1．（2022·湖北·宜城市第二高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)集合，集合是集合的非空子集，中最大元素和最小元素的差稱為集合的長度，那么集合所有長度為的子集的元素個(gè)數(shù)之和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)最小元素為，最大元素為時(shí)，集合有如下情況：
集合中只含個(gè)元素；，只有種情況；
集合中含有個(gè)元素；，且，共有種情況；
集合中含有個(gè)元素；，且，共有種情況；
以此類推
集合中含有個(gè)元素；，有有種情況；
所以此類滿足要求的子集元素個(gè)數(shù)之和：
①
②
，
②兩式相加可得：


同理可得：，， ，，所有子集元素個(gè)數(shù)之和都是
集合所有長度為的子集的元素個(gè)數(shù)之和為.
故選：A
2．（2022·湖北·宜城市第二高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）小林同學(xué)喜歡吃4種堅(jiān)果：核桃?腰果?杏仁?榛子，他有5種顏色的“每日?qǐng)?jiān)果”袋.每個(gè)袋子中至少裝1種堅(jiān)果，至多裝4種堅(jiān)果.小林同學(xué)希望五個(gè)袋子中所裝堅(jiān)果種類各不相同，且每一種堅(jiān)果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（ ）
A．20160B．20220C．20280D．20340
【答案】A
【解析】依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，則每個(gè)字母出現(xiàn)2次或4次，分類計(jì)算分堆可能：
（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.
若是“8=4+1+1+1+1”，則其中的“4”必須是HYXZ，故1種可能；
若是“8=3+2+1+1+1”，則考慮（HYX）（Z※）（※）（※），故有種可能；
若是“8=1+1+2+2+2”，則考慮（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有種可能；
小計(jì)：1+12+12=25；
（2）諸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”類型
若是“10=4+3+1+1+1”，則四個(gè)H無論怎么安排，都會(huì)出現(xiàn)某兩個(gè)袋僅放H，故0種可能；
若是“10=4+2+2+1+1”，則“1+1”中有一個(gè)是H，“4+2+2”中各一個(gè)H，“2+2”中除了一個(gè)H外，另一個(gè)互異，故有種可能；
若是“10=3+3+2+1+1”，則“1+1”中各有1個(gè)H，“3+3+2”中各一個(gè)H，可以考慮含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有種可能；
若是“10=3+2+2+2+1”，則可用下表進(jìn)一步分類，有1+種可能；
若是“10=2+2+2+2+2”，則四個(gè)H至少有兩個(gè)出現(xiàn)搭配相同，故0種可能；
小計(jì)：；
（3）諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”類型
若是“12=4+4+2+1+1”，則“4+4”必然重復(fù)，故0種可能；
若是“12=4+3+3+1+1”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)僅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能；
若是“12=4+3+2+2+1”，則考慮（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），故有種可能；
若是“12=3+3+3+2+1”，則有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2種可能；
若是“12=3+3+2+2+2”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2種可能.
小計(jì)；
諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”類型
若是“14=4+4+*+*+*”，則“4+4”必然重復(fù)，故0種可能；
若是“14=4+3+3+3+1”，則“4+3+3+3”中至少有3個(gè)Z，故0種可能；
若是“14=4+3+3+2+2”，則“4+3+3”至少有2個(gè)Z，考慮（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有種可能，故此小類有3種可能；
若是“14=3+3+3+3+2”，則“3+3+3+3”中至少有3個(gè)Z，故0種可能；
小計(jì)；
（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z”
只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1種可能；
綜上：共有25+76+54+12+1=168個(gè)分堆可能，故不同的方案數(shù)為=種.
故選：A
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是離散型隨機(jī)變量的期望，則下列不等式中不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】A：由且定義域?yàn)椋瑒t，，即為上凸函數(shù)，有，所以；
B：由且定義域?yàn)椋瑒t，，顯然上，即在為下凹函數(shù)，，所以存在；
C：由，則，，顯然在，上，即在，為下凹函數(shù)，有，所以存在；
D：由，則，，顯然存在上，即在為下凹函數(shù)，有，所以存在.
故選：A.
4．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，，其中為展開式中項(xiàng)系數(shù)，，則下列說法不正確的有（ ）
A．，
B．
C．
D．是，，，…，是最大值
【答案】B
【解析】由題意知，三項(xiàng)式系數(shù)塔與楊輝三角構(gòu)造相似，其第二行為三個(gè)數(shù)，且下行對(duì)應(yīng)的數(shù)是上一行三個(gè)數(shù)之和，當(dāng)時(shí)，
故，是，，，…，的中間項(xiàng)，故最大，所以A，D正確；令可知：；
當(dāng)時(shí)，，，，，所以，所以B不正確；
令可知，，即；
又因?yàn)?故，C正確.
故選：B.
5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高三開學(xué)考試（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且或的概率均為，設(shè)能被整除的概率為．有下述四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．②③④
【答案】C
【解析】被整除的余數(shù)有種情況，分別為、、，
被整除的概率為，被整除余數(shù)分別為、的概率均為，
所以，，
所以，，且，
所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，
所以，，故.
故，，，
當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，
所以，①④錯(cuò)，②③對(duì).
故選：C.
6．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）互不相等的正實(shí)數(shù)是的任意順序排列，設(shè)隨機(jī)變量滿足：則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量滿足：
所以當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)或時(shí)，；
所以X，Y的分布列為：
所以，
，
所以，
故選：C
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)數(shù)”難題．當(dāng)時(shí)，，又根據(jù)泰勒展開式可以得到，根據(jù)以上兩式可求得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，兩邊同時(shí)除以x，
得，
又
展開式中的系數(shù)為，
所以，
所以．
故選：A．
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））在卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)中，，其中為列聯(lián)表中第行列的實(shí)際頻數(shù)，為假定獨(dú)立情況下由每行?每列的總頻率乘以總頻數(shù)得到的理論頻數(shù)，取時(shí)，如表所示，則有：，因此：與課本公式等價(jià)，故以下列聯(lián)表的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，可將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，
，所以，
；
；
；
；
；
；
，①
由，設(shè)，，所以
，
帶入①式得：
令，設(shè)函數(shù)，該函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，而因?yàn)椋援?dāng)時(shí)最接近最小值，故時(shí)，時(shí)①式取得最小值，為.
故選：C.
9．（2022·四川·成都七中高三開學(xué)考試（理））某醫(yī)院分配3名醫(yī)生6名護(hù)士緊急前往三個(gè)小區(qū)協(xié)助社區(qū)做核酸檢測(cè).要求每個(gè)小區(qū)至少一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士.問共有多少種分配方案？（ ）
A．3180B．3240C．3600D．3660
【答案】B
【解析】每個(gè)小區(qū)至少一名護(hù)士，則把護(hù)士分為3組，共有3種情況：1,1,4；1,2,3；2,2,2
把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為1,1,4，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有
種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；
把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為1,2,3，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有
種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；
把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為2,2,2，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有
種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為
綜上，分配方案總數(shù)為
故選：B
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)，若是從三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么恒成立的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“＝”，
∴，
于是恒成立就轉(zhuǎn)化為成立；
當(dāng)時(shí)， ，
設(shè)事件A：“恒成立”，
則基本事件總數(shù)為15個(gè)，即
（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）共9個(gè)
所以.
故選：A.
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在某城市中，?兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)?處的甲?乙兩人分別要到?處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)?處為止.則下列說法正確的是（ ）
A．甲從到達(dá)處的方法有種
B．甲從必須經(jīng)過到達(dá)處的方法有種
C．甲?乙兩人在處相遇的概率為
D．甲?乙兩人相遇的概率為
【答案】C
【解析】A選項(xiàng)，甲從M到達(dá)N處，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，則甲從M到達(dá)N處的方法有種，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，甲經(jīng)過到達(dá)N處，可分為兩步：
第一步，甲從M經(jīng)過需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法數(shù)為種；
第二步，甲從到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法數(shù)為種.
∴甲經(jīng)過到達(dá)N的方法數(shù)為種，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，甲經(jīng)過的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過的方法數(shù)也為種，
∴甲?乙兩人在處相遇的方法數(shù)為種，
甲?乙兩人在處相遇的概率為，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，甲?乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，
若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向上走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；
若甲?乙兩人在處相遇，由C選項(xiàng)可知，走法種數(shù)為81種；
若甲?乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到處，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，
所以，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；
若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；
故甲?乙兩人相遇的概率，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：D.
二、多選題
12．（2022·山東濟(jì)南·三模）如圖，已知正方體頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)Q，點(diǎn)Q每次會(huì)隨機(jī)地沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)，且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同．從一個(gè)頂點(diǎn)沿一條棱移動(dòng)到相鄰頂點(diǎn)稱為移動(dòng)一次．若質(zhì)點(diǎn)Q的初始位置位于點(diǎn)A處，記點(diǎn)Q移動(dòng)n次后仍在底面ABCD上的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．點(diǎn)Q移動(dòng)4次后恰好位于點(diǎn)的概率為0
D．點(diǎn)Q移動(dòng)10次后仍在底面ABCD上的概率為
【答案】ACD
【解析】在正方體中，每一個(gè)頂點(diǎn)由3個(gè)相鄰頂點(diǎn)，其中兩個(gè)在同一底面，所以當(dāng)點(diǎn)Q在下底面時(shí)，隨機(jī)移動(dòng)一次仍在下底面的概率為，在上底面時(shí)，隨機(jī)移動(dòng)一次回到下底面的概率為，所以，故A正確，，故B錯(cuò)誤，點(diǎn)Q由點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)處最少需要3次，任意折返都需要2次移動(dòng)，所以移動(dòng)4次后不可能到達(dá)點(diǎn)，故C正確，由于且，所以，所以，故D正確.
故選：ACD.
13．（2022·重慶·西南大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，，則
B．與都是正整數(shù)
C．是的小數(shù)部分
D．設(shè)，，則
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，，
當(dāng)時(shí)，展開式通項(xiàng)為，
，，
，A正確；
對(duì)于B，，不妨令，
則，不是正整數(shù)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
為正整數(shù)，
為正整數(shù)，
又，，
是的小數(shù)部分，C正確；
對(duì)于D，，展開式通項(xiàng)為；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
，
，即，
；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
，
，
，即，
；
綜上所述：成立，D正確.
故選：ACD.
14．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】A選項(xiàng)：時(shí)，，A對(duì)．
B選項(xiàng)：時(shí)，①
時(shí)，②
，B對(duì)．
C選項(xiàng)：，
求導(dǎo)得，
時(shí)，，
，C錯(cuò)．
D選項(xiàng)：
比較兩邊的系數(shù)
，D正確．
故選：ABD.
15．（2022·廣東·深圳市第七高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，且，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增
C．
D．若為偶數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為8
【答案】AC
【解析】
∴
∴
則 是公比為3的等比數(shù)列.
∴
或，又，所以，A正確；
，可能小于，故B錯(cuò)誤；
又
，故C正確；
，不符

故當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選:AC.
16．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）如圖，一只螞蟻從正方形的頂點(diǎn)A出發(fā)，每一次行動(dòng)順時(shí)針或逆時(shí)針經(jīng)過一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn)，其中順時(shí)針的概率為，逆時(shí)針的概率為，設(shè)螞蟻經(jīng)過n步到達(dá)B，D兩點(diǎn)的概率分別為．下列說法正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，有四種情形：，其所求的概率為，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，從頂點(diǎn)出發(fā)，只能到達(dá)點(diǎn)或點(diǎn)，此時(shí)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，從頂點(diǎn)出發(fā)，只能到達(dá)點(diǎn)或點(diǎn)，此時(shí)，即從頂點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過2n步到達(dá)B、D兩點(diǎn)為不可能事件，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，先計(jì)算從點(diǎn)或點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過兩步到達(dá)點(diǎn)的概率，分別為，，現(xiàn)討論從頂點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)點(diǎn)的兩種情形：①從頂點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)點(diǎn)，再經(jīng)過兩步到達(dá)點(diǎn)的概率為，②從頂點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)點(diǎn)，再經(jīng)過兩步到達(dá)點(diǎn)的概率為，故，可得，又，所以，故C正確；
對(duì)于D，
，所以
，故D正確；
故選：ACD.
17．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為，則（ ）
A．B．
C．D．的最小值為
【答案】ACD
【解析】由題意知：要使甲贏得比賽，則甲至少贏局，故，而，且，
，故C正確；
A：，正確；
B：，錯(cuò)誤；
D：因?yàn)椋?br>又，故，故隨著的增大而增大.
故的最小值為，正確.
故選：ACD
18．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知某商場(chǎng)銷售一種商品的單件銷售利潤為，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)可得，隨機(jī)變量X的分布列為
其中結(jié)論正確的是（ ）A．
B．若該商場(chǎng)銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為
C．
D．當(dāng)最小時(shí)，
【答案】ABC
【解析】由題意，，，故選項(xiàng)A正確；該商場(chǎng)銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為，故選項(xiàng)B正確；隨機(jī)變量X的期望值，可知方差
，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
19．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算機(jī)顯示的數(shù)字圖像是由一個(gè)個(gè)小像素點(diǎn)組合而成的．處理圖像時(shí)，常會(huì)通過批量調(diào)整各像素點(diǎn)的亮度，間接調(diào)整圖像的對(duì)比度、飽和度等物理量，讓圖像更加美觀．特別地，當(dāng)圖像像素點(diǎn)規(guī)模為1行列時(shí)，設(shè)第i列像素點(diǎn)的亮度為，則該圖像對(duì)比度計(jì)算公式為．已知某像素點(diǎn)規(guī)模為1行列的圖像第i列像素點(diǎn)的亮度，現(xiàn)對(duì)該圖像進(jìn)行調(diào)整，有2種調(diào)整方案：①；②，則（ ）
A．使用方案①調(diào)整，當(dāng)時(shí)，
B．使用方案②調(diào)整，當(dāng)時(shí)，
C．使用方案①調(diào)整，當(dāng)時(shí)，
D．使用方案②調(diào)整，當(dāng)，時(shí)，
【答案】AC
【解析】使用方案①調(diào)整：當(dāng)時(shí)且，又則，A正確；
，，
當(dāng)，即且，又，可得，C正確；
使用方案②調(diào)整：當(dāng)時(shí)，顯然若時(shí)，B錯(cuò)誤；
，而，則，故，
又，則，，
所以，而，
時(shí)，則，則，
此時(shí)，顯然存在，D錯(cuò)誤.
故選：AC
20．（2022·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）甲?乙兩人進(jìn)行局羽毛球比賽(無平局)，每局甲獲勝的概率均為.規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)獲勝局?jǐn)?shù)多的人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為，假設(shè)每局比賽互不影響，則( )
A．B．C．D．單調(diào)遞增
【答案】AD
【解析】由題意知：要使甲贏得比賽，則甲至少贏局，．
∵，
又，
∴，
∴，故C錯(cuò)誤；
∴，故A正確；，故B錯(cuò)誤；
∵，∴，
又∵，
∴，∴，即P(n)單調(diào)遞增，故D正確．
故選：AD．
21．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)一組樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為：，其中n∈N*，．已知該樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，設(shè)函數(shù)，x∈R．則下列說法正確的是（ ）
A．設(shè)b∈R，則的平均數(shù)為
B．設(shè)a∈R，則的方差為
C．當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)有最小值
D．
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，的平均數(shù)，的平均數(shù)為，正確；
對(duì)于B，的方差，的平均數(shù)為，方差為，錯(cuò)誤；
對(duì)于C， ，又，，故，故當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)有最小值，正確；
對(duì)于D，由上知，，錯(cuò)誤.
故選：AC.
22．（2022·江蘇省昆山中學(xué)高三階段練習(xí)）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．假設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，且p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，則下列說法正確的是（ ）
A．1是方程：的根
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，
【答案】ABD
【解析】將 代入中，成立，
即1是方程：的根，故A正確；
由以上分析可知，，則，
所以，變形為，
所以，
即，
即，
令，
若時(shí)，則的對(duì)稱軸為，
注意到， ，
若時(shí)， ，
當(dāng)時(shí)， ，的正實(shí)根，即原方程的最小正實(shí)根，故B,D正確；
當(dāng)時(shí)， ，的正實(shí)根，即原方程的最小正實(shí)根，故C錯(cuò)誤；
故選：ABD
23．（2022·江蘇南京·高三開學(xué)考試）設(shè)，，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．當(dāng)時(shí)，
C．若，，則
D．當(dāng)，時(shí)，
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，令得：；令得：，
兩式作差得：，A正確；
對(duì)于B，，
，
令得：，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，展開式的通項(xiàng)為：；
由得：，即，解得：，
又，，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，
；
又，，，D正確.
故選：ACD.
24．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測(cè)．現(xiàn)有兩種檢測(cè)方式：（1）逐份檢測(cè)：（2）混合檢測(cè)：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測(cè)一次就夠了，如果檢測(cè)結(jié)果為陽性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽性，就需要對(duì)這k份核酸再逐份檢測(cè)，此時(shí)，這k份核酸的檢測(cè)次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢測(cè)的核酸樣本中，每份樣本的檢測(cè)結(jié)果是陰性還是陽性都是獨(dú)立的，并且每份樣本是陽性的概率都為，若，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷下列哪些p值能使得混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)方式．（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1
【答案】CD
【解析】設(shè)混合檢測(cè)分式，樣本需要檢測(cè)的總次數(shù)可能取值為
，
故的分布列為：
設(shè)逐份檢測(cè)方式，樣本需要檢測(cè)的總次數(shù)，則
要使得混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)方式，需
即，即，即
又，，
故選：CD
25．（2022·福建泉州·高三開學(xué)考試）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記在數(shù)列的前項(xiàng)中任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為，則（ ）
A．
B．
C．
D．.
【答案】AB
【解析】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)都為1，即奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為，即偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，
又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)中，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為，
當(dāng)時(shí)，即前3項(xiàng)中，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)，概率為，故A正確；
將代入，數(shù)列的前項(xiàng)中，有個(gè)正數(shù)，個(gè)負(fù)數(shù)，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為，
將代入，數(shù)列的前項(xiàng)中，有個(gè)正數(shù)，個(gè)負(fù)數(shù)，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為，
將代入，數(shù)列的前項(xiàng)中，有個(gè)正數(shù)，個(gè)負(fù)數(shù)，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為，
將代入，數(shù)列的前項(xiàng)中，有個(gè)正數(shù)，個(gè)負(fù)數(shù)，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為，
所以，所以，故B正確；
，所以，故C錯(cuò)誤；
，
所以，故D錯(cuò)誤，
故選：AB.
26．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）下列說法不正確的是（ ）
A．隨機(jī)變量，則
B．某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為且，則當(dāng)時(shí)概率最大；
C．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)互斥而不對(duì)立的事件
D．從個(gè)紅球和個(gè)白球顏色外完全相同中，一次摸出個(gè)球，則摸到紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布；
【答案】AC
【解析】A：由二項(xiàng)分布的概率公式得: ，故錯(cuò)誤;
B：在10次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，所以當(dāng)時(shí)，，由得：，即，，則且，即時(shí)概率最大，故正確．
C：至少有一個(gè)黑球包含的基本事件為“一黑一紅，兩黑”，至少有一個(gè)紅球包含的基本事件為“一黑一紅，兩紅”，故至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球不互斥，故錯(cuò)誤；
D：設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為，則，故滿足超幾何分布，故正確；
故選：AC
三、填空題
27．（2022·湖北·宜城市第二高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知為正整數(shù)，.其中的系數(shù)為10，則的系數(shù)的最大可能值與最小可能值之和為___________.
【答案】40
【解析】由題意得，
的系數(shù)為.
由柯西不等式知，
又由于為正整數(shù)所以.
當(dāng)時(shí)，，因此的最小值為34.
另一方面，若為正整數(shù)，則，
這是因?yàn)樯鲜秸归_即為，亦即.
所以.
當(dāng)時(shí)，，因此的最大值為66.
進(jìn)而我們有的最大最小值分別為12，28，所以的系數(shù)的最大可能值與最小可能值之和為40.
故答案為：40.
28．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）“迎冬奧，跨新年，向未來”，水球中學(xué)將開展自由式滑雪接力賽．自由式滑雪接力賽設(shè)有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目，參賽選手每人展示其中一個(gè)項(xiàng)目．現(xiàn)安排兩名男生和兩名女生組隊(duì)參賽，若要求相鄰出場(chǎng)選手展示不同項(xiàng)目，女生中至少一人展示雪上芭蕾項(xiàng)目，且三個(gè)項(xiàng)目均有所展示，則共有___種出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案．（用數(shù)字作答）
【答案】264
【解析】設(shè)空中技巧、雪上技巧、雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目依次為A、B、C，
①雪上芭蕾只展示一次時(shí)，按展示先后順序有下列12情況：
BABC，ABAC，CBAB，CABA，ABCA，ABCB，BACB，BACA，ACBA，ACAB，BCBA，BCAB.
再給項(xiàng)目排上表演者：
從兩名女生中選1人去展示雪上芭蕾C有2種排法，剩下的三人去展示剩下的項(xiàng)目有3?。?種排法，∴共2×6＝12種排法.
∴此時(shí)共12×12＝144種出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案.
②雪上芭蕾展示兩次時(shí)，按展示先后順序有下列6情況：
CABC，CBAC，BCAC，ACBC，CBCA，CACB.
再給項(xiàng)目排上表演者：
四個(gè)選手隨意選一個(gè)項(xiàng)目展示共4?。?4種排法，但需排除雪上芭蕾均為男生展示的情況共2！×2！＝4種，∴此時(shí)給項(xiàng)目排上選手共24－4＝20種排法.
∴此時(shí)共6×20＝120種出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案.
綜上所述，共有144＋120＝264種出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案.
故答案為：264.
29．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）對(duì)于n∈N*，將n表示為n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+ak﹣1×21+ak×20，i=0時(shí)，ai=1，當(dāng)1≤i≤k時(shí)，ai為0或1，記I（n）為上述表示中ai為0的個(gè)數(shù)；例如4=1×22+0×21+0×20，11=1×23+0×22+1×21+1×20，故I（4）=2，I（11）=1；則2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）=_____．
【答案】3280
【解析】255=1×27+1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20，
設(shè)128≤n≤255，且n為整數(shù)；
則n=1×27+a1×26+a2×25+a3×24+a4×23+a5×22+a6×21+a7×20，
a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中7個(gè)數(shù)都為0或1，
其中沒有一個(gè)為1時(shí)，有C70種情況，即有C70個(gè)I（n）=7；
其中有一個(gè)為1時(shí)，有C71種情況，即有C71個(gè)I（n）=6；
其中有2個(gè)為1時(shí)，有C72種情況，即有C72個(gè)I（n）=5；
…
綜上可得：
2I（n）=C7027+C71×26+C72×25+C73×24+C74×23+C73×22+C76×2+1=（2+1）7=37，
同理可得：
2I（n）=36，
…
2I（n）=31，
2I（1）=1；
則2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）=1+3+32+…+37=
=3280；
故答案為3280；
考點(diǎn)：歸納推理．
30．（2022·上海奉賢·二模）設(shè)項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：，且對(duì)任意，，都有，則這樣的數(shù)列共有_____個(gè).
【答案】31
【解析】當(dāng)，時(shí)，，
所以可能情況如下：
1、{一個(gè)1，三個(gè)0}：、、、，4個(gè)；
2、{兩個(gè)1，一個(gè)和0 }：、、、、、、、、、、、，12個(gè)；
3、{一個(gè)，三個(gè)0}：、、、，4個(gè)；
4、{兩個(gè)，一個(gè)1和0}：、、、、、、、、、、、，12個(gè)；
5、{四個(gè)0}：，1個(gè)；
6、{兩個(gè)，兩個(gè)1 }：、、、、、，6個(gè)；
7、{兩個(gè)0，一個(gè)1 和}：、、、、、、、、、、、，12個(gè)；
綜上，數(shù)列共有51個(gè).
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
所以、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，20個(gè)不滿足；
綜上，滿足要求的數(shù)列有31個(gè).
故答案為：31
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某商場(chǎng)經(jīng)銷A，B兩種生活消耗品，顧客每次必買且只買其中一種，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn):顧客第一次購買時(shí)購買A的概率為.前一次購買A的顧客下一次購買A的概率為，前一次購買B的顧客下一次購買A的概率為那么某顧客第次來購買時(shí)購買A產(chǎn)品的概率為______
【答案】
【解析】設(shè)某顧客第次來購買時(shí)購買A產(chǎn)品的概率為，
由題意，則，而，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則，故.
故答案為：.
32．（2022·廣東·東莞四中高三階段練習(xí)）有一種投擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，設(shè)棋子跳到第n站的概率為，若一枚棋子開始在第1站，棋手每次投擲骰子一次，棋子向前跳動(dòng)一次．若骰子點(diǎn)數(shù)小于等于3，棋子向前跳一站；否則，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第9站（失敗）或者第10站（獲勝）時(shí)，游戲結(jié)束．則_________；該棋手獲勝的概率為__________．
【答案】 【解析】由題，因?yàn)椋剩?，所以，累加可得：?br>故答案為：；.
33．（2022·江蘇省濱海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a、b、m為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為；已知，，則滿足條件的正整數(shù)b中，最小的兩位數(shù)是______．
【答案】13
【解析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式有
=
=
=103
故.
故答案為：13.
34．（2022·山西呂梁·二模（文））在一次新兵射擊能力檢測(cè)中，每人都可打5槍，只要擊中靶標(biāo)就停止射擊，合格通過；5次全不中，則不合格．新兵A參加射擊能力檢測(cè)，假設(shè)他每次射擊相互獨(dú)立，且擊中靶標(biāo)的概率均為，若當(dāng)時(shí)，他至少射擊4次合格通過的概率最大，則___________．
【答案】【解析】至少射擊4次合格通過的概率為，
所以，令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)得最大值，故．
故答案為：
35．（2022·上海市青浦高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，由個(gè)邊長為1個(gè)單位的小正方形組成一個(gè)大正方形．某機(jī)器人從C點(diǎn)出發(fā)，沿若小正方形的邊走到D點(diǎn)，每次可以向右走一個(gè)單位或者向上走一個(gè)單位．如果要求機(jī)器人不能接觸到線段，那么不同的走法共有______種．
【答案】28
【解析】由題意可知，機(jī)器人所成走動(dòng)的路線如圖所示的方格：
圖中小寫字母表示機(jī)器人所能走的那一步路線，
那么第一步是固定的只有一種走法，
從第二步開始如果走a，第三步走c,第四步如果走h(yuǎn),那么這時(shí)共有3種走法，
第四步如果走f，那么后面四步走的一個(gè)長方形的邊，這時(shí)共有 種走法；
第二步如果走b,第三步如果走d,第四步走e,第五步只能走h(yuǎn)，此時(shí)共有3種走法，
第四步如果走f，此時(shí)共有種走法，
第三步若果走g，后面五步是沿著一個(gè)長方形的邊走，此時(shí)共有 種走法，
故共有的走法為 種，
故答案為：28
36．（2022·浙江浙江·高三階段練習(xí)）一個(gè)袋中共有5個(gè)大小形狀完全相同的紅球、白球和黑球，其中紅球有1個(gè).每次從袋中拿一個(gè)小球，不放回，拿出紅球即停.記拿出的黑球個(gè)數(shù)為，且，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望______.
【答案】【解析】設(shè)白球n個(gè)，顯然
若，則符合：
若，則，
∴，∴黑球有3個(gè)
，因?yàn)?所以，
∴
故答案為：
37．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為___________.
【答案】
【解析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，
①步：即步兩階，有種；
②步：即步兩階與步一階，有種；
③步：即步兩階與步一階，有種；
④步：即步兩階與步一階，有種；
⑤步：即步兩階與步一階，有種；
⑥步：即步一階，有種；
綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；
故7步登完樓梯的概率為
故答案為：
38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是______.（填序號(hào)）
①；
②；
③；
④.
【答案】②④【解析】因?yàn)?，所以①不正確；
因?yàn)?br>，
所以②正確，③不正確；
因?yàn)?，所以，所以④正確.
故答案為：②④.
39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，將一個(gè)大等邊三角形分成三個(gè)全等三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形，設(shè).若在大等邊三角形內(nèi)任取一點(diǎn)P，則該點(diǎn)取自小等邊三角形內(nèi)的概率為___________.
【答案】
【解析】設(shè)，由題意可得，化簡(jiǎn)得，，
又由正弦定理可得，即，
所以所求概率為，
故答案為：.
40．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可以看出：，令，是的前項(xiàng)和，則______.
【答案】
【解析】，，，…，，，
將上述各式相加，得，即，
∴，
∴.
故答案為：
41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）考查等式：(*)，其中，且.某同學(xué)用概率論方法證明等式(*)如下：設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中件是次品，其余為正品.現(xiàn)從中隨機(jī)取出件產(chǎn)品，記事件{取到的件產(chǎn)品中恰有件次品}，則，，1，2，…，.顯然，，…，為互斥事件，且(必然事件)，因此，所以，即等式(*)成立.對(duì)此，有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的，體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一；但有的同學(xué)對(duì)上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑.現(xiàn)有以下四個(gè)判斷：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③證明正確，④證明不正確，試寫出所有正確判斷的序號(hào)___________.
【答案】①③
【解析】設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中件是次品，其余件為正品.
現(xiàn)從中隨機(jī)取出件產(chǎn)品，記事件{取到的產(chǎn)品中恰有件次品}，
則取到的產(chǎn)品中恰有件次品共有種情況，
又從中隨機(jī)取出件產(chǎn)品，共有種情況，，1，…，，
故其概率為，，1，…，.
∵，，…，為互斥事件，且(必然事件)，
因此，
所以，即等式(*)成立.
從而可知正確的序號(hào)為：①③.
故答案為：①③.
42．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，其中互不相同的實(shí)數(shù)、、、，且，則、、、的可能取值共有________種．（請(qǐng)用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】方程有且只有一個(gè)實(shí)根，
由絕對(duì)值三角不等式可得，
，
因?yàn)椋紤]，，
因?yàn)?，?br>作出函數(shù)與函數(shù)如下圖所示：
則有或.
若，則的可能情況有：、、；
若，則可能的情況有：、；
若，則；
若，則.
考慮、的大小，有種情況；考慮、的大小，有種情況；考慮、的位置，有種情況.
綜上所述，、、、的可能取值共有種.
故答案為：.
43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在的點(diǎn)陣中，依次隨機(jī)地選出，，三個(gè)點(diǎn)，則選出的三點(diǎn)滿足的概率是___________.
【答案】
【解析】由題意可知，，三個(gè)點(diǎn)是有序的，從反面的角度做，討論的是為主元，
故對(duì)分三種情況討論，如圖：第一類為5號(hào)點(diǎn)；第二類為1，3，7，9號(hào)點(diǎn)；
第三類為2，4，6，8號(hào)點(diǎn)；
（1）當(dāng)為5號(hào)點(diǎn)時(shí)，則
（i），三點(diǎn)共線有四條直線，故，
（ii），則，如在1號(hào)位，和，即確定第二個(gè)點(diǎn)的位置有四種方法，第三個(gè)點(diǎn)的位置有兩種方法，然后排列，即方法數(shù)為：，
共有種.
（2）當(dāng)為第二類點(diǎn)不存在這樣的點(diǎn)；
（3）當(dāng)為第三類點(diǎn)，以2號(hào)點(diǎn)為例，有三種如圖所示：
故有，綜上共有64中，故.
故答案為：.
44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)一個(gè)物理量做次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果．已知最后結(jié)果的誤差，為使誤差在的概率不小于0.9545，至少要測(cè)量_____次（若，則）．
【答案】32
【解析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性知：要使誤差在的概率不小于0.9545，
則且，，
所以.
故答案為：32.
45．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就出現(xiàn)了，在數(shù)學(xué)史上具有重要的地位．現(xiàn)將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成，就得到一個(gè)如下表所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，比如從第0行開始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和．如果，那么下面關(guān)于萊布尼茨三角形的性質(zhì)描述正確的是__________．
①當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最小值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最小值；
②；
③；
④．
第0行
第1行
第2行
第3行
…… ……
第n行 ……
【答案】①②③④
【解析】對(duì)①，根據(jù)楊輝三角的特點(diǎn)，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最大值；當(dāng)每一項(xiàng)取倒數(shù)時(shí)，再乘以一個(gè)常數(shù)，可得當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最小值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最小值；故①正確；
對(duì)②，第行的第2個(gè)數(shù)等于第行的第一個(gè)數(shù)和第行的第1個(gè)數(shù)相乘；故②正確；對(duì)③，直接根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，故③正確；
對(duì)④，開始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，即，故④正確；
46．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高三期中）定義域?yàn)榧仙系暮瘮?shù)滿足：①；②（）；③、、成等比數(shù)列；這樣的不同函數(shù)的個(gè)數(shù)為________
【答案】
【解析】經(jīng)分析，f（x）的取值的最大值為x，最小值為2﹣x，并且成以2為公差的等差數(shù)列，故f（6）的取值為6，4，2，0，﹣2，﹣4．
f（12）的取值為12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，
所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比數(shù)列時(shí)，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有兩種情況：
①f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4；②f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4．
|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11），f（x+1）＝f（x）+1，或者f（x+1）＝f（x）﹣1，即得到后項(xiàng)時(shí)，把前項(xiàng)加1或者把前項(xiàng)減1．
（1）當(dāng)f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4時(shí)；將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6），第二步：從f（6）變化的f（12）．
從f（1）變化到f（6）時(shí)有5次變化，函數(shù)值從1變化到2，故應(yīng)從5次中選擇3步加1，剩余的兩次減1．對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為10種．
從f（6）變化到f（12）時(shí)有6次變化，函數(shù)值從2變化到4，故應(yīng)從6次變化中選擇4次增加1，剩余兩次減少1，對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為15種．
根據(jù)分步乘法原理，共有10×15＝150種方法．
（2）當(dāng)f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4時(shí)，將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6），第二步：從f（6）變化的f（12）．
從f（1）變化到f（6）時(shí)有5次變化，函數(shù)值從1變化到﹣2，故應(yīng)從5次中選擇1步加1，剩余的4次減1．對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為5種．
從f（6）變化到f（12）時(shí)有6次變化，函數(shù)值從﹣2變化到4，故應(yīng)從6次變化中選擇6次增加1，對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為1種．
根據(jù)分步乘法原理，共有5×1＝5種方法．
綜上，滿足條件的f（x）共有：150+5＝155種．
故填：155．
47．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））新冠疫情期間，甲?乙?丙三個(gè)家庭在某醫(yī)院等候區(qū)等待核酸檢測(cè)結(jié)果.等候區(qū)是6（列）×2（行）的座位.甲?乙家庭各有三人，且乙家庭有一個(gè)小孩，丙家庭有兩人.現(xiàn)有相關(guān)規(guī)定：同一家庭的人需坐在同一行上，不同家庭的人之間不能太接近（左右不相鄰），小孩至少坐在其一位家長身邊(左右相鄰).則共有______種坐法.
【答案】9216
【解析】由題甲、丙在一行, 乙在另一行和乙、丙在一行, 甲在另一行兩類：
（1）甲、丙在一行, 乙在另一行, 分4步處理如下：
①先甲、丙選行，有種；
②再甲、丙選左右兩邊，有種；
③兩邊分別排甲、丙，甲、丙間隔一個(gè)位置，有種；
④排乙，乙在甲、丙另一行，又分3人相鄰和只2人相鄰兩類，
3人相鄰有，只2人相鄰有種
故共有種；
（2）乙、丙在一行, 甲在另一行, 分4步處理如下
①先乙、丙選行，有種；
②再乙、丙選左右兩邊，有種；
③兩邊分別排乙、丙，乙、丙間隔一個(gè)位置，有種；
④排甲，甲在乙、丙另一行，有種，
故共有種坐法
由（1）（2）共有 種.
故答案為：9216.
48．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號(hào)，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶肉眼識(shí)別其中的驗(yàn)證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證，驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功能.很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0，1，2，…，9中的五個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成.將中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱遞減的驗(yàn)證碼稱為“鐘型驗(yàn)證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個(gè)“鐘型驗(yàn)證碼”，則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.
【答案】
【解析】根據(jù)“鐘型驗(yàn)證碼” 中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱遞減，所以中間的數(shù)字可能是.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
所以該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為.
故答案為：
49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2019年暑假期間，河南有一新開發(fā)的景區(qū)在各大媒體循環(huán)播放廣告，觀眾甲首次看到該景區(qū)的廣告后，不來此景區(qū)的概率為，從第二次看到廣告起，若前一次不來此景區(qū)，則這次來此景區(qū)的概率是，若前一次來此景區(qū)，則這次來此景區(qū)的概率是.記觀眾甲第n次看到廣告后不來此景區(qū)的概率為，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則M的最小值為__________.
【答案】
【解析】根據(jù)題意，為觀眾甲第次看到廣告后不來此景區(qū)的概率，
則，
所以，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以， 即，
顯然數(shù)列單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，所以的最小值為.
50．（2022·上海·高三專題練習(xí)）某人有兩盒火柴,每盒都有根火柴,每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根,求他發(fā)現(xiàn)用完一盒時(shí)另一盒還有根()的概率_____.
【答案】
【解析】解:根據(jù)題意，記兩個(gè)火柴盒分別為A，B，一共抽了根，
不妨令這么多次抽取動(dòng)作中，有次都是操作在A盒上，次操作在B盒上，
則最后一次一定操作在A盒，
因此所有的抽法共有種，
用完一盒時(shí)另一盒還有根的抽法有種，
由古典概型的概率公式得，
他發(fā)現(xiàn)用完一盒時(shí)另一盒還有根()的概率為.
故答案為：.
四、雙空題
51．（2022·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每一局比賽都沒有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是p，隨機(jī)變量X表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若，則的最大值是_________；的取值范圍是___________．
【答案】 ； ；
【解析】隨機(jī)變量可能的取值為.
.
，
故的分布列為：
故
因?yàn)?，故，?
而，
令，因?yàn)椋?br>故，此時(shí)，
故答案為：，.
52．（2022·天津五十七中模擬預(yù)測(cè)）第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，中國郵政陸續(xù)發(fā)行了多款紀(jì)念郵票，其圖案包括“冬夢(mèng)”、“冰墩墩”、“雪容融”等．小王有3張“冬夢(mèng)”，2張“冰墩墩”和2張“雪容融”郵票；小李有“冬夢(mèng)”、“冰墩墩”、"雪容融”郵票各1張．小王現(xiàn)隨機(jī)取出一張郵票送給小李，分別以表示小王取出的是“冬夢(mèng)”、“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再隨機(jī)取出一張郵票，以B表示他取出的郵票是“冰墩墩”的事件，則____________，___________．
【答案】 【解析】表示在小王送給小李一張“冰墩墩”郵票的情況下小李取到一張“冰墩墩”的概率，則；
由題可知，，，，
則
.
故答案為：；.
53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某盒中有9個(gè)大小相同的球，分別標(biāo)號(hào)為1，2，…，9，從盒中任取3個(gè)球，則取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率是______；記為取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除的余數(shù)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望______．
【答案】
【解析】從9個(gè)球中任取3個(gè)球有種不同的方法，
1-9中能被3整除的有3,6,9，除3余1的有1,4,7，除3余2的有2,5,8，
故將1-9劃分為以上三類，顯然來自同一類的三個(gè)數(shù)和為3的倍數(shù)，每個(gè)類別抽1個(gè)的三個(gè)數(shù)和也為3的倍數(shù)（其余數(shù)為0+1+2=3為3的倍數(shù)），所以在其中取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和能被3整除的情況有種，所以取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率．
由題意知的所有可能取值為0，1，2，取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除余1的情況有：
①標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為1的球1個(gè)和標(biāo)號(hào)被3整除的球2個(gè)；
②標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為1的球2個(gè)和標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為2的球1個(gè)；
③標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為2的球2個(gè)和標(biāo)號(hào)被3整除的球1個(gè)．
則．
取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除余2的情況有：
①標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為1的球2個(gè)和標(biāo)號(hào)被3整除的球1個(gè)；
②標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為1的球1個(gè)和標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為2的球2個(gè)；
③標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為2的球1個(gè)和標(biāo)號(hào)被3整除的球2個(gè)，
則，
所以．
故答案為：；．
YXZ
H※
H※
H※
H
H※※
H※
H※
H※
※
H※
H※
※※
H
X
2
3
P

Y
2
3
P

1
2
3
4
30
30
25
45
30
30
25
45
X
0
a
2
P
b
1
11
2
3

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