一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
注意到要否定結(jié)論而不是否定條件，
所以命題“，”的否定是“，”.
故選：A.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】集合是奇數(shù)集，所以.
故選：B.
3. 清朝末年，面對(duì)清政府的腐朽沒落，梁?jiǎn)⒊凇渡倌曛袊f》中喊出“少年智則國智，少年富則國富，少年強(qiáng)則國強(qiáng)”的口號(hào)．其中“國強(qiáng)”是“少年強(qiáng)”的（ ）
A. 充分條件B. 必要條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】少年強(qiáng)則國強(qiáng)；國強(qiáng)不一定少年強(qiáng)，所以“國強(qiáng)”是“少年強(qiáng)”的必要條件.
故選：B.
4. 已知，，，則的最小值為（ ）
A. 36B. 25C. 16D. 9
【答案】C
【解析】由兩邊除以得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.
故選：C.
5. 命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依題意，命題“，”為真命題，
所以，由于，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以.
故選：A.
6. 已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函數(shù)，則，
有意義，則，解得且，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：D.
7. 聲強(qiáng)是表示聲波強(qiáng)度的物理量，由于聲強(qiáng)變化范圍非常大，數(shù)量級(jí)相差很多，因此通過聲強(qiáng)級(jí)來表示聲強(qiáng)強(qiáng)度大小，規(guī)定聲強(qiáng)級(jí)（單位：分貝），其中為標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)．若聲強(qiáng)是聲強(qiáng)的200倍，則聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)比聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)大多少分貝（結(jié)果保留整數(shù)）？（）（ ）
A. 28B. 27C. 23D. 14
【答案】C
【解析】設(shè)聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)為，聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)為，
則，由題知，
所以.
故選：.
8. 已知函數(shù)，對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】對(duì)任意的，都有，
可得在R上單調(diào)遞減，則有，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列各組函數(shù)是同一函數(shù)有（ ）
A. 與B. 與
C. 與D. 與
【答案】AD
【解析】A選項(xiàng)，，所以與是同一函數(shù)，
A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，的定義域是，的定義域是，所以不是同一函數(shù)，
B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，的值域是，的值域是，所以不是同一函數(shù)，
C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，、的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域都相同，
所以是同一函數(shù)，D選項(xiàng)正確.
故選：AD.
10. 下列說法正確的有（ ）
A. 若，則函數(shù)最小值為1
B. 若，則
C. 若，，則最小值為3
D. 已知函數(shù)的解析式為，其值域?yàn)?，則這樣的函數(shù)有9個(gè)
【答案】BCD
【解析】A選項(xiàng)，，
但無解，所以等號(hào)不成立，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，若，則，所以B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，，；，
所以，所以C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，由解得；由，解得；
由，解得，
要使得值域?yàn)椋瑒t必選、至少選一個(gè)、至少選一個(gè)，
所以方法數(shù)有，所以D選項(xiàng)正確.
故選：BCD.
11. 用來表示有限集合中元素的個(gè)數(shù)，例如，，則．已知是全集，，是的兩個(gè)非空真子集，．（ ）
A. 若，則
B. 若，，則
C. 若，，，則
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】A選項(xiàng)，，，所以，
所以A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，，，，
則，所以B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，，，
所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，若，
則
，所以D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
12. 已知，則_________．
【答案】5
【解析】令，得到.
將代入中，即.
13. 已知冪函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)_________．
【答案】
【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的系數(shù)為，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，，此函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此函數(shù)在和上單調(diào)遞減，
此時(shí)定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).所以.
14. 已知函數(shù)有唯一最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．
【答案】
【解析】由于的最小值是，所以在上單調(diào)遞減，
所以，此時(shí)單調(diào)遞增，
則，整理得，解得.
綜上所述，的取值范圍是.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 設(shè)全集，集合，區(qū)間，其中．
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍．
解：（1），解得，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
或x>1，所以.
（2）若“”是“”的充分不必要條件，則，
所以，且等號(hào)不同時(shí)成立，解得.
16. 已知函數(shù)，其中．
（1）若關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，求的值；
（2）求關(guān)于的不等式的解集．
解：（1），
可得：，
由，可得：，
即：，
解得：或.
（2）由，
可得：，
當(dāng)時(shí)，即，不等式的解集為，
當(dāng)，即，不等式的解集為：，
當(dāng)，即，不等式的解集為：.
17. 已知函數(shù)是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)．
（1）求，的值；
（2）證明：在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）解關(guān)于的不等式．
解：（1）由題意可得，即，
又x∈-1，1時(shí)，是奇函數(shù)，所以f-x=-fx
即，可得，
所以，.
（2）由（1）可得，設(shè)，
，①
因?yàn)椋?br>所以，
所以①，即在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù).
（3）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以原不等式可化為，
又在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，
所以不等式的解集為.
18. 某國產(chǎn)車企在自動(dòng)駕駛技術(shù)方面日益成熟，近期擬推出一款高階智駕新車型，并決定大量投放市場(chǎng)．已知該車型年固定研發(fā)成本為20億元，受到場(chǎng)地和產(chǎn)能等其它因素的影響，該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該車萬臺(tái)（）且全部售完，每臺(tái)售價(jià)20萬元，每年需投入的其它成本為（單位：億元）．（其中，利潤＝銷售收入－總成本）
（1）寫出年利潤（億元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺(tái)）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，該企業(yè)獲得的年利潤最大，并求出最大年利潤；
（3）若該企業(yè)當(dāng)年不虧本，求年產(chǎn)量（萬臺(tái)）的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)，銷售收入為億元（每臺(tái)售價(jià)萬元，萬臺(tái)），
總成本為固定研發(fā)成本億元加上其他成本億元.
根據(jù)利潤=銷售收入-總成本，可.
當(dāng)時(shí)，銷售收入為億元，總成本為億元.
則.
所以.
（2）當(dāng)時(shí)，，圖象開口向下，對(duì)稱軸.
但，所以在這個(gè)區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，所以億元.
當(dāng)時(shí)，根據(jù)基本不等式，有.
所以億元，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).
因?yàn)椋援?dāng)年產(chǎn)量為萬臺(tái)時(shí)，該企業(yè)獲利最大，最大年利潤為億元.
（3）當(dāng)時(shí)，，即，解得.
結(jié)合，知道此時(shí)滿足題意.
當(dāng)時(shí)，，即，
即，令，對(duì)稱軸，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且時(shí)，.
則當(dāng)，恒成立，即恒成立.
綜上所得，該企業(yè)當(dāng)年不虧本，則年產(chǎn)量（萬臺(tái)）取值范圍為.
19. 已知函數(shù)，，其中．
（1）當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)?jiān)谥付ㄖ苯亲鴺?biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象；
（2）用表示，中的較大者，記為，則當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；
（3）用表示，中的較小者，記為，若恒成立，求的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，fx的圖象如圖所示.
（2），當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
所以當(dāng)x>0時(shí)，，
開口向下，對(duì)稱軸為，
，，
當(dāng)時(shí)，令，即，即
即，解得，
令，即，解得，
.
（3）由（2）知，
當(dāng)時(shí)，，
令，
開口向上，對(duì)稱軸，在單調(diào)遞增，，
在軸右側(cè)與線段AB交于點(diǎn)C，在軸右側(cè)與射線y=2x交于點(diǎn)，
fx，gx在同一直角坐標(biāo)系的圖象如圖所示，
記點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，由(2)知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的圖象如圖所示，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，，，解得，又.

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