TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1809" 【題型1 行程問題】 PAGEREF _Tc1809 \h 1
\l "_Tc22553" 【題型2 工程問題】 PAGEREF _Tc22553 \h 5
\l "_Tc12298" 【題型3 銷售利潤問題】 PAGEREF _Tc12298 \h 8
\l "_Tc27784" 【題型4 航行問題】 PAGEREF _Tc27784 \h 12
\l "_Tc14797" 【題型5 和、差、倍、分問題】 PAGEREF _Tc14797 \h 15
\l "_Tc6833" 【題型6 數(shù)字問題】 PAGEREF _Tc6833 \h 19
\l "_Tc27424" 【題型7 圖形問題】 PAGEREF _Tc27424 \h 21
\l "_Tc30960" 【題型8 方案問題】 PAGEREF _Tc30960 \h 25
【題型1 行程問題】
【例1】（2022·河南許昌·八年級期末）小麗和小穎相約周末到時代廣場看電影，她們的家分別距離時代廣場1800m和2400m.兩人分別從家中同時出發(fā)，已知小麗和小穎的速度比是2:3，結(jié)果小麗比小穎晚4min到達劇院．
（1）求兩人的速度．
（2）要想同時達到，小穎速度不變，小麗速度需要提高 m/min.
【答案】（1）小麗和小穎的速度分別為50 m/min和75 m/min；（2）6.25.
【分析】（1）設(shè)小麗和小穎的速度分別為2x m/min和3x m/min，根據(jù)題意，小麗所用時間-小穎蘇勇時間=4分鐘，列出分式方程，解答即可.
（2）設(shè)小麗速度需要提高a m/min，根據(jù)題意，小麗所用時間=小穎所用時間，列出分式方程，解答即可.
【詳解】解：（1）設(shè)小麗和小穎的速度分別為2x m/min和3x m/min,根據(jù)題意，得:
解得：x=25
經(jīng)檢驗x=25是原分式方程的解，
則2x=2×25=50（m/min），3x=3×25=75（m/min）
答：小麗和小穎的速度分別為50m/min和75m/min
（2）設(shè)小麗速度需要提高a m/min，根據(jù)題意，得：

解得：
經(jīng)檢驗是原分式方程的解
答：小麗速度需要提高6.25 m/min.
故答案為6.25
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，分析題干，找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.
【變式1-1】（2022·重慶·四川外國語大學附屬外國語學校九年級期中）某天運動員小偉沿平路從家步行去銀行辦理業(yè)務(wù)，到達銀行發(fā)現(xiàn)沒有帶銀行卡（停留時間忽略不計），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小偉家到銀行的平路距離為2800米，小偉從離家到返回家共用50分鐘．
(1)求小偉在平路上跑步的平均速度是多少？
(2)小偉找到銀行卡后，發(fā)現(xiàn)離銀行下班時間僅剩半小時，為了節(jié)約時間，小偉選擇另外一條近的坡路去銀行，小偉先上坡再下坡，用時9分鐘到達銀行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，求這段坡路的總路程是多少米？
【答案】(1)280米/分鐘
(2)2100米
【分析】（1）設(shè)小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘，根據(jù)小偉在平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，往返時間共用50分鐘，列方程，解得，檢驗后求出，回答問題；
（2）設(shè)這段坡路的下坡路程是y米，根據(jù)小偉上坡的平均速度是，下坡的平均速度是，上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用時9分鐘，列方程，解得，推出這段坡路的總路程是．
【詳解】（1）設(shè)小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘,
根據(jù)題意得，，
解得，，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
∴，
答：小偉在平路上跑步的平均速度是280米/分鐘；
（2）設(shè)這段坡路的下坡路程是y米，
∵上坡的平均速度是，，下坡的平均速度是，
∴根據(jù)題意得，，
解得，，
∴，
答：這段坡路的總路程是2100米．
【點睛】本題主要考查了分式方程與一元一次方程的應(yīng)用——行程問題，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握路程和速度與時間的關(guān)系，列代數(shù)式列方程解答，解分式方程注意檢驗，應(yīng)用題注意設(shè)未知數(shù)和回答問題．
【變式1-2】（2022·全國·八年級）小明家距離科技館米，一天他步行去科技館看表演，走到路程的一半時，小明發(fā)現(xiàn)忘帶門票，此時離表演開始還有分鐘，于是立刻步行回家取票，隨后騎車趕往科技館．已知小明騎車到科技館比他步行到科技館少用分鐘，且騎車的速度是步行速度的倍，小明進家取票時間共用分鐘．
（1）小明步行的速度是每分鐘多少米？
（2）請你判斷小明能否在表演開始前趕到科技館，并通過計算說明理由．
【答案】（1）小明步行的速度為米分鐘；（2）小明能在表演開始前趕到科技館，理由見詳解．
【分析】（1）設(shè)小明步行的速度是每分鐘x米，則小明騎車的速度是每分鐘5x米，根據(jù)時間＝路程÷速度結(jié)合小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
（2）利用時間＝路程÷速度結(jié)合小明進家取票時間共用4分鐘，即可得出小明回家取票后到達科技館所需時間，將其與23分鐘比較后即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)小明步行的速度為米分鐘，則小明騎車的速度為米分鐘．根據(jù)題意，得，
解得：．
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解．
答：小明步行的速度為米分鐘．
（2），
所以小明能在表演開始前趕到科技館．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022·湖北襄陽·八年級期末）小明和小強兩名運動愛好者周末相約到濱江大道進行跑步鍛煉．
（1）周六早上6點，小明和小強同時從家出發(fā)，分別騎自行車和步行到離家距離分別為4500米和1200米的濱江大道入口匯合，結(jié)果同時到達.若小明每分鐘比小強多行220米，求小明和小強的速度分別是多少米/分？
（2）兩人到達濱江大道后約定先跑1000米再休息.小強的跑步速度是小明跑步速度的倍，兩人在同起點，同時出發(fā)，結(jié)果小強先到目的地分鐘．
①當，時，求小強跑了多少分鐘？
②小明的跑步速度為_______米/分（直接用含的式子表示）．
【答案】（1）小強的速度為80米/分，小明的速度為300米/分；（2）①小強跑的時間為3分；②．
【分析】（1）設(shè)小強的速度為x米/分，則小明的速度為（x+220）米/分，根據(jù)路程除以速度等于時間得到方程，解方程即可得到答案；
（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，由m＝3，n＝6，根據(jù)小明的時間-小強的時間=6列方程解答；
②根據(jù)路程一定，時間與速度成反比，可求小強的時間進而求出小明的時間，再根據(jù)速度=路程除以時間得到答案.
【詳解】（1）設(shè)小強的速度為x米/分，則小明的速度為（x+220）米/分，
根據(jù)題意得：＝．
解得：x＝80．
經(jīng)檢驗，x＝80是原方程的根，且符合題意．
∴x+220＝300．
答：小強的速度為80米/分，小明的速度為300米/分．
（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，∵m＝3，n＝6，
∴，解之得.
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴小強跑的時間為：（分）
②小強跑的時間：分鐘，小明跑的時間：分鐘，
小明的跑步速度為： 分．
故答案為：．
【點睛】此題考查分式方程的應(yīng)用，正確理解題意根據(jù)路程、時間、速度三者的關(guān)系列方程解答是解題的關(guān)鍵.
【題型2 工程問題】
【例2】（2022·全國·七年級專題練習）湖州市在2017年被評為“全國文明城市”，在評選過程中，湖州市環(huán)衛(wèi)處每天需負責市區(qū)范圍420千米城市道路的清掃工作，現(xiàn)有環(huán)衛(wèi)工人直接清掃和道路清掃車兩種馬路清掃方式.已知20名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時可以清掃20千米馬路，30名環(huán)衛(wèi)工人和3輛道路清掃車每小時可以清掃42千米的馬路.
（1）1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時各能清掃多長的馬路？
（2）已知2017年環(huán)衛(wèi)處安排了50名環(huán)衛(wèi)工人參與了直接清掃工作，為保證順利完成每日的420千米清掃工作，需派出多少輛道路清掃車參與工作（已知2017年環(huán)衛(wèi)工人與清掃車每天工作時間為6小時）？
（3）為了鞏固文明城市創(chuàng)建成果，從2018年5月開始，環(huán)衛(wèi)處新增了一輛清掃車參與工作，同時又增加了若干個環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，使得每日能夠較早的完成清掃工作．2018年6月市環(huán)衛(wèi)處擴大清掃范圍60千米，同時又增加了20名環(huán)衛(wèi)工人直接參與清掃，此時環(huán)衛(wèi)工人和清掃車每日工作時間仍與5月份相同，那么2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了多少名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃？
【答案】（1）1名環(huán)衛(wèi)工人每小時清掃0.6千米，1輛道路清掃車每小時8千米；（2）派出5輛道路清掃車參與工作；（3）2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了10名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃.
【分析】（1）設(shè)1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時分別清掃x千米和y千米，由題意可得，進行求解即可；
（2）設(shè)派出m輛道路清掃車參與工作，則(50×0.6+8m)×6=420，進行求解即可；
（3）設(shè)2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了n名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，由題意寫出分式方程進行求解即可.
【詳解】（1）設(shè)1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時分別清掃x千米和y千米，
由題意可得，解得，
答：1名環(huán)衛(wèi)工人每小時清掃0.6千米，1輛道路清掃車每小時8千米；
（2）設(shè)派出m輛道路清掃車參與工作,
則(50×0.6+8m)×6=420，解得m=5，
答：派出5輛道路清掃車參與工作；
（3）設(shè)2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了n名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，由題意得
；解得:n=10.
答：2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了10名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃.
【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用.綜合性強，有一定難度.關(guān)鍵是理解題文，列出方程求解.這里涉及到工作效率問題以及合作問題，要求學生對這類模型比較熟練.
【變式2-1】（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校七年級階段練習）某工廠制作一批零件，由一名工人做要80h完成，現(xiàn)計劃由一部分工人先做2h然后增加5名工人與他們一起做8小時，完成這項工作的。假設(shè)這些工人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排幾名工人工作？
【答案】應(yīng)該先安排2名工人工作．
【分析】設(shè)安排x人先做2h，然后根據(jù)先后兩個時段完成這項工作的，可列方程求解．
【詳解】解：設(shè)應(yīng)該先安排x名工人工作，
由題意得：
解得，
經(jīng)檢驗是原方程的解且符合題意，
∴應(yīng)該先安排2名工人工作，
答：應(yīng)該先安排2名工人工作．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于準確理解題意列出方程求解．
【變式2-2】（2022·遼寧·大石橋市石佛中學八年級期末）大石橋市政府為了落實“暖冬惠民工程”，計劃對城區(qū)內(nèi)某小區(qū)的部分老舊房屋及供暖管道和部分路段的人行地磚、綠化帶等公共設(shè)施進行全面更新改造．該工程乙隊單獨完成所需天數(shù)是甲隊單獨完成所需天數(shù)的1.5倍 ， 若甲隊先做10天，剩下兩隊合作30天完成．
（1）甲乙兩個隊單獨完成此項工程各需多少天？
（2）已知甲隊每天的施工費用為8.4萬元，乙對每天的施工費用為5.6萬元，工程施工的預(yù)算費用為500萬元，為了縮短工期并高效完成工程，擬預(yù)算的費用是否夠用？若不夠用，需追加預(yù)算多少萬元？請說明理由．
【答案】（1）甲隊單獨完成此項工程需要60天，乙隊單獨完成此項工程需要90天；（2）工程預(yù)算的施工費用不夠用，需追加預(yù)算4萬元．
【分析】（1）設(shè)甲單獨完成這項工程所需天數(shù)，表示出乙單獨完成這項工程所需天數(shù)及各自的工作效率．根據(jù)工作量＝工作效率×工作時間列方程求解；
（2）根據(jù)題意，甲乙合作工期最短，所以須求合作的時間，然后計算費用，作出判斷．
【詳解】（1）設(shè)此工程甲隊單獨完成需x天，則乙隊單獨完成這項工程需1.5x天．由題意：
解得：x=60．
經(jīng)檢驗，x=60是原方程的解，且適合題意．
1.5x=1.5×60=90．
答：甲隊單獨完成此項工程需要60天，乙隊單獨完成此項工程需要90天．
（2）因為需要縮短工期并高效完成工程，所以需兩隊合作完成，設(shè)兩隊合作這項工程需
y天，根據(jù)題意得：

解得：y=36．
所以需要施工費用36×（8.4+5.6）=504（萬元）．
因為504＞500，所以工程預(yù)算的施工費用不夠用，需追加預(yù)算4萬元．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，涉及方案決策問題，綜合性較強．
【變式2-3】（2022·廣西貴港·八年級期中）某校改造維修田徑運動場所，項目承包單位派遣了一號施工隊進場施工，計劃用30天完成整個工程．當一號施工隊施工10天后，由于實際需要，要求整個工程比原計劃提前8天完成，于是承包單位再派遣二號施工隊與一號施工隊共同施工，結(jié)果按實際需要如期完成整個工程
(1)如果二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？
(2)如果一號、二號施工隊同時進場共同施工，完成整個工程需要多少天？
【答案】(1)
(2)若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天
【分析】（1）設(shè)二號施工隊單獨施工需要x天，根據(jù)題意列出分式方程進行求解即可；
（2）直接列算式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)二號施工隊單獨施工需要x天，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解．
答：若由二號施工隊單獨施工，完成整個工期需要45天．
（2）根據(jù)題意得：（天），
答：若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天．
【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出分式方程是解題的關(guān)鍵．注意驗根.
【題型3 銷售利潤問題】
【例3】（2022·重慶巴蜀中學九年級階段練習）飛盤運動由于門檻低、限制少，且具有較強的團體性和趣味性，在全國各地悄然興起，深受年輕人喜愛．某商家購進了海綿和橡膠兩種飛盤進行銷售，已知一個橡膠飛盤比一個海綿飛盤的進價多30元，其中購買海綿飛盤花費4000元，購買橡膠飛盤花費3200元，且購買海綿飛盤的數(shù)量是購買橡膠飛盤數(shù)量的2倍．
(1)求一個海綿飛盤的進價是多少元；
(2)商家第一次購進的飛盤很快售完，決定再次購進同種類型的海綿和橡膠兩種飛盤共80個，但海綿飛盤的進價比第一次購買時提高了16%，而橡膠飛盤的進價在第一次購買時進價的基礎(chǔ)上打9折，如果商家此次購買海綿和橡膠兩種飛盤的總費用不超過4800元，那么此次最多可購買多少個橡膠飛盤？
【答案】(1)50元，；
(2)11.
【分析】（1）設(shè)一個海綿飛盤的進價為x元，則一個橡膠飛盤的進價為（x+30）元，由題意：購買海綿飛盤花費4000元，購買橡膠飛盤花費3200元，且購買海綿飛盤的數(shù)量是購買橡膠飛盤數(shù)量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)此次可購買a個橡膠飛盤，則購買個海綿飛盤，由題意：海綿飛盤的進價比第一次購買時提高了16%，而橡膠飛盤的進價在第一次購買時進價的基礎(chǔ)上打9折，商家此次購買海綿和橡膠兩種飛盤的總費用不超過4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）
解：設(shè)一個海綿飛盤的進價為x元，則一個橡膠飛盤的進價為（x+30）元，
由題意得：，
解得：x=50，
經(jīng)檢驗，x=50是原方程的解，且符合題意，
答：一個海綿飛盤的進價為50元；
（2）
設(shè)此次可購買a個橡膠飛盤，則購買個海綿飛盤，
由題意得：
解得：
∵a是整數(shù)，
∴a最大值為11，
答：此次最多可購買11個橡膠飛盤．
【點睛】此題考查分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系與不等關(guān)系，正確列出分式方程和一元一次不等式．
【變式3-1】（2022·四川南充·八年級期末）超市用2500元購進某品牌蘋果，以每千克8元的單價試銷．銷售良好，超市又安排4500元補貨．補貨進價比上次每千克少0.5元，數(shù)量是上次的2倍．
（1）求兩次進貨的單價分別是多少元．
（2）當售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求兩次銷售蘋果的毛利．
【答案】（1）第一次進貨的單價是5元，第二次進貨的單價是4.5元；（2）4600
【分析】（1）設(shè)第一次進貨的單價是x元，則第二次進貨的單價是元，根據(jù)題意，列方程求解即可；（2）求出兩次的購進數(shù)量，根據(jù)毛利=收入-成本，可求出結(jié)果．
【詳解】解：（1）設(shè)第一次進貨的單價是x元，則第二次進貨的單價是元，根據(jù)題意，得
解得
經(jīng)檢驗：是原方程的解
第二次進貨的單價是：.
答：第一次進貨的單價是5元，第二次進貨的單價是4.5元.
（2）兩次銷售蘋果的毛利：
（元）
答：兩次銷售蘋果的毛利為4600元.
【點睛】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是根據(jù)這次進貨價比上次每千克少0.5元，購進蘋果的數(shù)量是上次的2倍，列出方程求出每千克多少元，然后總千克數(shù)，根據(jù)毛利公式，從而求出解．
【變式3-2】（2022·湖南·邵陽市第六中學八年級階段練習）在落實“精準扶貧”戰(zhàn)略中，三峽庫區(qū)某駐村干部組織村民依托著名電商平臺“拼多多”組建了某土特產(chǎn)專賣店，專門將進貨自本地各家各戶的A、B兩款商品銷售到全國各地．2020年10月份，該專賣店第一次購進A商品40件，B商品60件，進價合計8400元；第二次購進A商品50件，B商品30件，進價合計6900元．
（1）求該專賣店10月份A、B兩款商品進貨單價分別為多少元？
（2）10月底，該專賣店順利將兩次購進的商品全部售出．由于季節(jié)原因，B商品缺貨，該專賣店在11月份和12月份都只能銷售A商品，且A商品11月份的進貨單價比10月份上漲了m元，進價合計49000元；12月份的進貨單價又比11月份上漲了0.5m元，進價合計61200元，12月份的進貨數(shù)量是11月份進貨數(shù)量的1.2倍．為了盡快回籠資金，A商品在11月份和12月份的銷售過程中維持每件150元的售價不變，到2021年元旦節(jié)，該專賣店把剩下的50件A商品打八折促銷，很快便售完，求該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售總金額為多少元？
【答案】（1）該店A、B兩款商品進貨單價分別為90元和80元；（2）該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售總金額為163500元．
【分析】（1）設(shè)每件A種商品的進價為x元，每件B種商品的進價為y元，根據(jù)“若購進A種商品40件，B種商品60件，需要8400元；若購進A種商品50件，B種商品30件，需要6900元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意，可以得到相應(yīng)的分式方程，從而可以得到m的值，然后即可計算出商店銷售這兩批A商品的銷售總金額．
【詳解】（1）設(shè)10月份A商品的進貨單價為x元，B商品的進貨單價為y元，由題意得：
，
解得， ，
答：該店A、B兩款商品進貨單價分別為90元和80元；
（2）由題意可得，
，
解得，m=8，
經(jīng)檢驗，m=8是原分式方程的解，
故11月份購進的A商品數(shù)量為（件），
12月份購進的A商品數(shù)量為500×1.2=600（件），
（500+600-50）×150+150×0.8×50=163500（元）．
答：該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售總金額為163500元．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組和分式方程，注意分式方程要檢驗．
【變式3-3】（2022·浙江·八年級期末）某藥店采購部于7月份和8月份分別用16000元和40000購兩批口罩，8月份每盒口罩的進價比7月份上漲20元，且數(shù)量是7月份購進數(shù)量的2倍．
（1）求7月份購進了口罩多少盒？
（2）該藥店在7，8月份均將當月購進的口罩平均分給甲、乙兩家分店銷售，并統(tǒng)一規(guī)定每盒口罩的標價為150元．已知7月份兩店按標價各賣出盒后，甲店剩余口罩按標價的八折出售；乙店剩余口罩先按標價的九折售出盒后，再將余下口罩按標價七折全部售出，結(jié)果利潤與甲店相同．
①用含的代數(shù)式表示．
②8月份，乙店計劃將分到的口罩按標價出售箱后，剩余口罩全部捐獻給醫(yī)院．若至少捐贈96盒口罩，且預(yù)計乙店7，8月份能從這兩批口罩銷售中獲得的總利潤為2000元，求所有可能的值．
【答案】（1）200盒；（2）①；②a=100，b=0，n=100或a=90，b=5，n=102或a=80，b=10，n=104
【分析】（1）設(shè)7月份購進了口罩x盒，根據(jù)8月份每盒口罩的進價比7月份上漲20元列出方程，解之即可；
（2）①根據(jù)7月份乙店利潤與甲店相同列出關(guān)于a，b的方程，化簡即可；
②首先求出兩個月乙店的利潤，根據(jù)總利潤為2000元列出方程，得到，再根據(jù)至少捐贈96盒口罩，求出n的范圍，得到b的范圍，再求整數(shù)解即可．
【詳解】解：（1）設(shè)7月份購進了口罩x盒，
由題意可得：，
解得：x=200，
∴7月份購進了口罩200盒；
（2）①由（1）可得7月份口罩每盒=80元，
由題意可得：，
整理得：；
②由題意可得：8月份購進了口罩400盒，8月份口罩進價為每盒100元，
7月份乙店獲得的利潤為：
=
8月份乙店獲得的利潤為：=，
∴，即，
∵，
∴，即，即，
∵至少捐贈96盒口罩，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴b可以取0，5，10，
當b=0時，a=100，n=100；
當b=5時，a=90，n=102；
當b=10時，a=80，n=104．
【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，列代數(shù)式，二元一次方程的解以及不等式，解體的關(guān)鍵是理清題意，本題條件較多，一定要仔細讀題．
【題型4 航行問題】
【例4】（2022·福建省福州教育學院附屬中學模擬預(yù)測）已知兩港之間的距離為150千米，水流速度為5千米/時．
(1)若一輪船從A港順流航行到B港所用的時間是從B港逆流航行到A港所用時間的，求該輪船在靜水中的航行速度；
(2)記某船從A港順流航行到B港，再從B港逆流航行返回到A港所用的時間為；若該船從A港航行到B港再返回到A港均為靜水航行，所用時間為，請比較與的大小，并說明理由．
【答案】(1)輪船在靜水中的航行速度為25千米/時
(2)，理由見解析
【分析】（1）設(shè)輪船在靜水中的航行速度為千米/時，故可知順流速度為千米/時，逆流速度為千米/時，列分式方程，求解即可．
（2）設(shè)船在靜水中的航行速度為千米/時，由題意可知，，比較與0的大?。?br>（1）
解：設(shè)輪船在靜水中的航行速度為，
則順流速度為千米/時，逆流速度為千米/時；
故有
解得
經(jīng)檢驗得是原方程的解
∴該輪船在靜水中的航行速度為千米/時．
（2）
解：設(shè)船在靜水中的航行速度為千米/時
由題意知
．
【點睛】本題考查了分式方程與異分母分式的加減．解題的關(guān)鍵在于正確的列分式方程與分式的比較大小．
【變式4-1】（2022·新疆·吐魯番市高昌區(qū)第一中學八年級期中）一艘輪船在靜水中的最大航速為千米/時，它沿江以最大航速順流航行千米所用時間，與以最大航速逆流航行千米所用時間相等．求江水的流速為多少千米/時．
【答案】16千米/時
【分析】設(shè)江水的流速為千米/時，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．
【詳解】設(shè)江水的流速為千米/時，根據(jù)題意得，
，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
答：江水的流速為16千米/時．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·吉林四平·七年級期末）兩船從同一港口同時出發(fā)反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后兩船相距多遠？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙兩個碼頭間往返，其中去程的時間是回程的時間3倍，則小快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關(guān)系是 ．
【答案】（1）2h后兩船相距千米（2）2h后甲船比乙船多航行千米；（3）
【分析】（1）分別求得甲乙兩船行駛的路程，即可求解；
（2）用甲船行駛的路程減去乙船行駛的路程，即可求解；
（3）由題意可得去程是逆水行駛，返程是順水行駛，設(shè)碼頭之前的距離為，列方程求解即可．
【詳解】解：（1）2h后，甲船行駛的路程為，乙船行駛的路程為
兩船相距為
答：2h后兩船相距千米
（2）由（1）得2h后，甲船行駛的路程為，乙船行駛的路程為
甲船比乙船多航行
答：2h后甲船比乙船多航行千米
（3）由題意可得去程是逆水行駛，返程是順水行駛，設(shè)碼頭之前的距離為
則去程時間為，返程時間為
由題意可得，即，解得
快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關(guān)系是為
故答案為
【點睛】此題考查了列代數(shù)式，以及分式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握船順流航行和逆流航行的速度公式是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2022·全國·八年級單元測試）一小船由港到港順流航行需6小時，由港到港逆流航行需8小時.小船從早晨6時由港到港時，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小時后找到救生圈.
問：（1）小船由港漂流到港需要多少小時？
（2）救生圈是何時掉入水中的？
【答案】（1）48；（2）10時.
【分析】（1）先設(shè)小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小時，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程，求出x的值，在進行檢驗即可；
（2）先設(shè)救生圈是在x點鐘落下水中的，則救生圈每小時順水漂流的距離等于全程的
，根據(jù)小船早晨6時從港出發(fā)，順流航行需6小時，得出它在中午12點鐘到達B港，根據(jù)救生圈在y點鐘就已掉下水，到這時已漂流的時間為（12-x）小時，在這段時間里，每小時船行駛?cè)痰?，救生圈沿著航行方向漂流全程的，船與救生圈同向而行，距離拉大，船到B港后立刻掉頭去找救圈，2小時后找到，在這一小時內(nèi)，船與救生圈相向而行，將原已拉開的距離縮短為0，列出方程，求出方程的解即可
【詳解】（1）設(shè)船由港漂流到港需要小時，
依題意得，，解得.
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且有意義.
（2）設(shè)救生圈在時落入水中，由（1）知水的速度為，則，解得.
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合實際意義.
【點睛】此題考查分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于列出方程
【題型5 和、差、倍、分問題】
【例5】（2022·江蘇淮安·八年級期末）第5代移動通信技術(shù)簡稱5G，某地已開通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小明和小強分別用5G與4G下載一部600兆的公益片，小明比小強所用的時間快140秒，求該地5G下載速度是每秒多少兆？
【答案】60兆
【分析】設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆，根據(jù)“小明比小強所用的時間快140秒”列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆
由題意得：
解得：x=4，
經(jīng)檢驗：x=4是原分式方程的解，且符合題意，
15×4=60，
答：該地5G的下載速度是每秒60兆．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)列出方程．
【變式5-1】（2022·江蘇·儀征市實驗中學東區(qū)校九年級階段練習）某生態(tài)示范村種植基地計劃種植一批葡萄，原計劃總產(chǎn)量要達到36萬斤．為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良葡萄品種．改良后平均每畝產(chǎn)量是原計劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計劃增加了8萬斤，種植畝數(shù)減少了20畝，則改良后平均每畝產(chǎn)量是多少萬斤？
【答案】改良后平均每畝產(chǎn)量是0.5萬斤
【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：原計劃種植的畝數(shù)－改良后種植的畝數(shù)=20畝，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)原計劃每畝產(chǎn)量萬斤，改良后每畝產(chǎn)量萬斤，
，
解得，，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，
，
答：改良后平均每畝產(chǎn)量是0.5萬斤．
【點睛】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2022·北京八中八年級期中）“綠色環(huán)保，健康出行”新能源汽車越來越占領(lǐng)汽車市場，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”為例，分別在某加油站和某充電站加油和充電的電費均為 300 元，而續(xù) 航里程之比則為 1∶4．經(jīng)計算新能源汽車相比燃油車節(jié)約 0.6 元/公里．
（1）分別求出燃油車和新能源汽車的續(xù)航單價（每公里費用）；
（2）隨著更多新能源車進入千家萬戶，有條件的小區(qū)及用戶將享受 0.48 元/度的優(yōu)惠專用電費．以新能源 EV500 為例，充電 55 度可續(xù)航 400 公里，試計算每公里所需電費， 并求出與燃油車相同里程下的所需費用（油電）百分比．
【答案】（1）燃油車0.8；新能源汽車0.2；（2）8.25%
【分析】（1）設(shè)新能源汽車續(xù)航單價為x元/公里，則燃油車續(xù)航單價為（x+0.6）元/公里，根據(jù)等量關(guān)系式：新能源汽車續(xù)航里程：燃油車續(xù)航里程=4∶1，列出方程，解之即可.
（2）根據(jù)總價=單價×數(shù)量可得新能源汽車400公里所需費用，再用此費用÷總公里數(shù)即可得新能源汽車每公里所需電電費；由（1）知燃油汽車每公里費用，用此費用乘以總公里數(shù)可得燃油汽車總費用，再用新能源汽車的總費用÷燃油車相同里程下的所需費用即可得答案.
【詳解】解：（1）設(shè)新能源汽車續(xù)航單價為x元/公里，則燃油車續(xù)航單價為（x+0.6）元/公里，依題可得：
： =4：1，
解得：x=0.2，
∴燃油車續(xù)航單價為：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），
答：新能源汽車續(xù)航單價為0.2元/公里，燃油車續(xù)航單價為0.8元/公里.
（2）依題可得新能源汽車400公里所需費用為：
0.48×55=26.4（元），
∴新能源汽車每公里所需電電費為：
26.4÷400=0.066（元/公里），
依題可得燃油汽車400公里所需費用為：
400×0.8=320（元），
∴新能源汽車與燃油車相同里程下的所需費用（油電）百分比為：
26.4÷320=0.0825=8.25%.
答：新能源汽車每公里所需電電費為0.066元；新能源汽車與燃油車相同里程下的所需費用（油電）百分比為8.25%.
【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022·浙江舟山·七年級期末）舟山市疫情防控工作領(lǐng)導(dǎo)小組在5月30日發(fā)布了常態(tài)化核酸檢測工作的通知，6月3日起我市居民進入公共場所須憑7天內(nèi)核酸采樣或檢測陰性證明．根據(jù)文件要求，學生在校期間每周要組織核酸檢測一次，某校積極響應(yīng)，安排校醫(yī)甲和教師乙進行核酸采集培訓．經(jīng)過培訓后，甲采集的速度是乙的兩倍，且甲采集52人用時比乙采集30人用時少2分鐘．
(1)求甲、乙平均每分鐘分別采集多少人？
(2)該校七年級學生人數(shù)比八年級少18人，其中七年級有7個班，每班m人，8八年級有6個班，每班n人，兩名采集員各自用了87分鐘完成了七、八年級學生核酸采集工作，求m和n的值；
(3)該校教職工70人完成核酸采集后要放入10人試管或20人試管中，在保證每個試管不浪費情況下，有哪幾種分裝方案？
【答案】(1)甲平均每分鐘采集4人，乙平均每分鐘采集2人；
(2)
(3)有4種方案：①5個10人試管，1個20人試管；
②3個10人試管，2個20人試管；
③1個10人試管，3個20人試管；
④7個10人試管，0個20人試管．
【分析】（1）可設(shè)乙速度為平均每分鐘采集x人，甲為2x人，根據(jù)所用的時間可列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)題意列出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解方程組即可；
（3）設(shè)10人試管有x個，20人試管有y個，從而得到10x+20y=70，根據(jù)x與y都是正整數(shù)，從而可求解．
（1）
解：設(shè)乙速度為平均每分鐘采集x人，則甲為每分鐘采集2x人，
依題意得：，
解得x=2，
2×2=4人，
經(jīng)檢驗：x=2是方程的解且符合題意，
答：甲平均每分鐘采集4人，乙平均每分鐘采集2人；
（2）
解：依題意得：，
解得；
（3）
解：設(shè)10人試管有x個，20人試管有y個，依題意得：
10x+20y=70，即x=7-2y，
則有：或或或，
有4種方案：①5個10人試管，1個20人試管；
②3個10人試管，2個20人試管；
③1個10人試管，3個20人試管；
④7個10人試管，0個20人試管．
【點睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意找到等量關(guān)系．
【題型6 數(shù)字問題】
【例6】（2022·貴州·銅仁市第十一中學八年級期中）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字是6，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)之比是，原來得兩位數(shù)是______．
【答案】63
【分析】設(shè)這個兩位數(shù)個位上的數(shù)為x，，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程，最后檢驗并作答．
【詳解】解：設(shè)這個兩位數(shù)個位上的數(shù)為x，
則可列方程：，
整理得66x＝198，
解得x＝3，
經(jīng)檢驗x＝3是原方程的解，則60+x＝63，
故答案為：63．
【點睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系②列出方程③解出分式方程④檢驗⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗．
【變式6-1】（2022·全國·八年級課時練習）有一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，這個兩位數(shù)被個位數(shù)字除時，商是8，余數(shù)是2，求這個兩位數(shù)．
【答案】34
【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為，則個位上的數(shù)字為，兩位數(shù)是，利用兩位數(shù)減2除以個位數(shù)字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，檢驗后求出兩位數(shù)即可．
【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為，則個位上的數(shù)字為，
則：，
解方程得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的根，
所以個位上的數(shù)字為：＝3＋1＝4，
所以這個兩位數(shù)是：3×10＋4＝34．
答：這個兩位數(shù)是34．
【點睛】本題考查數(shù)字問題分式方程應(yīng)用題，掌握分式方程解應(yīng)用題的步驟與解法，關(guān)鍵是抓住兩位數(shù)減2除以個位數(shù)字，商是8列出方程．
【變式6-2】（2022·山東濰坊·八年級期末）一個二位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是12，如果交換十位數(shù)字與個位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分數(shù)約分為，則這個二位數(shù)是_____．
【答案】84
【分析】設(shè)這個二位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為（12﹣x），根據(jù)“如果交換十位數(shù)字與個位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分數(shù)約分為”，即可得出關(guān)于x的分式方程，經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．
【詳解】設(shè)這個二位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為（12﹣x），
根據(jù)題意得：＝，
解得：x＝8，
經(jīng)檢驗，x＝8是所列分式方程的解，且符合題意，
∴12﹣x＝4．
故答案為84．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2022·全國·八年級專題練習）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大4，用個位上的數(shù)去除這個兩位數(shù)商是3，求這個兩位數(shù).
【答案】15.
【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為x+4，這個兩位數(shù)為：10x+（x+4），根據(jù)用個位上的數(shù)去除這個兩位數(shù)商是3，列出分式方程，求解即可得出答案．
【詳解】解：，
解得：x=1，
經(jīng)檢驗，x=1是分式方程的解，
10x+（x+4）=10×1+1+4=15．
答：這個兩位數(shù)為15．
【點睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，利用個位與十位的關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．在解答本題的過程中根據(jù)條件從而得到本題的結(jié)果．
【題型7 圖形問題】
【例7】（2022·全國·七年級單元測試）已知一個長方形的長是40，寬是30，現(xiàn)要把它的長和寬減少相同的長度后，使新的長方形的長和寬之比是，減少的長度是______.
【答案】5
【分析】設(shè)減少的長度是x，根據(jù)題意列出方程，解方程，檢驗即可.
【詳解】解：設(shè)減少的長度是，由題意，得
去分母得：
去括號得：
移項得：
合并同類項得：
系數(shù)化為1得：
經(jīng)檢驗，x=5是該方程的解
故填：5.
【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用.能根據(jù)題意列出方程是解決此題的關(guān)鍵，還需注意對方程的解要進行檢驗.
【變式7-1】（2022·福建省泉州第一中學八年級期末）如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了．
(1)“豐收1號”單位面積產(chǎn)量為 ，“豐收2號”單位面積產(chǎn)量為 （結(jié)果用含的式子表示）；
(2)若“豐收2號”的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號”的單位面積產(chǎn)量的倍，求的值．
【答案】(1)；
(2)5
【分析】（1）分別求出“豐收1號”、“豐收2號”的面積，再用500除以面積即可；
（2）根據(jù)題意列出關(guān)于等式求解即可，注意需要驗根．
(1)
解：“豐收1號”的面積為：，
單位面積產(chǎn)量為：；
“豐收2號”的面積為：，
單位面積產(chǎn)量為：；
故答案為：；；
(2)
解：由題意，可得，
解得，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，
∴a的值為5．
【點睛】本題考查了列代數(shù)式，分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的分式方程．
【變式7-2】（2022·浙江·七年級階段練習）李師傅要給一塊長9米，寬7米的長方形地面鋪瓷磚，如圖，現(xiàn)有A和B兩種款式的瓷磚，且A款正方形瓷磚的邊長與B款長方形瓷磚的長相等，B款瓷磚的長大于寬，李師傅打算按如下設(shè)計圖的規(guī)律進行鋪瓷磚，若A款瓷磚的用量比B款瓷磚的2倍少14塊，且恰好鋪滿地面，則B款瓷磚的長為_______米，寬為_______米．
【答案】 1 或
【分析】設(shè)款瓷磚邊長為米，款瓷磚長為米、寬為米，則，解得，由題意知是正整數(shù)，設(shè)為正整數(shù)），解得，將為正整數(shù)代入即可得出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)款瓷磚邊長為米，款瓷磚長為米、寬為米，
則，
解得：，
經(jīng)檢驗，a=1是原方程的解，
由題意得：是正整數(shù)，
設(shè)為正整數(shù)），
解得：，
當時，，舍去）；
當時，，舍去）；
當時，；
當時，．
故答案為：1，或．
【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意，根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)列出方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2022·浙江杭州·七年級期末）某工廠承接了一批紙箱加工任務(wù)，用如圖1所示的長方形和正方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等）作側(cè)面和底面，加工成如圖2所示的豎式和橫式兩種無蓋的長方體紙箱.（加工時接縫材料不計）
圖1 圖2
（1）若該廠倉庫里有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板．問豎式和橫式紙箱各加工多少個，恰好將庫存的兩種紙板全部用完？
（2）該工廠原計劃用若干天加工紙箱2400個，后來由于對方急需要貨，實際加工時每天加工速度是原計劃的1.5倍，這樣提前2天完成了任務(wù)，問原計劃每天加工紙箱多少個？
【答案】（1）加工豎式紙盒200個，橫式紙盒400個；（2）原計劃每天加工紙箱400個
【分析】（1）設(shè)加工豎式紙箱個，橫式紙箱個，根據(jù)豎式紙箱需要4張長方形紙板，1張正方形紙板，橫式紙箱需要3張長方形紙板，2張正方形紙板列出方程組，然后求解方程組即可；
（2）設(shè)原計劃每天加工紙箱個，根據(jù)“實際加工時每天加工速度是原計劃的1.5倍，這樣提前2天完成了任務(wù)”列出關(guān)于a的分式方程，然后求解方程驗根即可.
【詳解】解：（1）設(shè)加工豎式紙箱個，橫式紙箱個，
由題意，得，
解得，
答：加工豎式紙盒200個，橫式紙盒400個；
（2）設(shè)原計劃每天加工紙箱個，
由題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗：是所列方程的根，且符合題意.
答：原計劃每天加工紙箱400個.
【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，找到題中相等關(guān)系的量列出方程（組）.
【題型8 方案問題】
【例8】（2022·四川成都·八年級期末）某河流防污治理工程已正式啟動，由甲隊單獨做5個月后，乙隊再加入合作3個月就可以完成這項工程．已知若甲隊單獨做需要10個月可以完成．
（1）乙隊單獨完成這項工程需要幾個月？
（2）已知甲隊每月施工費用為15萬元，比乙隊多6萬元，按要求該工程總費用不超過141萬元，工程必須在一年內(nèi)竣工（包括12個月）．為了確保經(jīng)費和工期，采取甲隊做a個月，乙隊做b個月（a、b均為整數(shù)）分工合作的方式施工，問有哪幾種施工方案？
【答案】（1）15（2）方案一：甲隊作4個月，乙隊作9個月；方案二：甲隊作2個月，乙隊作12個月
【分析】(1)設(shè)完成本項工程的工作總量為1,由題意可知,從而得出x=15. 即單獨完成這項工程需要15個月.
(2)根據(jù)題目關(guān)鍵信息：該工程總費用不超過141萬元、采取甲隊做a個月，乙隊做b個月（a、b均為整數(shù)）分工合作的方式施工可以列出關(guān)于a、b方程組，從而得出a、b的取值范圍，根據(jù)a、b的取值范圍及a、b均為整數(shù)的關(guān)系得出b為3的倍數(shù)，則b=9或b=12．從而得出a的取值.確定工程方案.
【詳解】（1）設(shè)乙隊需要x個月完成，根據(jù)題意得：
經(jīng)檢驗x=15是原方程的根
答：乙隊需要15個月完成；
（2）根據(jù)題意得：，解得：a≤4 b≥9
∵a≤12，b≤12且a，b都為正整數(shù)，
∴9≤b≤12又a=10﹣b，
∴b為3的倍數(shù)，∴b=9或b=12．
當b=9時，a=4；
當b=12時，a=2
∴a=4，b=9或a=2，b=12．
方案一：甲隊作4個月，乙隊作9個月；
方案二：甲隊作2個月，乙隊作12個月；
【點睛】本題主要考查列方程解決工程問題，工程問題是中考?？贾R點.根據(jù) a、b的取值范圍及a、b均為整數(shù)的關(guān)系得出b為3的倍數(shù)是本題的難點.
【變式8-1】（2022·河南南陽·三模）某市為了做好“全國文明城市”驗收工作，計劃對市區(qū)米長的道路進行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊進行施工．
（1）已知甲工程隊改造360米的道路與乙工程隊改造300米的道路所用時間相同．若甲工程隊每天比乙工程隊多改造30米，求甲、乙兩工程隊每天改造道路的長度各是多少米．
（2）若甲工程隊每天可以改造米道路，乙工程隊每天可以改造米道路，（其中）．現(xiàn)在有兩種施工改造方案：
方案一：前米的道路由甲工程隊改造，后米的道路由乙工程隊改造；
方案二：完成整個道路改造前一半時間由甲工程隊改造，后一半時間由乙工程隊改造．
根據(jù)上述描述，請你判斷哪種改造方案所用時間少？并說明理由．
【答案】（1）甲工程隊每天道路的長度為180米，乙工程隊每天道路的長度為150米；（2）方案二所用的時間少
【分析】（1）設(shè)乙工程隊每天道路的長度為米，根據(jù)“甲工程隊改造360米的道路與乙工程隊改造300米的道路所用時間相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根據(jù)題意，分別表示出兩種方案所用的時間，再作差比較大小，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)乙工程隊每天道路的長度為米，則甲工程隊每天道路的長度為米，
根據(jù)題意，得：，
解得：，
檢驗，當時，，
∴原分式方程的解為：，
，
答：甲工程隊每天道路的長度為180米，乙工程隊每天道路的長度為150米；
（2）設(shè)方案一所用時間為：，
方案二所用時間為，則，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴方案二所用的時間少．
【點睛】本題主要考查分式方程的實際應(yīng)用以及分式的減法法則，找出等量關(guān)系，列分式方程，掌握分式的通分，是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2022·云南大理·八年級期末）某開發(fā)公司生產(chǎn)的 960 件新產(chǎn)品需要精加工后，才能投放市場，現(xiàn)甲、乙兩個工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用 20 天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工的數(shù)量的，公司需付甲工廠加工費用為每天 80 元，乙工廠加工費用為每天 120 元．
（1）甲、乙兩個工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品？
（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個廠家單獨完成，也可以由兩個廠家合作完成．在加工過程中，公司派一名工程師每天到廠進行技術(shù)指導(dǎo)，并負擔每天 15 元的午餐補助費， 請你幫公司選擇一種既省時又省錢的加工方案，并說明理由．
【答案】（1）甲工廠每天加工 16 件產(chǎn)品，乙工廠每天加工 24 件產(chǎn)品. （2）甲、乙兩工廠合作完成此項任務(wù)既省時又省錢．見解析．
【分析】（1）設(shè)甲工廠每天加工 x 件新品，乙工廠每天加工 1.5x 件新品，根據(jù)題意找出等量關(guān)系：甲廠單獨加工這批產(chǎn)品所需天數(shù)﹣乙工廠單獨加工完這批產(chǎn)品所需天數(shù)＝20， 由等量關(guān)系列出方程求解．
（2）分別計算出甲單獨加工完成、乙單獨加工完成、甲、乙合作完成需要的時間和費用， 比較大小，選擇既省時又省錢的加工方案即可．
【詳解】（1）設(shè)甲工廠每天加工 x 件新品，乙工廠每天加工 1.5x 件新品，
則： 解得：x＝16
經(jīng)檢驗，x＝16 是原分式方程的解
∴甲工廠每天加工 16 件產(chǎn)品，乙工廠每天加工 24 件產(chǎn)品
（2）方案一：甲工廠單獨完成此項任務(wù)，則需要的時間為：960÷16＝60 天
需要的總費用為：60×（80+15）＝5700 元
方案二：乙工廠單獨完成此項任務(wù)，則
需要的時間為：960÷24＝40 天
需要的總費用為：40×（120+15）＝5400元
方案三：甲、乙兩工廠合作完成此項任務(wù)，設(shè)共需要 a 天完成任務(wù)，則
16a+24a＝960
∴a＝24
∴需要的總費用為：24×（80+120+15）＝5160元
綜上所述：甲、乙兩工廠合作完成此項任務(wù)既省時又省錢．
【點睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出等量關(guān)系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，應(yīng)注意檢驗其結(jié)果是否符合題意；②選擇最優(yōu)方案時，需將求各個方案所需時間和所需費用，經(jīng)過比較后選擇最優(yōu)的那個方案．
【變式8-3】（2022·江西·南昌市第八中學八年級階段練習）某商場購進甲、乙兩種空調(diào)共50臺．已知購進一臺甲種空調(diào)比購進一臺乙種空調(diào)進價少0.3萬元；用20萬元購進甲種空調(diào)數(shù)量是用40萬元購進乙種空調(diào)數(shù)量的2倍．請解答下列問題：
（1）求甲、乙兩種空調(diào)每臺進價各是多少萬元？
（2）若商場預(yù)計投入資金不少于10萬元，且購進甲種空調(diào)至少31臺，商場有哪幾種購進方案？
（3）在（2）條件下，若甲種空調(diào)每臺售價1100元，乙種空調(diào)每臺售價4300元，甲、乙空調(diào)各有一臺樣機按八折出售，其余全部標價售出，商場從銷售這50臺空調(diào)獲利中拿出2520元作為員工福利，其余利潤恰好又可以購進以上空調(diào)共2臺．請直接寫出該商場購進這50臺空調(diào)各幾臺．
【答案】（1）0.1，0.4；（2）商場有3種購進方案：①購買甲種空調(diào)31臺，購買乙種空調(diào)19臺；②購買甲種空調(diào)32臺，購買乙種空調(diào)18臺；③購買甲種空調(diào)33臺，購買乙種空調(diào)17臺；（3）購買甲種空調(diào)32臺，購買乙種空調(diào)18臺
【分析】（1）可設(shè)甲種空調(diào)每臺進價是x萬元，則乙種空調(diào)每臺進價是（x+0.3）萬元，根據(jù)等量關(guān)系用20萬元購進甲種空調(diào)數(shù)量＝用40萬元購進乙種空調(diào)數(shù)量×2，列出方程求解即可；
（2）設(shè)購買甲種空調(diào)n臺，則購買乙種空調(diào)（50﹣n）臺，根據(jù)商場預(yù)計投入資金不少于10萬元，且購進甲種空調(diào)至少31臺，求出n的范圍，即可確定出購買方案；
（3）找到（2）中3種購進方案符合條件的即為所求．
【詳解】解：（1）設(shè)甲種空調(diào)每臺進價是x萬元，則乙種空調(diào)每臺進價是（x+0.3）萬元，依題意有
＝×2，
解得x＝0.1，
x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．
答：甲種空調(diào)每臺進價是0.1萬元，乙種空調(diào)每臺進價是0.4萬元；
（2）設(shè)購買甲種空調(diào)n臺，則購買乙種空調(diào)（50﹣n）臺，依題意有
，
解得31≤n≤33，
∵n為整數(shù)，
∴n取31，32，33，
∴商場有3種購進方案：①購買甲種空調(diào)31臺，購買乙種空調(diào)19臺；②購買甲種空調(diào)32臺，購買乙種空調(diào)18臺；③購買甲種空調(diào)33臺，購買乙種空調(diào)17臺；
（3）①購買甲種空調(diào)31臺，購買乙種空調(diào)19臺，
（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520
＝7720﹣2520
＝5200（元），
不符合題意，舍去；
②購買甲種空調(diào)32臺，購買乙種空調(diào)18臺，
（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520
＝7520﹣2520
＝5000（元），
符合題意；
③購買甲種空調(diào)33臺，購買乙種空調(diào)17臺，
（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520
＝7320﹣2520
＝4800（元），
不符合題意，舍去．
綜上所述，購買甲種空調(diào)32臺，購買乙種空調(diào)18臺．
【點睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式組的應(yīng)用，弄清題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．

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