求證：平面EFD；
求平面EFD與平面ABCD的夾角的余弦值；
若直線MF與平面ABCD所成的角的正弦值為，求此時(shí)MC的長度.
2.(2024河西一模）已知三棱錐中，平面ABC，，，N為AB上一點(diǎn)且滿足，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)．

求證：；
求直線SN與平面CMN所成角的大小；
求點(diǎn)P到平面CMN的距離．
3.（2024南開一模）如圖，在四棱錐中，平面PAD，，點(diǎn)E是棱PC上靠近P端的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是棱PA上一點(diǎn).

證明：平面BDE
求點(diǎn)F到平面BDE的距離；
求平面BDE與平面PBC夾角的余弦值.
4.（2024九校聯(lián)考一模）如圖，邊長為2的等邊所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點(diǎn).
證明：；
求平面PAM與平面ABCD的夾角的大??；
求點(diǎn)D到平面AMP的距離.
5.（2024濱海新區(qū)三模）如圖在三棱臺中，，，，若平面ABC，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn).
Ⅰ證明：平面；
Ⅱ求平面BCD與平面ABD的夾角的余弦值；
Ⅲ求點(diǎn)到平面ABD的距離.
6.（2024部分區(qū)二模）如圖，平面，，，，，為的中點(diǎn)．
Ⅰ證明：；
Ⅱ求平面與平面夾角的余弦值；
Ⅲ設(shè)是棱上的點(diǎn)，若與所成角的余弦值為，求的長．
7.（2024耀華一模）已知如圖，四邊形PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面平面ABCD，，，
若M為PA中點(diǎn)，求證：平面MDE；
求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
在線段PC上是否存在一點(diǎn)除去端點(diǎn)，使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
8（2024河?xùn)|二模）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點(diǎn)，且
求證：平面PAC；
求平面PAC與平面PCD夾角的余弦值；
設(shè)Q為棱CP上的點(diǎn)，且，求直線QE與平面PAC所成角的正弦值.
9.（2024河西三模）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，，點(diǎn)M在PD上．
Ⅰ求證：；
Ⅱ求異面直線PB與DC所成角的余弦值；
Ⅲ若二面角的平面角的大小為，求直線BM與平面PAC所成角的正弦值．
10.（2024紅橋一模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，底面ABCD，PB與平面ABCD所成角為，E，F(xiàn)分別是PC，AD中點(diǎn).
求證：平面PFB；
求平面PFB與平面EDB夾角的正弦值.
11.（2024北辰三模）如圖，在四棱錐中，平面，，∥，，，為棱的中點(diǎn).
（1）證明：∥平面；
（2）求平面和平面夾角的余弦值；
（3）求A點(diǎn)到直線的距離.
12.（2024耀華二模） 如圖，在多面體中，，，，平面，，，.
（1）求證：直線平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.
13.（2024河北二模）如圖，四棱錐中，側(cè)棱平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面是直角梯形，.
（1）求證：平面；
（2）求異面直線和所成角的余弦值；
（3）點(diǎn)在線段上，平面和平面的夾角為，求的值.
14. （2024南開二模）在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，O為CD的中點(diǎn)，二面角A-CD-P為直二面角.
（1）求證：；
（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值；
（3）求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.
15.（2024河西二模）如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點(diǎn)，.
（I）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面與平面所成角的余弦值.
16.（2024紅橋二模）在如圖所示的幾何體中，平面ABCD，，四邊形ABCD為平行四邊形，，，，
求證：直線平面DCQ；
求直線PB與平面PCQ所成角的正弦值；
求平面PCQ與平面DCQ夾角的正弦值．
2024天津各區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編—專題十七立體幾何答案
1.【答案】解：
因?yàn)樗睦忮F的底面ABCD是正方形，平面ABCD，
所以以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
所以，
設(shè)平面EFD的法向量為，
則，令，則，
又因?yàn)?，則，即，
由平面EFD，所以平面EFD
設(shè)平面EFD與平面ABCD的夾角為，
平面EFD的法向量，平面ABCD的法向量，
所以，，
則平面EFD與平面ABCD的夾角的余弦值為
設(shè)MC長度為，，
設(shè)直線MF與平面ABCD所成角為，
因?yàn)椋?br>，
解得，此時(shí)MC的長度為

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明即可；
求平面的法向量，利用向量法求夾角余弦即可；
利用線面角的向量公式求解即可.
2.【答案】解：
因?yàn)槠矫鍭BC，，
如圖以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸?y軸?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，

所以，
因?yàn)椋?br>所以
設(shè)平面CMN的法向量，，
則，即，取，得，
設(shè)直線SN與平面CMN所成角為，
則，又，
所以，所以直線SN與平面CMN所成角的大小為
設(shè)點(diǎn)P到平面CMN的距離為d，因?yàn)椋?br>所以，所以點(diǎn)P到平面CMN的距離為

【解析】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出，即可證明；
求出平面CMN的法向量，利用向量法求出線面角的正弦值，即可求出夾角；
由計(jì)算出點(diǎn)到面的距離.
3.【答案】解：因?yàn)槠矫鍼AD，所以
因?yàn)椋?br>所以PD，CD，AD兩兩垂直.
故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

，，，
設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為，
則，即，令，得，，則
又，可得，
因?yàn)槠矫鍮DE，所以平面
因?yàn)槠矫鍮DE，
所以點(diǎn)F到平面BDE的距離等于點(diǎn)A到平面BDE的距離.
則點(diǎn)A到平面BDE的距離為
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，
則，即，令，，，則
設(shè)平面BDE與平面PBC的夾角為，
則
故平面BDE與平面PBC的夾角的余弦值為

【解析】本題考查利用向量法證明線面平行，求點(diǎn)到平面的距離，面與面所成的角，屬于中檔題.
建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDE的一個(gè)法向量，證明即可；
利用向量法求點(diǎn)到面的距離；
利用向量法求面面角.
4.【答案】解：證明：等邊所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，
以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線DA，DC為x軸、y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
依題意，可得，，，，
，，
，
即，；
解：設(shè)為平面PAM的法向量，
則，即，
取，得，
取，顯然為平面ABCD的一個(gè)法向量，
??，
結(jié)合圖形可知，二面角的大小為；
解：設(shè)點(diǎn)D到平面AMP的距離為d，
由可知與平面PAM垂直，
則，
即點(diǎn)D到平面AMP的距離為

【解析】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)，以及利用空間向量證明線線垂直，利用空間向量求二面角、點(diǎn)到平面的距離，同時(shí)考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用能證明；
求出平面ABCD的法向量和平面APM的法向量，利用向量法能求出平面PAM與平面ABCD夾角的大??；
利用向量法的距離公式，能求出點(diǎn)D到平面AMP的距離．
5.【答案】解：證明：在三棱臺中，平面ABC，，顯然直線AB，AC，兩兩垂直，
以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得，，，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
取，則，
所以平面；
Ⅱ由Ⅰ知，，，
設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為，
則，
取，
由知，，
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為，
則，
取，
設(shè)平面BCD與平面ABD的夾角為，
則；
Ⅲ由知，
由Ⅱ知平面ABD的法向量為，
所以點(diǎn)到平面ABD的距離為
【解析】Ⅰ以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，即可得證；
Ⅱ分別求出平面BCD和ABD的一個(gè)法向量，利用向量夾角公式即可求解；
Ⅲ利用點(diǎn)到平面距離的向量公式即可求解．
本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．
6.【答案】解：平面，，
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知可得，，，，，
Ⅰ證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
，，，
，
．
Ⅱ，，
設(shè)平面的法向量，
則，即，
令得，
，
平面的法向量，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
平面與平面夾角的余弦值為．
Ⅲ設(shè)且，，
，
則，，，
，
，，
所以，
即，
兩邊平方，整理得：即，
解得或舍，
，
．
【解析】Ⅰ建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，利用，即可得證；
Ⅱ分別求出平面與平面的法向量，利用向量夾角公式即可求解；
Ⅲ設(shè)，根據(jù)，，得出，再利用向量夾角公式即可求解；
本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．
7.【答案】解：證明：如圖，連接MN，
四邊形PDCE為矩形，PC與DE交于點(diǎn)N，
為PC的中點(diǎn)，
又因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，，
而平面MDE，平面MDE，
平面MDE；
如下圖，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
根據(jù)題意，則有，，，，
所以，，，
假設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，
則，取，得，
設(shè)直線PA與平面PBC所成角的平面角為，
則
直線PA與平面PBC所成角的正弦值為
假設(shè)存在點(diǎn)，滿足題意，
設(shè)此時(shí)，則，
即，解得，
則，，
假設(shè)平面DAQ的一個(gè)法向量為，
則，取，得，
又平面PBC的一個(gè)法向量為，
平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為，
根據(jù)題意，則有，
解得，
在線段PC上存在一點(diǎn)除去端點(diǎn)，使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為，
【解析】連接MN，根據(jù)直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明；
使用空間向量求解線面角的正弦值；
使用空間向量法利用已知條件，求解得出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可求解．
本題考查空間幾何證明，重點(diǎn)考查空間向量在空間角的求解中的使用，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
8.【答案】證明：設(shè)AC與DE相交于點(diǎn)O，
在直角梯形ABCD中，因?yàn)?，所以∽?br>又，，
所以，，，
所以，，
所以，即，
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，
所以，
又，AC、平面PAC，
所以平面
解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面PAC的法向量為，則，
取，則，，所以，
設(shè)平面PCD的法向量為，則，
取，則，，所以，
設(shè)平面PAC與平面PCD夾角為，
則，，
故平面PAC與平面PCD夾角的余弦值為
解：因?yàn)?，所以?br>所以，
設(shè)直線QE與平面PAC所成角為，
則，，
故直線QE與平面PAC所成角的正弦值為
【解析】設(shè)AC與DE相交于點(diǎn)O，結(jié)合三角形相似的性質(zhì)與勾股定理可證，再由平面ABCD，得，然后利用線面垂直的判定定理，即可得證；
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面與平面的夾角，即可得解；
根據(jù)，求得的坐標(biāo)，再利用向量法求線面角，即可得解．
本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，利用向量法求平面與平面的夾角、線面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
9.【答案】Ⅰ證明：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接如圖，則，，
四邊形AECD為平行四邊形，
，，，
平面ABCD，平面ABCD，
，平面PAC，
Ⅱ解：設(shè)，連接如圖，由Ⅰ得，
，即MK是的中位線，，
就是異面直線PB與DC所成角．
平面ABCD，，，面
在中，，，
異面直線PB與DC所成角的余弦值為
Ⅲ解：設(shè)，連接如圖，過點(diǎn)M作，過點(diǎn)N作于G，連接MG，則，
由平面ABCD，可得平面ABCD，
，
，，
平面MNG，
，
是二面角的平面角，即
設(shè)，則，，
可得M為PD的中點(diǎn)，連接PO交BM于H，連接AH，
由Ⅰ平面PAC，是BM與平面PAC所成的角
在中，，，，
，
與互余，
與平面PAC所成的角的正弦值為

【解析】Ⅰ設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，證明，只需證明平面PAC，只需證明，
Ⅱ設(shè)，連接KM，可得就是異面直線PB與DC所成角．
在中，，，即可得異面直線PB與DC所成角的余弦值為
Ⅲ設(shè)，連接OP，過點(diǎn)M作，過點(diǎn)N作于G，連接MG，證明是二面角的平面角，即，M為PD的中點(diǎn)，連接PO交BM于H，連接AH，證明是BM與平面PAC所成的角，即可求BM與平面PAC所成的角的正弦值
本題考查線面垂直，線線垂直，考查面面角，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確作出線面角是關(guān)鍵．
10.【答案】解：證明：在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，底面ABCD，
PB與平面ABCD所成角為，
所以，，
，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
，，，
，，
設(shè)平面PFB的法向量為，
則，取，得，
，平面PFB，
平面PFB；
平面PFB的法向量為，
，
設(shè)平面EDB的法向量為，
則，取，得，
設(shè)平面PFB與平面EDB夾角為，
則，
平面PFB與平面EDB夾角的正弦值為
【解析】本題考查線面平行的向量表示，平面與平面所成角的向量求法，直線與平面所成的角，屬于中檔題.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角系，利用向量法能證明平面PFB；
求出平面PFB的法向量和平面EDB的法向量，利用向量法能求出平面PFB與平面EDB夾角的正弦值．
11.【答案】（1）證明見詳解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，可得四邊形為平行四邊形，從而，利用線面平行的判定定理即可得證；
（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求出平面BDM的法向量，易知為平面PDM的一個(gè)法向量，利用向量夾角公式求解可得答案.
（3）利用空間向量求得，即可得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【小問1詳解】
取中點(diǎn)，連接，．
在中，，分別為，的中點(diǎn)，則，，
因?yàn)椤?，，則，，
可知四邊形為平行四邊形，則，
且平面，平面，所以∥平面PAD．
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫?，，平面ABCD，
則，，且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
取CD的中點(diǎn)，連接BE，
因?yàn)椤?，，則，，
又因?yàn)?，所以四邊形ABED為矩形，
且，可知四邊形ABED是以邊長為2的正方形，
則，，，，，，
可得，，，
設(shè)平面BDM的法向量為，所以，
令，則，．所以平面BDM的一個(gè)法向量為，
易知為平面PDM的一個(gè)法向量，
所以，
所以平面和平面夾角的余弦值為.
【小問3詳解】
由（2）可知：，
則，
即，可知為銳角，
則，
所以A點(diǎn)到直線的距離為.
12.【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù)，即可得證
（2）分別求出平面與平面的法向量，利用向量夾角公式即可求解值；
（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用點(diǎn)到平面的向量公式即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋矫?，平面?br>所以，
所以，，兩兩垂直，
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示
的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量，則，令，
得，
所以，則，
又因?yàn)槠矫?br>所以直線平面.
【小問2詳解】
由，得，，
設(shè)平面的法向量為，則，令
得，
所以
則平面與平面夾角的余弦值為
【小問3詳解】
由于，平面的法向量，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，
所以點(diǎn)到平面的距離為
13.【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求證，
（2）利用向量的夾角公式即可求解，
（3）求兩個(gè)平面的法向量，即可利用法向量的夾角求解.
【小問1詳解】
證明：平面，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
,，
則
平面，平面的一個(gè)法向量為.
，
平面， 平面 ；
【小問2詳解】

設(shè)異面直線和所成的角為，

異面直線和所成角的余弦值為.
【小問3詳解】
，
設(shè)，則，

設(shè)平面的法向量為，則有
不妨令，得，.
設(shè)平面的法向量為，則有
不妨令，得，
，
平面和平面的夾角為，
，
，
，

14.【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）證明出，平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；
（2）求出平面的法向量，利用線面角求解公式得到答案；
（3）求出兩平面法向量，求出面面角的余弦值.
【小問1詳解】
因?yàn)?，O為CD的中點(diǎn)，
所以．
又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面PCD，
所以平面ABCD．
因?yàn)?，，，所以?br>取的中點(diǎn)，連接，則⊥，
以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，．
，，
因?yàn)椋?br>所以．
【小問2詳解】
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，
則，即，
解得，令，則，則．
設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，
又，
則，
所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為．
【小問3詳解】
設(shè)平面POB的一個(gè)法向量為，
則，即，
解得，令，則，故．
設(shè)平面POB與平面PAB的夾角為，
則．
故平面POB與平面PAB的夾角的余弦值為．
15.【答案】（I）證明：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得，，，，，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，
由，即，
令，，，所以，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠矫?，所以平?
（Ⅱ）解：，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（Ⅲ）解：設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，
由，即，
令，，，所以，
由，
所以平面與平面所成角的余弦值為.
16.【答案】解：因?yàn)槠矫鍭BCD，而AB，平面ABCD，
故，，
而，故，
故建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，，，，，
則，，，
解得負(fù)值已舍去，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面DCQ的法向量為，則，取，
所以，即，
又平面DCQ，所以平面
因?yàn)?，?br>設(shè)平面PCQ的法向量為，
則，取，
所以，
所以直線PB與平面PCQ所成角的正弦值為
設(shè)平面PCQ與平面DCQ夾角為，
則，
所以，
所以平面PCQ與平面DCQ夾角的正弦值為

【解析】本題考查線面平行的向量表示，直線與平面所成角的向量求法，平面與平面所成角的向量求法，屬于中檔題.
建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面DCQ的法向量，由即可證明；
求出平面PCQ的法向量，再求出，即可得解；
設(shè)平面PCQ與平面DCQ夾角為，由求出，從而求出

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)2025 集合 專項(xiàng)練習(xí)1（天津?qū)Ｓ茫?/a>

這是一份高考數(shù)學(xué)2025 集合 專項(xiàng)練習(xí)1（天津?qū)Ｓ茫?，?頁。試卷主要包含了已知全集，集合，，則為，已知全集，集合，，則，已知集合，，，則，設(shè)全集，集合，，則，【答案】D等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)2025 簡單邏輯用語 專項(xiàng)練習(xí)2（天津?qū)Ｓ茫?/a>

這是一份高考數(shù)學(xué)2025 簡單邏輯用語 專項(xiàng)練習(xí)2（天津?qū)Ｓ茫?，?頁。試卷主要包含了已知，則“”是“”的，若，則“成等比數(shù)列”是“”的，設(shè)p，已知a，，則“”是“”的，“”是“”的，設(shè)，則“”是“”的，【答案】A等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)2025 直線與圓的方程 專項(xiàng)練習(xí)13（天津?qū)Ｓ茫?/a>

這是一份高考數(shù)學(xué)2025 直線與圓的方程 專項(xiàng)練習(xí)13（天津?qū)Ｓ茫?，?頁。試卷主要包含了過直線上的點(diǎn)P作圓C，已知直線與圓C，已知等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)2025 橢圓綜合 專項(xiàng)練習(xí)18（天津?qū)Ｓ茫?> </div> <p class=高考數(shù)學(xué)2025 橢圓綜合 專項(xiàng)練習(xí)18（天津?qū)Ｓ茫?/p>
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部