1．本試題分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共22題．第Ⅰ卷為選擇題，共8小題，24分；第Ⅱ卷為填空題、作圖題、解答題，共14小題，96分．
2．所有題目均在答題卡上作答，在試題上作答無效．
第Ⅰ卷（共24分）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. 2x+1=0
C. D.
【答案】C
【解析】、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
、未知數(shù)的最高次數(shù)是1，不是一元二次方程，不符合題意；
、符合一元二次方程的定義，是一元二次方程，符合題意；
、分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意，
故選：．
2. 下列命題中，真命題是（ ）
A. 對角線相等的四邊形是矩形
B. 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
C. 對角線相等的四邊形是平行四邊形
D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
【答案】B
【解析】A、對角線相等的平行四邊形是矩形，故A為假命題，不符合題意；
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B為真命題，符合題意；
C、對角線互相平分是四邊形是平行四邊形，故C為假命題，不符合題意；
D、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故D為假命題，不符合題意；
故選：B．
3. 已知方程的一個根是，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把代入方程得：，
解得：．
故選：B．
4. 菱形的對角線長分別為5和8，它的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為菱形的對角線的長分別是5和8，
所以菱形的面積為．
故選B．
5. 在數(shù)字1，2，3，4中任選兩個組成一個兩位數(shù)，這個兩位數(shù)能被6整除的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中啊這兩個兩位數(shù)能被6整除的結(jié)果有：12，24，42，共3種，
這個兩位數(shù)能被6整除的概率為．
故選：C．
6. 小明測量旗桿高度的示意圖，如圖所示．他首先在旗桿的右邊點處放置了一平面鏡，并測得米．然后小明沿著直線后退到點處，眼睛恰好看到鏡子里旗桿的頂端，并測得米，眼睛到地面的距離米（此時），則旗桿的高為（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】∵，，
∴，∴，即，解得，，故選：D．
7. 如圖，若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)是（ ）
A. （0，0）B. （1，0）
C. （0，﹣1）D. （0，1）
【答案】C
【解析】如圖所示：位似中心的坐標(biāo)為（0，-1）．
故選：C．
8. 如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點、，連接，，與相交于點，給出下列結(jié)論：①，②，③，④，⑤，其中正確的為（ ）
A. ①②③B. ①②⑤C. ②③④⑤D. ①②④⑤
【答案】D
【解析】∵是等邊三角形，∴，，
∵在正方形中，，∴，，
∴，
∵在正方形中，，，∴，
∴，，
∵在正方形中，，∴，
∴在中，，∴．故①正確．
∵在等邊中，，在正方形中，，
∴，∴，
∵，∴，
∴．故②正確．
∵，∴，
∴，
∵和同高，∴．故③錯誤．
過點P作于點M，作于點N，

∴，
∴．
故④正確．
∵在正方形中，，
又，
∴
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
故⑤正確．
綜上，正確的為①②④⑤．
故選：D
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
9. 若，則_____．
【答案】
【解析】∵，
∴設(shè)a=4k，b=7k，
∴,
故答案為：．
10. 一個密閉不透明的口袋中有5個黑球和若干個白球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小亮為估計其中的白球數(shù)，采用了如下方法：從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，然后放回口袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，不斷重復(fù)上述過程．小亮共摸了100次，其中20次摸到黑球．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可估計口袋中白球的個數(shù)大約是_____個．
【答案】20
【解析】∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，則有80次摸到白球，
∴摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為，
∵這個口袋中有5個黑球，
∴共有白球個，
故答案為：20．
11. 繪畫興趣小組的每名同學(xué)將自己水墨畫作品向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件．若設(shè)全組有x名同學(xué)，則根據(jù)題意列出方程為_____．
【答案】
【解析】設(shè)全組共有x名同學(xué)，則每名同學(xué)所贈的作品為：件，
則，
故答案為：．
12. 如圖，四邊形為正方形，點E是的中點，將正方形沿折疊，得到點B的對應(yīng)點為點F，延長交線段于點P，若，則的長度為___________．
【答案】2
【解析】連接AP，如圖所示，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵點E是BC的中點，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得x＝2，則DP的長度為2，
故答案為：2．
13. 某縣大力推進(jìn)義務(wù)教育均衡發(fā)展，加強學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)，計劃用三年時間對全縣學(xué)校的設(shè)施和設(shè)備進(jìn)行全面改造，2016年縣政府已投資5億元人民幣，若每年投資的增長率相同，預(yù)計2018年投資7.2億元人民幣，那么每年投資的增長率為_______．
【答案】20%
【解析】設(shè)每年投資的增長率為x，
由題意得，5×（1+x）2=7.2，
解得：x=0.2或x=-1.2（不合題意，舍去），
答：每年投資的增長率為20%．
故答案為20%．
14. 如圖，把沿邊平移到的位置，圖中所示的三角形的面積與四邊形的面積之比為4∶5，若，則此三角形移動的距離是____________．
【答案】
【解析】∵根據(jù)題意“把沿邊平移到的位置”，
∴AC∥A1D，故判斷出△A1BD∽△ABC，
∵圖中所示的三角形的面積與四邊形的面積之比為4∶5，
∴與的面積比為4∶9，
∴A1B∶AB=2∶3，
∵，
∴A1B=，
∴=AB－A1B=4－=．
故答案為．
三、作圖題（本大題滿分6分）
15. 已知：如圖，線段a和∠α，求作：矩形，使對角線，兩條對角線、的夾角為α．（請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．）
解：如圖，矩形即為所求作的四邊形；
．
四、解答題（本大題共7小題，共72分）
16. （1）用配方法解方程：；
（2）用適當(dāng)方法解方程：；
（3）關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的范圍．
解：（1）；配方得：，即，
開方得，
∴，
∴，；
（2）；
∴，
∴，
∴，
解得，；
（3）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，且，
，
解得且．
17. 甲口袋裝有編號為1，2的兩張卡片，乙口袋裝有編號為1，2，3，4，5的五張卡片，兩口袋中的卡片除編號外都相同．小剛先從甲口袋中隨機抽出一張卡片，小穎再從乙口袋中隨機抽出一張卡片，若兩張卡片編號之和為奇數(shù)，則小剛獲勝；若兩張卡片編號之和為偶數(shù)，則小穎獲勝．請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平．
解：這個游戲?qū)﹄p方是公平的．理由如下，
畫樹狀圖：
共有10種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片編號之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)為5，兩張卡片編號之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)為5，
所以小剛獲勝的概率，小穎獲勝的概率，而，
所以這個游戲?qū)﹄p方是公平的．
18. 如圖，在中，是角平分線，點E是邊上一點，且滿足．
（1）證明：；
（2）若，，求的長．
解：（1）∵是的角平分線，
∴．
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
19. 尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，九九重陽節(jié)前夕，某商店為老人推出一款特價商品，每件商品的進(jìn)價為15元，促銷前銷售單價為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降價x元，則商店每天的平均銷量是 件（用含x的代數(shù)式表示，需要化簡）；
（2）不考慮其他因素的影響，若商店平均每天至少要銷售該商品200件，平均每天的利潤達(dá)到1280元，每件商品的定價應(yīng)為多少元?
解：（1）（件）．
故答案為：；
（2）設(shè)每件商品的定價為元，則每件商品的銷售利潤為元，平均每天能售出件，
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
當(dāng)時，舍去，
答：每件商品的定價應(yīng)為19元；
20. 已知：如圖1，四邊形是平行四邊形，點、在對角線所在直線上，且．
（1）求證：；
（2）如圖2，連接、，若平分，四邊形是什么特殊的四邊形?請說明理由．
解：（1）四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）四邊形是菱形，理由如下：
如圖，連接交于點，
，
，，
∴，
四邊形是平行四邊形，
平分，
，
，
，
四邊形是菱形，
21. 【發(fā)現(xiàn)與思考】
如圖①，在矩形中，對角線與相交于點，點是中點，連接，，與交于點，，．
（1）直接寫出線段、的長度： ， ；
（2）直接寫出線段與的比值： ；
【方法與探究】
如果將【發(fā)現(xiàn)與思考】中的“在矩形中”這一條件變得更為一般化，改為“在平行四邊形中”——如圖②，那么條件變了，線段與的比值是否保持不變？請說明理由；
【拓展與應(yīng)用】
如圖③，在中，中線與中線相交于點，點是的中點，連接并延長交于點，若，，則請直接寫出線段的長度： ．
解：【發(fā)現(xiàn)與思考】（1）四邊形是矩形，
，，，
點是中點，
，
是的中位線，
；
；
故答案為：2，5；
（2）由（1）知，是的中位線，，，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
；
故答案為：；
【方法與探究】不變，
理由如下：
四邊形是平行四邊形，
，，
點是中點，
，
是的中位線，
，，
，
，
，
，
，
；
【拓展與應(yīng)用】
如圖③，過作交于，
是的中線，
，
，
是的中位線，
，
是的中線，
，
，
，
，
，
如圖③，過作交于，交于，
點是的中點，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故答案為：．
22. 已知：如圖，在矩形中，，對角線相交于點E，動點M從點D出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；與M點同時，動點N從點C出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；當(dāng)其中一個動點到達(dá)終點時，它們同時停止運動．設(shè)運動時間為t（s），（）．解答下列問題：

（1）當(dāng)______，以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似；
（2）設(shè)的面積為S，求出S與t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）延長分別交于，連接，是否存在某一時刻t，使四邊形是矩形？若存在，求出這一時刻的t值；若不存在，請說明理由．
解：（1）
∴當(dāng)或時，和相似，
若則
解得：
若則
解得：
（2）如圖，過點作

∵四邊形是矩形，
的面積
∴的函數(shù)表達(dá)式為：．
（3）存，如圖， 過點作

∴四邊形是平行四邊形，
∴當(dāng)時，平行四邊形是矩形，
(舍去)，
∴的值為．

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