一．全等圖形
（1）全等形的概念
能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．
（2）全等三角形
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符號
“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應頂點寫在對應位置上．
（4）對應頂點、對應邊、對應角
把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角．
二．全等三角形的性質(zhì)
（1）性質(zhì)1：全等三角形的對應邊相等
性質(zhì)2：全等三角形的對應角相等
說明：①全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等
②全等三角形的周長相等，面積相等
③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等
（2）關于全等三角形的性質(zhì)應注意
①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應用時要會找對應角和對應邊．
②要正確區(qū)分對應邊與對邊，對應角與對角的概念，一般地：對應邊、對應角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．
三．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．
四．全等三角形的判定與性質(zhì)
（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．
（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．
五．全等三角形的應用
（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應用
用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．
（2）作輔助線構造全等三角形
常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．
（3）全等三角形在實際問題中的應用
一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關系是關鍵．
考點精講
一．全等圖形（共3小題）
1．（2021秋?襄州區(qū)校級月考）下列說法正確的是（ ）
A．形狀相同的兩個三角形全等
B．面積相等的兩個三角形全等
C．完全重合的兩個三角形全等
D．所有的等邊三角形全等
【分析】根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．
【解答】解：A、形狀相同的兩個三角形全等，說法錯誤，應該是形狀相同且大小也相同的兩個三角形全等；
B、面積相等的兩個三角形全等，說法錯誤；
C、完全重合的兩個三角形全等，說法正確；
D、所有的等邊三角形全等，說法錯誤；
故選：C．
【點評】此題主要考查了全等圖形，關鍵是掌握全等形的概念．
2．（2021秋?義烏市期中）如圖，方格紙中是9個完全相同的正方形，則∠1+∠2的值為 90° ．
【分析】利用全等三角形的判定定理SAS證得△ABC≌△EDF，則其對應角相等：∠3＝∠1，則∠2+∠3＝∠2+∠1＝90°．
【解答】解：如圖，在△ABC與△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠3＝∠1，
則∠2+∠3＝∠2+∠1＝90°．
故答案為：90°．
【點評】本題考查的是全等形的識別、全等圖形的基本性質(zhì)，屬于較容易的基礎題．
3．（2021秋?余杭區(qū)期中）如圖是單位長度為1的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3＝ 135 °．
【分析】首先證明△ABC≌△AEF，然后證明∠1+∠3＝90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠2＝45°，進而可得答案．
【解答】解：
在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵AD＝MD，∠ADM＝90°，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故答案為：135．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，關鍵是掌握全等三角形對應角相等．
二．全等三角形的性質(zhì)（共9小題）
4．（2021秋?諸暨市期末）如圖，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，點A，D，E在同一條直線上，∠ACB＝25°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．70°
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△EDC，BC⊥CD，
∴∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠ACD＝90°﹣25°＝65°，
∵點A，D，E在同一條直線上，
∴∠ADC+∠EDC＝180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，
∴∠ADC＝∠E+25°，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°，
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，
即45°+65°+∠ADC＝180°，
解得：∠ADC＝70°，
故選：D．
【點評】此題考查全等三角形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答．
5．（2021秋?溫州期末）如圖，△ABC≌△DEF，點A，B分別對應點D，E．若∠A＝70°，∠B＝50°，則∠1等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C，根據(jù)全等三角形的對應角相等解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，
則∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠1＝∠C＝60°
故選：B．
【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．
6．（2021秋?北侖區(qū)期中）如圖，△ABC≌△ADE，下列說法錯誤的是（ ）
A．BC＝DEB．AB⊥DEC．∠CAE＝∠BADD．∠B＝∠D
【分析】依據(jù)全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等進行判斷即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，DE＝CB，∠CAE＝∠BAD．
故選：B．
【點評】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．
7．（2021秋?承德縣期末）如圖，已知△ABC與△BDE全等，其中點D在邊AB上，AB＞BC，BD＝CA，DE∥AC，BC與DE交于點F，下列與AD+AC相等的是（ ）
A．DEB．BEC．BFD．DF
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC＝DB，進而解答即可．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠A＝∠EDB，
∵△ABC與△BDE全等，
∴BC＝BE，AC＝DB，AB＝DE，
∴AC+AD＝DB+AD＝AB＝DE，
故選：A．
【點評】此題考查全等三角形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)全等三角形的對應邊相等解答．
8．（2021秋?長興縣月考）如圖，已知△ABC≌△EBD．
（1）若BE＝6，BD＝4，求線段AD的長；
（2）若∠E＝30°，∠B＝48°，求∠ACE的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，由△ABC≌△EBD，得AB＝EB＝6，那么AD＝AB﹣BD＝2．
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，由△ABC≌△EBD，得∠A＝∠E＝30°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠ACE＝∠A+∠B＝78°．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△EBD，
∴AB＝EB＝6．
∴AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2．
（2）∵△ABC≌△EBD，
∴∠A＝∠E＝30°．
∴∠ACE＝∠A+∠B＝30°+48°＝78°．
【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關鍵．
9．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，△ADF≌△BCE，∠B＝40°，∠F＝22°，BC＝2cm，CD＝1cm．求：
（1）∠1的度數(shù)；
（2）AC的長．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠E＝∠F＝22°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD＝BC＝2cm，再求出AC即可．
【解答】解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F＝22°，
∴∠E＝∠F＝22°，
∵∠B＝40°，
∴∠1＝∠B+∠E＝40°+22°＝62°；
（2）∵△ADF≌△BCE，BC＝2cm，
∴AD＝BC＝2cm，
∵DC＝1cm，
∴AC＝AD+DC＝2+1＝3（cm）．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
10．（2021秋?大化縣期中）如圖所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．
（1）求證：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．
【分析】（1）由△ABD≌△CFD，得出∠BAD＝∠DCF，再利用三角形內(nèi)角和即可得出答案；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD＝DC，即可得出BD＝DF，進而解決問題．
【解答】（1）證明：∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠DCF，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CDF＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練應用全等三角形的性質(zhì)是解決問題的關鍵．
11．（2021秋?青田縣期末）如圖，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．若BF＝8cm，BE＝2cm，則CE的長度（ ）cm．
A．5B．4C．3D．2
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BC＝EF，求出BE＝CF＝2cm，再求出答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CE＝EF﹣CE，
∴BE＝CF，
∵BE＝2cm，
∴CF＝BE＝2cm，
∵BF＝8cm，
∴CE＝BF﹣BE﹣CF＝8﹣2﹣2＝4（cm），
故選：B．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的對應邊相等是解此題的關鍵．
12．（2021秋?諸暨市校級月考）如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度數(shù)．
【分析】根據(jù)△ABC≌△ADE，進而得到∠EAD＝∠CAB，結合∠CAD＝35°，即可求出∠EAD和∠CAB的度數(shù)，再結合外角的性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB，
又∵且∠CAD＝35°，∠EAB＝105°，
∴∠EAD+∠DAC+∠CAB＝∠EAB＝105°，
∴∠EAD＝∠DAC＝∠CAB＝35°，
∴∠DFB＝∠DAB+∠B＝70°+20°＝90°，
∠BED＝∠BFD﹣∠D＝90°﹣20°＝70°．
【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握三角形外角的性質(zhì)，此題難度不大．
三．全等三角形的判定（共8小題）
13．（2021?普陀區(qū)校級開學）如圖，已知AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC．求證：△ACD≌△AEB．
【分析】先證明∠DAC＝∠BAE，然后根據(jù)“SAS”可判斷△ACD≌△AEB．
【解答】證明：∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
在△ACD和△AEB中，
，
∴△ACD≌△AEB（SAS）．
【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．
14．（2021秋?湖州期末）我國傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊含著數(shù)學知識．如圖是油紙傘的張開示意圖，AE＝AF，GE＝GF，則△AEG≌△AFG的依據(jù)是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：在△AEG和△AFG中，
，
∴△AEG≌△AFG（SSS），
故選：D．
【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．
15．（2021秋?上城區(qū)期末）如圖，已知∠DBC＝∠ACB，添加一個條件不能證明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB＝CDB．AC＝BDC．∠ABD＝∠ACDD．∠A＝∠D
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．
【解答】解：∵∠DBC＝∠ACB，BC＝CB，
∴當添加AC＝BD時，根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△DCB；
當添加∠ABC＝∠ACD時，則∠ABC＝∠DCB，根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△DCB；
當添加∠A＝∠D時，根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△DCB．
故選：A．
【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．
16．（2021秋?越城區(qū)期末）△ABC與三邊長分別為3，4，5的三角形全等，滿足條件的△ABC的邊角可以是（ ）
A．∠A＝90°，AB＝3，BC＝5B．∠B＝90°，AB＝5，BC＝3
C．∠C＝90°，AC＝3，AB＝4D．∠C＝90°，AB＝4，BC＝3
【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理判定三邊長分別為3，4，5的三角形是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的判定方法判定即可．
【解答】解：∵32+42＝52，
∴三邊長分別為3，4，5的三角形是直角三角形，且斜邊為5．
∵△ABC與三邊長分別為3，4，5的三角形全等，
∴滿足條件的△ABC的邊角可以是∠A＝90°，AB＝3，BC＝5；或∠B＝90°，AC＝5，BC＝3；或∠C＝90°，AC＝3，AB＝5；或∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．
故選：A．
【點評】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．也考查了勾股定理的逆定理．
17．（2021秋?柯橋區(qū)期末）如圖，已知AB＝AD，AC＝AE，若要判定△ABC≌△ADE，則下列添加的條件中正確的是（ ）
A．∠1＝∠DACB．∠B＝∠DC．∠1＝∠2D．∠C＝∠E
【分析】已知兩邊，若要證明△ABC≌△ADE，只需添加夾角，由此可求解．
【解答】解：A．當∠1＝∠DAC時，∠BAC＝2∠1不一定等于∠EAD，
∴不能判斷△ABC≌△ADE，
故A不正確；
B．當∠B＝∠D時，
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴已知兩邊對應相等，一個角對應相等，但∠B＝∠D不是夾角，
∴不能判斷△ABC≌△ADE，
故B不正確；
C．∵∠BAC＝∠1+∠DAC，∠CAD＝∠2+∠DAC，
若∠BAC＝∠CAD，則∠1＝∠2，
∵AB＝AD，∠BAC＝∠CAD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
故C正確；
D．當∠C＝∠E時，
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴已知兩邊對應相等，一個角對應相等，但∠C＝∠E不是夾角，
∴不能判斷△ABC≌△ADE，
故D不正確；
故選：C．
【點評】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．
18．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，AB＝AC，請你添加一個條件，使△ABE≌△ACD，
（1）你添加的條件是 AD＝AE或∠B＝∠C（答案不唯一） ；
（2）根據(jù)上述添加的條件證明△ABE≌△ACD．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理即可得出結論；
（2）若添加∠B＝∠C，根據(jù)ASA定理即可得出結論．
【解答】解：（1）添加的條件是∠B＝∠C或AE＝AD．
故答案為：AD＝AE或∠B＝∠C（答案不唯一）；

（2）若添加∠B＝∠C，
在△ABE和△ACD中
∵，
∴△ACD≌△ABE（ASA）．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
19．（2021秋?溫州期中）看圖填空：
已知：如圖，BC∥EF，AD＝BE，BC＝EF，試說明△ABC≌△DEF．
解：∵BC∥EF
∴∠ABC＝∠ E （兩直線平行，同位角相等）
∵AD＝BE
∴ AD+DB ＝BE+DB
即 AB ＝DE
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ SAS ）
【分析】根據(jù)線段的和差求出AB＝DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABC＝∠E，根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠E（兩直線平行，同位角相等），
∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
即：AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案為：E；AD+DB；AB；SAS．
【點評】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
20．（2021秋?仙桃校級月考）如圖，點C在線段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，點P以2cm/s的速度沿A→C→E向終點E運動，同時點Q以3cm/s的速度從E開始，在線段EC上往返運動（即沿E→C→E→C→…運動），當點P到達終點時，P，Q同時停止運動．過P，Q分別作BD的垂線，垂足為M，N．設運動時間為ts，當以P，C，M為頂點的三角形與△QCN全等時，求t的值．
【分析】分三種情況討論，由全等三角形的判定和性質(zhì)可求解．
【解答】解：當點P在AC上，點Q在CE上時，
∵以P，C，M為頂點的三角形與△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5﹣2t＝6﹣3t，
∴t＝1，
當點P在AC上，點Q第一次從點C返回時，
∵以P，C，M為頂點的三角形與△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5﹣2t＝3t﹣6，
∴t＝，
當點P在CE上，點Q第一次從E點返回時，
∵以P，C，M為頂點的三角形與△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t﹣5＝18﹣3t，
∴t＝，
綜上所述：t的值為1或或．
【點評】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定和用分類討論的思想解決問題是本題的關鍵．
四．全等三角形的判定與性質(zhì)（共9小題）
21．（2021秋?龍泉市期末）如圖，點D，E分別在AC，AB上，AD＝AE，BE＝CD．
（1）求證：BD＝CE．
（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠COD的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)得AB＝AC，再利用SAS證明△ABD≌△ACE即可；
（2）由三角形內(nèi)角和定理得∠AEC的度數(shù)，再由△ABD≌△ACE，得∠ADB＝∠AEC＝95°，最后運用三角形外角的性質(zhì)可得答案．
【解答】（1）證明：∵AD＝AE，BE＝CD，
∴AB＝AC，
在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵∠A＝55°，∠C＝30°，
∴∠AEC＝180°﹣55°﹣30°＝95°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝95°，
∴∠COD＝∠ADB﹣∠C＝95°﹣30°＝65°．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，證明△ABD≌△ACE是解題的關鍵．
22．（2021秋?瑞安市校級期中）如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D，BC與EF交于點H．
求證：（1）△ABC≌△DEF；
（2）FH＝CH．
【分析】（1）利用ASA即可證明△ABC≌△DEF；
（2）根據(jù)△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠EFD，再根據(jù)等角對等邊即可解決問題．
【解答】證明：（1）∵AF＝CD，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠EFD，
∴FH＝CH．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．
23．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，則△ABC的周長為（ ）
A．21B．24C．27D．30
【分析】在AB上截取BE＝BC，由“SAS”可證△CBD≌△EBD，可得∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，可證∠ADE＝∠AED，可得AD＝AE，即可求解．
【解答】解：如圖，在AB上截取BE＝BC，連接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△CBD和△EBD中，
，
∴△CBD≌△EBD（SAS），
∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，
∵∠C＝2∠CDB，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ABC的周長＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
24．（2021秋?開化縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E在BC上，BD＝CE．
（1）求證：△ABD≌△ACE．
（2）若∠DAE＝∠B＝28°，求∠BAD的度數(shù)．
【分析】（1）由AB＝AC得∠B＝∠C，還有條件BD＝CE，即可根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△ACE；
（2）由△ABD≌△ACE得AD＝AE，而∠DAE＝28°，則∠ADE＝∠AED＝76°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BAD的度數(shù)．
【解答】（1）證明：如圖，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
∴，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
（2）解：∵AD＝AE，∠DAE＝28°，
∴∠ADE＝∠AED＝×（180°﹣28°）＝76°，
∵∠ADE＝∠BAD+∠B，且∠B＝28°，
∴∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝76°﹣28°＝48°，
∴∠BAD的度數(shù)48°．
【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論等知識，證明△ABD≌△ACE是解題的關鍵．
25．（2021秋?椒江區(qū)期末）如圖，點A，D在線段FC上，F(xiàn)A＝CD，AB＝DE，BC＝EF．求證：AB∥DE．
【分析】由“SSS”可證△ABC≌△DEF，可得∠BAC＝∠EDF，可得結論．
【解答】證明：∵FA＝CD，
∴FD＝AC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．
26．（2021秋?濱江區(qū)校級期中）如圖，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，則∠B與∠ADC滿足的數(shù)量關系為（ ）
A．∠B＝∠ADCB．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180°D．∠B+∠ADC＝90°
【分析】在射線AD上截取AE＝AB，連接CE，根據(jù)SAS不難證得△ABC≌△AEC，從而得BC＝EC，∠B＝∠AEC，可求得CD＝CE，得∠CDE＝∠CED，證得∠B＝∠CDE，即可得出結果．
【解答】解：在射線AD上截取AE＝AB，連接CE，如圖所示：
∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
在△ABC與△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，
∵CB＝CD，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°．
故選：C．
【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答的關鍵是作出適當?shù)妮o助線AE，CE．
27．（2021秋?諸暨市月考）如圖，在△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于點D，連接EB．下列結論：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正確的個數(shù)為（ ）個．
A．1B．2C．3D．4
【分析】證明△AEF≌△ABC（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)，可以推出①②⑤正確，利用反證法推出③④錯誤即可．
【解答】解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，故②正確
∴∠EAB＝∠FAC＝40°，故①正確，
∴∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°，
∴∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故⑤正確，
∵AE＝AB，∠EAB＝40°，
∴∠AEB＝∠ABE＝70°，
若∠EBC＝110°，則∠ABC＝40°＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴AE∥BC，顯然與題目條件不符，故③錯誤，
若AD＝AC，則∠ADF＝∠AFD＝70°，
∴∠DAF＝40°，這個顯然與條件不符，故④錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是證明△AEF≌△ABC．
28．（2021秋?高邑縣期末）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F(xiàn)是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，則AD的長為（ ）
A．3B．5C．6D．7
【分析】只要證明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，推出AD＝AF+DF＝4+（3﹣2）＝5；
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，
∵EF＝2，
∴AD＝AF+DF＝4+（3﹣2）＝5，
故選：B．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
29．（2021秋?柯橋區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，CD與BE相交于點F．
（1）求證：△ACD≌△FBD；
（2）若AD＝3，BF＝5，求△ABC的面積．
【分析】（1）由“ASA”可證△ACD≌△FBD；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AC＝BF＝5，由勾股定理可求出CD，最后根據(jù)三角形面積公式得解．
【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠FDB＝90°，
∴∠A+∠DBF＝∠A+∠ACD＝90°，
即∠DBF＝∠ACD，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BCD＝∠ABC＝45°，
∴DB＝DC，
在△ACD和△FBD中，
，
∴△ACD≌△FBD（ASA）；
（2）∵△ACD≌△FBD，
∴AD＝DF＝3，
在Rt△BDF中，BD＝4，
∴CD＝4，AB＝7，
∴S△ABC＝4×7÷2＝14．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．
五．全等三角形的應用（共6小題）
30．（2021秋?肇源縣期末）王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合．
（1）求證：△ADC≌△CEB；
（2）求兩堵木墻之間的距離．
【分析】（1）根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)進行解答．
【解答】（1）證明：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由題意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：兩堵木墻之間的距離為20cm．
【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件．
31．（2021秋?臨海市期末）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平長度DF相等，那么判定△ABC與△DEF全等的依據(jù)是（ ）
A．HLB．ASAC．AASD．SSS
【分析】先根據(jù)BC＝EF，AC＝DF判斷出Rt△ABC≌Rt△DEF．
【解答】解：∵滑梯、墻、地面正好構成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故選：A．
【點評】本題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，屬較簡單題目．
32．（2021秋?椒江區(qū)期末）小明在學習了全等三角形的相關知識后，發(fā)現(xiàn)了一種測量距離的方法，如圖，小明直立在河岸邊的O處，他壓低帽子帽沿，使視線通過帽沿，恰好落在河對岸的A處，然后轉(zhuǎn)過身，保持和剛才完全一樣的姿勢，這時視線落在水平地面的B處（A，O，B三點在同一水平直線上），小明通過測量O，B之間的距離，即得到O，A之間的距離．小明這種方法的原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結論．
【解答】解：∵AB⊥CO，
∴∠ACO＝∠BCO，
在△AOC與△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（ASA），
∴AO＝BO，
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關鍵．
33．（2021秋?慈溪市期末）如圖，為測量池塘兩端AB的距離，學校課外實踐小組在池塘旁的開闊地上選了一點C，測得∠ACB的度數(shù)，在AC的另一側測得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再測得AD的長，就是AB的長．其依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】已知條件是∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，AC＝AC，據(jù)此作出選擇．
【解答】解：在△ABC與△ADC中，
．
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故選：B．
【點評】此題考查了全等三角形的應用，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做題時注意選擇．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
34．（2021秋?金華期中）如圖，一塊玻璃碎成三片，小智只帶了第③塊去玻璃店，就能配一塊一模一樣的玻璃，你能用三角形的知識解釋，這是為什么？（ ）
A．ASAB．AASC．SASD．SSS
【分析】根據(jù)全等三角形的判定，已知兩角和夾邊，就可以確定一個三角形．
【解答】解：根據(jù)三角形全等的判定方法，根據(jù)角邊角可確定一個全等三角形，
只有第三塊玻璃包括了兩角和它們的夾邊，只有帶③去才能配一塊完全一樣的玻璃，是符合題意的．
故選：A．
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，熟練掌握判定兩個三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS是解決問題的關鍵．
35．（2021秋?金華期末）如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明通過構造△ABC與△BCD來測量A，B間的距離，其中AC＝CD，∠ACB＝∠BCD．那么量出的BD的長度就是AB的距離．請你判斷小明這個方法正確與否，并給出相應理由．
【分析】正確；利用全等三角形的判定定理SAS證得△ABC≌△DBC，由該全等三角形的對應邊相等得到AB＝DB．
【解答】解：正確；理由如下：
在△ABC與△DBC中，
．
∴△ABC≌△DBC（SAS）．
∴AB＝DB．
【點評】本題考查全等三角形的應用．在實際生活中，對于難以實地測量的線段，常常通過兩個全等三角形，轉(zhuǎn)化需要測量的線段到易測量的邊上或者已知邊上來，從而求解．
一、單選題
1．（2021·土默特左旗教育局教研室八年級月考）如圖，已知，，欲證，不可補充的條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐項判斷即可．
【詳解】解：∵，，
A、若，可利用SSS證明，故本選項不符合題意；
B、若，可得 ，可利用SAS證明，故本選項不符合題意；
C、若，可利用SAS證明，故本選項不符合題意；
D、若，不能證明，故本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法——SAS、ASA、AAS、SSS是解題的關鍵．
2．（2021·全國八年級課前預習）如圖，△ABC≌△BAD，如果AB＝6cm，BD＝4cm，AD＝5cm，那么BC的長是（ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．無法確定
【答案】B
3．（2021·通道侗族自治縣教育科學研究室八年級期中）下列條件中，不能使兩個直角三角形全等的條件是
A．一銳角和斜邊對應相等B．斜邊和一直角邊對應相等
C．有三條邊對應相等D．兩個銳角對應相等
【答案】D
【分析】要判斷能使兩個直角三角形全等的條件首先要看現(xiàn)在有的條件：一對直角對應相等，還需要兩個條件，而三個角相等是不能判定三角形全等的，所以符合題意的答案只有選項D了．
【詳解】A、一銳角和斜邊對應相等，利用已知的直角相等，能通過兩角及其一角的對邊對應相等判定兩個直角三角形全等，故本選項不符合題意；
B、斜邊和一條直角邊對應相等，利用已知的直角相等，能通過直角三角形斜邊和一條直角對應相等判定兩個直角三角形全等，故本選項不符合題意；
C、有三條邊對應相等，能通過三邊對應相等判定兩個直角三角形全等，故本選項不符合題意；
D、兩個銳角對應相等時，由三個角相等不能判定兩個直角三角形全等，故本選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查的是直角三角形的判定方法，屬于基礎題，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
4．（2021·通道侗族自治縣教育科學研究室八年級期中）在中，，的平分線交于D，若，則點D到的距離是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=CD，再根據(jù)點到線段的距離的定義解答．
【詳解】解：如下圖，過點D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，
∴DE=CD，
∵CD=4cm，
∴DE=4cm，
∴點D到AB的距離DE是4cm．
故選：B．
【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，點到線段的距離的定義，熟記性質(zhì)與概念是解題的關鍵．
5．（2020·南京市金陵匯文學校八年級開學考試）下列各條件中，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知兩邊和夾角
B．已知兩角和夾邊
C．已知兩邊和其中一邊的對角
D．已知三邊
【答案】C
【分析】根據(jù)全等三角形的判定知識得到不能作出唯一三角形的選項即可．
【詳解】解：A、根據(jù)可得能作出唯一三角形；
B、根據(jù)可得能作出唯一三角形；
C、根據(jù)SSA不能做出唯一三角形；
D、根據(jù)可得能作出唯一三角形.
故選C．
【點睛】主要考查全等三角形的判定的應用；注意不能判定兩三角形全等，也不能作出唯一的三角形．
6．（2021·河北秦皇島市·八年級期中）如圖，在方格紙中，以為一邊作，使之與全等，從，，，四個點中找出符合條件的點，則點有（ ）
A．個B．個C．個D．個
【答案】C
【分析】根據(jù)全等三角形的判定得出點P的位置即可．
【詳解】解：要使△ABP與△ABC全等，點P到AB的距離應該等于點C到AB的距離，即3個單位長度，故點P的位置可以是P1，P3，P4三個，
故選：C．
【點睛】此題考查全等三角形的判定，關鍵是利用全等三角形的判定進行判定點P的位置．
7．（2021·全國八年級專題練習）如圖，點在同一直線上，，則等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=DF，即可得出選項．
【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，DF=4，
∴AC=DF=4，
故選：A．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
8．（2021·大連市第三十四中學八年級月考）如圖，，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結合已知條件和角度的計算即可求得．
【詳解】，
，
即，
，
，
．
故選A．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．
9．（2021·大連市第三十四中學八年級月考）如圖，，其中，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【詳解】∵，∠A=36°，=24°，
∴∠C==24°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°，
故選B．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)，靈活運用內(nèi)角和定理是解題的關鍵．
10．（2020·南京市金陵匯文學校八年級開學考試）下列命題中正確的是（ ）
A．全等三角形的高相等
B．全等三角形的中線相等
C．全等三角形的角平分線相等
D．全等三角形的對應角平分線相等
【答案】D
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對A、B、C、D進行判斷．
【詳解】解：A、全等三角形的對應邊的高相等，故此選項錯誤；
B、全等三角形的對應邊的中線相等，故此選項錯誤；
C、全等三角形的對應角平分線相等，故此選項錯誤；
D、全等三角形的對應角平分線相等，故此選項正確.
故選D．
【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
二、填空題
11．（2021·寧夏八年級期末）如圖，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠DCB＝43°，則∠ABC＝______．
【答案】92°
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結論．
【詳解】解：∵△ABC≌△DBC，
∴∠ACB＝∠DCB＝43°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝92°，
故答案為：92°．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)，能正確運用全等三角形的性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
12．（2021·全國八年級課前預習）如圖，長方形ABCD沿AM折疊，使D點落在BC上的N點處，AD＝7cm，DM＝5cm，∠DAM＝39°，則△ANM≌△ADM，AN＝_____cm，NM＝_____cm，∠NAB＝_______．
【答案】7 5 12°
13．（2021·全國八年級課前預習）能夠完全重合的兩個三角形叫做_______．
【答案】全等三角形
14．（2021·河北唐山市·八年級期中）已知：如圖，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，根據(jù)圖中所標注的數(shù)據(jù)，可求得陰影部分的面積為_______．
【答案】50
【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF＝∠ABG，而AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，由此可以證明△EFA≌△ABG，所以AF＝BG，AG＝EF，同理證得△BGC≌△DHC，GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，然后利用面積的割補法和面積公式即可求出圖形的面積．
【詳解】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，
∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠ABG，
∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG，
∴△EFA≌△ABG（AAS），
∴AF＝BG，AG＝EF
同理證得：△BGC≌△DHC（AAS），得GC＝DH，CH＝BG
故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，
故，
即：S(6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．
故答案為：50．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關基本性質(zhì)是解題的關鍵．
15．（2021·嵩縣教育局基礎教育教學研究室八年級期末）如圖，已知，和，，則度數(shù)為__________．
【答案】
【分析】先證明 ，可得 ，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵，， ，
∴ ，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴．
故答案為： ．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．
16．（2021·廣南縣教學研究室八年級期末）如圖，在中，，AD是的一條角平分線．若，則點D到AB的距離為___________．
【答案】6
【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得點D到AB的距離DE長為等于CD的長，進行解答即可．
【詳解】解：過D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的角平分線，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
∵CD＝6，
∴DE＝6，
∴點D到AB的距離為6
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎題，比較簡單．
17．（2021·北京市第五中學朝陽雙合分校八年級期中）如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗），在圖中，要測量工件內(nèi)槽寬AB，只要測量A'B'的長度即可，該做法的依據(jù)是 ___．
【答案】根據(jù)證明．
【分析】根據(jù)測量兩點之間的距離，只要符合全等三角形全等的條件之一，只需要測量易測量的邊上，進而得出答案．
【詳解】解：連接，，如圖，
點分別是、的中點，
，，
在和中，
，
∴．
．
答：需要測量的長度，即為工件內(nèi)槽寬．
其依據(jù)是根據(jù)證明；
故答案為：根據(jù)證明．
【點睛】本題考查全等三角形的應用，根據(jù)已知條件可用邊角邊定理判斷出全等．
18．（2021·全國八年級單元測試）已知△ADF≌△CBE，∠A=20°，∠B=120°，則∠CEB= ______．
【答案】40°
【分析】先根據(jù)經(jīng)全等三角形的性質(zhì)求出∠C=∠A=20°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求解．
【詳解】解：∵△ADF≌△CBE，
∴∠C=∠A=20°，
∵∠B=120°，
∴∠CEB=180°-∠C-∠B=180°-20°-120°=40°，
故答案為：40°．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握全等三角形的對應角相等是解答本題的關鍵．
19．（2020·南京市金陵匯文學校八年級開學考試）如圖，已知∠B=∠DEF，AB=DE，要證明△ABC≌△DEF．
（1）若以“ASA”為依據(jù)，還需要添加一個條件為___________；
（2）若以“AAS”為依據(jù)，還需要添加一個條件為___________．
【答案】∠A=∠D ∠ACB=∠DFE
【分析】（1）根據(jù)邊角邊的條件先找到對應邊，再寫出條件，最后給出證明；
（2）根據(jù)角角邊的條件先找到角，再寫出條件，最后寫理由.
【詳解】解：（1），要使，且以“SAS”為依據(jù)，
∴還要添加的條件為：；
在和中
∴（ASA）
故答案為；
（2），要使，且以“”為依據(jù)，
∴還要添加的條件為：．
在和中
∴（AAS）
故答案為．
【點睛】此題重點考查學生對三角形全等的條件的理解，掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵.
20．（2021·全國八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ，BC＝16厘米，點D為AB的中點，點P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．當點Q的運動速度為________厘米/秒時，能夠在某一時刻使△BPD與△CQP全等．
【答案】4或6
【分析】設點Q的速度為x，則運動t秒時，CQ=xt，分兩種情況討論①當△BPD≌△CQP時，②當△BPD≌△CPQ時，根據(jù)其運動情況表示出線段的數(shù)量關系，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)計算得到答案即可．
【詳解】解：設點Q的速度為x，則運動t秒時，CQ=xt，
∵P點的速度為4，BC=16
∴BP=4t，PC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，點D為AB的中點
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴運動t秒時，△BPD與△CQP全等共有兩種情況
①當△BPD≌△CQP時，
則有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4．
②當△BPD≌△CPQ時，
則有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6．
綜合①②可知速度為4或6．
故答案為：4或6．
【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)，分類討論是解題的關鍵．
三、解答題
21．（2021·山東日照市·海曲中學八年級期中）如圖所示，ABCD中，AE⊥BD，,垂足分別為E，F(xiàn)．求證：AE＝CF．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABE＝∠CDF，求出∠AEB＝∠CFD＝90°，根據(jù)AAS推出△ABE≌△CDF即可．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，解此題的關鍵是求出△ABE≌△CDF，注意：平行四邊形的對邊平行且相等，難度適中．
22．（2021·全國八年級課前預習）如圖△ABC與△ADC全等，請用數(shù)學符號表示出這兩個三角形全等，并寫出相等的邊和角．
【詳解】△ABC≌△ADC，
相等的邊：AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC
相等的角：∠BCA＝∠DAC，∠B＝∠D，∠ACB＝∠ACD
23．（2021·吉林長春市·長春外國語學校八年級開學考試）如圖，△ABC ≌△DEF，點A對應點D，點B對應點E，點B、F、C、E在一條直線上，∠A = 85°，∠E = 50°，AB = 4，EF = 6．
（1）求∠ACB的度數(shù)．
（2）求AC邊的取值范圍．
【答案】（1）45°；（2）2＜AC＜10
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠B，再利用三角形內(nèi)角和求解；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出BC，再根據(jù)三角形的三邊關系求解即可．
【詳解】解：（1）∵△ABC ≌△DEF，
∴∠B=∠E=50°，
∵∠A=85°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠A=45°；
（2）∵△ABC ≌△DEF，
∴BC=EF=6，
∵AB=4，
∴AC的范圍是2＜AC＜10．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關系，三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是利用全等三角形得到相等邊和角．
24．（2021·湖南八年級期末）已知：如圖，，且，，，四點在一條直線上，，，，．
（1）求的度數(shù)與的長；
（2）求證：．
【答案】（1），；（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ACB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，即可求解；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，繼而根據(jù)平行線的判定求證結論．
【詳解】解：（1）∵，，
∴．
∵，
∴，
，
∵，，
∴．
（2）證明：∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定，解題的關鍵是熟練運用全等三角形的性質(zhì)．
25．（2021·北京市第五中學朝陽雙合分校八年級期中）根據(jù)題意，先在圖中作出輔助線，再完成下列填空：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直線是BC的垂直平分線，點E為垂足，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延長線于N，求證：BM＝CN．
證明：連接DB，DC
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN
∴DM＝① （② ）
∵DE是BC的垂直平分線
∴DB＝③ （④ ）
在⑤ 和⑥ 中
∴⑦ ≌⑧ （⑨ ）
∴BM＝CN（⑩ ）
【答案】①DN；②角平分線上的點到角兩邊的距離相等；③DC；④線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；⑤Rt△BDM；⑥Rt△CDN；⑦Rt△BDM；⑧Rt△BDM；⑨HL；⑩全等三角形的對應邊相等．
【分析】連接BD，DC，利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出BD＝CD，利用角平分線的性質(zhì)得出DM＝DN，進而證明△BMD與△CDN全等即可．
【詳解】證明：（1）連接BD，如圖：
證明：連接DB，DC，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN，
∴DM＝DN（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），
∵DE是BC的垂直平分線，
∴DB＝CD（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等），
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
∴Rt△BDM≌Rt△BDM（HL），
∴BM＝CN（全等三角形的對應邊相等），
故答案為：①DN；②角平分線上的點到角兩邊的距離相等；
③DC；④線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；
⑤Rt△BDM；⑥Rt△CDN；⑦Rt△BDM；⑧Rt△BDM；⑨HL；
⑩全等三角形的對應邊相等．
【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是證明△BDM與△CDN全等．
26．（2021·浙江八年級期末）如圖，已知正方形邊長為，動點M從點C出發(fā)，沿著射線的方向運動，動點P從點B出發(fā)，沿著射線的方向運動，連結，
（1）若動點M和P都以每秒的速度運動，問t為何值時和全等？
（2）若動點P的速度是每秒，動點M的速度是每秒問t為何值時和全等？
【答案】（1）t=1；（2）t=或t=
【分析】（1）根據(jù)△DCP與△BCM全等，列出關于t的方程，解之即可；
（2）分當點P在點C左側和當點P在點C右側，兩種情況，根據(jù)PC=CM，列方程求解即可．
【詳解】解：（1）要使△DCP與△BCM全等，
則PC=CM，
由題意得：2t=4-2t，
解得：t=1；
（2）當點P在點C左側時，
則△DCP≌△BCM，
∴PC=CM，
∴4-3t=1.5t，
解得：t=；
當點P在點C右側時，
則△DCP≌△BCM，
∴CP=CM，
∴3t-4=1.5t，
解得：t=，
綜上：當t=或t=時，△DCP與△BCM全等．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是抓住全等三角形的條件，得到相等線段，列出方程，注意分類討論．
27．（2021·廣南縣教學研究室八年級期末）在中，，，點D為直線BC上的一個動點（不與B、C重合），連結AD，將線段AD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使點A旋轉(zhuǎn)到點E，連結EC．
（1）如果點D在線段BC上運動，如圖1：求證：
（2）如果點D在線段BC上運動，請寫出AC與CE的位置關系．通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點E作交直線BC于F，如圖2所示，通過證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關系，請你寫出證明過程．
（3）如果點D在線段CB的延長線上運動，利用圖3畫圖分析，（2）中的結論是否仍然成若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）垂直，理由見解析；（3）成立，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明即可；
（2）過點E作交直線BC于F，如圖2所示，通過證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關系；
（3）如圖3所示，過點E作于F，證明，進一步可證明
【詳解】解：（1）證明：∵
∴
∵
∴
∴
（2）垂直
∵
∴
∵
∴
在和中
∴
∴，
∵
∴，
∴
即．
∴
又∵
∴，且
∴
即．
（3）（2）中的結論仍然成立
如圖3所示，過點E作于F
∵
∴
在和中
∴
∴，
∴
即
∴
∴
∴
∴．
【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明是解本題的關鍵．

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