2023-2024學(xué)年度高三年級(jí)第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題總分：150分   時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（    ）A．     B．    C．     D．2．“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（    ）A．充分不必要條件   B．必要不充分條件   C．充要條件   D．既不充分又不必要條件3．己知長(zhǎng)方形ABCD的邊，E為BC的中點(diǎn)，則（    ）A．        B．14         C．          D．184．謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形是一種分形，它的構(gòu)造方法如下：取一個(gè)實(shí)心等邊三角形（如圖1），沿三邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個(gè)小三角形，挖去中間小三角形（如圖2），對(duì)剩下的三個(gè)小三角形繼續(xù)以上操作（如圖3），按照這樣的方法得到的三角形就是謝爾賓斯基三角形．如果圖1三角形的邊長(zhǎng)為2，則圖4被挖去的三角形面積之和是（    ）圖1        圖2            圖3         圖4A．     B．    C．     D．5．某個(gè)彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，已知在完成一次全振動(dòng)的過(guò)程中，時(shí)間t（單位：）與位移y（單位：）之間滿足函數(shù)關(guān)系：，則這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅是（    ）A．         B．         C．         D．6．函數(shù)與直線相切，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）A．1          B．2         C．e          D．7．球M是圓錐SO的內(nèi)切球，若球M的半徑為1，則圓錐SO體積的最小值為（    ）A．         B．         C．         D．8．己知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且滿足，，，若，則（    ）A．          B．            C．88          D．90二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．實(shí)踐育人是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的重要環(huán)節(jié)，是培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興大任時(shí)代新人的有效途徑．某研究性學(xué)習(xí)小組為了解某校2000名學(xué)生參加2023年暑期社會(huì)實(shí)踐的情況，通過(guò)分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為N的樣本，對(duì)學(xué)生某一天社會(huì)實(shí)踐的時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示．己知樣本中的人數(shù)為20人，則以下說(shuō)法正確的是（    ）A．      B．C．估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為74D．估計(jì)全校社會(huì)實(shí)踐時(shí)間在60分鐘以上的學(xué)生約為180人10．若，曲線C的方程為，則（    ）A．當(dāng)時(shí)，曲線C表示圓B．當(dāng)時(shí)，曲線C表示兩條直線C．當(dāng)時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D．當(dāng)時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線11．設(shè)是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題正確的有（    ）A．如果，那么   B．如果，那么C．如果，那么    D．如果，那么12．設(shè)函數(shù)，對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)K，定義函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．函數(shù)的零點(diǎn)有3個(gè)           B．，使C．若，則     D．若存在最大值，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的值為___________．14．在我國(guó)長(zhǎng)江中下游地區(qū)，每年的6月中下旬到7月中旬為梅雨季節(jié)，這段時(shí)間陰雨天氣較多．這個(gè)地區(qū)的一個(gè)市級(jí)監(jiān)測(cè)資料表明，該市一天為陰雨天氣的概率是0.8，連續(xù)兩天為陰雨天氣的概率是0.72，己知某天為陰雨天氣，則隨后一天也為陰雨天氣的概率是___________．15．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為___________．16．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B，若，則橢圓C的離心率為___________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D為邊BC上一點(diǎn)，．（1）若的面積，求a；（2）若D為的角平分線與邊BC的交點(diǎn)，，求a，18．（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，將沿BD折起到的位置，使．（1）求證：平面平面ABD；（2）求直線AB與平面PAD所成角的正弦值．19．（本小題滿分12分）己知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．20．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)．21．（本小題滿分12分）某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一個(gè)開盲盒游戲：在編號(hào)為1到4號(hào)的四個(gè)箱子中隨機(jī)放入獎(jiǎng)品，每個(gè)箱子中放入的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)滿足，每個(gè)箱子中所放獎(jiǎng)品的個(gè)數(shù)相互獨(dú)立．游戲規(guī)定：當(dāng)箱子中獎(jiǎng)品的個(gè)數(shù)超過(guò)3個(gè)時(shí)，可以從該箱中取走一個(gè)獎(jiǎng)品，否則從該箱中不取獎(jiǎng)品．每個(gè)參與游戲的同學(xué)依次從1到4號(hào)箱子中取獎(jiǎng)品，4個(gè)箱子都取完后該同學(xué)結(jié)束游戲．甲、乙兩人依次參與該游戲．（1）求甲能從1號(hào)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品的概率；（2）設(shè)甲游戲結(jié)束時(shí)取走的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)乙游戲結(jié)束時(shí)取走的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若，函數(shù)有兩個(gè)極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求證：．2023-2024學(xué)年度高三年級(jí)第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。1．B  2．C  3．A  4．D  5．C  6．B  7．C  8．B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。9．ABC  10．AB  11．BC  12．BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．    14．0.9   15．    16．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1），        2分因?yàn)?/span>，所以，則，所以．                4分解法二：的高，               2分所以，則．                              4分（2）因?yàn)?/span>AD是的角平分線，所以，設(shè)，則．在中，因?yàn)?/span>，所以，                6分由內(nèi)角和定理，，所以．        8分在中，由正弦定理得，則．       10分18．（1）證明：如圖，取BD中點(diǎn)O，連接OA，OP．因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，所以、是邊長(zhǎng)為2的正三角形，因?yàn)?/span>O是BD中點(diǎn)，所以，                      2分因?yàn)?/span>，所以，同理可得，因?yàn)?/span>，所以，則，由二面角定義可得平面平面ABD．               5分或：又因?yàn)?/span>，平面ABD，，所以平面ABD，因?yàn)?/span>，所以平面平面ABD．                        5分（2）以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，           7分設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為，由得，令得，則，                       10分設(shè)直線AB與平面PAD所成的角為，則．所以直線AB與平面PAD所成角的正弦值為．                   12分注：第二問(wèn)用等積法、綜合法等方法解答同樣給分．19．（1）因?yàn)?/span>，所以．          1分①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；                    3分②當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．                              6分（2）當(dāng)時(shí)，，要證明，只要證，即證，             8分設(shè)，則，令得，列表得a10極小值所以，即，所以.                  12分20．（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，           11分則，所以，所以．         3分因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，則，所以；              4分當(dāng)時(shí)，，所以，則構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以．（2）因?yàn)?/span>，所以，                   7分當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>在時(shí)單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，               11分所以數(shù)列的最大項(xiàng)為．                      12分注：第二問(wèn)解方程組得，結(jié)合得最大項(xiàng)為同樣給分．21．（1）因?yàn)槊總€(gè)箱子中放入的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)滿足，所以，則，所以的概率分布為：12345P                                                                                     2分設(shè)事件A為甲能從1號(hào)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品，則，所以甲能從1號(hào)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品的概率為                   4分（2），因?yàn)榧啄軓拿總€(gè)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品的概率為，所以，所以，，X的概率分布為：X01234P                                                                                        8分所以X的數(shù)學(xué)期望為．或．                                                    9分（3）乙能從箱子中取到獎(jiǎng)品必須箱子中最初有5個(gè)獎(jiǎng)品，即乙能從每個(gè)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品的概率為，所以，所以Y的數(shù)學(xué)期望為．               12分22．（1）因?yàn)?/span>所以，令得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，不合題意．                                   2分②當(dāng)，即時(shí)，．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，則．當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?/span>，所以，則；當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以．因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，使，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．             4分因?yàn)?/span>有兩個(gè)極小值點(diǎn)，所以為的極小值點(diǎn)，且時(shí)，為的極小值點(diǎn)，所以，即，則，所以，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，在及處取得極小值，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．                6分（2）因?yàn)?/span>，所以．則，即，因?yàn)?/span>，則， 8分令，則，令，則，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以使得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，                           10分又，所以，即．                     12分

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