)過圓心，速度方向反向延長線一定經(jīng)過水平位移的中點(diǎn)，顯然不符合，故C錯(cuò)誤；
D．速度偏轉(zhuǎn)角分別為和，位移偏轉(zhuǎn)角分別為和，水平位移分別為、，有
可得
如圖
可知
所以
故D正確。
故選D。
【變式演練1】（2024·河南開封·一模）如圖所示，光滑圓弧軌道AB末端切線水平，與光滑圓弧軌道BCD在B處連接且固定，圓弧軌道BCD的半徑為r2，圓弧軌道AB的半徑r1未知且可調(diào)節(jié)。一質(zhì)量為m的小球，從A點(diǎn)（與O1等高）靜止釋放，經(jīng)過B點(diǎn)落在圓弧軌道BCD上。忽略空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力與r1的大小無關(guān)
B．只要小球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，落在圓弧軌道BCD上時(shí)的動(dòng)能就相同
C．適當(dāng)調(diào)節(jié)r1的大小，小球可以垂直落在圓弧軌道BCD上
D．當(dāng)時(shí)，小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長
【答案】AD
【詳解】A．小球從A點(diǎn)靜止釋放到B點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒有
根據(jù)牛頓第二定律有
聯(lián)立解得，軌道對小球的支持力為
則小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力與r1的大小無關(guān)，故A正確；
B．小球經(jīng)過B點(diǎn)落在圓弧軌道BCD上，小球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，則小球下落高度h相同，則小球落在圓弧BC、CD上的等高處，則根據(jù)平拋規(guī)律可知，水平位移不同，離開B點(diǎn)的初速度不同，則根據(jù)動(dòng)能定理有
可知落在圓弧軌道BCD上時(shí)的動(dòng)能不相同，故B錯(cuò)誤；
C．若小球垂直落在圓弧軌道BCD上，則其速度的反向延長線必然經(jīng)過圓弧的圓心O點(diǎn)。根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有，速度的反向延長線經(jīng)過水平位移的中點(diǎn)，但O點(diǎn)不為水平位移的中點(diǎn)，則小球不可能垂直落在圓弧軌道BCD上，故C錯(cuò)誤；
D．若小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，即此時(shí)小球落在C點(diǎn)，則根據(jù)平拋規(guī)律有
根據(jù)動(dòng)能定理有
聯(lián)立解得
故D正確。
故選AD。
【變式演練2】如圖，水平地面上有一個(gè)坑，其豎直截面為圓弧bc，半徑為R，O為圓心，若在O點(diǎn)以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平拋出小球，小球落在坑內(nèi)?？諝庾枇珊雎裕亓铀俣却笮間，下列說法正確的是（ ）
A．落在球面上的最小速度為
B．落在球面上的最小速度為
C．小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與v0大小無關(guān)
D．無論調(diào)整v0大小為何值，球都不可能垂直撞擊在圓弧面上
【答案】BD
【詳解】AB．小球做平拋運(yùn)動(dòng)
且
而落點(diǎn)的速度
整理得
顯然當(dāng)
時(shí)速度取得最小值，代入可得最小值為
B正確，A錯(cuò)誤；
C．越大，水平位移越大，豎直下落距離越小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短，C錯(cuò)誤；
D．由于速度的反向延長線恰好過與拋出點(diǎn)等高的水平位移的中點(diǎn)處，若與圓弧垂直，恰好與半徑一致，兩者相矛盾，因此球都不可能垂直撞擊在圓弧上，D正確。
故選BD。
【變式演練3】如圖所示，一平臺固定在豎直平面內(nèi)，以平臺右邊緣O點(diǎn)為原點(diǎn)，沿平臺右側(cè)豎直向下為y軸正方向，沿水平向右為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系xOy。在該坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為R的四分之一圓弧軌道豎直固定在平臺的右側(cè)。質(zhì)量為m的小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以初速度v0（大小未知）沿x軸正方向平拋。重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力。小球從O點(diǎn)拋出后到落到圓弧軌道上的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)初速度的大小為適當(dāng)?shù)闹禃r(shí)，小球可能垂直落到圓弧軌道上
B．初速度越大，小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長
C．初速度時(shí)，小球落到圓弧軌道上的動(dòng)量最小
D．小球落到圓弧軌道上的最小動(dòng)能為
【答案】D
【詳解】A．若小球垂直打在圓軌道上，則速度方向的反向延長線應(yīng)交于圓心；而于平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，速度方向的反向延長線應(yīng)交于水平位移的中點(diǎn)，根據(jù)題意可知圓心和水平位移的中點(diǎn)不是同一位置，故A錯(cuò)誤；
B．小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，有
解得
可知h越大，小球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長，由圖可知小球速度v0越小，下落的高度越高，飛行時(shí)間越長，故B錯(cuò)誤；
CD．設(shè)落地點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運(yùn)動(dòng)
Rcsθ=v0t
由動(dòng)能定理得
解得
由數(shù)學(xué)知識得：當(dāng)
即
Ek取最小值
根據(jù)
可知?jiǎng)幽茏钚r(shí)動(dòng)量最小，此時(shí)
聯(lián)立以上可得
故C錯(cuò)誤，D正確。
故選D。
【變式演練4】如圖所示，是半圓弧的一條水平直徑，是圓弧的圓心，是圓弧上一點(diǎn)，，在、兩點(diǎn)分別以一定的初速度、水平拋出兩個(gè)小球，結(jié)果都落在 C點(diǎn)，則兩個(gè)球拋出的初速度、的大小之比為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】兩球下落的高度相同，根據(jù)；知，下落的時(shí)間相同，設(shè)圓弧的半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系可得
則A點(diǎn)拋出的球平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移
從O點(diǎn)拋出的球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為
根據(jù)知
故選B。
【變式演練5】如圖所示，一豎直圓弧形槽固定于水平地面上，O為圓心，AB為沿水平方向的直徑。若在A點(diǎn)以初速度v1平拋一小球，小球?qū)糁胁郾谏系淖畹忘c(diǎn)D點(diǎn)；若A點(diǎn)小球拋出的同時(shí)，在C點(diǎn)以初速度v2向左平拋另一個(gè)小球并也能擊中D點(diǎn)，已知∠COD=60°，且不計(jì)空氣阻力，則（ ）
A．兩小球同時(shí)落到D點(diǎn)
B．兩小球初速度大小之比為
C．兩小球落到D點(diǎn)時(shí)的速度方向與OD線夾角相等
D．兩小球落到D點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速率之比為
【答案】BD
【詳解】A．根據(jù)
可知，向左平拋的另一個(gè)小球豎直下降的高度小一些，其先落到D點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
B．對A點(diǎn)拋出的小球有
，
對C點(diǎn)拋出的小球有
，
解得
B正確；
C．A點(diǎn)拋出的小球落到D點(diǎn)時(shí)
C點(diǎn)拋出的小球落到D點(diǎn)時(shí)
可知，兩小球落到D點(diǎn)時(shí)的速度方向與OD線夾角不相等，C錯(cuò)誤；
D．A點(diǎn)拋出的小球落到D點(diǎn)時(shí)
C點(diǎn)拋出的小球落到D點(diǎn)時(shí)
結(jié)合上述，解得
D正確。
故選BD。
題型五 平拋的多解問題
【例1】如圖所示，兩平行豎直光滑擋板MN、PQ直立在水平地面上，它們之間的距離為L，它們的高度均為2L。將一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從M點(diǎn)以垂直于MN的初速度水平拋出，恰好落到Q點(diǎn)（小球未與擋板碰撞），重力加速度為g。
（1）求小球的初速度大小；
（2）若改變小球水平拋出的初速度大小，小球與兩擋板碰撞時(shí)，豎直速度保持不變，水平速度瞬間等大反向，要使小球落地時(shí)與兩擋板的距離相等，求初速度大小應(yīng)滿足的條件（碰撞時(shí)間可忽略不計(jì)）。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)
，
解得
（2）若小球與擋板碰撞n次后落到地面
解得
【變式演練1】如圖所示，剛性圓柱形容器，上端開口，容器內(nèi)側(cè)高，內(nèi)徑，現(xiàn)有一剛性小球（視為質(zhì)點(diǎn)）從容器上端內(nèi)邊緣沿直徑以的初速度水平拋出，小球恰好可以擊中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空氣阻力，小球與容器內(nèi)壁碰撞視為彈性碰撞，則小球的初速度可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分析可知，豎直方向有
解得
而根據(jù)題意，水平方向有
（）
解得
因此的可能值為、、、、、
故選B。
【變式演練2】如圖所示，豎直墻MN、PQ間距為l，豎直線OA到兩邊墻面等距。從離地高度一定的O點(diǎn)垂直墻面以初速度水平拋出一個(gè)小球，小球與墻上B點(diǎn)、C點(diǎn)各發(fā)生一次彈性碰撞后恰好落在地面上的A點(diǎn)。設(shè)B點(diǎn)距地面高度為，C點(diǎn)距地面高度為，所有摩擦和阻力均不計(jì)。下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．僅將間距l(xiāng)加倍而仍在兩墻中央O點(diǎn)平拋，小球不會落在A點(diǎn)
D．僅將初速度增為（n為正整數(shù)），小球可能落在N或Q點(diǎn)
【答案】B
【詳解】AB．由于豎直線OA到兩邊墻面距離均為，小球與墻面發(fā)生彈性碰撞，無能量損失，小球在運(yùn)動(dòng)過程中，豎直方向?yàn)樽杂陕潴w，水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B、C及A水平方向的路程之比為1：3：4，所用時(shí)間之比為1：3：4，O到B、C、A的豎直距離分別為、、，由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律得
故
故A錯(cuò)誤，B正確；
C．由于OA間高度不變，小球落到地面時(shí)間不變，僅將間距加倍而仍在兩墻中央O點(diǎn)平拋，小球?qū)⑴c前面碰撞一次后落在A點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
D．僅將初速度增為（為正整數(shù)），小球從拋出到落地在水平方向通過路程為
根據(jù)對稱性，小球一定落在A點(diǎn)，故D錯(cuò)誤。
故選B。
【變式演練3】（2024·云南·模擬預(yù)測）如圖所示是某闖關(guān)游戲中的一個(gè)關(guān)卡。一繞過其圓心O的豎直軸順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓形轉(zhuǎn)盤浮在水面上，轉(zhuǎn)盤表面始終保持水平，M為轉(zhuǎn)盤邊緣上一點(diǎn)。某時(shí)刻，一參賽者從水平跑道邊緣P點(diǎn)以速度向右跳出，初速度方向平行于方向，且運(yùn)動(dòng)軌跡與此時(shí)刻在同一豎直平面內(nèi)，隨后參賽者正好落在M點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力。下列說法正確的是（ ）
A．若跳出時(shí)刻不變，僅增大，參賽者必定落水
B．若跳出時(shí)刻不變，僅減小，參賽者一定會落在之間
C．若跳出時(shí)刻不變，僅增大轉(zhuǎn)盤的角速度，參賽者仍可能落在M點(diǎn)
D．若跳出時(shí)刻不變，僅減小轉(zhuǎn)盤的角速度，參賽者不可能落在M點(diǎn)
【答案】C
【詳解】AB．參賽者正好落在M點(diǎn)，則M點(diǎn)可能出現(xiàn)在圖示的兩個(gè)位置。
參賽者在空中所做運(yùn)動(dòng)為平拋運(yùn)動(dòng)，豎直高度不變，參賽者在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間不變；僅增大，參賽者的水平位移增大，可能落水，可能在臺面上；僅減小，參賽者的水平位移減小，可能落水，可能在臺面上，故AB錯(cuò)誤；
CD．僅增大轉(zhuǎn)盤的角速度，或僅減小轉(zhuǎn)盤的角速度，參賽者的水平位移不變，只要滿足M仍在原位置，參賽者就仍可能落在M點(diǎn)，故C正確，D錯(cuò)誤。
故選C。
題型六 平拋與圓周的臨界問題
【例1【例3】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）某水上娛樂項(xiàng)目可簡化為如圖所示的模型。擺繩上端固定在離水面高度為H的O點(diǎn)，人抓緊繩子另一端，在繩子伸直情況下從與O點(diǎn)等高處由靜止開始下落，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)松手，做一段平拋運(yùn)動(dòng)后落入水中。當(dāng)繩長為L（）時(shí)，平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為x，人可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力。下列說法正確的是（ ）
A．繩長L不同，平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移x一定不同
B．當(dāng)繩長時(shí)，平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移有最大值，為
C．繩長L不同，人落水時(shí)的速度大小一定不同
D．繩長L不同，人落水時(shí)的速度方向一定不同
【答案】D
【詳解】A．設(shè)人在O點(diǎn)正下方松手時(shí)的速度為v，由機(jī)械能守恒定律有
可得
松手后人做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有
水平方向有
可得
則當(dāng)繩長取不同值時(shí)，平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移x可能相同，故A錯(cuò)誤；
B．當(dāng)，即時(shí)，平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移有最大值，為H，故B錯(cuò)誤；
C．設(shè)人落水時(shí)的速度為，對全過程由機(jī)械能守恒定律有
可得
與繩長無關(guān)，故C錯(cuò)誤；
D．人做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有
設(shè)人落水時(shí)的速度方向與水平方向的夾角為，有
L與一一對應(yīng)，繩長L不同，人落水時(shí)的速度方向一定不同，故D正確。
故選D。
【變式演練1】一不可伸長的輕繩上端懸掛于點(diǎn)，另一端系有質(zhì)量為的小球，保持繩繃直將小球拉到繩與豎直方向夾角為的點(diǎn)由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的正下方時(shí)繩斷開，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)離地高度為，繩長為，重力加速度大小為，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．在繩斷開前，小球受重力、繩的拉力和向心力作用
B．在繩斷開前瞬間，小球處于失重狀態(tài)
C．在繩斷開前瞬間，小球所受繩子的拉力大小為
D．若夾角不變，當(dāng)時(shí)，落點(diǎn)距起點(diǎn)的水平距離最遠(yuǎn)
【答案】CD
【詳解】A．在繩斷開前，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球只受重力和繩的拉力作用，故A錯(cuò)誤；
B．在繩斷開前瞬間，小球加速度方向豎直向上，處于超重狀態(tài)，故B錯(cuò)誤；
C．在繩斷開前瞬間，設(shè)小球受繩子拉力為，根據(jù)牛頓第二定律可得
質(zhì)量為的小球由靜止開始，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)正下方過程中機(jī)械能守恒，則有
聯(lián)立解得
故C正確；
D．繩斷開后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有
在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有
聯(lián)立解得
根據(jù)基本不等式可知，當(dāng)
即時(shí)，落點(diǎn)距起點(diǎn)的水平距離最遠(yuǎn)，故D正確。
故選CD。
【變式演練2】一質(zhì)量為可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，系于長為的輕繩一端，繩的另一端固定在點(diǎn)，假定繩不可伸長，柔軟且無彈性。現(xiàn)將小球從點(diǎn)的正上方距離點(diǎn)的點(diǎn)以水平速度拋出，如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．輕繩即將伸直時(shí)，繩與豎直方向的夾角為
B．輕繩從釋放到繃直所需時(shí)間為
C．輕繩繃直后瞬間，小球的速度大小為
D．當(dāng)小球到達(dá)點(diǎn)正下方時(shí)，繩對質(zhì)點(diǎn)的拉力為
【答案】D
【詳解】AB．小球水平拋出后，在繩子繃直之前做平拋運(yùn)動(dòng)，有
解得
故AB錯(cuò)誤；
C．繩子繃直時(shí)，水平方向的速度突變?yōu)榱悖皇Ｏ仑Q直方向的速度，故速度
故C錯(cuò)誤；
D．小球在繩子繃直后運(yùn)動(dòng)到的正下方，機(jī)械能守恒，有
又在最低點(diǎn)，根據(jù)受力關(guān)系
解得
故D正確。
故選D。
題型七 斜拋運(yùn)動(dòng)的理解和分析
1．定義：將物體以初速度v0斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運(yùn)動(dòng)．
2．性質(zhì)：斜拋運(yùn)動(dòng)是加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線．
3．研究方法：運(yùn)動(dòng)的合成與分解
(1)水平方向：勻速直線運(yùn)動(dòng)；
(2)豎直方向：勻變速直線運(yùn)動(dòng)．
4．基本規(guī)律
以斜拋運(yùn)動(dòng)的拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，水平向右為x軸的正方向，豎直向上為y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.
初速度可以分解為v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物體的位移和速度分別為
x＝v0xt＝(v0cs θ)t①
vx＝v0x＝v0cs θ②
在豎直方向，物體的位移和速度分別為
y＝v0yt－eq \f(1,2)gt2＝(v0sin θ)t－eq \f(1,2)gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④
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(1)斜拋運(yùn)動(dòng)中的極值
在最高點(diǎn)，vy＝0，由④式得到t＝eq \f(v0sin θ,g)⑤
將⑤式代入③式得物體的射高ym＝eq \f(v02sin2θ,2g)⑥
物體落回與拋出點(diǎn)同一高度時(shí)，有y＝0，
由③式得總時(shí)間t總＝eq \f(2v0sin θ,g)⑦
將⑦式代入①式得物體的射程xm＝eq \f(v02sin 2θ,g)
當(dāng)θ＝45°時(shí)，sin 2θ最大，射程最大．
所以對于給定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上拋出時(shí)，射程最大．
(2)逆向思維法處理斜拋問題
對斜上拋運(yùn)動(dòng)從拋出點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可逆過程分析，看成平拋運(yùn)動(dòng)，分析完整的斜上拋運(yùn)動(dòng)，還可根據(jù)對稱性求解某些問題．
【例1】擲鉛球是一個(gè)需要力量和靈活性的運(yùn)動(dòng)，今年的學(xué)校運(yùn)動(dòng)會，高三（5）班學(xué)生周紅要參加擲鉛球比賽，傍晚來到運(yùn)動(dòng)場訓(xùn)練，熱身后（不計(jì)空氣阻力，重力加速度取10m/s2，）
（1）她在第一次投擲中把鉛球水平推出，高度為h=1.5m，速度為v0=8m/s，則鉛球被推出的水平距離是多少米？
（2）第一次投擲后體育老師給了建議，讓她投擲時(shí)出手點(diǎn)高一點(diǎn)，斜向上推出鉛球。于是，第二次她從離地高為H=1.65m處推出鉛球，出手點(diǎn)剛好在邊界線上方，速度方向與水平方向成53°，如圖所示，此次推出鉛球時(shí)鉛球的速度大小仍為8m/s，則這次投擲的成績?yōu)槎嗌倜祝?br>
【答案】（1）；（2）7.2m
【詳解】（1）由平拋運(yùn)動(dòng)知識
解得鉛球被推出的水平距離為
（2）被推出的鉛球在豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，則有
解得
，（舍去）
鉛球在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則這次投擲的成績?yōu)?br>【變式演練1】如圖甲所示，籃球是一項(xiàng)學(xué)生熱愛的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，在一次比賽中，某同學(xué)以斜向上的速度將籃球拋出，籃球與籃板撞擊后落入籃筐，可得到此次籃球運(yùn)動(dòng)軌跡的簡易圖如圖乙所示。若此次運(yùn)動(dòng)中；籃球的初速度與豎直方向夾角θ=53°，大小為v1=5m/s，籃球拋出后恰好垂直打在籃筐上方后被反向彈回并且從籃筐正中央落下。已知撞擊點(diǎn)與籃筐豎直距離h=0.2m，籃球與籃板撞擊時(shí)間為?；@筐中心與籃板的水平距離為L=0.6m，籃球質(zhì)量為m=0.6kg，重力加速度為g=10m/s2，sin53°=0.8，cs53°=0.6，不計(jì)空氣阻力，籃球運(yùn)動(dòng)過程中可以看成質(zhì)點(diǎn)。求：
（1）籃球拋出瞬間，同學(xué)對籃球所做的功W的大??；
（2）籃球與籃板撞擊前瞬間的速度v2的大小和撞擊后瞬間的速度v3的大小；
（3）籃球與籃板撞擊瞬間，籃球所受水平方向平均撞擊力F的大小。
【答案】（1）7.5J；（2），；（3）420N
【詳解】（1）設(shè)籃球拋出瞬間，同學(xué)對籃球所作的功為W由動(dòng)能定理
解得
W=7.5J
（2）籃球與籃板撞擊前瞬間的速度等于籃球拋出時(shí)水平方向的分速度，所以
解得
籃球與籃板撞擊后瞬間速度也是水平，碰后籃球做平拋運(yùn)動(dòng)，故
，
解得
（3）取v2的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍@球與籃板撞擊瞬間，對籃球，由動(dòng)量定理得
解得
F=420N
【變式演練2】如圖所示，某同學(xué)在距離籃筐一定距離的地方起跳投籃，籃球在A點(diǎn)出手時(shí)與水平方向成60°角，速度大小為v0，在C點(diǎn)入框時(shí)速度與水平方向成角?，F(xiàn)將籃球簡化成質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，取重力加速度為g，則下列分析正確的是（ ）
A．籃球在空中飛行過程中，單位時(shí)間內(nèi)的速度變化量大小改變
B．AC兩點(diǎn)的高度差大小為
C．籃球在最高點(diǎn)時(shí)重力勢能的大小是動(dòng)能大小的2倍
D．籃球在C點(diǎn)時(shí)候的速度大小為v0
【答案】B
【詳解】A．籃球在空中飛行過程中，僅受重力作用，做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，故單位時(shí)間內(nèi)的速度變化量大小不變，A錯(cuò)誤；
B．A點(diǎn)豎直方向上和水平方向上的分速度分別為
，
C點(diǎn)豎直方向上分速度為
豎直方向上可視為豎直上爬運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可得AC兩點(diǎn)的高度差大小為
B正確；
C．未確定重力勢能的零勢能面，故籃球在最高點(diǎn)時(shí)重力勢能的大小與動(dòng)能大小的無法比較，C錯(cuò)誤；
D．籃球在C點(diǎn)時(shí)候的速度大小為
D錯(cuò)誤。
故選B。
【變式演練3】兩名同學(xué)在籃球場進(jìn)行投籃練習(xí)，投籃過程如圖所示，籃球拋出點(diǎn)距離籃筐初始位置的水平距離為、豎直高度為。同學(xué)甲在點(diǎn)原地靜止不動(dòng)，將籃球以速度與水平成角的方向斜向上拋出，籃球投入籃筐；同學(xué)乙以的速度運(yùn)球至點(diǎn)，將籃球相對同學(xué)乙自身豎直向上拋出，也將籃球投入籃筐。籃球可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度取，，。下列說法正確的是（ ）
A．同學(xué)甲將籃球拋出時(shí)的速度大小為
B．同學(xué)乙將籃球拋出時(shí)豎直向上的分速度為
C．同學(xué)甲拋出的籃球最大高度較高
D．甲、乙同學(xué)拋出的籃球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等
【答案】C
【詳解】A．同學(xué)甲拋出的籃球在空中做斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，則
解得
選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
D．同學(xué)乙將籃球投入籃筐所用時(shí)間為
可知甲、乙兩同學(xué)投出的籃球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
B．設(shè)同學(xué)乙拋出球時(shí)豎直方向的分速度為，則
解得
選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
C．同學(xué)甲投出的籃球在豎直方向的分速度為
根據(jù)
可知同學(xué)甲投出的籃球最大高度較高，選項(xiàng)C正確。
故選C。
【變式演練4】（2024·山東濟(jì)寧·三模）某旋轉(zhuǎn)噴灌機(jī)進(jìn)行農(nóng)田噴灌的示意圖如圖所示，噴口出水速度的方向可調(diào)節(jié)。該噴灌機(jī)的最大功率為，噴灌機(jī)所做功的轉(zhuǎn)化為水的動(dòng)能，噴口的橫截面積，水的密度，重力加速度，，噴口距離地面的高度，忽略空氣阻力，不考慮供水水壓對水速的影響。求：
（1）噴灌機(jī)的最大噴水速度v；
（2）噴口出水速度方向與水平面夾角時(shí)，該噴灌機(jī)的最大噴灌面積。（保留三位有效數(shù)字）
【答案】（1）10m/s；（2）285m2
【詳解】（1）設(shè)在?t時(shí)間內(nèi)從噴口處噴出水的質(zhì)量為?m，則
由能量關(guān)系
解得
v=10m/s
（2）噴口出水速度方向與水平面夾角時(shí)，則
該噴灌機(jī)的最大噴灌面積
解得
Sm=285m2
題型八 類平拋運(yùn)動(dòng)
1.類平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)
(1)有時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)很相似，也是物體在某方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直勻速直線運(yùn)動(dòng)的方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。對這種像平拋又不是平拋的運(yùn)動(dòng)，通常稱為類平拋運(yùn)動(dòng)。
(2)受力特點(diǎn)：物體所受的合力為恒力，且與初速度的方向垂直。
(3)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：在初速度v0方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在合外力方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a＝eq \f(F合,m)。
如圖所示，將質(zhì)量為m的小球從傾角為θ的光滑斜面上A點(diǎn)以速度v0水平拋出(v0的方向與CD平行)，小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中做的就是類平拋運(yùn)動(dòng)。
2.類平拋運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律相類似，兩者的區(qū)別
(1)運(yùn)動(dòng)平面不同：類平拋運(yùn)動(dòng)→任意平面；平拋運(yùn)動(dòng)→豎直面。
(2)初速度方向不同：類平拋運(yùn)動(dòng)→任意方向；平拋運(yùn)動(dòng)→水平方向。
(3)加速度不同：類平拋運(yùn)動(dòng)→a＝eq \f(F,m)，與初速度方向垂直；平拋運(yùn)動(dòng)→重力加速度g，豎直向下。
【例1】（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖所示，A、B兩質(zhì)點(diǎn)以相同的水平速度拋出，A在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為P1，B在光滑斜面上運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為。不計(jì)阻力，則在x軸方向上的遠(yuǎn)近關(guān)系是（ ）
A．較遠(yuǎn)B．較遠(yuǎn)
C．等遠(yuǎn)D．B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
【答案】BD
【詳解】根據(jù)題意可知，質(zhì)點(diǎn)A做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律
，
得A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
質(zhì)點(diǎn)B視為在光滑斜面上的類平拋運(yùn)動(dòng)，其加速度為
沿著斜面的位移和水平方向分別有
，B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
A、B沿x軸方向都做水平速度相等的勻速直線運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)時(shí)間不等，所以沿x軸方向的位移大小不同，根據(jù)可知
即P2較遠(yuǎn)。
故選BD。
【變式演練1】（2024·天津?qū)幒印ざ＃┤鐖D所示是一兒童游戲機(jī)的簡化示意圖，光滑游戲面板傾斜放置，長度為8R的AB直管道固定在面板上，A位于斜面底端，AB與底邊垂直，半徑為R的四分之一圓弧軌道BC與AB相切于B點(diǎn)，C點(diǎn)為圓弧軌道最高點(diǎn)（切線水平），輕彈簧下端固定在AB管道的底端，上端系一輕繩。現(xiàn)緩慢下拉輕繩使彈簧壓縮，后釋放輕繩，彈珠經(jīng)C點(diǎn)時(shí)，與圓弧軌道無作用力，并水平射出，最后落在斜面底邊上的位置D（圖中未畫出）。假設(shè)所有軌道均光滑，忽略空氣阻力，彈珠可視為質(zhì)點(diǎn)。直管AB粗細(xì)不計(jì)。下列說法正確的是（ ）
A．彈珠脫離彈簧的瞬間，其動(dòng)能達(dá)到最大
B．彈珠脫離彈簧的瞬間，其機(jī)械能達(dá)到最大
C．A、D之間的距離為
D．A、D之間的距離為
【答案】BD
【詳解】A．彈珠與彈簧接觸向上運(yùn)動(dòng)過程，對彈珠分析可知，彈珠先向上做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，后做加速度方向反向，大小減小的減速運(yùn)動(dòng)，可知，彈簧彈力與重力沿斜面的分力恰好抵消時(shí)，合力為0彈珠的動(dòng)能達(dá)到最大，此時(shí)彈簧處于壓縮狀態(tài)，A錯(cuò)誤；
B．彈珠脫離彈簧之前，彈簧處于壓縮，彈簧對彈珠做正功，因此彈珠脫離彈簧的瞬間，彈珠的機(jī)械能達(dá)到最大，B正確；
CD．彈珠飛出后做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿斜面方向有
可知彈珠落地D的時(shí)間為一定值，水平方向有
可知，彈珠飛出速度越小，距離A點(diǎn)越近，由于彈珠做圓周運(yùn)動(dòng)，若恰能越過C，則此時(shí)有
C錯(cuò)誤，D正確。
故選BD。
【變式演練2】如圖所示的坐標(biāo)系，x軸水平向右，質(zhì)量為m=0.5kg的小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O處，以初速度斜向右上方拋出，同時(shí)受到斜向右上方恒定的風(fēng)力的作用，風(fēng)力與的夾角為30°，風(fēng)力與x軸正方向的夾角也為30°，重力加速度g取10m/s2，下列說法正確的是（ ）
A．小球的加速度大小為10m/s2
B．加速度與初速度的夾角為60°
C．小球做類斜拋運(yùn)動(dòng)
D．當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到x軸上的P點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），則小球在P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
【答案】AD
【詳解】A．由題意可知，風(fēng)力與重力的夾角為120°，由于
即風(fēng)力與重力大小相等，根據(jù)矢量合成規(guī)律，可知合力與重力等大，則小球的加速度大小為10m/s2，故A正確；
B．由幾何關(guān)系可知，合力與初速度方向垂直，即加速度方向與初速度的夾角為90°，故B錯(cuò)誤；
C．根據(jù)上述可知，加速度a與初速度方向垂直，則小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；
D．設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，把x分別沿著和垂直分解，則有
，
由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得
，
解得
，
故D正確。
故選AD。
【變式演練3】風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室中可以產(chǎn)生沿水平方向、大小可調(diào)節(jié)的風(fēng)力。如圖所示，將一個(gè)質(zhì)量為m的小球放入風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室的光滑水平地面上的O點(diǎn)，小球以初速度v0水平向右拋出，此時(shí)調(diào)節(jié)水平風(fēng)力的大小為恒定值F，F(xiàn)的方向始終與初速度v0的方向垂直，最后小球運(yùn)動(dòng)到水平地面上的P點(diǎn)。已知O、P兩點(diǎn)連線與初速度v0方向的夾角為θ。試求：
(1)該小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的速度大小和“P點(diǎn)速度方向與初速度v0方向夾角的正切值”；
(2)OP之間的距離。
【答案】(1) ，；(2)
【詳解】（1）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，OP之間的距離L。以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、初速度v0方向?yàn)閤軸正方向、風(fēng)力F方向?yàn)閥軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，有
沿v0方向
沿風(fēng)力F方向
由題意知
小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的速度大小
解得
設(shè)P點(diǎn)的速度方向和x軸（初速度v0）的夾角為α，有
P點(diǎn)速度方向與初速度v0方向夾角的正切值
（2）OP之間的距離
解得
題型九 拋體運(yùn)動(dòng)中的功能與動(dòng)量
【例1】如圖所示，豎直面內(nèi)有一以O(shè)為圓心的圓形區(qū)域，直徑AB與水平方向的夾角=30°。一小球自A點(diǎn)由靜止釋放，從圓周上的C點(diǎn)以速率v0穿出圓形區(qū)域?，F(xiàn)將幾個(gè)質(zhì)量為m的小球自A點(diǎn)，先后以不為零的不同水平速度平行該豎直面射入圓形區(qū)域。忽略空氣阻力，重力加速度大小為g。求：
(1)該圓形區(qū)域的半徑；
(2)為使小球穿過圓形區(qū)域動(dòng)能增量最大，該小球進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)的速度大?。?br>(3)為使小球穿過圓形區(qū)域前后的動(dòng)量變化量大小為mv0，該小球進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)的速度大小。
【答案】(1) ；(2)；(3)
【詳解】(1)小球從圓周上的C點(diǎn)以速率穿出圓形區(qū)域，故AC沿豎直方向
由幾何關(guān)系可知
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知
解得
(2)只有重力做功，故由圓形區(qū)域最低點(diǎn)（圖中D點(diǎn)）穿出的小球重力做功最多，動(dòng)能增量最大，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得
解得
(3)只受重力作用，且平拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間只與高度有關(guān)，故穿過圓形區(qū)域前后的動(dòng)量變化量大小為的小球，必然從與C點(diǎn)等高的B點(diǎn)穿出，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得
解得
【變式演練1】質(zhì)量為m的物塊從某一高度以動(dòng)能E水平拋出，落地時(shí)動(dòng)能為3E.不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g.則物塊( )
A．拋出點(diǎn)的高度為eq \f(3E,mg)
B．落地點(diǎn)到拋出點(diǎn)的水平距離為eq \f(2E,mg)
C．落地時(shí)重力的功率為geq \r(6mE)
D．整個(gè)下落過程中動(dòng)量變化量的大小為2eq \r(mE)
【答案】 D
【解析】 由動(dòng)能定理得 mgh＝3E－E＝2E，故拋出點(diǎn)的高度為h＝eq \f(2E,mg)，故A錯(cuò)誤；由E＝eq \f(1,2)mv02，水平方向x＝v0t，豎直方向h＝eq \f(1,2)gt2，解得落地點(diǎn)到拋出點(diǎn)的水平距離為x＝eq \f(2\r(2)E,mg)，故B錯(cuò)誤；落地時(shí)速度的豎直分量vy＝eq \r(2gh)＝2eq \r(\f(E,m))，故落地時(shí)重力的功率為P＝mgvy＝2geq \r(Em)，故C錯(cuò)誤；整個(gè)下落過程中動(dòng)量變化量的大小為Δp＝mΔvy＝m·2eq \r(\f(E,m))＝2eq \r(mE)，故D正確．
【變式演練2】我國正在攻關(guān)的超高速風(fēng)洞，是研制新一代飛行器的搖籃，它可以復(fù)現(xiàn)40到100公里高空、時(shí)速最高達(dá)10公里/秒，相當(dāng)于約30倍聲速的飛行條件?，F(xiàn)有一小球從風(fēng)洞中的點(diǎn)M豎直向上拋出，小球受到大小恒定的水平風(fēng)力，其運(yùn)動(dòng)軌跡大致如圖所示，其中M、N兩點(diǎn)在同一水平線上，O點(diǎn)為軌跡的最高點(diǎn)，小球在M點(diǎn)動(dòng)能為，在O點(diǎn)動(dòng)能為，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．小球所受重力和風(fēng)力大小之比為
B．小球落到N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為
C．小球在上升和下降過程中機(jī)械能變化量之比為
D．小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)過程中的最小動(dòng)能為
【答案】BD
【詳解】A．根據(jù)題意，設(shè)風(fēng)力大小為，小球的質(zhì)量為，小球的初速度為，的水平距離為，豎直距離為，豎直方向上有
則有
從到過程中，由動(dòng)能定理有
可得
又有
水平方向上，由牛頓第二定律有
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有
由于運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，則
則有
解得
故A錯(cuò)誤；
B．根據(jù)題意可知，小球在水平方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由對稱性可知，小球從和從的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，設(shè)的水平距離為，則有
小球由過程中，由動(dòng)能定理有
解得
故B正確；
C．由功能關(guān)系可知，小球機(jī)械能的變化量等于風(fēng)力做功，則小球在上升和下降過程中機(jī)械能變化量之比為
故C錯(cuò)誤；
D．根據(jù)題意可知，小球在重力和風(fēng)力的合力場中做類斜拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球速度方向與合力方向垂直時(shí)動(dòng)能最小，根據(jù)前面分析可知合力與豎直方向的夾角的正切值為
根據(jù)速度的合成與分解可得小球從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)過程中的最小速度為
則最小動(dòng)能為
故D正確。
故選BD。
【變式演練3】如圖所示，網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員發(fā)球時(shí)，將質(zhì)量為m的網(wǎng)球（可將其視為質(zhì)點(diǎn)）從空中某點(diǎn)以初速度水平拋出，網(wǎng)球經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)，速度方向與豎直方向夾角為；網(wǎng)球經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)，速度方向與豎直方向夾角為。不計(jì)空氣阻力，網(wǎng)球在從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程，動(dòng)量變化大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，網(wǎng)球在M點(diǎn)時(shí)豎直分速度為
在N點(diǎn)的豎直分速度為
則網(wǎng)球從M點(diǎn)到N點(diǎn)的時(shí)間為
在從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程，由動(dòng)量定理求得網(wǎng)球動(dòng)量變化大小為
故選D。
【變式演練4】小明在進(jìn)行定點(diǎn)投籃，以籃球運(yùn)動(dòng)所在的豎直平面內(nèi)建立坐標(biāo)系xOy，將一質(zhì)量為m的籃球由A點(diǎn)投出，其運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過A、B、C、D，C為籃球運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，如圖所示。已知重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力，籃球可視為質(zhì)點(diǎn)。下列說法正確的是（ ）
A．C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，L）
B．籃球由B到C和由C到D的過程中，動(dòng)能的變化量相同
C．籃球在C點(diǎn)時(shí)，重力的瞬時(shí)功率為
D．籃球由A到B和由C到D的過程中，動(dòng)量的變化量大小相等，方向相反
【答案】A
【詳解】A. 依題意，籃球拋出后做斜拋運(yùn)動(dòng)，利用逆向思維，可知籃球從C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為，從C點(diǎn)到B點(diǎn)用時(shí)為t，由乙圖可知
，，
聯(lián)立可得
故A正確；
B. 籃球由B到C過程中，重力做負(fù)功，動(dòng)能減?。挥蒀到D的過程中，重力做正功動(dòng)能增大，變化量絕對值相等，但一正一負(fù)，故B錯(cuò)誤；
C. 籃球在C點(diǎn)是軌跡的最高點(diǎn)，其豎直方向的速度分量為0，因此籃球在C點(diǎn)時(shí)，重力的瞬時(shí)功率為零，故C錯(cuò)誤；
D. 由乙圖可知籃球從A到B和由C到D過程水平方向發(fā)生的位移相等，則所用時(shí)間相等，根據(jù)動(dòng)量定理可得
所以動(dòng)量變化量相同，故D錯(cuò)誤。
故選A。
【變式演練5】如圖所示，空間有一底面處于水平地面上的長方體框架長為，且，從頂點(diǎn)沿不同方向平拋完全相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），重力加速度為。求：
（1）從線段上射出的小球中的最小初速度；
（2）分別擊中點(diǎn)和點(diǎn)的小球的初動(dòng)能之比；
（3）所有運(yùn)動(dòng)軌跡與線段相交的小球在交點(diǎn)處的速度偏轉(zhuǎn)角（可用三角函數(shù)表示）。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）從線段上射出的小球中，從射出的小球初速度最小，此時(shí)
解得
（2）對擊中的小球，有
其動(dòng)能
擊中的小球的初動(dòng)能與擊中的小球的初動(dòng)能相同，即
聯(lián)立解得二者動(dòng)能比為
（3）由題意得，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡與線段相交時(shí)，所有小球的位移偏轉(zhuǎn)角相同，其正切值
故速度偏轉(zhuǎn)角的正切
即速度偏轉(zhuǎn)角為
【變式演練6】如圖所示，豎直面內(nèi)有一正方形區(qū)域，其邊和邊水平。一小球自點(diǎn)由靜止釋放，從點(diǎn)以速率穿出區(qū)域?，F(xiàn)將等若干個(gè)小球自點(diǎn)，先后以不同的水平速度平行該豎直面拋入?yún)^(qū)域，小球從邊上除兩點(diǎn)以外的各處穿出邊。忽略空氣阻力，重力加速度的大小為。
（1）求該正方形區(qū)域的邊長；
（2）小球是所有穿過正方形區(qū)域過程中動(dòng)量變化量為的小球中，穿出時(shí)速度最大的小球，求其進(jìn)入正方形區(qū)域時(shí)速度的大??；
（3）小球穿過正方形區(qū)域的過程中，它們的動(dòng)能變化量之比為，求小球穿出正方形區(qū)域時(shí)速度的大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）靜止釋放的小球從點(diǎn)以速率穿出正方形區(qū)域，因沿豎直方向，由幾何關(guān)系可知
解得
（2）由題意水平拋出的穿出時(shí)速度最大的小球，應(yīng)由點(diǎn)穿出，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式及幾何關(guān)系

解得
（3）由題意水平拋出的小球應(yīng)由邊的中點(diǎn)穿出，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式及幾何關(guān)系得
解得

利用位移關(guān)系
從圓心處拋出落到半徑為R的圓弧上，如圖所示，位移大小等于半徑R
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝v0t,y＝\f(1,2)gt2,x2＋y2＝R2))
從與圓心等高圓弧上拋出落到半徑為R的圓弧上，如圖所示，水平位移x與R的差的平方與豎直位移的平方之和等于半徑的平方
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝R＋Rcs θ,x＝v0t,y＝Rsin θ,＝\f(1,2)gt2,?x－R?2＋y2,＝R2))

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