一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 命題“，”的否定為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
所以所求否定是，.
故選：D.
2. 已知全集，集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，則，
由，得，解得，則，所以.
故選：C.
3. 已知函數(shù)，其中a、b為常數(shù)，若，則（ ）
A. B. 7C. D. 4
【答案】A
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，
則，函數(shù)是奇函數(shù)，
因此，而，
所以.
故選：A.
4. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B、D；
又，故排除C.
故選：A.
5. 把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).現(xiàn)有85的物體，放在25℃的空氣中冷卻，1min以后物體的溫度是75.若要將物體的溫度降為45，需要冷卻的時(shí)間為（ ）（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，）
A. 5.8minB. 6.0minC. 6.2minD. 6.4min
【答案】B
【解析】由題意可知，，
當(dāng)時(shí)，，于是，整理得，
當(dāng)，于是，所以，故，
將代入可得，故，
故.
故選：B.
6. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a、b的值分別為（ ）
A. 1，1B. ，C. ，1D. 1，
【答案】D
【解析】已知時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，.
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以.
當(dāng)時(shí)，.
由可得.
對(duì)于，等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等.
對(duì)于的系數(shù)，可得，解得. 對(duì)于的系數(shù)，可得.
故，.
故選：D.
7. 已知，，，則有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)、均為上的增函數(shù)，
則，即.
故選：B.
8. 已知，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的最小值為（ ）
A. B.
C. 8D. 9
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
得當(dāng)時(shí)，恒成立，且當(dāng)時(shí)，恒成立，
即當(dāng)時(shí)，恒成立，且當(dāng)時(shí)，恒成立，
因此且，則，即，
于是，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>B. 對(duì)應(yīng)，其中，，，則對(duì)應(yīng)是函數(shù)
C. 對(duì)于定義在上的函數(shù)，若，則不是偶函數(shù)
D. 函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則在上是增函數(shù)
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，根據(jù)題意可得，解得，
所以的定義域?yàn)椋蔄正確，
對(duì)于B，對(duì)應(yīng)，其中，，，則對(duì)應(yīng)不是函數(shù)，比如，則可取，故不符合函數(shù)定義，B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若為偶函數(shù)，則需要對(duì)定義域內(nèi)任意的都有，
因此對(duì)于定義在上的函數(shù)，若，則不是偶函數(shù)，C正確，
對(duì)于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
則在上不一定是增函數(shù)，比如，但在上不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知函數(shù)若方程有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且，則（ ）
A. B.
C. D. 的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】作出的圖象如下：令，則，
故，，A錯(cuò)誤，BC正確；
令，則或
，結(jié)合圖象可知，D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)的定義域是且，當(dāng)時(shí)，，且，下列說法正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
C.
D. 滿足不等式的的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】函數(shù)的定義域是且，
對(duì)于A，取，則，A正確；
對(duì)于B，，，由當(dāng)時(shí)，，得，
于是，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取，則，即，
則有，
因此，C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，，則，
，
不等式，則，解得，D正確.
故選：ACD.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12. 已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則____________．
【答案】9
【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，即.
解得或.
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)是奇函數(shù)，
其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)是偶函數(shù)，
其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，符合題意.
所以，.
將代入，可得.
13. 已知，，用含a、b式子表示____________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>.
由，可得，將其代入中，
得到.
對(duì)進(jìn)行化簡，所以，.
因?yàn)?
把代入可得：.
14. 已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，均有成立，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________．
【答案】或
【解析】由任意，均有成立，
得在上單調(diào)遞減，
又函數(shù)為R上的偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，
不等式
，則，
即或，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15. 已知函數(shù)且．
（1）若在區(qū)間上的最大值是2，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)且在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍：
解：（1）當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，
則，即，解得或（舍去）；
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，
則，即，解得或（舍去）；
綜上可得或.
（2）因?yàn)榍以谏显龊瘮?shù)，
所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．
（1）求a、b的值；
（2）判斷的單調(diào)性并證明；
（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）由于是R上的奇函數(shù)，
，即，所以，，
又，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
（2）在R上單調(diào)遞增，證明如下：
由于，可得，
設(shè)，則，
由于，故
因此，，
故R上單調(diào)遞增.
（3）由于為奇函數(shù)，故由可得，
又在R上單調(diào)遞增，因此對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，
故，
由于對(duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞減，故當(dāng)取最小值，
因此，故.
17. 已知二次函數(shù)滿足，且．
（1）求的解析式；
（2）記，當(dāng)時(shí)，求的最大值（用表示）．
解：（1）設(shè)，由，
得，即，
因此，解得，，
由，得，
所以函數(shù)的解析式是.
（2）由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，
，
當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
，
當(dāng)時(shí)，，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
所以的最大值.
18. 已知函數(shù)，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且滿足．
（1）求函數(shù)，的解析式；
（2）若在區(qū)間上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值．
解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
且滿足，所以，即，
解得，.
（2）因?yàn)?，所以?br>，
則
，
令，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞增，
所以，，
所以，
令，，
依題意可得在上的最大值為，
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）；
當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）；
綜上可得.
19. 定義：若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都有唯一的使成立，則稱該函數(shù)為“伴隨函數(shù)”．
（1）判斷是否為“伴隨函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)在定義域上為“伴隨函數(shù)”，試證明：；
（3）已知函數(shù)在上為“伴隨函數(shù)”，若，，恒有，求取值范圍．
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>取，則，此時(shí)，不存在，使得，
因此，函數(shù)不是“伴隨函數(shù)”.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為增函數(shù)，則存在，
使得，
若，則，
根據(jù)題意，存在，使得，矛盾，
故，所以，，
所以，，即.
（3）若，則當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，不存在，使得，則函數(shù)不是“伴隨函數(shù)”，
所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，，
由“伴隨函數(shù)”的定義可得，
因?yàn)椋獾?，即，?br>當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)?，，恒有?br>則，所以，，
令，則，由題意可得，
令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，，則，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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