2024.11
注意事項
考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，只要將答題卡交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式可得集合，再由并集運算可得結果.
【詳解】解不等式可得，
又，可得.
故選：C
2. 若復數滿足（為虛數單位），則的模（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據模長的運算公式以及性質求解即可.
【詳解】由題意可知：，
故選：A.
3. 已知等差數列的公差為2，且，，成等比數列，則（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據等比數列性質利用等差數列通項公式計算可得，代入計算可得結果.
【詳解】由，，成等比數列可得，
即，解得，
所以可得，
故選：D.
4. 已知冪函數的圖象與軸無交點，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據冪函數的定義和圖象特點可得出關于實數的等式與不等式，即可解出的值.
【詳解】因為冪函數的圖象與軸無交點，
則，解得.
故選：B.
5. 已知函數，則“”是“函數為奇函數”的（ ）
A 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】結合正弦函數的奇偶性以及充要條件的定義判斷即可.
【詳解】若，則，則，，
所以，則為奇函數.
若為奇函數，則一定有.
則“”是“函數為奇函數”的充要條件.
故選：A.
6. 已知是單位向量，滿足，則在方向上的投影為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據向量數量積運算公式，求得在方向上的投影，進而可得投影.
【詳解】，，，
即，在上投影向量，所以在方向上的投影為1.
故選：D.
7. 在外接圓半徑為4的中，，若符合上述條件的三角形有兩個，則邊的長可能為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據給定條件，由三角形有兩解的條件，結合正弦定理求出邊的范圍.
【詳解】在中，，由有兩解，得，且，
則，由外接圓半徑為4及正弦定理，得，
所以邊的長可能為5.
故選：D
8. 已知函數，正數，滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根據可得，再由基本不等式計算可得結果；
方法二：由函數解析式可得，再由單調性可得，利用基本不等式計算可得結果.
【詳解】方法一：由可得，
易知在上單調遞增，
因此可得，即；
又
要求的最大值，只需考慮即可，
因此，
當且僅當時，等號成立；
故選：B.
方法二：，而，所以；
而在上單調遞增，
所以，即，
因此原式，要求其最大值，只需考察
可得原式，
當且僅當時，即時等號成立；
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 若，，，則
【答案】AB
【解析】
【分析】利用作差法可判斷A，利用不等式可判斷B，利用特殊值法可判斷C、D.
【詳解】由，得，即，又，則，即，故A正確；
因為，所以，即，
又因為，，所以，故B正確；
假設，，滿足，，
此時，，不成立，故C錯誤；
假設，，，滿足，，，
此時，，不成立，故D錯誤；
故選：AB.
10. 在數列和中，，，，下列說法正確的有（ ）
A B.
C. 36是與的公共項D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：根據等差數列定義求的通項公式，則可求；B：累加法求的通項公式；C：根據通項公式計算并判斷；D：采用裂項相消法求和并證明.
【詳解】對于A：因為，所以是以為首項，為公差的等差數列，
所以，所以，故正確；
對于B：因為，
所以，所以，
當時，符合條件，
所以，故錯誤；
對于C：令，解得(負值舍去)，所以，令，解得(負值舍去)，所以，
所以，即是與的公共項，故正確；
對于D：因，
所以，故正確；
故選：ACD.
11. 已知函數，（ ）
A. 函數單調減函數
B. 函數的對稱中心為
C. 若對，恒成立，則
D. 函數，與函數的圖象所有交點縱坐標之和為20
【答案】BCD
【解析】
【分析】去絕對值分類討論可得函數解析式，易知在0,+∞以及上是分別單調遞減的，即A錯誤，易知滿足，可知B正確，再利用函數單調性以及不等式恒成立計算可得C正確，畫出兩函數在同一坐標系下的圖象根據周期性計算可得D正確.
【詳解】對于A，易知當時，，時，
因此可得在0,+∞以及上分別為單調遞減函數，即A錯誤；
對于B，易知函數滿足，因此可得關于0,1對稱，即B正確；
對于C，由，即，
即在時恒成立，易知在0,+∞上恒成立，
所以可得，解得，即C正確；
對于D,畫出函數以及的圖象如下圖所示：
易知也關于0,1對稱，的周期為4，
一個周期與有兩個交點，5個周期有10個交點，與在共20個交點，即，故D正確，
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據函數以及都關于0,1成中心對稱，再由函數周期性計算可得結果.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. ______.
【答案】
【解析】
【分析】應用對數運算律化簡求值即可.
【詳解】.
故答案為：?2
13. 已知，則______.
【答案】
【解析】
【分析】利用恒等變換公式以及商數關系進行化簡并計算.
【詳解】因為
，
而，所以，，
故答案為：.
14. 已知函數，將函數圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象上各點向左平移個單位長度，得到的圖象.設函數，若存在使成立，則實數的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】求得函數的解析式，進而求得?x的解析式，利用導數求得?x的最大值.
【詳解】將函數y=fx圖象上各點的橫坐標縮短為原來的得到函數的圖象，
再將所得圖象上各點向左平移個單位長度，得到，
所以，，
可得?x周期為，，
所以，所以或，解得或或，
當，?′x0，所以?x在單調遞增，
當，?′x0，所以?x在單調遞增，
，，，，
因為存在x∈R使成立，所以
所以，所以實數的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設，，，為平面內的四點，已知，，.
（1）若四邊形為平行四邊形，求點的坐標；
（2）若，，三點共線，，求點的坐標.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設，利用，可求點的坐標；
（2）利用三點共線，可得，可得，利用數量積可求點的坐標.
【小問1詳解】
因為，，，所以，
因為四邊形為平行四邊形，所以，
設，所以，
所以，所以
【小問2詳解】
因為，，三點共線，，
所以設，
又，所以，所以，
又
所以.
16. 設是奇函數，是偶函數，且.
（1）求函數，的解析式；
（2）設，.當時，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據條件，利用正、余弦函數奇偶性，得到，，聯(lián)立即可求解；
（2）利用正弦的和角公式、倍角公式及輔助角公式，得到，結合條件得到，再利用特殊角的三角函數值，即可求解.
【小問1詳解】
因為①，
為奇函數，為偶函數，
，即②，
聯(lián)立①②，解得，.
【小問2詳解】
因為，
當時，
，，或，
或.
17. 在中，角，，對應的邊分別為，，，且.
（1）求；
（2）如圖，過外一點作，，，，求四邊形的面積.

【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據正弦定理及兩角和的正弦公式求解；
（2）解法一：連接，設，由條件求得即，求出，，，由計算即可；
解法二：延長，交于點，則，求出，，由計算即可.
【小問1詳解】
∵，
∴根據正弦定理得，
∴，
∴，
，
，，
，.
【小問2詳解】
解法一：連接，設，
在和中，，
即，
，，，
四邊形的面積.
解法二：延長，交于點，
，，，
，，
，，
四邊形的面積.
18. 已知數列的前項和為，，，，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，當時，；當時，.
①求數列的前項和；
②當時，求證：.
【答案】（1）
（2）①②證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據已知條件賦值法列方程組計算求出,再應用，化簡得出進而得出即可；
（2）①由得出再應用錯位相減法即可求解；②構造數列再根據數列單調性即可證明不等式.
【小問1詳解】
在中，分別令
，當時，，
兩式相減得出，
，也滿足上式
為常數列，
【小問2詳解】
①當時，，當時，
時，，
，
，
，
兩式相減得出
②，
令，
在上單調遞增，注意到時，，
當時，，且
，
.
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是構造數列結合數列的單調性得出即可得證.
19. 已知函數.
（1）討論函數的單調性；
（2）若恒成立.
①求實數的取值范圍；
②當取最大值時，若（，，，為非負實數），求的最小值.
【答案】（1）答案見解析
（2）①②
【解析】
【分析】（1）分三種情況討論再應用導函數正負判斷函數單調性；
（2）①把恒成立問題轉化為最值問題，應用導數求出函數得解；②先構造函數根據函數單調性得出再結合基本不等式求解.
【小問1詳解】
當時，，在上單調遞增
當時，的單調增區(qū)間為，，的單調減區(qū)間為
當時，的單調增區(qū)間為，；單調減區(qū)間為
【小問2詳解】
①由恒成立
令，
令，在上單調遞增
注意到，當時，，，單調遞減；
當時，，，單調遞增，
，，
實數的取值范圍為.
②當取最大值時，，
，，
在處的切線，，
構造，
在上單調遞增；上單調遞減；上單調遞增
注意到，，對恒成立
而
當且僅當時取“”，
當時可取“”，
綜上： .
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是構造函數根據函數的單調性結合基本不等式即可求解.

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