江蘇省淮安市2025屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2024.11
注意事項(xiàng)
考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，只要將答題卡交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式可得集合，再由并集運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】解不等式可得，
又，可得.
故選：C
2. 若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則的模（）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)模長(zhǎng)的運(yùn)算公式以及性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意可知：，
故選：A.
3. 已知等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列，則（）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得，代入計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】由，，成等比數(shù)列可得，
即，解得，
所以可得，
故選：D.
4. 已知冪函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和圖象特點(diǎn)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解出的值.
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，
則，解得.
故選：B.
5. 已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）
A 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的奇偶性以及充要條件的定義判斷即可.
【詳解】若，則，則，，
所以，則為奇函數(shù).
若為奇函數(shù)，則一定有.
則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件.
故選：A.
6. 已知是單位向量，滿(mǎn)足，則在方向上的投影為（）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算公式，求得在方向上的投影，進(jìn)而可得投影.
【詳解】，，，
即，在上投影向量，所以在方向上的投影為1.
故選：D.
7. 在外接圓半徑為4的中，，若符合上述條件的三角形有兩個(gè)，則邊的長(zhǎng)可能為（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，由三角形有兩解的條件，結(jié)合正弦定理求出邊的范圍.
【詳解】在中，，由有兩解，得，且，
則，由外接圓半徑為4及正弦定理，得，
所以邊的長(zhǎng)可能為5.
故選：D
8. 已知函數(shù)，正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根據(jù)可得，再由基本不等式計(jì)算可得結(jié)果；
方法二：由函數(shù)解析式可得，再由單調(diào)性可得，利用基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】方法一：由可得，
易知在上單調(diào)遞增，
因此可得，即；
又
要求的最大值，只需考慮即可，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
故選：B.
方法二：，而，所以；
而在上單調(diào)遞增，
所以，即，
因此原式，要求其最大值，只需考察
可得原式，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立；
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 若，，，則
【答案】AB
【解析】
【分析】利用作差法可判斷A，利用不等式可判斷B，利用特殊值法可判斷C、D.
【詳解】由，得，即，又，則，即，故A正確；
因?yàn)?，所以，即?br>又因?yàn)椋?，故B正確；
假設(shè)，，滿(mǎn)足，，
此時(shí)，，不成立，故C錯(cuò)誤；
假設(shè)，，，滿(mǎn)足，，，
此時(shí)，，不成立，故D錯(cuò)誤；
故選：AB.
10. 在數(shù)列和中，，，，下列說(shuō)法正確的有（）
A B.
C. 36是與的公共項(xiàng)D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：根據(jù)等差數(shù)列定義求的通項(xiàng)公式，則可求；B：累加法求的通項(xiàng)公式；C：根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算并判斷；D：采用裂項(xiàng)相消法求和并證明.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以，故正確；
對(duì)于B：因?yàn)椋?br>所以，所以，
當(dāng)時(shí)，符合條件，
所以，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C：令，解得(負(fù)值舍去)，所以，令，解得(負(fù)值舍去)，所以，
所以，即是與的公共項(xiàng)，故正確；
對(duì)于D：因，
所以，故正確；
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)，（）
A. 函數(shù)單調(diào)減函數(shù)
B. 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為
C. 若對(duì)，恒成立，則
D. 函數(shù)，與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為20
【答案】BCD
【解析】
【分析】去絕對(duì)值分類(lèi)討論可得函數(shù)解析式，易知在0,+∞以及上是分別單調(diào)遞減的，即A錯(cuò)誤，易知滿(mǎn)足，可知B正確，再利用函數(shù)單調(diào)性以及不等式恒成立計(jì)算可得C正確，畫(huà)出兩函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象根據(jù)周期性計(jì)算可得D正確.
【詳解】對(duì)于A，易知當(dāng)時(shí)，，時(shí)，
因此可得在0,+∞以及上分別為單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，易知函數(shù)滿(mǎn)足，因此可得關(guān)于0,1對(duì)稱(chēng)，即B正確；
對(duì)于C，由，即，
即在時(shí)恒成立，易知在0,+∞上恒成立，
所以可得，解得，即C正確；
對(duì)于D,畫(huà)出函數(shù)以及的圖象如下圖所示：
易知也關(guān)于0,1對(duì)稱(chēng)，的周期為4，
一個(gè)周期與有兩個(gè)交點(diǎn)，5個(gè)周期有10個(gè)交點(diǎn)，與在共20個(gè)交點(diǎn)，即，故D正確，
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)以及都關(guān)于0,1成中心對(duì)稱(chēng)，再由函數(shù)周期性計(jì)算可得結(jié)果.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. ______.
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算律化簡(jiǎn)求值即可.
【詳解】.
故答案為：?2
13. 已知，則______.
【答案】
【解析】
【分析】利用恒等變換公式以及商數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)并計(jì)算.
【詳解】因?yàn)?br>，
而，所以，，
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象.設(shè)函數(shù)，若存在使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得?x的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得?x的最大值.
【詳解】將函數(shù)y=fx圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的得到函數(shù)的圖象，
再將所得圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，
所以，，
可得?x周期為，，
所以，所以或，解得或或，
當(dāng)，?′x0，所以?x在單調(diào)遞增，
當(dāng)，?′x0，所以?x在單調(diào)遞增，
，，，，
因?yàn)榇嬖趚∈R使成立，所以
所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 設(shè)，，，為平面內(nèi)的四點(diǎn)，已知，，.
（1）若四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若，，三點(diǎn)共線，，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，利用，可求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用三點(diǎn)共線，可得，可得，利用數(shù)量積可求點(diǎn)的坐標(biāo).
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?，，所以?br>因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以?br>設(shè)，所以，
所以，所以
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，，
所以設(shè)，
又，所以，所以，
又
所以.
16. 設(shè)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)，的解析式；
（2）設(shè)，.當(dāng)時(shí)，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用正、余弦函數(shù)奇偶性，得到，，聯(lián)立即可求解；
（2）利用正弦的和角公式、倍角公式及輔助角公式，得到，結(jié)合條件得到，再利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)棰伲?br>為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
，即②，
聯(lián)立①②，解得，.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，
，，或，
或.
17. 在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且.
（1）求；
（2）如圖，過(guò)外一點(diǎn)作，，，，求四邊形的面積.

【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦公式求解；
（2）解法一：連接，設(shè)，由條件求得即，求出，，，由計(jì)算即可；
解法二：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則，求出，，由計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
∵，
∴根據(jù)正弦定理得，
∴，
∴，
，
，，
，.
【小問(wèn)2詳解】
解法一：連接，設(shè)，
在和中，，
即，
，，，
四邊形的面積.
解法二：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，
，，，
，，
，，
四邊形的面積.
18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
①求數(shù)列的前項(xiàng)和；
②當(dāng)時(shí)，求證：.
【答案】（1）
（2）①②證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件賦值法列方程組計(jì)算求出,再應(yīng)用，化簡(jiǎn)得出進(jìn)而得出即可；
（2）①由得出再應(yīng)用錯(cuò)位相減法即可求解；②構(gòu)造數(shù)列再根據(jù)數(shù)列單調(diào)性即可證明不等式.
【小問(wèn)1詳解】
在中，分別令
，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得出，
，也滿(mǎn)足上式
為常數(shù)列，
【小問(wèn)2詳解】
①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
時(shí)，，
，
，
，
兩式相減得出
②，
令，
在上單調(diào)遞增，注意到時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，且
，
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造數(shù)列結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性得出即可得證.
19. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若恒成立.
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②當(dāng)取最大值時(shí)，若（，，，為非負(fù)實(shí)數(shù)），求的最小值.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）①②
【解析】
【分析】（1）分三種情況討論再應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性；
（2）①把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)得解；②先構(gòu)造函數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出再結(jié)合基本不等式求解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，的單調(diào)減區(qū)間為
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為
【小問(wèn)2詳解】
①由恒成立
令，
令，在上單調(diào)遞增
注意到，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
，，
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
②當(dāng)取最大值時(shí)，，
，，
在處的切線，，
構(gòu)造，
在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增
注意到，，對(duì)恒成立
而
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，
當(dāng)時(shí)可取“”，
綜上： .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式即可求解.

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