TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10457" 題型一 機械波與波的圖像 PAGEREF _Tc10457 \h 1
\l "_Tc13419" 類型1 波的形成及傳播 PAGEREF _Tc13419 \h 1
\l "_Tc28934" 類型2 波的圖像 PAGEREF _Tc28934 \h 6
\l "_Tc5869" 題型二 波的圖像和振動圖像的理解和應用 PAGEREF _Tc5869 \h 10
\l "_Tc25858" 題型三 波傳播的周期性和多解性問題 PAGEREF _Tc25858 \h 15
\l "_Tc667" 類型1 時間多解性 PAGEREF _Tc667 \h 16
\l "_Tc31928" 類型2 空間多解性 PAGEREF _Tc31928 \h 22
\l "_Tc5718" 題型四 波的疊加與干涉 PAGEREF _Tc5718 \h 28
\l "_Tc28553" 題型五 波特有的現(xiàn)象 PAGEREF _Tc28553 \h 35
題型一 機械波與波的圖像
1．傳播特點
(1)波傳到任意一點，該點的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介質中每個質點都做受迫振動，因此，任一質點的振動頻率和周期都和波源的振動頻率和周期相同。
(3)波從一種介質進入另一種介質，由于介質的情況不同，它的波長和波速可能改變，但頻率和周期都不會改變。
(4)波源經過一個周期T完成一次全振動，波恰好向前傳播一個波長的距離，所以v＝eq \f(λ,T)＝λf。
2．波的傳播方向與質點振動方向的互判方法
類型1 波的形成及傳播
【例1】將較長的繩一端固定在墻上，另一端用手捏住以恒定振幅上下持續(xù)振動，產生的繩波沿繩自左向右傳播，圖示時刻，波形剛好傳播到A點。下列判斷正確的是（ ）
A．手的起振方向向下
B．若減小手的振動頻率，繩波的傳播速度變慢
C．若增大手的振動頻率，繩波的波長將減小
D．若停止手的振動，繩中波形立即消失
【答案】C
【詳解】A．根據圖像可知，波向右傳播，結合同側法可知，A點的起振方向向上，由于所有質點的起振方向相同，故手的起振方向向上，故A錯誤；
B．波速由介質決定，與波源的振動頻率無關，故B錯誤；
C．波在同一介質中的傳播速度恒定，根據
可知，頻率增大，波長則減小，故C正確；
D．停止手的振動，繩中波形會繼續(xù)向右傳播，故D錯誤。
故選C。
【例2】．波源位于坐標原點的一列簡諧橫波，經t=1.25s向右傳播到達P點，此時波源處于Q點。已知這列波振幅，P、Q兩點坐標分別為（5m，0）和（0，1.5cm），則（ ）
A．該波的頻率為
B．該波波源起振方向向下
C．波源Q向右運動需要
D．該波中的質點，在周期內所走最短路程為
【答案】D
【詳解】B．介質中所有質點的起振方向均相同，根據同側法可知，質點P的起振方向向上，則該波波源起振方向向上，故B錯誤；
A．波經t=1.25s向右傳播到達P點，則波速為
一個完整的正弦波形的波動方程為
當縱坐標恰好等于振幅的一半時，距離原點最近的平衡位置解得
可知，將上述函數(shù)對應的波形向左平移得到圖示波形，可知
解得
根據
解得
，
故A錯誤；
C．簡諧橫波，的質點 各自平衡位置垂直于波的傳播方向振動，質點并不隨波遷移，即波源Q不會向右運動，故C錯誤；
D．質點相對于平衡位置位移越大，質點運動速度越小，即質點在周期內位置始終在靠近波峰位置運動，且遠離平衡位置過程與靠近平衡位置過程具有對稱關系，此時平均速度最小，運動路程最短，即左右對稱部分經歷的時間均為，由于一個完整的正弦式波形的振動方程為
當時間時，解得
可知，該波中的質點，在周期內所走最短路程為
故D正確。
故選D。
【例3】杜甫曾在《曲江》中提到：穿花蛺蝶深深見，點水蜻蜓款款飛。平靜水面上的S處，“蜻蜓點水”時形成一列水波向四周傳播（可視為簡譜波），A、B兩點與S在同一條直線上，C、S在另外一條直線上。圖示時刻，A在波谷，B、C在不同的波峰上。已知波速為v，A、B連線在水平方向的距離為a，則不正確的是（ ）
A．水波的波長為a
B．A點振動頻率為
C．到達第一個波峰的時刻，C比A滯后
D．從圖示時刻起，經過的時間，B、C之間的距離增大了
【答案】ABD
【詳解】AB．圖示時刻，A在波谷，B在波峰上，A、B連線在水平方向的距離為，可知水波的波長為
A點振動頻率為
故AB錯誤；
C．由圖可知到達第一個波峰的時刻，C比A滯后
故C正確；
D．由于質點只是上下振動，不隨波傳播方向遷移，則B、C之間的距離保持不變，故D錯誤。
本題選錯誤的，故選ABD。
【例4】如圖是某繩波形成過程的示意圖，1、2、3、4…為繩上的一系列等間距的質點，相鄰兩質點間距為0.4m，質點1在外力作用下沿豎直方向做簡諧運動，帶動2、3、4…各個質點依次上下振動，把振動從繩的左端傳到右端，時刻質點1開始豎直向上運動，經過0.5s質點1第一次到達最高點，質點6開始運動，此時質點1發(fā)生的位移為10cm。下列判斷正確的是（ ）
A．這列波的波長為8m
B．t=1s時質點6的加速度方向向上
C．從計時開始到t=1.5s時質點6運動的路程為20cm
D．t=2s時質點21正處于平衡位置且運動方向向上
【答案】ACD
【詳解】A．時刻質點1開始豎直向上運動，經過0.5s質點1第一次到達最高點，質點6開始運動，說明質點振動的周期，繩波的波長為，A正確；
B．介質中的各點起振方向與波源相同，經過0.5s質點1第一次到達最高點，質點6開始運動，再經過0.5s質點6到達最高點，此時質點6的加速度方向向下，B錯誤；
C．由題可知，繩波的振幅，故從計時開始到t=1.5s時質點6（實際運動了1.0s）運動的路程為
C正確；
D．由題可知，繩波的周期，故時，繩波向右傳播一個周期到達質點21位置，介質中的各點起振方向與波源相同，故此時質點21正處于平衡位置且運動方向向上，D正確。
故選ACD。
【例5】、為軸上的兩個質點，其平衡位置對應坐標分別為、，一列沿軸正方向傳播的簡諧橫波，時刻波剛好傳播到點，其波形如圖所示。當時，點第二次位于波谷，以下說法正確的是（ ）
A．波的周期為
B．波速大小為
C．質點開始振動后任意時間內通過的路程為
D．質點的振動方程為
【答案】BC
【詳解】AB. 由圖可知，波長為；當時，點第二次位于波谷，可知波沿x軸正向傳播了
x=1.7m-0.5m+1.2m=2.4m
則波速大小為
波的周期為
選項A錯誤，B正確；
C. 因在t=0時刻，在原點處的質點位移為
可得
質點開始振動后任意時間內通過的路程為
選項C正確；
D. 時刻點振動方向沿y軸負向，則質點的振動方程為
選項D錯誤。
故選BC。
類型2 波的圖像
【例1】如圖時刻，處的波源從平衡位置向y軸正方向開始振動，形成一列簡諧橫波沿x軸正方向運動，經過時部分波形圖如圖，且，則該列波波長λ和波速v的大小為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】由波形圖可知振幅
時刻，處的波源從平衡位置向y軸正方向開始振動，經過，波源運動到了
處。又
經分析可知
解得
由波形圖可知
解得
由此可得波的傳播速度大小為
故選B。
【例2】．如圖所示是時刻某簡諧橫波的圖像，已知該波沿x軸方向傳播，質點M、N的平衡位置坐標分別為、，此時處的質點剛開始起振，時質點N第一次運動到波峰。下列說法正確的是（ ）
A．波沿x軸正方向傳播
B．振源的起振方向沿y軸負方向
C．簡諧橫波的波速為20m/s
D．0~0.3s時間內質點M通過的路程為30cm
【答案】AC
【詳解】AB．時刻，處的質點剛開始起振，可知波沿x軸的正方向傳播，結合題圖可知時刻，處的質點沿y軸正方向振動，則波源的起振方向沿y軸正方向，故A正確，B錯誤；
C．由題圖可知該波的波長為
質點N第一次運動到波峰，可知
則
由得
故C正確；
D．0~0.3s時間內質點M通過的路程為
故D錯誤。
故選AC。
【例3】．一列簡諧橫波在均勻介質中沿軸傳播，在時刻的波形如圖所示，M、N是介質中的兩個質點。質點的振動方程為，則下列說法正確的是（ ）
A．波沿軸正向傳播
B．時刻，質點正沿軸負方向運動
C．波的傳播速度為
D．質點的平衡位置位于處
E．質點比質點振動超前
【答案】ACE
【詳解】A．由振動方程可知，時刻，質點正沿軸正向振動，根據波形平移法可知波沿軸正向傳播，故A正確；
B．根據振動和波動關系可知，時刻，質點正沿軸正方向運動，故B錯誤；
C．點和點平衡位置間的距離為，則
解得
由振動方程可知，波動周期
因此波的傳播速度為
故C正確；
D．質點平衡位置為
故D錯誤；
E．質點比質點振動超前
故E正確。
故選ACE。
【例4】一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，該波的周期，在時刻的波形如圖所示，質點A、B、C、D、E在x軸上的位置坐標分別為、、、，。下列說法正確的是（ ）
A．經過0.1s，D點向右移動
B．時，質點E第一次到達波峰
C．該波剛傳到E點時，E點將向下振動
D．從時刻開始，在0.5s內質點E通過的路程為12cm
【答案】BD
【詳解】A．質點只上下振動并不隨波遷移，故A錯誤；
B．由圖可知波長為，則波速為

時，波傳播的距離為
則時，初始時刻C點的振動狀態(tài)剛好第一次傳播到E點，即質點E第一次到達波峰，故B正確；
C．簡諧橫波沿x軸正方向傳播，則該波剛傳到E點時，E點將向上振動，故C錯誤；
D．波傳播到E需用時
從時刻開始，在0.5s內質點E恰好振動一個周期，則運動路程為4倍的振幅，即為12cm，故D正確。
故選BD。
題型二 波的圖像和振動圖像的理解和應用
1.振動圖像和波的圖像的比較
2.巧解波的圖象與振動圖象綜合問題的基本方法
【例1】潛艇在水下活動時需要用聲吶對水下物體及艦船進行識別、跟蹤、測向和測距。某潛艇聲吶發(fā)出的一列超聲波在時的波動圖像如圖甲所示，圖乙為質點P的振動圖像，則下列說法正確的是（ ）
A．該超聲波沿x軸負方向傳播
B．該超聲波的波速為
C．0~1s內，質點P沿x軸運動了
D．該超聲波遇到的障礙物會產生明顯的衍射現(xiàn)象
【答案】BD
【詳解】A．由圖乙可知，在時刻，P質點速度沿y軸正方向，根據上下坡法可知該波沿x軸正方向傳播，故A錯誤；
B．由圖甲可知，該波的波長由圖2可知
周期為
該波的波速為
故B正確；
C．質點P在平衡位置上下附近振動，不會隨波遷移，故C錯誤；
D．只有縫、孔的寬度或障礙物的尺寸跟波長相差不多，或者比波長更小時，才能發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象。障礙物的寬度有1cm，與波的波長大小近似，故會產生明顯的衍射現(xiàn)象，故D正確。
故選BD。
【例2】．聲吶，也作聲納，是英文縮寫“SONAR”的中文音譯（中國科技名詞審定委員會公布的規(guī)范譯名為聲吶），其全稱為：Sund Navigatin And Ranging（聲音導航與測距），是利用聲波在水中的傳播和反射特性，通過電聲轉換和信息處理進行導航和測距的技術，也指利用這種技術對水下目標進行探測和通訊的電子設備，是水聲學中應用最廣泛、最重要的一種裝置，有主動式和被動式兩種類型?，F(xiàn)代軍艦多利用聲吶探測水下目標。圖甲是某艦搭載的聲吶發(fā)出的一列超聲波在時刻的波形圖，圖乙是質點P的振動圖像，則下列說法正確的是（ ）
A．超聲波遇到大尺寸障礙物可以發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象
B．艦艇行駛速度越快，聲吶發(fā)出超聲波的頻率越大
C．超聲波沿x軸正方向傳播，波速為1500m/s
D．坐標原點處質點在時相對平衡位置的位移為
【答案】CD
【詳解】A．機械波遇到與波長相近或小于波長的障礙物時會發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象，而超聲波的波長較短，遇到大尺寸的障礙物時不能發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象，故A錯誤；
B．聲吶發(fā)出超聲波的頻率由聲源決定的，與艦艇的行駛速度無關，故B錯誤；
C．由圖乙可知，時，質點沿軸負方向運動，根據同側法可知，超聲波沿軸正方向傳播，波速
故C正確；
D．根據同側法可知，坐標原點處質點在0時刻沿軸正方向運動，則該質點的振動方程為
代入數(shù)據，解得
故D正確。
故選CD。
【例3】．一列簡諧橫波沿x軸傳播，圖甲為時刻的波形，圖乙為質點P的振動圖像。則下列判斷正確的是（ ）
A．波沿x軸正向傳播
B．該波的波速為5m/s
C．在任意4s的時間內，質點P運動的路程一定是2m
D．質點P與質點Q偏離平衡位置的位移大小總相等
【答案】AD
【詳解】A．由圖乙可知，時刻質點沿軸正方向振動，結合圖甲，由同側法可知，波沿x軸正向傳播，故A正確；
B．由圖甲可知，波長為，由圖乙可知，周期為，則該波的波速為
故B錯誤；
C．根據題意可知
則在任意4s的時間內，質點P運動的路程一定是
故C錯誤；
D．由圖甲可知，質點P與質點Q的距離為半個波長，由對稱性可知，質點P與質點Q偏離平衡位置的位移大小總相等，故D正確。
故選AD。
【例4】藝術體操的主要項目有繩操、球操、圈操、帶操和棒操五項。下圖為運動員進行的帶操比賽。某段過程中彩帶的運動可簡化為沿x軸方向傳播的簡諧橫波，時的波形圖如圖甲所示，質點Q的振動圖像如圖乙所示。下列判斷正確的是（ ）
A．簡諧波沿x軸負方向傳播
B．該時刻P點的位移為
C．再經過0.25s，P點到達平衡位置
D．質點Q的振動方程為
【答案】C
【詳解】A．由乙圖可知，時，質點Q向上運動，根據波傳播的“上波下、下波上”的特點，波沿軸正方向傳播，故A錯誤；
C．波速為
由乙圖可知，質點的振幅，時質點Q向上振動，質點P向下振動，起振的時間差
故二者的初相位相差，故從開始時質點P的振動方程為
故再經過時
即P點到達平衡位置，故C正確；
B．由圖甲可知，波長
由P點和Q點平衡位置相距可知，時P點的位移
故B錯誤；
D．時Q點向下振動，故質點Q的振動方程為
故D錯誤。
故選C。
【例5】．一列簡諧橫波在時刻的波形如圖甲所示，圖乙所示為該波中質點P的振動圖像。下列說法正確的是（ ）
A．該波的波速為40m/s
B．該波一定沿x軸正方向傳播
C．時質點P的速度大于質點Q的速度
D．經過，質點P通過的路程為4m
【答案】C
【詳解】A．由甲圖知，波長為4m，由乙圖知，周期為0.2s，則該波的傳播速度為
故A錯誤；
B．由波形圖和質點P的振動圖像，不能確定該波的傳播方向，故B錯誤；
C．當時質點P振動到平衡位置，此時速度最大，質點Q振動到最大位移處，速度為零，故C正確；
D．因周期為0.2s，則經過0.3s后
質點P通過的路程為
故D錯誤。
故選C。
題型三 波傳播的周期性和多解性問題
1．造成波傳播多解的主要因素
(1)周期性
①時間周期性：時間間隔Δt與周期T的關系不明確。
②空間周期性：波傳播的距離Δx與波長λ的關系不明確。
(2)雙向性
①傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定。
②振動方向雙向性：質點振動方向不確定。
2．解決波的多解問題的思路
一般采用從特殊到一般的思維方法，即找出一個周期內滿足條件關系的Δt或Δx，若此關系為時間，則t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此關系為距離，則x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
類型1 時間多解性
【例1】如圖所示，實線是一列簡諧波在時刻的波形圖，時刻的波形圖如圖中虛線所示，下列說法正確的是（ ）
A．若簡諧波沿軸方向傳播，則傳播速度可能為12m/s
B．時，若處質點向上振動，則波源的振動周期可能為1.5s
C．若簡諧波的傳播速度為7.5m/s，則簡諧波沿軸方向傳播
D．若簡諧波沿軸方向傳播，則波源的振動周期可能為1.5s
【答案】C
【詳解】A．若簡諧波沿軸方向傳播，則由實線到虛線需將波形向右平移，則有
（n=0，1，2，3，?）
當時，可得
當時，可得
則波傳播的時間為，則傳播速度可能為
或
A錯誤；
B．時，若處質點向上振動，可知波沿軸方向傳播，當，則波源的振動周期可能為
當時，則波源的振動周期可能為
B錯誤；
C．若簡諧波沿軸方向傳播，則有
（n=0，1，2，3，?）
當時，可得
則波的傳播速度為
C正確；
D．若簡諧波沿軸方向傳播，則傳播時間
（n=0，1，2，3，?）
當時，可得
則
當時，可得
則
D錯誤。
故選C。
【例2】．一列沿x軸傳播的簡諧橫波，時刻的波形如圖中實線所示，時刻的波形如圖中的虛線所示，則（ ）
A．時，質點P的振動方向一定豎直向上
B．波的周期可能為0.17s
C．波的傳播速度可能為330m/s
D．波的傳播速度可能為280m/s
【答案】C
【詳解】A．如果波向x負方向傳播，時，則P點振動方向豎直向下，故A錯誤；
B．如果波向x軸正方向傳播，則滿足
即
把，代入得
由于n不是整數(shù)，所以如果波向x軸正方向傳播，波的周期不可能為0.17s；如果波向x軸負方向傳播，則滿足
即
把，代入得
由于n不是整數(shù)，所以如果波向x軸負方向傳播，波的周期不可能為0.17s。故B錯誤；
CD．由圖可知，該波的波長為
如果波向x軸正方向傳播，則波速
把，代入得
由于n不是整數(shù)，則如果波向x軸正方向傳播，波的傳播速度不可能為330m/s。把，代入得
由于n不是整數(shù)，則如果波向x軸正方向傳播，波的傳播速度不可能為280m/s。如果波向x軸負方向傳播，則波速
把，代入得
由于n是整數(shù)，則如果波向x軸負方向傳播，波的傳播速度可能為330m/s。把，代入得
由于n不是整數(shù)，則如果波向x軸負方向傳播，波的傳播速度不可能為280m/s。故C正確，D錯誤。
故選C。
【例3】一列簡諧波沿x軸傳播，時刻的波形圖如圖中實線所示，時的波形如圖中虛線所示，則下列判斷正確的是（ ）
A．若波沿x軸正方向傳播，則內傳播的距離一定為
B．若波沿x軸正方向傳播，則波的周期可能為
C．若波沿x軸負方向傳播，則波的周期的最小值為
D．若波沿x軸負方向傳播，則波速的最小值為
【答案】BD
【詳解】A．由波形圖可知波長，若波沿x軸正方向傳播，則3s內傳播的距離為
即3s內傳播的距離不一定為1m，故A錯誤；
B．若波沿x軸正方向傳播，則有
解得
當n取1時，可得，故B正確；
D．若波沿x軸負方向傳播，則3s內傳播的距離為
解得
當n取0時，波速為最小值，即最小值為，故D正確；
C．若波沿x軸負方向傳播，根據波速與周期的關系有
可知當n取值越大，波的周期越小，故波的周期最小值不為4s，故C錯誤。
故選BD。
【例4】．一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，時刻的波形如圖中實線所示，t=0.1s時刻的波形如圖中虛線所示。波源不在坐標原點O，P是傳播介質中離坐標原點=2.5m處的一個質點。則以下說法中正確的是（ ）
A．質點P的振幅為0.1m
B．波的頻率可能為7.5Hz
C．波的傳播速度可能為50m/s
D．在t=0.1s時刻與P相距5m處的質點一定沿y軸正方向運動
【答案】AC
【詳解】A．振幅為質點離開平衡位置的最大距離，由題圖知，質點P的振幅為0.1m，故A正確；
B．波沿x軸正方向傳播，則
t=nT+（n=0，1，2，3，…）
周期為
T==s（n=0，1，2，3，…）
頻率為
f==Hz=（10n+2.5）Hz（n=0，1，2，3，…）
所以波的頻率可能為2.5Hz、12.5Hz、…，不可能為7.5Hz，故B錯誤；
C．波速為
v=λf=4×（10n+2.5）m/s=（40n+10）m/s（n=0，1，2，3，…）
當n=1時
v=50m/s
故C正確；
D．波沿x軸正方向傳播，在t=0.1s時刻P沿y軸正方向運動，與之相距5m處的質點分別在7.5m處和-2.5m處，其中7.5m處的質點振動情況與3.5m處質點振動情況一樣，沿y軸正方向，而距原點-2.5m的質點與1.5m處振動情況一樣，速度沿y軸負方向，故D錯誤。
故選AC。
【例5】一列沿x軸傳播的簡諧橫波，t=0時的波形如圖中實線所示，t=0.5s時的波形如圖中虛線所示，求：
（1）該簡諧橫波的傳播速度；
（2）x軸上的質點隨波振動的周期。
【答案】（1）波沿x軸正方向傳播（n=0，1，2，3…），波沿x軸負方向傳播（n=0，1，2，3…）；（2）波沿x軸正方向傳播（n=0，1，2，3…），波沿x軸負方向傳播（n=0，1，2，3…）
【詳解】（1）若波沿x軸正方向傳播，則傳播的距離為
（n=0，1，2，3…）
則波速為
（n=0，1，2，3…）
若波沿x軸負方向傳播，則傳播的距離為
（n=0，1，2，3…）
則波速為
（n=0，1，2，3…）
（2）若波沿x軸正方向傳播，則周期為
（n=0，1，2，3…）
若波沿x軸負方向傳播，則周期為
（n=0，1，2，3…）
類型2 空間多解性
【例1】如圖所示，一列簡諧橫波向右傳播，P、Q兩質點平衡位置相距0.15m。當P運動到平衡位置上方最大位移處時，Q剛好運動到平衡位置下方最大位移處，已知波長大于0.15m。則這列波的波長是（ ）
A．0.60mB．0.40mC．0.30mD．0.15m
【答案】C
【詳解】當P運動到平衡位置上方最大位移處時，Q剛好運動到平衡位置下方最大位移處，可得
（n=0、1、2）
解得
當n=0時，
當n=1時，
故選C。
【例2】．一列沿x軸方向傳播的簡諧橫波，振幅為2cm，波速為2m/s。如圖所示，在波的傳播方向上兩質點a、b的平衡位置相距0.4m（小于一個波長），當質點a在波峰位置時，質點b在x軸下方與x軸相距1cm的位置。下列說法正確的是（ ）
A．從此時刻起經過0.4s，b點可能在波谷位置
B．從此時刻起經過0.4s，b點可能在波峰位置
C．從此時刻起經過0.5s，b點可能在平衡位置
D．從此時刻起經過0.5s，b點可能在波谷位置
【答案】BD
【詳解】第一種情況，如圖所示
根據圖像得
解得
再經0.4s，波移動的距離為
波向左傳播時，波形向左移動0.8m，波峰在0.4m處，此時b點在波峰處；
波向右傳播時，波形向右移動0.8m，波峰在0.8m處，此時b點在波谷與平衡位置之間；
再經0.5s，波移動的距離為
波向左傳播時，波形向左移動1m，波峰在0.2m處，此時b點在波峰與平衡位置之間；
波向右傳播時，波形向右移動1m，波峰在1m處，此時b點在波谷處；
第二種情況，如圖所示
根據圖像得
解得
再經0.4s，波移動的距離為
波向左傳播時，波形向左移動0.2m，波峰在0.4m處，此時b點在波峰處；
波向右傳播時，波形向右移動0.2m，波峰在0.2m處，此時b點在波谷與平衡位置之間；
再經0.5s，波向右移動的距離為
波向左傳播時，波形向左移動0.4m，波峰在0.2m處，此時b點在波谷與平衡位置之間；
波向右傳播時，波形向右移動0.4m，波峰在0.4m處，此時b點在波峰處；
波形向右移動0.4m，波峰在0.4m處，即b點在波峰處，
故選BD。
【例3】一列橫波沿著x軸正方向傳播，處在和的兩質點A、B的振動圖像如圖所示，則以下說法錯誤的是（ ）
A．2.5s末A、B兩質點的位移相同
B．2s末A點的速度大于B點的速度
C．該波的波長可能為
D．該波的波速可能為
【答案】C
【詳解】A．由圖可得，周期為4s，A、B兩質點的振動方程分別為
當時
則A正確，不符合題意；
B．由振動圖像讀出，2s末A質點的位移，處于平衡位置，速度最大；B質點的位移，處于波谷，速度是零，所以2s末A質點的速度大于B質點的速度，則B正確，不符合題意；
C．時刻，質點A正通過平衡位置向上運動，質點B在波峰，波從A向B傳播，則AB間的距離
則
因而該波的波長不可能為，故C錯誤，符合題意；
D．根據
當時，波速為
則D正確，不符合題意。
故選C。
【例4】如圖甲所示，某同學手持細棒抖動彩帶的端點O使其在豎直方向上做簡諧運動，在彩帶上形成的波可以看成沿x軸正方向傳播的簡諧波。在和處的兩個質點O、P的振動圖像如圖乙所示，則（ ）
A．該波的傳播速度大小可能為
B．波由質點O傳到質點P的時間可能為
C．在時間內，質點O通過的路程為
D．質點P振動的位移一時間關系為
【答案】AC
【詳解】A．由圖乙可以得到波從O傳到P的時間為（O圖像右移與P圖像重合）
距離為0.9m，所以傳播速度為
其中?。?、1、2、3···），當，速度為，A正確；
B．由圖乙可以得到波從O傳到P的時間為（O圖像右移與P圖像重合）
其中?。?、1、2、3···）故B錯誤；
C．由圖像可知，在時間內，質點O通過的路程為
故C正確；
D．質點P振動的位移一時間關系為，故D錯誤。
故選AC。
【例5】．如圖分別是一列機械波在傳播方向上相距5m的兩個質點P、Q的振動圖像，下列說法正確的是（ ）
A．2s時P質點向上振動
B．1.5s時Q質點向上振動
C．該波的波長可能為2m
D．該波的波速可能是1m/s
【答案】BC
【詳解】A．由圖可知2s時P質點向下振動，故A錯誤；
B．由圖可知1.5s時Q質點向上振動，故B正確；
C．由圖可知質點P、Q的振動步調相反，則
（n＝0，1，2，3…）
解得
（n＝0，1，2，3…）
可知當時，該波的波長為2m，故C正確；
D．由圖可知波的周期為，該波的波速為
（n＝0，1，2，3…）
可知該波的波速為1m/s時，不是整數(shù)，故該波的波速不可能是1m/s，故D錯誤。
故選BC。
【例6】如圖所示，一列簡諧橫波在x軸上傳播，圖甲和圖乙分別為x軸上兩質點的振動圖像，振幅均為，且兩點相距。
（1）寫出b點做簡諧運動位移隨時間的關系式；
（2）若這列波從質點b向質點a傳播，求這列波的波長以及波速。
【答案】（1）；（2）；
【詳解】（1）設b點振動方程為
又
由圖像可知
得
由b點振動圖像可知，t=0時位移為20cm，則
得
b點做簡諧運動位移隨時間的關系式
（2）在t=0時刻，質點a位于平衡位置且沿軸負方向振動，質點b位于正向最大位移處，若波從質點b向質點a傳播，則 a、b 間可能的波形如圖所示
則
則波長
波速
題型四 波的疊加與干涉
1．波的疊加
在波的疊加中，質點的位移等于這幾列波單獨傳播時引起的位移的矢量和．
2．波的干涉現(xiàn)象中加強點、減弱點的判斷方法
(1)公式法：
某質點的振動是加強還是減弱，取決于該點到兩相干波源的距離之差Δr.
①當兩波源振動步調一致時．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，則振動加強；
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，則振動減弱．
②當兩波源振動步調相反時．
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，則振動加強；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，則振動減弱．
(2)圖像法：
在某時刻波的干涉的波形圖上，波峰與波峰(或波谷與波谷)的交點，一定是加強點，而波峰與波谷的交點一定是減弱點，各加強點或減弱點各自連接形成以兩波源為中心向外輻射的連線，形成加強線和減弱線，兩種線互相間隔，加強點與減弱點之間各質點的振幅介于加強點與減弱點的振幅之間．
【例1】如圖所示，一運動場的內道由兩個半徑R為30m的半圓和兩個長為L為40m的直道組成，在兩個圓心、分別裝有兩只揚聲器。在調試過程中，兩只揚聲器同時播放頻率f為34Hz的低頻聲音。已知聲音在空氣中傳播的速度v為340m/s，忽略聲音在傳播過程中的衰減。求：
（1）此聲音的波長；
（2）通過計算判斷在運動場的一條直道上有幾處聲音最強？
【答案】（1）；（2）5處，見解析
【詳解】（1）由
可得聲音的波長為
（2）直道上到兩波源的路程差最大為
路程差最小為
當，，時，振動最強，一條直道上有5處聲音最強。
【例2】如圖所示，、是同一種介質中相距10m的兩個振動情況完全一致的相干波源，它們的振動方向垂直于所在的平面，它們振動的周期為，在介質中形成的機械波的波速為 。 已知，在連線上有好幾個振動加強的點（不含、），其中距最近的點為（圖中未畫出），距最近的點為 (圖中未畫出)，取，。
（1）判斷是否為振動加強點；
（2）求、兩點間的距離。
【答案】（1）點為振動加強點；（2）
【詳解】（1）根據幾何關系可知
則有
可知點為振動加強點。
（2）機械波的波長為
根據題意可知
根據幾何關系可知
聯(lián)立解得
【例3】如圖所示，介質中有兩個相距6m的波源S1和S2，兩波源的振動方向與紙面垂直，所形成的機械波在紙面內傳播，傳播速度均為0.25m/s。圖2是S1的振動圖像，圖3是S2的振動圖像。M點在S1和S2的連線上，與波源S1相距2.5m，N和S1的連線與S1和S2的連線垂直，N點到S1的距離為8m。下列說法正確的是（ ）
A．兩列波的波長均為1m
B．M和N都是振動加強點
C．M和N都是振動減弱點
D．M和N的連線上必定有一振動加強點
E．S1和S2振動步調相反，不能形成穩(wěn)定的干涉圖樣
【答案】ACD
【詳解】A．由圖可知，兩列波的周期均為4s，所以波長為
故A正確；
BC．由圖可知，兩波源的振動步調相反，所以波程差等于半波長的奇數(shù)倍為振動加強點，波程差等于半波長的偶數(shù)倍為振動減弱點，對M點，有
則M點為振動減弱點；
對N點，有
則N點為振動減弱點，故B錯誤，C正確；
D．由于兩個振動減弱點間必定有振動加強點，所以M、N均為振動減弱點，在MN的連線上必定有一個振動加強點，故D正確；
E．兩波源頻率相同，相位差恒定，能形成穩(wěn)定的干涉圖樣，故E錯誤。
故選ACD。
【例4】．如圖所示，點處存在甲波源，B0,3點處存在乙波源，時兩個波源同時起振，起振方向垂直紙面向外，振動規(guī)律分別為（cm）、（cm），兩列波的波長均為。下列說法正確的是（ ）
A．兩列波的傳播速度均為3m/s
B．時，波源的速度最大
C．O點是振動加強點
D．時，O點的位移為零
【答案】BCD
【詳解】A．由振動規(guī)律可知，兩列波周期均為
兩列波的傳播速度均為
故A錯誤；
B．由波源的振動函數(shù)可知，t=0時，波源質點位于平衡位置，又
此時波源回到平衡位置，波源的振動速度最大，故B正確；
C．兩波源起振方向相同，又
所以O點是振動加強點，故C正確；
D．時，兩列波已經傳播到O點，A波引起的分位移為
B波引起的分位移為
所以時，O點的位移為零，故D正確。
故選BCD。
【例5】如圖所示，水面上相距為a的A、B兩點有兩個頻率相同且同時向相同方向起振的波源，兩波源發(fā)出的波在水面發(fā)生干涉。觀察發(fā)現(xiàn)C點與D點是兩個相鄰的振動加強點，已知DC垂直于AB，∠DAB=60°，∠CAB=30°，則該波的波長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由幾何關系可知
，，，
則D點與AB的光程差為
則C點與AB的光程差為
可得
故選C。
【例6】．如圖所示，和是兩個振動頻率相同，相位差為，振幅均為2cm的橫波波源，兩者位于同一直線上，相距12m，連線上有一質點A，與的距離為3m。時兩波源同時起振且向上振動，產生的機械波在介質中傳播的速度為2m/s。穩(wěn)定后在、連線上除A點外還有5個振動加強點。下列說法正確的是（ ）
A．時，A處質點離平衡位置的距離是
B．時，A處質點離平衡位置的距離是2cm
C．內，A質點的路程是14cm
D．內，A質點的加速度逐漸增大
【答案】B
【詳解】兩波源頻率相同，起振方向相反，S1、S2連線上有6個振動加強點，則連線中點左邊右邊各有3個加強點，A為振動加強點，可知
即
當n=1，λ=12m，不成立；
當n=2時，λ=4m，若波長為4m，則S1、S2連線上有6個振動加強點；
當n=3時，λ=2.4m，S1、S2連線上有10個振動加強點，不成立，由此可知波長為4m。因波速為2m/s，所以周期為
S1處波源產生的機械波傳播到A處所需的時間為
S2為處波源產生的機械波傳播到A處所需時間為
A．時，只有S1處波源產生的機械波傳播到A處，質點A振動的時間為
故此時A質點在波峰位置，離平衡位置最遠，距離為2cm，故A錯誤；
B．時，兩波源產生機械波都已傳到A處，兩波源分別使A振動和，根據波的疊加原理可知，質點A位于波峰位置，故A處質點離平衡位置的距離是2cm，故B正確；
C．內，兩波源分別使A質點振動的時間為和故A質點的路程是
故C錯誤；
D．同理在內，根據波的疊加原理A質點在此時間內向平衡位置運動，回復力逐漸減小，故加速度逐漸減小，故D錯誤。
故選B。
【例7】．如圖所示，在學校操場與人耳等高的A、B兩處有兩個揚聲器，是長方形，且，。若兩個揚聲器同相位地發(fā)出頻率為660Hz的聲音，現(xiàn)有甲同學沿邊移動，乙同學沿連線移動，取聲速。則下列說法正確的是（ ）
A．甲從C到D的過程中會聽到3個聲音極強點
B．甲從C到D的過程中會聽到4個聲音極強點
C．乙從A到D的過程中（不包含A點）會聽到8個聲音極強點
D．乙從A到D的過程中（不包含A點）會聽到9個聲音極強點
【答案】C
【詳解】AB．聲波波長為
設某點到聲源A、B的距離分別為、，其差為，當
時，此位置為干涉極大點，即聲音極強點，當
時，此位置為干涉極小點，即聲音極弱點。由圖可知、長度均為5m，所以在C、D連線上，滿足
解得
n可取值有3個，即0，1，2，對應的的值有5個，所以應有5個干涉極大點，即聲音極強點，故AB錯誤；
CD．設對角線、相交于點O，在段（包含點O），有
解得
n可取值有6個，在此段只能取零或負值，所以在段有6個干涉極大點，在段（不包含點O），有
解得
n可取值有2個，此段只能取正值，所以在段有2個干涉極大點。所以A、D連線上（不包含A點）共有8個干涉極大點，故C正確，D錯誤。
故選C。
題型五 波特有的現(xiàn)象
波的干涉和衍射現(xiàn)象 多普勒效應
1.波的干涉和衍射
2.多普勒效應
(1)條件：聲源和觀察者之間有相對運動(距離發(fā)生變化)。
(2)現(xiàn)象：觀察者感到頻率發(fā)生變化。
(3)實質：聲源頻率不變，觀察者接收到的頻率變化。
【例1】一列簡諧橫波沿軸正方向傳播，時刻波形如圖所示，此時波剛好傳到點，時質點第一次到達負方向最大位移處，則（ ）

A．此波波源的起振方向沿軸負方向
B．該簡諧橫波的波速為
C．該簡諧橫波的頻率為
D．該波在傳播過程中遇到尺寸為的障礙物會發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象
【答案】BCD
【詳解】A．簡諧橫波沿軸正方向傳播，由“上下坡”法可知，質點P開始振動時的運動方向沿y軸正方向，所以此波波源的起振方向沿y軸正方向，故A錯誤；
B．t=0.3s時，質點P第一次到達負方向最大位移處，由
可得
由圖知，波長
該簡諧橫波的波速為
B正確；
C．該簡諧橫波的頻率為
C正確；
D．障礙物尺寸和波長相近或波長大于障礙物尺寸時，會發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象，所以該波在傳播過程中遇到尺寸為的障礙物會發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象，故D正確。
故選BCD。
【例2】振動和波存在于我們生活的方方面面，關于下列幾幅圖片描繪的情景分析正確的是（ ）
A．圖甲救護車向右運動的過程中，A、B兩人聽到警笛聲的頻率相同
B．圖乙要在大山后面的房舍內收聽到廣播，發(fā)射臺發(fā)出的信號的波長越短，效果越好
C．圖丙在發(fā)射載人宇宙飛船時，火箭要產生較強的超低頻振動，由于該頻率與人體內臟和身軀的固有頻率接近，所以容易使人體器官發(fā)生共振，造成人體器官的損傷
D．圖丁是干涉型消聲器的結構示意圖，波長為λ的同一聲波通過上下兩通道后相遇的路程差應該為λ的整數(shù)倍
【答案】C
【詳解】A．根據多普勒效應可知，甲救護車向右運動的過程中，A聽到警笛聲的頻率大于救護車發(fā)出的警笛聲的頻率，B聽到警笛聲的頻率小于救護車發(fā)出的警笛聲的頻率，則A、B兩人聽到警笛聲的頻率不同，故A錯誤；
B．障礙物或孔的尺寸比波長小或跟波長相差不多，波將發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象，圖乙要在大山后面的房舍內收聽到廣播，發(fā)射臺發(fā)出的信號波長越長效果越好，故B錯誤；
C．圖丙在發(fā)射載人宇宙飛船時，火箭要產生較強的超低頻振動，由于該頻率與人體內臟和身軀的固有頻率接近，所以容易使人體器官發(fā)生共振，造成人體器官的損傷，故C正確；
D．根據波的干涉，波長為的聲波通過上下兩通道后相遇的路程差應該為的奇數(shù)倍，故D錯誤。
故選C。
【例3】．漁船常用回聲探測器發(fā)射的聲波探測水下魚群與障礙物。聲波在水中傳播速度為1500m/s，若探測器發(fā)出頻率為的聲波，下列說法正確的是（ ）
A．兩列聲波相遇時一定會發(fā)生干涉
B．聲波由水中傳播到空氣中，波長不會改變
C．該聲波遇到尺寸約為1m的被探測物時會發(fā)生明顯衍射
D．探測器接收到的回聲頻率與被探測物相對探測器運動的速度有關
【答案】D
【詳解】A. 兩列聲波相遇時，當兩列聲波的頻率相同時才會發(fā)生干涉，故A錯誤；
B. 聲波由水中傳播到空氣中，由波的公式
頻率不會發(fā)生改變，波速變小，所以波長變小，故B錯誤；
C. 由公式
當聲波遇到障礙物的尺寸與波長相近或者略小時，會產生明顯衍射現(xiàn)象，所以該聲波遇到尺寸約為1m的被探測物時不會發(fā)生明顯衍射，故C錯誤；
D. 根據聲波的多普勒效應，探測器接收到的回聲頻率與被探測物相對探測器運動的速度有關，故D正確。
故選D。
【例4】．蟾蜍在池塘邊平靜的水面上鳴叫，某時形成如圖所示的水波。若蟾蜍的鳴叫頻率不變，下列選項正確的是（ ）
A．岸邊的人接收到鳴叫的聲波是橫波
B．水波從淺水區(qū)傳入深水區(qū)，頻率變小
C．水面上的落葉遇到水波后做受迫振動
D．水波遇到大石頭比遇到小石頭更容易發(fā)生衍射現(xiàn)象
【答案】C
【詳解】A．聲波是縱波，可知，岸邊的人接收到鳴叫的是縱波，故A錯誤；
B．頻率由波源決定，可知，水波從淺水區(qū)傳入深水區(qū)，頻率不變，故B錯誤；
C．水面上的落葉遇到水波后，落葉在聲波的干擾之下發(fā)生振動，落葉做的是受迫振動，故C正確；
D．當波長與障礙物的尺寸相差不多時，能夠發(fā)生明顯衍射現(xiàn)象，可知，波長一定時，水波遇到大石頭比遇到小石頭更不容易發(fā)生衍射現(xiàn)象，故D錯誤。
故選C。
【例5】洪澤湖是我國第四大淡水湖，位于江蘇省西部淮河下游，洪澤湖甘泉般的湖水，養(yǎng)育著千百萬人民，環(huán)洪澤湖公路項目也是大運河百里畫廊建設的重要節(jié)點、重中之重。下列與之相關的波現(xiàn)象中說法正確的是（ ）
A．用聲吶探測湖底某處的深度，利用了波的衍射現(xiàn)象
B．湖中水波繞過蘆葦、石塊向前傳播，是波的干涉現(xiàn)象
C．岸上交通警察用監(jiān)視器測量汽車的速度可利用多普勒效應
D．湖中鳴笛的快艇駛近游客的過程中，游客聽到的聲波頻率與該波源的發(fā)聲頻率相比會變大
【答案】CD
【詳解】A．聲吶探測湖底某處的深度，利用了波的反射現(xiàn)象，故A錯誤；
B．湖中水波繞過蘆葦、石塊向前傳播，是波的衍射現(xiàn)象，故B錯誤；
C．岸上交通警察對行進中的汽車發(fā)射一個已知頻率的超聲波，波被運動的汽車反射回來，根據接收到的頻率發(fā)生變化，來知道汽車的速度，以便于進行交通管理，利用了多普勒效應，故C正確；
D．根據多普勒效應可知，當波源與觀察者互相靠近時，接收到的頻率會增大，故湖中鳴笛的快艇駛近游客的過程中，游客聽到的聲波頻率與該波源的發(fā)聲頻率相比會變大，故D正確。
故選CD。
【例6】．如圖（a）為一列簡諧橫波在時刻的波形圖，圖（b）為介質中平衡位置在處的質點P的振動圖像。下列說法正確的是（ ）
A．該橫波沿x軸正方向傳播
B．該橫波的波速為1.0m/s
C．0~2s時間內，質點P運動的路程為8cm
D．若該橫波傳播過程遇到寬度為0.2m的障礙物，不會觀察到明顯的衍射現(xiàn)象
【答案】AC
【詳解】A．圖（a）為t=0s時的波形圖，圖（b）為在x=1.5m處的質點P的振動圖像，該質點在t=0s時向上振動，則該橫波沿x軸正方向傳播，故A正確；
B．由圖（a）可知波長，由圖（b）可知周期T=4s，則波速為
故B錯誤；
C．0~2s時間內，質點P運動了，則有質點P運動的路程為
故C正確；
D．當障礙物的尺寸與波長相差不多，或比波長更小時，就能觀察到明顯的衍射現(xiàn)象，所以若該橫波傳播運動中遇到寬度為0.2m的障礙物，可以觀察到明顯的衍射現(xiàn)象，故D錯誤。
故選AC。
【例7】．如圖所示，甲為一列簡諧波在t=3.0s時刻波的圖像，Q為x=4m的質點，乙為甲圖中P質點的振動圖像，則下列說法正確的是（ ）
A．此波沿x軸負方向傳播
B．t=8.0s時，P點位移為2cm
C．若障礙物的尺寸小于12m，則該波不能發(fā)生明顯衍射現(xiàn)象
D．該波能與另一列頻率為4Hz的簡諧波發(fā)生穩(wěn)定的干涉現(xiàn)象
【答案】AB
【詳解】A．由圖乙可知時質點向軸正方向振動，由“上下坡法”知此波沿軸負方向傳播，故A正確；
B．由圖乙可知這列波的周期，從到內，由于
可知時，振動到最大位移處，即位移為2cm，故B正確；
C．產生明顯衍射的條件是障礙物或孔的尺寸比波長小或跟波長差不多，由圖甲可知波長，若障礙物的尺寸小于，則該波能發(fā)生明顯衍射現(xiàn)象，故C錯誤；
D．該波的頻率為
則該波能與另一列頻率為4Hz的簡諧波不能發(fā)生穩(wěn)定的干涉現(xiàn)象，故D錯誤。
故選AB。
【例8】平靜的湖面有相距為1m的兩個小木塊A、B，距小木塊A左側3m處有一波源在時刻開始向上振動，經4s小木塊A第一次達到波峰，再經3s小木塊B第一次達到波谷，波源和小木塊A、B在一條直線上。
（1）求這列橫波的周期和波速；
（2）求這列橫波的波長；
（3）若此波在傳播過程中遇到一根豎立的蘆葦桿，是否會發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象。
【答案】（1）4s，1m/s；（2）4m；（3）會發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象
【詳解】（1）令x1=3m，x2=1m，波速為v，周期為T，由題意有
，
解得
，
（2）該橫波波長為
（3）由于大于豎立蘆葦桿的直徑，所以當波通過豎立的蘆葦桿時會發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象內容
圖像
“上下坡”法
沿波的傳播方向，“上坡”時質點向下振動，“下坡”時質點向上振動
“同側”法
波形圖上某點表示傳播方向和振動方向的箭頭在圖線同側
“微平移”法
將波形沿傳播方向進行微小的平移，再由對應同一橫坐標的兩波形曲線上的點來判斷振動方向
比較項目
振動圖像
波的圖像
研究對象
一個質點
波傳播方向上的所有質點
研究內容
某質點位移隨時間的變化規(guī)律
某時刻所有質點在空間分布的規(guī)律
圖像
橫坐標
表示時間
表示各質點的平衡位置
物理意義
某質點在各時刻的位移
某時刻各質點的位移
振動方向的判斷
(看下一時刻的位移)
(同側法)
Δt后的圖形
隨時間推移，圖像延伸，但已有形狀不變
隨時間推移，圖像沿波的傳播方向平移，原有波形做周期性變化
聯(lián)系
(1)縱坐標均表示質點的位移
(2)縱坐標的最大值均表示振幅
(3)波在傳播過程中，各質點都在各自的平衡位置附近振動
波的干涉
波的衍射
條件
兩列波的頻率必須相同，相位差保持不變
產生明顯衍射的條件：障礙物或孔的尺寸比波長小或相差不多
現(xiàn)象
形成加強區(qū)和減弱區(qū)相互隔開的穩(wěn)定的干涉圖樣
波能夠繞過障礙物或孔繼續(xù)向前傳播

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