一．軸對(duì)稱的性質(zhì)
（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．
由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：
①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；
②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸．
（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．
二．軸對(duì)稱圖形
（1）軸對(duì)稱圖形的概念：
如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．
（2）軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無(wú)數(shù)條．
（3）常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．
三．作圖-軸對(duì)稱變換
幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開(kāi)始的，一般的方法是：
①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；
②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長(zhǎng)，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對(duì)稱點(diǎn)；
③連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．
四．軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題
1、最短路線問(wèn)題
在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．
2、凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．
五．等腰三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的概念
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性質(zhì)
①等腰三角形的兩腰相等
②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】
③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】
（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．
考點(diǎn)精講
一．軸對(duì)稱的性質(zhì)（共4小題）
1．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對(duì)稱．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，則△DBE的周長(zhǎng)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．（2021秋?臨海市期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對(duì)稱，連接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一個(gè)角是50°，則∠B＝ 度．
3．（2021秋?溫州校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)B′落在AC的延長(zhǎng)線上，若BC垂直平分AB′，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
4．（2021秋?椒江區(qū)校級(jí)期中）如圖，A，B都在CD的上方，AC＝2，BD＝8，CD＝8，E為CD的中點(diǎn)，若∠AEB＝120°，則AB的最大值為 ．
二．軸對(duì)稱圖形（共2小題）
5．（2021秋?開(kāi)化縣期末）如圖圖案中，成軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021秋?湖州期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，從空白的小正方形中再選擇一個(gè)涂黑，使得3個(gè)涂黑的正方形成軸對(duì)稱圖形，則選擇的方法有（ ）
A．3種B．4種C．5種D．6種
三．作圖-軸對(duì)稱變換（共6小題）
7．（2021秋?衢江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)A（﹣3，1），B（﹣1，0）．
（1）根據(jù)上述信息在圖中畫(huà)平面直角坐標(biāo)系，并求出△ABC的面積；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱圖形△A1B1C1．
8．（2021秋?東陽(yáng)市期末）如圖都是3×3的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫(huà)圖：
（1）在圖①中，畫(huà)一條線段MN，使MN與AB關(guān)于某條直線對(duì)稱，且M、N為格點(diǎn)．
（2）在圖②中，畫(huà)一個(gè)△DEF，使△DEF與△ABC關(guān)于某條直線對(duì)稱，且D、E、F為格點(diǎn)，并寫(xiě)出符合條件的三角形共有 個(gè)．
9．（2021秋?開(kāi)化縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．
（1）寫(xiě)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)：A ，B． ．
（2）在圖中作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1．
（3）求△ABC的面積．
10．（2021秋?嵊州市期末）已知點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）在所給的平面直角坐標(biāo)系中作出△ABC．
（2）求線段BC的長(zhǎng)．
11．（2021秋?臺(tái)州期末）如圖，△ABC的頂點(diǎn)分別為A（1，3），B（4，5），C（1，5），先將△ABC以第一象限的角平分線所在直線為對(duì)稱軸通過(guò)軸對(duì)稱得到△A′B′C′，再將△A′B′C′以x軸為對(duì)稱軸通過(guò)軸對(duì)稱得到△A″B″C″．
（1）畫(huà)出△A″B″C″；
（2）寫(xiě)出A″，B″，C″三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）一般地，某一點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過(guò)這樣的兩次軸對(duì)稱變換后得到的點(diǎn)P″的坐標(biāo)為 ．
12．（2021秋?余姚市期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的位置如圖所示，
（1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′（其中點(diǎn)A′，B′，C′分別是點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不?畫(huà)法）；
（2）寫(xiě)出點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)．
四．軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題（共5小題）
13．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖所示，點(diǎn)P為∠O內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在∠O的兩邊上，若△PAB的周長(zhǎng)最小，則∠O與∠APB的關(guān)系為（ ）
A．2∠O＝∠APBB．∠O＝2∠APB
C．∠O+∠APB＝180°D．2∠O+∠APB＝180°
14．（2021春?郯城縣期中）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（ ）
A．1B．1.5C．D．
15．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分別為B，C，P為線段BC上一點(diǎn)，連結(jié)PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，則AP+DP的最小值為 ．
16．（2021秋?諸暨市期中）如圖，△ABC中，AD垂直BC于點(diǎn)D，且AD＝BC，BC上方有一動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之和最小時(shí)，∠PBC的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
17．（2021秋?義烏市期中）如圖，A、B兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流的同側(cè)，它們到河流的距離AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)要在河流邊修建一自來(lái)水廠分別向兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)元．
（1）請(qǐng)?jiān)诤恿魃线x擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（2）最低費(fèi)用為多少？
五．等腰三角形的性質(zhì)（共7小題）
18．（2021秋?嵊州市期末）如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延長(zhǎng)BC到D，在∠ACD內(nèi)作射線CE，使得∠ECD＝15°．過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為F．若AF＝，則AB的長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．4D．6
19．（2021秋?臺(tái)州期末）如圖，已知AB＝AD，AE＝AC＝BC，∠1＝∠2，∠C＝40°，則∠ADE的度數(shù)為（ ）
A．40°B．65°C．70°D．75°
20．（2021秋?縉云縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，E為AC上一點(diǎn)，且AE＝AD，∠BAD＝50°，求∠CDE的度數(shù)．
21．（2021秋?東陽(yáng)市期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D為BC邊上的一點(diǎn)，E點(diǎn)在AC邊上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝28°，則∠CDE＝（ ）
A．14°B．35°C．20°D．30°
22．（2021秋?東陽(yáng)市期末）若等腰三角形中有兩邊長(zhǎng)分別為4和5，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．13B．12C．12或13D．13或14
23．（2021秋?長(zhǎng)興縣期中）已知一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別為：n+6，3n，n+2（n為正整數(shù)）．若這個(gè)三角形是等腰三角形，求它的三邊的長(zhǎng)．
24．（2021秋?溫州期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連結(jié)CD，BE，BD＝BC＝BE．
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度數(shù)；
（2）設(shè)∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
一、單選題
1．（2020·浙江紹興市·）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)八年級(jí)期中）下面選項(xiàng)中的四邊形不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．平行四邊形B．矩形
C．菱形D．正方形
3．（2020·浙江八年級(jí)期末）下列圖形屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2019·浙江寧波市·八年級(jí)期中）下列圖形不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．線段B．等腰三角形
C．角D．有一個(gè)內(nèi)角為的直角三角形
5．（2021·浙江）若等腰三角形的頂角為，則它腰上的高線與底邊的夾角等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·浙江八年級(jí)期末）如圖，，點(diǎn)B和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，，記，當(dāng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·浙江八年級(jí)期末）在中，，若，則為（ ）
A．B．C．或D．
8．（2021·浙江八年級(jí)期末）如圖所示，是將長(zhǎng)方形紙片沿折疊得到的，圖中（包括實(shí)線、虛線在內(nèi)）共有全等三角形（ ）對(duì)
A．2B．3C．4D．5
9．（2021·臨海市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）如圖，將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB，CD．若CD∥BE，∠1＝25°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．70°
10．（2021·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）八年級(jí)期末）下列四個(gè)標(biāo)志是關(guān)于安全警示的標(biāo)志，在這些標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2020·浙江省臨海市臨海中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC紙片中，AB=9cm，BC=5cm，AC=7cm，沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△ADE的周長(zhǎng)為是（ ）
A．9cmB．11cmC．12cmD．14cm
二、填空題
12．（2021·諸暨市濱江初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）已知等腰三角形有一邊長(zhǎng)為5，一邊長(zhǎng)為2，則周長(zhǎng)為_(kāi)____．
13．（2021·浙江八年級(jí)期末）如圖，在中，的中垂線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，如果的周長(zhǎng)為22，那么的周長(zhǎng)為_(kāi)______．
14．（2021·浙江）已知等腰的一個(gè)內(nèi)角為，則的度數(shù)為_(kāi)_______．
15．（2020·浙江紹興市·）將圖1中紙片的A點(diǎn)以為折線往下折，A點(diǎn)恰好落在上，如圖2所示，再分別以圖2的為折線，將C，D兩點(diǎn)往上折，使得A、B、C、D、E五點(diǎn)均在同一平面上，如圖3所示，若圖1中的，則圖3中的度數(shù)____度．
16．（2020·浙江八年級(jí)期末）如圖，將正方形沿對(duì)折，使得與重合，得到折痕后展開(kāi)點(diǎn)分別在邊上，再沿折疊，使得點(diǎn)落到點(diǎn)．折痕與相交于點(diǎn)．若，則為_(kāi)_______度．
17．（2021·浙江八年級(jí)期末）在中， ，將一塊足夠大的直角三角尺按如圖所示放置，頂點(diǎn)P在線段上滑動(dòng)，三角尺的直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，并且與的夾角，斜邊交于點(diǎn)D．在點(diǎn)P的滑動(dòng)過(guò)程中，若是等腰三角形，則夾角的大小是_____
18．（2021·浙江八年級(jí)期末）如圖，在中， ，點(diǎn)D在邊上，關(guān)于直線，對(duì)稱， 的角平分線交邊于點(diǎn)G、連接，當(dāng)?shù)闹档扔赺______時(shí)，為等腰三角形．
19．（2020·浙江杭州市·）給出如下三個(gè)圖案，它們具有的公共特點(diǎn)是：________．（寫(xiě)出1個(gè)即可）
20．（2020·浙江紹興市·八年級(jí)月考）如圖，在銳角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是_____________．
21．（2020·浙江金華市·）如圖，在中，，，為邊上的點(diǎn)，連接．如果將沿直線翻折后，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)到的距離是________．
三、解答題
22．（2021·浙江杭州市·八年級(jí)期末）如圖﹐在中﹐﹐D為的中點(diǎn)﹐點(diǎn)F在上﹐延長(zhǎng)至點(diǎn)E﹐使﹐求與之間的位置關(guān)系．
23．（2021·浙江八年級(jí)期末）在中， 邊上的中線把三角形的周長(zhǎng)分為和兩部分，求三角形各邊的長(zhǎng)．
24．（2020·浙江紹興市·）如圖，在中，，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，連結(jié)，沿將折疊得到．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P落在上時(shí)，求的度數(shù)．
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
25．（2020·浙江八年級(jí)期末）如圖1，在四邊形中，．
（1）求證：．
（2）如圖2，在上取點(diǎn)，將沿折疊，得到．若，，求的度數(shù)．

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