專題七空間向量與立體幾何專項測試——2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.已知，，如果，則( )
A.B.0C.D.-1
2.如圖，已知S為四邊形ABCD所在平面外一點，G，H分別為SB，BD上的點，若平面SCD，則( )
A.B.C.D.以上均有可能
3.已知空間中有兩個不重合的平面，和兩條不重合的直線m，n，則下列說法中正確的是( )
A.若，，，則
B.若，，，則
C.若，，，則
D.若，，，則
4.如圖，四棱錐是棱長均為2的正四棱錐，三棱錐是正四面體，G為BE的中點，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A.點A，B，C，F(xiàn)共面B.平面平面CDF
C.D.平面ACD
5.PA，PB，PC是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是( ).
A.B.C.D.
6.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段AB的中點，則直線FC到平面的距離等于( )
A.B.C.D.
7.已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為1和3，側(cè)棱長為2，以下底面頂點A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為( )
A.B.C.D.
8.已知中，，D為的中點.將沿翻折，使點C移動至點E，在翻折過程中，下列說法不正確的是( )
A.平面平面
B.三棱錐的體積為定值
C.當(dāng)二面角的平面角為時，三棱錐的體積為
D.當(dāng)二面角為直二面角時，三棱錐的內(nèi)切球表面積為
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9.某工廠生產(chǎn)出一種機械零件，如圖所示，零件的幾何結(jié)構(gòu)為圓臺，在軸截面ABCD中，，，則下列說法正確的有( )
A.該圓臺的高為
B.該圓臺軸截面面積為
C.該圓臺軸截面面積為
D.一只螞蟻從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到AD的中點，所經(jīng)過的最短路程為
10.如圖，一張矩形白紙，，，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，BE交AC于點G，DF交AC于點H.現(xiàn)分別將，沿BE，DF折起，且點A，C在平面BFDE同側(cè)，則下列命題為真命題的是( )
A.當(dāng)平面平面CDF時，平面BFDE
B.當(dāng)平面平面CDF時，
C.當(dāng)A，C重合于點P時，
D.當(dāng)A，C重合于點P時，三棱錐的外接球的表面積為
11.已知正方體的棱長為，經(jīng)過棱上中點E作該正方體的截面，且，與棱和棱AD的交點分別為F，G，截面將正方體分為，兩個多面體，則( )
A.直線FG與所成角的正切值為
B.截面為五邊形
C.截面的面積為
D.多面體，內(nèi)均可放入體積為的球
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12.如圖，已知正方體的棱長為a，M為的中點，點N在上，且，則MN的長為__________.
13.如圖，在長方形ABCD中，，，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC（端點除外）上一動點.現(xiàn)將沿AF折起，使平面平面ABCF.在平面ABD內(nèi)過點D作，垂足為K.設(shè)，則實數(shù)t的取值范圍是_________.
14.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為12，該紙片上的正方形ABCD的中心為O，E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點，，，，分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起，，，使得點E，F(xiàn)，G，H重合，得到一個四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為_____________.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.（13分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是以2為邊長的菱形，，且，M為PC的中點.
（1）求證：平面平面PAC；
（2）若，求三棱錐的體積.
16.（15分）如圖，在梯形ABCD中，，，，將沿AC翻折，使點D翻折到P點，且.
（1）證明：平面PAC；
（2）若E為線段PC的中點，求平面AEB與平面ABC夾角的余弦值.
17.（15分）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，點E在棱PD上，且，F(xiàn)是棱PC上的動點（不是端點）.
（1）若F是棱PC的中點，求證：平面AEF；
（2）求PA與平面AEF所成角的正弦值的最大值.
18.（17分）如圖，在直三棱柱中，D，E，F(xiàn)分別為線段，，的中點，，，.
（1）證明：平面BDE；
（2）若四棱錐的體積為12，求直線與平面BDE所成角的正弦值.
19.（17分）如圖，四棱錐的體積為，平面平面，是面積為的等邊三角形，四邊形是等腰梯形，，E為棱上一動點.
（1）若直線與平面的夾角為，求二面角的正弦值；
（2）求的取值范圍.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由題設(shè)，存在，使，則可得所以.故選A.
2.答案：B
解析：因為平面，平面SBD，平面平面，所以，故選B.
3.答案：A
解析：若，，則或，又，所以，故A正確；
若，，則或，又，則或n與斜交或均有可能，故B錯誤；
若，，則或，又，因此m和n的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面，故C錯誤；
若，，，則或，故D錯誤.
綜上，選A.
4.答案：D
解析：A選項：如圖，取CD的中點H，連接GH，F(xiàn)H，AG，AH，易得，，，則平面，平面AFH，所以A，G，H，F(xiàn)四點共面，由題意知，，所以四邊形AGHF是平行四邊形，所以，因為，所以，所以A，B，C，F(xiàn)四點共面，故A正確；
B選項：由選項A知，又平面，平面CDF，所以平面CDF，因為，且平面，平面CDF，所以平面CDF，又平面，平面ABE，且，所以平面平面CDF，故B正確；
C選項：由選項A可得平面AGHF，又平面AGHF，所以，故C正確；
D選項：假設(shè)平面ACD，則，由選項A知四邊形AGHF是平行四邊形，所以四邊形AGHF是菱形，與，矛盾，故D錯誤.
5.答案：C
解析：解法一：如圖，設(shè)直線PC在平面PAB的射影為PD，
作于點G，于點H，連接HG，
易得，又，平面CHG，則平面CHG，
又平面CHG，則，
有，
故.
已知，，
故為所求.
解法二：
如圖所示，把PA，PB，PC放在正方體中，PA，PB，PC的夾角均為.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面PAB的法向量，則，
令，則，，所以，
所以.
設(shè)直線PC與平面PAB所成角為，所以，所以.
故選C.
6.答案：A
解析：以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，，
，，，，.
平面，平面，平面.
設(shè)平面的法向量為，則
取，可得，，.
，直線FC到平面的距離.故選A.
7.答案：C
解析：如圖，過作于點M，過作于點N，，，，側(cè)棱長，，，取BC的中點G，連接，，，，可得，.
過作于點H，連接.
，，
同理可得，的長度均為，又四邊形為矩形且，.
記四邊形的對角線交點為O，連接OM，從而可得以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線即為以O(shè)為圓心，為半徑的圓與側(cè)面的交線，作梯形的中位線EF，交于點E，交于點F，可知EF過點O，易知，以O(shè)為圓心，1為半徑的圓與側(cè)面的交線長為.故選C.
8.答案：B
解析：如圖：
A選項，，，，所以平面，因為平面，故平面平面，A正確，不符合題意.
B選項，由A知平面，但的面積不是定值，故三棱錐的體積不是定值，B錯誤，符合題意.
C選項，二面角的平面角為，當(dāng)時，，
三棱錐的體積為，C正確，不符合題意.
D選項，當(dāng)二面角為直二面角時，，三棱錐的表面積為，
設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則由等體積法知，解得，所以內(nèi)切球表面積，D正確.
9.答案：CD
解析：如圖①，作交CD于E，易得，則，則圓臺的高為，A錯誤；
圓臺的軸截面面積為，B錯誤，C正確；
將圓臺的一半側(cè)面展開，如圖②，設(shè)P為AD的中點，將圓臺補成圓錐，圓臺對應(yīng)的圓錐的一半側(cè)面展開為扇形COD，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，連接CP，可得，，，則，所以沿著該圓臺表面從點C到AD中點的最短距離為，故D正確.故選CD.
10.答案：AD
解析：在中，，在中，，所以，，所以，.由題意，將，沿BE，DF折起，且點A，C在平面BFDE同側(cè)，此時A，C，G，H四點在同一平面內(nèi)，平面平面，平面平面，當(dāng)平面平面CDF時，，顯然，所以四邊形AGHC是平行四邊形，所以.又平面，平面BFDE，所以平面BFDE，所以A為真命題.
由A知，當(dāng)平面平面CDF時，，但，所以AE與CD不平行，所以B為假命題.
當(dāng)A，C重合于點P時，可得，，連接GD（圖略），，則，所以PG和PD不垂直，所以C為假命題.
當(dāng)A，C重合于點P時，在三棱錐中，和均為直角三角形，所以DF為三棱錐的外接球的直徑，又，則三棱錐的外接球的表面積為，所以D為真命題.故選AD.
11.答案：AC
解析：取的中點M，連接GM，F(xiàn)M，則，則直線FG與所成角即為直線FG與GM所成角.在中，，，則，即直線FG與所成角的正切值為，所以A選項正確；分別取，，的中點H，N，Q，連接EN，NG，GH，HF，F(xiàn)Q，QE，易證正六邊形GNEQFH即為截面，又正方體的棱長為，所以正六邊形的邊長為2，所以其面積為，所以B選項不正確，C選項正確；對于D選項，根據(jù)對稱性，可知多面體，是兩個完全相同的多面體，不妨設(shè)多面體內(nèi)能放入最大球的球心為O，則，球O與截面相切于正方體的中心S，且球O也與以C為頂點的三個面均相切，以C為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，解得，，所以，所以不能放入體積為的球，所以D選項不正確，故選AC.
12.答案：
解析：由題意，以點D為原點，以，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.
因為該正方體的棱長為a，所以，，，.由M為的中點，取的中點，易得點，.因為，所以N為上靠近點的四等分點，從而N為的中點，易得點，所以.
13.答案：
解析：過點K作于點M，連接.平面平面ABCF，平面平面，，平面，平面.平面，.，，平面.平面，.與折前的圖形對比，可知折前的圖形中，D，M，K三點共線，且，在折前的圖形中，，即，.，.
14.答案：
解析：連接OE交AB于點N，設(shè)正方形的邊長為，
則，，則正方形的面積為，四棱錐的側(cè)面積為，由題意得，即，解得，如圖，畫出折疊后的立體圖形.
設(shè)重合點為P，該四棱錐為正四棱錐，外接球的球心在OP的連線上，設(shè)為，設(shè)外接球的半徑為R，則.
由題得，，則，，.由勾股定理得，解得，故外接球的表面積.故答案為.
15.答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：設(shè)AC與BD交于點N，連接PN，如圖.
四邊形ABCD是菱形，是BD的中點.
，.
四邊形ABCD是菱形，.
，平面，平面PAC.
又平面，平面平面PAC.
（2）在菱形ABCD中，，，
和是等邊三角形，.
，，，
，.
又平面，平面，.
又，平面，平面ABCD.
平面，平面平面ABCD.
平面平面，點C到AD的距離即為點C到平面PAD的距離.
又是等邊三角形，點C到平面PAD的距離為，
到平面PAD的距離.
三棱錐的體積.
16.答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，，，，
則，
則，，
又由，可知，
又，平面，平面PAC，
故平面PAC.
（2）過點C作平面ABC，則以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB，CN所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
則，，，，
則，.
設(shè)平面EAB的法向量為，則即
令，則，，
則，
易知平面ABC的一個法向量為，
所以，
故平面AEB與平面ABC夾角的余弦值為.
17.答案：（1）證明見解析
（2）
解析：因為四棱錐的底面為正方形，底面ABCD，
所以AB，AD，AP兩兩垂直，
以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
不妨設(shè)，則，，，，，
由點E在棱PD上，且，得.
（1）證明：因為F是棱PC的中點，所以，
所以，，
設(shè)平面AEF的一個法向量為，
則即
不妨令，則，，所以.
又，
所以，即，
又平面AEF，
所以平面AEF.
（2）設(shè)PA與平面所成的角為，易知，
設(shè)，，
則，
設(shè)平面AEF的一個法向量為，
則即
不妨令，則，，
所以.
又，
所以，
所以當(dāng)，即時，，
故PA與平面AEF所成角的正弦值的最大值為.
18.答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）如圖1，取的中點G，連接AG，交BE于點O，連接OD，CG，EG，
E，G分別為，的中點，，，四邊形ABGE為平行四邊形，
為AG的中點.
又D為AC的中點，.
G，F(xiàn)分別為的中點，，且，
四邊形是平行四邊形，，.
平面，平面，平面BDE.
（2），D為AC的中點，.
由直三棱柱的性質(zhì)知，平面，.
，平面，平面AEFC，
平面AEFC，
四棱錐的體積，.
如圖2，設(shè)的中點為H，連接HD.以D為坐標(biāo)原點，DA，DB，DH所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，.
設(shè)平面BDE的一個法向量為，
則即
取，則，，故.
設(shè)直線與平面BDE所成的角為，
則，
直線與平面BDE所成角的正弦值為.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）因為是面積為的等邊三角形，所以，
因為平面平面，四邊形是等腰梯形，
過P作，垂足為，過E作，垂足為Q，連接，
又因為平面平面，，所以平面，
所以為直線與平面的夾角，即，
記的中點為T，連接，所以，以O(shè)為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
易知，
因為四棱錐的體積為，又因為，，所以.
設(shè)，又，
所以，，又，所以，所以，解得，所以E，P兩點重合，
故，易知，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則，故，設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則，，故，記二面角的平面角為，則，所以，即二面角的正弦值為.
（2）由（1）易得，，
所以當(dāng)時，，
因為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；
當(dāng)時，.
綜上可知，.

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