1.勾股定理
（1）直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．就是說，對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有這就是勾股定理．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）由于，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
2.勾股定理逆定理
“若三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形為直角三角形.”這一命題是勾股定理的逆定理.它可以幫助我們判斷三角形的形狀，為根據(jù)邊的關(guān)系解決角的有關(guān)問題提供了新的方法.定理的證明采用了構(gòu)造法.
兩個命題中, 如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論, 而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè),那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題, 那么另一個叫做它的逆命題.
如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題, 那么它也是一個定理, 這兩個定理叫做互逆定理, 其中一個叫做另一個的逆定理.
3.勾股定理的證明
（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．
（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．
勾股數(shù)：
4.勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．
說明：
個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．
組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．
住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
5.勾股定理的應(yīng)用
（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．
（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．
②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．
③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題．
④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．
6、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
7、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理
斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.
要點(diǎn)：
（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.
（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.
（3）應(yīng)用“HL”時，雖只有兩個條件，但必須先有兩個Rt△的條件.
考點(diǎn)精講
一．直角三角形全等的判定（共5小題）
1．（2021秋?諸暨市期中）如圖所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)，則在下列條件中選擇一組，可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是 （填入序號）
①AB＝DC，∠B＝∠C；
②AB＝DC，AB∥CD；
③AB＝DC，BE＝CF；
④AB＝DF，BE＝CF．
2．（2021春?婁底期末）如圖，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）Rt△ADE與Rt△BEC全等嗎？并說明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并說明理由．
3．（2021秋?瑞安市校級期中）如圖，最適合用“HL”定理判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的條件是（ ）
A．AC＝DF，AB＝DEB．AC＝DF，BC＝EF
C．∠A＝∠D，AB＝DED．∠B＝∠E，BC＝EF
4．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還要添加一個條件是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．∠B＝∠CD．AE＝BF
5．（2021秋?金東區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，請你添加一個條件（不添加字母和輔助線），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是 ．
二．勾股定理（共8小題）
6．（2021秋?青田縣期末）如圖，四個三角形紙片Rt△ABC，Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3完全重合，并按圖示位置擺放．已知BC＝，AB＝1，求四邊形CC1C2C3的面積．
7．（2022?湖州）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（ ）
A．4B．6C．2D．3
8．（2022?金華）如圖1，將長為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個正方形．
（1）用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長．
（2）當(dāng)a＝3時，該小正方形的面積是多少？
9．（2022春?長興縣月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC+BC＝，AB＝2．
（1）求△ABC的面積；
（2）求CD的長．
10．（2022春?慶元縣校級月考）在如圖所示的方格圖中，每個小方格的邊長均為1，則△ABC的周長為多少？
11．（2022?龍灣區(qū)模擬）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的各邊為邊分別向外作正方形，再將較小的兩個正方形按圖2所示放置，連結(jié)MG，DG．若MG⊥DG，且BQ﹣AF＝，則AB的長為（ ）
A．B．C．D．
12．（2022春?金華月考）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD的長為（ ）
A．B．2C．D．3
13．（2022春?西湖區(qū)校級月考）已知，如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，過D作DE∥AC交AB于E．
（1）求證：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的長．
三．勾股定理的證明（共5小題）
14．（2022春?上虞區(qū)期末）將一長方形紙片按圖1方式剪成四張完全相同的直角三角形紙片，相關(guān)線段長度如圖中標(biāo)注．現(xiàn)將它們拼成圖2的“趙爽弦圖”，則圖2中陰影部分的面積為（ ）
A．a(chǎn)2+ab﹣b2B．a(chǎn)2﹣2ab+b2C．a(chǎn)2+2ab+b2D．a(chǎn)2﹣ab+b2
15．（2022春?寧波期中）圖1是一個“有趣“的圖形，它是由四個完全一樣的直角三角形圍成的一個大正方形ABCD，并且直角三角形的斜邊又圍成一個小正方形MNQP．已知每個直角三角形直角邊分別是a，b（a＜b），斜邊為c．根據(jù)這個圖形我們可以得到一些很好用的結(jié)論．
（1）如圖1，設(shè)中間的小正方形MNQP面積為S1，請用兩種方法來表示S1．
（2）如圖2，將四個三角形向里面翻折，剛好又能形成一個更小的正方形A'B'C′D'．已知正方形A'B'C′D'的邊長為3，正方形ABCD的邊長為9．請求出a，b的值．
（3）連結(jié)B'D'，若B'D′∥AD，請問∠DMN是多少度？請說明理由．
16．（2021秋?鹿城區(qū)校級月考）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，請你利用圖2證明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求證：a2+b2＝c2．
17．（2022?鹿城區(qū)二模）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH．連結(jié)EB，EG，延長EG交CD于點(diǎn)M，若∠BEM＝90°，則BE：EM的值為（ ）
A．1：2B．3：4C．5：6D．5：12
18．（2021秋?諸暨市校級月考）大家在學(xué)完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運(yùn)用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為面積法．學(xué)有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高為h，M是底邊BC上的任意一點(diǎn)，M到腰AB、AC的距離分別為h1、h2．
（1）請你結(jié)合圖形來證明：h1+h2＝h；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在BC延長線上時，h1、h2、h之間又有什么樣的結(jié)論．請你畫出圖形，并直接寫出結(jié)論不必證明；
（3）利用以上結(jié)論解答，如圖在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一點(diǎn)M到l1的距離是．求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
一、單選題
1．（2021·浙江衢州市·八年級期末）直角三角形兩直角邊長分別為3cm和5cm，則這個直角三角形的周長是（ ）
A．12cmB．（8）cm
C．12cm或（8）cmD．11cm或13cm
2．（2021·諸暨市開放雙語實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期中）如圖，在中，，是的角平分線，DE∥AB交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)、，已知，，則的面積（ ）
A．12B．7.5C．8D．6
3．（2021·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）八年級期末）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)明之一．如圖1，以直角三角形ABC的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內(nèi)，三個陰影部分面積分別記為S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，則兩個較小正方形紙片的重疊部分（四邊形DEFG）的面積為（ ）
A．7B．10C．13D．15
4．（2021·臨海市外國語學(xué)校）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中有A，B兩點(diǎn)，則AB的長在下列范圍內(nèi)（ ）
A．2.6＜AB＜2.7B．2.7＜AB＜2.8C．2.8＜AB＜2.9D．2.9＜AB＜3.0
5．（2020·浙江八年級期末）如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，，連接，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2019·浙江）我國清代數(shù)學(xué)家李銳借助三個正方形用出入相補(bǔ)的方法證明了勾股定理．如圖，設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（），斜邊的長為c．做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使E、F、G三點(diǎn)在一條直線上，若，四邊形與面積之和為13.5，則正方形的面積為（ ）
A．32B．36C．46D．49
7．（2020·浙江八年級期末）給出下面兩個命題：①如圖1，若，，則垂直平分；②如圖2，若點(diǎn)到，的距離，相等，則平分．其中真命題是（ ）
A．①B．②C．①②D．無
8．（2020·浙江八年級期末）如圖，中，的平分線與邊的垂直平分線相交于D，交的延長線于E，于F，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③平分;④，其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題
9．（2021·浙江臺州市·）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是______．
10．（2020·紹興市上虞區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級月考）如圖，AP平分∠NAM，PC＝PB，AB＞AC，PD⊥AB于D，∠DPB＝50°，則∠ACP的度數(shù)是________．
11．（2020·浙江）如圖，的高、交于點(diǎn)F，是等腰直角三角形，，連結(jié)，則__________．
12．（2020·浙江紹興市·八年級其他模擬）如圖，在中，于點(diǎn)，與相交于，且，，則______°．
13．（2020·浙江）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與AC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分別為 F、G．若BG＝5，AC＝6，則△ABC 的周長是_____．
14．（2021·浙江杭州市·八年級期末）如圖，在四邊形中，，對角線相交于點(diǎn)E，則________．
15．（2021·浙江臺州市·八年級期末）如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，點(diǎn)D在邊BC上．把△ABC沿著直線AD折疊，使AB恰好落在直線AC上，則△ADC的面積是 ___．
16．（2021·浙江）在等腰中，為線段上一點(diǎn)，，若_______．
三、解答題
17．（2021·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）八年級期末）如圖，C為線段BD上一動點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，設(shè)CD＝x．
（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；
（2）求AC+CE的最小值；
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請?jiān)谒o的網(wǎng)格中構(gòu)圖并求代數(shù)式的最小值．
18．（2021·浙江臺州市·八年級期中）如圖是由邊長均為1的小正方形組成的網(wǎng)格，四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上．
（1）求四邊形ABCD的面積和周長；
（2）求∠ADC的度數(shù)．
19．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，在銳角中，，過點(diǎn)在的右側(cè)作直線，分別過點(diǎn)作垂直于，垂足分別是，且．求證：．
20．（2020·浙江八年級期末）如圖，中，D為的中點(diǎn)，于E，于F，且，求證：．
21．（2021·浙江衢州市·八年級期末）定義：到三角形兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)叫做此三角形的準(zhǔn)心．舉例：如圖1，若PA＝PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)心．
（1）判斷：如圖2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)P在AD上，則點(diǎn)P △ABC的準(zhǔn)心（填“是”或“不是”）
（2）應(yīng)用：如圖3，CD為正△ABC的高，準(zhǔn)心P在高CD上，且PDAB，求∠APB的度數(shù)；
（3）探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準(zhǔn)心P在AC邊上，試探究PA的長．
22．（2021·浙江衢州市·八年級期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8．
（1）求∠ADB的度數(shù)；
（2）求BC的長．
23．（2020·浙江八年級期末）已知：如圖，平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且．
（1）求證：；
（2）若，，，求的長．

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