本試卷共4頁(yè)，25小題，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘，不能使用計(jì)算器，用2b鉛筆畫圖，所有答案都要寫在答卷上，答在問(wèn)卷上的答案無(wú)效．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 下列汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
3. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
4. 拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
5. 把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線是（ ）
A. B. C. D.
6. 如圖△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角是∠ABC，那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. BC平分∠ABEB. AB=BDC. AC∥BED. AC=DE
7. 關(guān)于的方程的兩根為1和，則，的值分別為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 一個(gè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)，這個(gè)二次函數(shù)的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如圖是某月日歷表的一部分，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出個(gè)位置相鄰的數(shù)（如）．若圈出的9個(gè)數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為，則這9個(gè)數(shù)中最小數(shù)為（ ）

A. 18B. 13C. 7D. 3
10. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，，點(diǎn)E是直線CM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到BF，連接DF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11. 方程根是________．
12. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則的值為_(kāi)_____．
13. 已知m是一元二次方程的一個(gè)根，則的值為_(kāi)_____．
14. 已知實(shí)心球運(yùn)動(dòng)高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系是，則該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績(jī)是______m．
15. 如圖，在平行四邊形中，，將平行四邊形繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到平行四邊形，當(dāng)首次經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C時(shí)，旋轉(zhuǎn)角__________°．

16. 如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，其圖象與軸的交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為，．與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，在下面五個(gè)結(jié)論中：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④若，且，則；其中正確的結(jié)論是_____．(只填序號(hào))
三、解答題（本大題共9小題，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算步驟）
17. 解方程：x2+10x+9＝0．
18. 如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位．

（1）把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的：
（2）根據(jù)作圖寫出點(diǎn)和坐標(biāo)．
19. 已知二次函數(shù)．
（1）求開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x增大而減小．
20. 若關(guān)于x的一元二次方程
（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．
（2）已知等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)是1，另兩邊長(zhǎng)是該方程的兩根，求△ABC的周長(zhǎng)．
21. 手工課上，小明準(zhǔn)備做一個(gè)形狀是菱形的風(fēng)箏，這個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和恰好為，菱形的面積（單位：）隨其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)（單位：）的變化而變化．
（1）請(qǐng)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）當(dāng)菱形風(fēng)箏面積為時(shí)，求菱形風(fēng)箏的邊長(zhǎng)是多少？
22. 如圖，二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，，，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)D作x軸垂線交直線于E．
（1）求此二次函數(shù)解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)
（2）連接，求三角形的面積
（3）當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是___________
23 操作發(fā)現(xiàn)
將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合．
問(wèn)題解決
將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②．
（1）求證：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的長(zhǎng)．
24. 已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)N坐標(biāo)為
（1）求證：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）設(shè)與x軸交于和，且．
①當(dāng)時(shí)，利用圖像求的取值范圍．
②拋物線與關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．問(wèn)是否存在a，使為直角三角形？若存在，則求出所有可能的a值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25. 已知和是等腰直角三角形，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接、．
（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，此時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系是 ，與的位置關(guān)系是 ．
（2）如圖2所示，在（1）的條件下將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，請(qǐng)證明此時(shí)（1）中與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍然成立．
（3）如圖3，在（1）的條件下將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，連接，設(shè)中點(diǎn)為G，連接．若，求此時(shí)線段的長(zhǎng)．2023學(xué)年第一學(xué)期階段性檢測(cè)
九年級(jí)數(shù)學(xué)（問(wèn)卷）
本試卷共4頁(yè)，25小題，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘，不能使用計(jì)算器，用2b鉛筆畫圖，所有答案都要寫在答卷上，答在問(wèn)卷上的答案無(wú)效．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 下列汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】：A、該圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
B、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，不符符合題意；
D、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】A、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，該選項(xiàng)不符合題意；
B、未知數(shù)的最高次數(shù)為，不是一元二次方程，該選項(xiàng)不符合題意；
C、是一元二次方程，該選項(xiàng)符合題意；
D、不是整式，不是一元二次方程，該選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的識(shí)別，牢記一元二次方程的定義（等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是（二次）的方程，叫做一元二次方程）是解題的關(guān)鍵．
3. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)因式分解法求解一元二次方程即可．
【詳解】解：
∴或，
∴；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用因式分解法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
4. 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)(a，h，k為常數(shù)，)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．是拋物線的頂點(diǎn)式，a決定拋物線的形狀和開(kāi)口方向，其頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線．
5. 把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進(jìn)行解答即可．
【詳解】把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線是
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的平移及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減、上加下減．
6. 如圖△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角是∠ABC，那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A BC平分∠ABEB. AB=BDC. AC∥BED. AC=DE
【答案】C
【解析】
【分析】由△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角是∠ABC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BD=BA，BE=BC，∠DBE=∠ABC，即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角是∠ABC，
∴BA的對(duì)應(yīng)邊為BD，BC的對(duì)應(yīng)邊為BE，
∴BD=BA，DE=AC，∠DBE=∠ABC，
所以A，B，D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)不正確．
故選C．
【點(diǎn)睛】考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．
7. 關(guān)于的方程的兩根為1和，則，的值分別為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求解．
【詳解】解：由題意，，
∴，
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，掌握根與系數(shù)關(guān)系公式是解題的關(guān)鍵．
8. 一個(gè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)，這個(gè)二次函數(shù)的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式，然后把（0，﹣4）代入求出a的值即可得到拋物線解析式．
【詳解】解:設(shè)拋物線解析式為，把（0，﹣4）代入得：
，
解得：a=﹣，
所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣3）2﹣1=﹣x2+2x﹣4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式.
9. 如圖是某月日歷表的一部分，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出個(gè)位置相鄰的數(shù)（如）．若圈出的9個(gè)數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為，則這9個(gè)數(shù)中最小數(shù)為（ ）

A. 18B. 13C. 7D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)日歷上數(shù)字規(guī)律得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為，以及利用最大數(shù)與最小數(shù)的積為，求出兩數(shù)，再利用上下對(duì)應(yīng)數(shù)字關(guān)系得出其它數(shù)即可．
【詳解】解：根據(jù)圖象可以得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為，設(shè)最小數(shù)為：，則最大數(shù)為，根據(jù)題意得出：
，
解得：（不合題意舍去），
故最小的三個(gè)數(shù)為：7，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用、數(shù)字變化規(guī)律以及一元二次方程的解法，根據(jù)已知得出最大數(shù)與最小數(shù)的差為16是解題關(guān)鍵．
10. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，，點(diǎn)E是直線CM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到BF，連接DF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接BD，在BD上截取BG＝BC，連接FG，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H．利用正方形的性質(zhì)、勾股定理得出，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，再證明，得出，可知點(diǎn)F在直線GF上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，DF的值最小，進(jìn)而求出DH的值即可．
【詳解】解：如圖，連接BD，在BD上截取BG＝BC，連接FG，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為4，
∴，，，
∴，，
∴，
∵線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到BF，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴點(diǎn)F在直線GF上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，DF的值最小，
∵，，
∴，
∴DF的最小值為．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)得出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11. 方程的根是________．
【答案】或
【解析】
【分析】直接根據(jù)平方根的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：，
∴或．
故答案為：或
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平方根解方程，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)即可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征．熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，是解題的關(guān)鍵．
13. 已知m是一元二次方程的一個(gè)根，則的值為_(kāi)_____．
【答案】2019
【解析】
【分析】把代入方程得，再把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【詳解】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故答案為：2019．
【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
14. 已知實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系是，則該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績(jī)是______m．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績(jī)就是實(shí)心球落地時(shí)的水平距離，令，解方程即可．
【詳解】該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績(jī)就是實(shí)心球落地時(shí)的水平距離，
∴令，則，
整理得：，
解得：（舍去），
∴該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績(jī)?yōu)?br>故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法，理解題意，能把二次函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15. 如圖，在平行四邊形中，，將平行四邊形繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到平行四邊形，當(dāng)首次經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C時(shí)，旋轉(zhuǎn)角__________°．

【答案】40
【解析】
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：平行四邊形全等于平行四邊形，得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，由旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】∵平行四邊形繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到平行四邊形，
∴，
∴，
∵在平行四邊形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：40．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是證明三角形是等腰三角形．
16. 如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，其圖象與軸的交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為，．與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，在下面五個(gè)結(jié)論中：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④若，且，則；其中正確的結(jié)論是_____．(只填序號(hào))
【答案】②③④
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為，，得出對(duì)稱軸為，判斷①，結(jié)合圖象過(guò)點(diǎn)，判斷②，根據(jù)開(kāi)口方向頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為最小值即可判斷③，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性即可判斷④．
【詳解】①二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為，，
該二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸為：直線，
，即，故①錯(cuò)誤；
②由題意可知：圖象過(guò)點(diǎn)，
，
又，
，即，故②正確；
③由①可知，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，
，
又在二次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，
，
，故③正確；
④若，則，
∴關(guān)于對(duì)稱，
，即故④正確；
故答案為：②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共9小題，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算步驟）
17. 解方程：x2+10x+9＝0．
【答案】x1＝﹣1，x2＝﹣9
【解析】
【分析】利用因式分解法進(jìn)行解答即可.
【詳解】解：方程分解得：（x+1）（x+9）＝0，
可得x+1＝0或x+9＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣9．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的因式分解法，正確的因式分解是解答本題的關(guān)鍵.
18. 如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位．

（1）把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的：
（2）根據(jù)作圖寫出點(diǎn)和的坐標(biāo)．
【答案】（1）答案見(jiàn)詳解；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的概念與特征，畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的即可；
（2）根據(jù)題意，與關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，根據(jù)中心對(duì)象的性質(zhì)，先寫出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求出點(diǎn)和的坐標(biāo)．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示，為所畫；
【小問(wèn)2詳解】
解：由圖形可知：；
根據(jù)題意，與關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
故點(diǎn)和的坐標(biāo)：．
【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換-作圖，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)與中心對(duì)稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
19. 已知二次函數(shù)．
（1）求開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x增大而減?。?br>【答案】（1）開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為：直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：
（2）當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（2）根據(jù)對(duì)稱軸的開(kāi)口方向朝下，在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨增大而增大減小進(jìn)行解答即可．
【小問(wèn)1詳解】
，
，
拋物線的開(kāi)口向下，
對(duì)稱軸為：直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；
【小問(wèn)2詳解】
拋物線的開(kāi)口向下，
時(shí)，隨增大而減小，時(shí)，隨增大而增大．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20. 若關(guān)于x的一元二次方程
（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．
（2）已知等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)是1，另兩邊長(zhǎng)是該方程的兩根，求△ABC的周長(zhǎng)．
【答案】（1）k≤2 （2）5
【解析】
【分析】（1）根據(jù)根的判別式，即可求出k的取值范圍；
（2）分1為腰與1為底兩種情況，求出方程的解，即可求出周長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴k≤2，
∴k的取值范圍k≤2．
【小問(wèn)2詳解】
解：若1是腰，則x＝1為已知方程的解，
將x＝1代入方程得：k＝，即方程為，
解得：x＝1或x＝3，
此時(shí)三角形三邊為1，1，3，不合題意，舍去；
若1是底時(shí)，另兩邊長(zhǎng)是該方程的兩根，
即k＝2，方程為，
解得：，
此時(shí)三角形三邊長(zhǎng)為1，2，2，
∴周長(zhǎng)為1+2+2＝5．
【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式的意義是解本題的關(guān)鍵．
21. 手工課上，小明準(zhǔn)備做一個(gè)形狀是菱形的風(fēng)箏，這個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和恰好為，菱形的面積（單位：）隨其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)（單位：）的變化而變化．
（1）請(qǐng)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）當(dāng)菱形風(fēng)箏面積為時(shí)，求菱形風(fēng)箏的邊長(zhǎng)是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先表示出菱形對(duì)角線的長(zhǎng)，再利用菱形面積求法得出答案；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的值為600求出對(duì)角線長(zhǎng)，結(jié)合菱形對(duì)角線互相垂直平分和勾股定理求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：根據(jù)題意可得：一條對(duì)角線的長(zhǎng)為，則另一對(duì)角線長(zhǎng)為：，
則；
【小問(wèn)2詳解】
依題意得：，
解得：，，
即菱形風(fēng)箏的對(duì)角線為、，
因?yàn)榱庑螌?duì)角線互相垂直平分，
所以菱形的邊長(zhǎng)為：．
當(dāng)菱形風(fēng)箏面積為時(shí)，菱形風(fēng)箏的邊長(zhǎng)是.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意結(jié)合菱形的性質(zhì)得出與之間的關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
22. 如圖，二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，，，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)D作x軸垂線交直線于E．
（1）求此二次函數(shù)解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)
（2）連接，求三角形的面積
（3）當(dāng)時(shí)，x取值范圍是___________
【答案】（1），
（2）6 （3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，然后將解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）首先求出的解析式，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可；
（3）根據(jù)圖象可得時(shí)，即為x軸上方的圖象，然后根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，，，
∴，解得
∴二次函數(shù)解析式為，
∴，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
【小問(wèn)2詳解】
∵，，
∴設(shè)的解析式為，
∴，解得，
∴的解析式為，
∵過(guò)D做x軸垂線交直線于E，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴
∴三角形的面積；
【小問(wèn)3詳解】
由圖象可得，當(dāng)時(shí)，即為x軸上方的圖象，
∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，，
∴x取值范圍是或．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
23. 操作發(fā)現(xiàn)
將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合．
問(wèn)題解決
將圖①中等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②．
（1）求證：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）12﹣4
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得BC=DE，進(jìn)而得到∠BDC=∠BCD，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出度數(shù)，然后再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，進(jìn)而算出度數(shù)，根據(jù)角度可得△CDO是等腰三角形；．
（2）作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，DH⊥BF，垂足為點(diǎn)H，首先根據(jù)∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4，HF=4，DB=8，BF=16，進(jìn)而得到BC=8，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BG=AG=4，證明四邊形AGHD為矩形，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得AD長(zhǎng)．
【詳解】解：（1）證明：由圖①知BC=DE，
∴∠BDC=∠BCD．
∵∠DEF=30°，
∴∠BDC=∠BCD=75°．
∵∠ACB=45°，
∴∠DOC=30°+45°=75°．
∴∠DOC=∠BDC．
∴△CDO是等腰三角形．
（2）作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，DH⊥BF，垂足為點(diǎn)H，
在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，
∴DH=4，HF=4．
在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，
∴DB=8，BF=16．
∴BC=BD=8．
∵AG⊥BC，∠ABC=45°，
∴BG=AG=4．
∴AG=DH．
∵AG∥DH，
∴四邊形AGHD為矩形．
∴AD=GH=BF﹣BG﹣HF=16﹣4﹣4=12﹣4．
24. 已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)N坐標(biāo)為
（1）求證：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）設(shè)與x軸交于和，且．
①當(dāng)時(shí)，利用圖像求的取值范圍．
②拋物線與關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．問(wèn)是否存在a，使為直角三角形？若存在，則求出所有可能的a值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）①或；②當(dāng)為直角三角形時(shí)，的值為或或．
【解析】
【分析】（1）計(jì)算即可得到結(jié)論；
（2）①由與x軸交于和，且．可得，，當(dāng)時(shí)，且在軸的左側(cè)，如圖，可得，則，當(dāng)時(shí)，，即，可得，當(dāng)時(shí)，且在軸的左側(cè)， 同理可得： ；②拋物線與拋物線關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，，則，求解，可得，，分三種情況：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，再建立方程求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵拋物線，
∴，
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
【小問(wèn)2詳解】
①令，則，
∴，
解得：，；
∵與x軸交于和，且．
∴，，
當(dāng)時(shí)，且在軸的左側(cè)，如圖，

∵，
∴，則，
當(dāng)時(shí)，，即，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，且在軸的左側(cè)，
同理可得：，
∴，即，
∴，
綜上：或；
②拋物線與拋物線關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
解得：，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，
解得：，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，
解得：，
綜上：當(dāng)為直角三角形時(shí)，的值為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與直角三角形，中心對(duì)稱的含義，理解題意，選擇合適的方法，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．
25. 已知和是等腰直角三角形，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接、．
（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，此時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系是 ，與的位置關(guān)系是 ．
（2）如圖2所示，在（1）的條件下將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，請(qǐng)證明此時(shí)（1）中與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍然成立．
（3）如圖3，在（1）的條件下將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，連接，設(shè)中點(diǎn)為G，連接．若，求此時(shí)線段的長(zhǎng)．
【答案】（1），
（2）見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知，根據(jù)，，得到，．
（2）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，連接，，易得，，可證明，可得，，即是等腰直角三角形，且，則結(jié)論成立
（3）連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，，易得，，可證明，可得，，即是等腰直角三角形，
且，可得是等腰直角三角形，由中點(diǎn)為G，可得，作，根據(jù)勾股定理依次可得，，長(zhǎng)度，則的長(zhǎng)度也求出了．
【小問(wèn)1詳解】
，

理由如下：如圖1
，是的中點(diǎn)
，
和是等腰直角三角形
【小問(wèn)2詳解】
如圖

過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，連接，
∵
是中點(diǎn)
，
和是等腰直角三角形
，，
，
，且，
，
且
是等腰直角三角形
又
，
【小問(wèn)3詳解】
如圖3

延長(zhǎng)，交于，連接，
和是等腰直角三角形
，，
是中點(diǎn)
，
，且，
，
且
是等腰直角三角形
又
，
是等腰直角三角形
又∵中點(diǎn)為G，
，
作交的延長(zhǎng)線于
且
在中，
．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是輔助線“倍長(zhǎng)中線”的運(yùn)用．

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