注意事項：
1．答題前，學生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名，班級和學生號填寫在答題卡上．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．學生必須保持答題卡的整潔，學生不可以使用計算器．
一、選擇題．（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．）
1. 下列垃圾分類標識中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 二次函數的圖像的頂點坐標是（ ）
A. B. C. D.
3. 用配方法解方程時，原方程應變形為（ ）
A B. C. D.
4. ⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為5，點P與⊙O的位置關系是（ ）
A. 點P在⊙O內B. 點P在⊙O外C. 點P在⊙O上D. 無法確定
5. 如圖，將正方形繞點A順時針方向旋轉后，點C坐標是（ ）
A. B. C. D.
6. 關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（ ）
A. B. 1C. 1或D. 0.5
7. 一個正多邊形的半徑與邊長相等，則這個正多邊形的邊數為（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
8. 如圖，是直徑，，則（ ）
A. B. C. D.
9. 關于拋物線，下列說法錯誤的是（ ）
A. 開口向上B. 當時，y隨x的增大而減小
C. 對稱軸是直線D. 與坐標軸有兩個交點
10. 如圖，在平面直角坐標系中，A（0，3）、B（3，0），以點B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動點P．連接AP，若點C為AP的中點，連接OC，則OC的最小值為（ ）
A. 1B. 2﹣1C. D. ﹣1
二、填空題．（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）
11. 在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是__________．
12 拋物線不經過第________象限．
13. 如圖，四邊形ABCD內接于，若四邊形OBCD為平行四邊形，則的度數是________．

14. 某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是43，則每個支干長出___________個小分支．
15. 一個圓錐的底面半徑是2，母線長是6，若將該圓錐側面沿著母線剪開得到一個扇形，則該扇形的圓心角的度數是____________．
16. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90o，AB＝BC＝，將△ABC繞點A逆時針旋轉60o，得到△ADE，連接BE，則BE的長是_________
三、解答題．（本小題共9小題，滿分72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 解方程：．
18. 如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點C，交弦AB于點D．AB=24 cm，CD=8 cm．
（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求（1）中所作圓的半徑．
19. 如圖，D為△ABC內一點，AB＝AC，∠BAC＝50°，將AD繞著點A順時針旋轉50°能與線段AE重合．
（1）求證：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度數．
20. 如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得△ACM的周長最短？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．
21. 已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根
（1）求的取值范圍；
（2）若此方程的兩實數根滿足，求的值
22. 如圖，已知⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）求DE的長．
23. 某公司電商平臺，在2021年五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經市場調查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關于售價x（元/件）的一次函數，下表僅列出了該商品的售價x，周銷售量y，周銷售利潤W（元）的三組對應值數據．
（1）求y關于x的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）若該商品進價a（元/件），售價x為多少時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤；
（3）因疫情期間，該商品進價提高了m（元/件）（），公司為回饋消費者，規(guī)定該商品售價x不得超過55（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價仍滿足（1）中的函數關系，若周銷售最大利潤是4050元，求m的值．
24. 已知拋物線的頂點為P，與y軸交于點A，與直線交于點B．
（1）若點P的橫坐標為1，點B的坐標為．
①求拋物線的解析式；
②若當時，最小值為2，最大值為6，求m的取值范圍；
（2）若點P在第一象限，且，過點P作軸于D，將拋物線平移，平移后的拋物線經過點A、D，與x軸的另一個交點為C，試探究四邊形的形狀，并說明理由．
25. 問題探究
（1）如圖1．在中，，為上一點，．則面積的最大值是_______．
（2）如圖2，在中，，為邊上的高，為的外接圓，若，試判斷是否存在最小值？若存在，請求出最小值：若不存在，請說明理由．

問題解決：
如圖3，王老先生有一塊矩形地，，，現(xiàn)在他想利用這塊地建一個四邊形魚塘，且滿足點在上，，點在上，且，點在上，點在上，，這個四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請說明理由．
2023-2024學年上學期六中珠江中學初三級綜合練習（二）
數學
本練習分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，25小題，滿分120分．練習用時120分鐘．
注意事項：
1．答題前，學生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名，班級和學生號填寫在答題卡上．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．學生必須保持答題卡的整潔，學生不可以使用計算器．
一、選擇題．（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．）
1. 下列垃圾分類標識中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據中心對稱圖形的定義：“一個圖形繞一點旋轉180度，能與自身完成重合，這樣的圖形叫做中心對稱圖形”，進行判斷即可．
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；
B、是中心對稱圖形，符合題意；
C、不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，不符合題意；
故選B．
2. 二次函數的圖像的頂點坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據題目中函數的解析式即可直接得出此二次函數的頂點坐標．
【詳解】
二次函數的圖像的頂點坐標為，
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數的性質，懂得從二次函數頂點式的表達式中解出頂點坐標是解題的關鍵．
3. 用配方法解方程時，原方程應變形為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先移項把方程化為，再在方程的兩邊都加上1可得，從而可得答案．
【詳解】解：，
移項得，
配方得，即，
故選：A．
【點睛】此題考查了配方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握配方法的步驟．配方法的一般步驟為：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
4. ⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為5，點P與⊙O的位置關系是（ ）
A. 點P在⊙O內B. 點P在⊙O外C. 點P在⊙O上D. 無法確定
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據點與圓的位置關系的判定方法進行判斷．
【詳解】解：∵⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為5，
∴點P到圓心O的距離等于圓的半徑，
∴點P在⊙O上．
故選：C．
【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內?d＜r．
5. 如圖，將正方形繞點A順時針方向旋轉后，點C的坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了旋轉變換與中心對稱；
首先由圖形得出點A、C的坐標，然后根據旋轉后的點C與原來的點C關于點A對稱可得答案．
【詳解】解：由圖得：，，
∵將正方形繞點A順時針方向旋轉，
∴旋轉后的點C與原來的點C關于點A對稱，
∴旋轉后點C的坐標是，
故選：B．
6. 關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（ ）
A. B. 1C. 1或D. 0.5
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義以及一元二次方程的定義，難度較小，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．根據一元二次方程的解的定義以及一元二次方程的定義進行作答即可．
【詳解】解：因為x的一元二次方程的一個根是0，
所以把代入，
得，
解得，
因為，
即，
所以，
故選：A．
7. 一個正多邊形的半徑與邊長相等，則這個正多邊形的邊數為（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】如圖（見解析），先根據等邊三角形的判定與性質可得，再根據正多邊形的中心角與邊數的關系即可得．
【詳解】解：如圖，由題意得：，
是等邊三角形，
，
則這個正多邊形的邊數為，
故選：C．
【點睛】本題考查了正多邊形，熟練掌握正多邊形的中心角與邊數的關系是解題關鍵．
8. 如圖，是的直徑，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了同弧所對的圓周角相等，半圓（直徑）所對的圓周角是直角，根據直徑所對的圓周角是直角可得，然后求出，再根據同弧所對的圓周角相等得出答案．
【詳解】解：∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：D．
9. 關于拋物線，下列說法錯誤的是（ ）
A. 開口向上B. 當時，y隨x的增大而減小
C. 對稱軸是直線D. 與坐標軸有兩個交點
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質；
根據二次函數的圖象與系數的關系逐項判斷即可．
【詳解】解：對于拋物線，
∵，
∴開口向上，A正確；
對稱軸是直線，C正確；
當時，y隨x的增大而增大，B錯誤；
當時，
解得，
∴拋物線與軸有一個交點，
又∵拋物線與軸有一個交點，
∴拋物線與坐標軸有兩個交點，D正確；
故選：B．
10. 如圖，在平面直角坐標系中，A（0，3）、B（3，0），以點B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動點P．連接AP，若點C為AP的中點，連接OC，則OC的最小值為（ ）
A. 1B. 2﹣1C. D. ﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】確定點C的運動路徑是:以D為圓心,以為半徑的圓,當O、C、D共線時, OC的長最小,先求D的半徑為1 ,說明D是AB的中點, 根據直角三角形斜邊中線是斜邊一半可得OD=,所以OC的最小值是.
【詳解】當點P運動到AB的延長線上時,即如圖中點, 是的中點，
當點P在線段AB上時, 是中點,取的中點為D，
點C的運動路徑是以D為圓心,以D為半徑的圓(CA: PA=1 : 2 ,則點C軌跡和點P軌跡相似,所以點C的軌跡就是圓) , 當O、C、D共線時, OC的長最小，設線段AB交B于Q，
中，OA=3,OB=3,
.
半徑為2,
是的中點,
是的中點,
即半徑為1,
故選D.
【點睛】本題考查了圖形與坐標的性質、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質、圓的性質、兩點之間線段最短,確定出OC最小時點C的位置是解題關鍵, 也是本題的難點
二、填空題．（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）
11. 在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了中心對稱，關于原點對稱的兩點，其橫、縱坐標均互為相反數，熟記相關結論即可．
【詳解】解：由題意得：點關于原點對稱的點的坐標是，
故答案為：
12. 拋物線不經過第________象限．
【答案】四
【解析】
【分析】將拋物線的解析式變形為頂點式，畫出其圖象，觀察圖形即可得出結論．
【詳解】解：拋物線化為頂點式
由拋物線的性質可知，其不經過第四象限．
故答案為四．
【點睛】本題考查二次函數的性質，把二次函數的一般式化為頂點式是解題的關鍵．
13. 如圖，四邊形ABCD內接于，若四邊形OBCD為平行四邊形，則的度數是________．

【答案】##度
【解析】
【分析】根據圓內接四邊形的性質得到，根據平行四邊形的性質，圓周角定理列式計算即可．
【詳解】解：四邊形內接于，
，
四邊形是平行四邊形形，
，
由圓周角定理得，，
，
解得，，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質，平行四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
14. 某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是43，則每個支干長出___________個小分支．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用；
設每個支干長出個小分支，根據“每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是43”得出一元二次方程，解方程可得答案．
【詳解】解：設每個支干長出個小分支，
由題意得：，
解得：，（不合題意，舍去），
所以每個支干長出6個小分支，
故答案為：6．
15. 一個圓錐的底面半徑是2，母線長是6，若將該圓錐側面沿著母線剪開得到一個扇形，則該扇形的圓心角的度數是____________．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本題考查了圓錐的有關計算；設該圓錐展開后所得到的扇形的圓心角的度數是，由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據弧長公式得到方程，解方程即可．
【詳解】解：設該圓錐展開后所得到的扇形的圓心角的度數是，
根據題意得：，
解得：，
即該扇形的圓心角的度數是．
故答案為：．
16. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90o，AB＝BC＝，將△ABC繞點A逆時針旋轉60o，得到△ADE，連接BE，則BE長是_________
【答案】##
【解析】
【分析】首先考慮到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要構造直角三角形．由旋轉的性質可知，AC=AE，∠CAE=60°，故△ACE是等邊三角形，可證明△ABE與△CBE全等，可得到∠ABE=45°，∠AEB=30°，再證△AFB和△AFE是直角三角形，然后再根據勾股定理求解即可．
【詳解】連接CE，設BE與AC相交于點F，如圖所示．
∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BCA=∠BAC=45°．
∵AB=BC=，
∴AC==4．
∵Rt△ABC繞點A逆時針旋轉60°與Rt△ADE重合，
∴∠BAC=∠DAE=45°，AC=AE．
又∵旋轉角為60°，
∴∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴AC=CE=AE=4．
在△ABE與△CBE中，
∵，
∴△ABE≌△CBE（SSS），
∴∠ABE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEB=30°，
∴∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴∠AFB=∠AFE=90°．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF=AF2．
又在Rt△AFE中，
∠AEF=30°，∠AFE=90°，F(xiàn)EAF=2，
∴BE=BF+FE=．
故答案為：．
【點睛】本題是旋轉綜合題，解答此題，關鍵是思路要明確：“構造”直角三角形．在熟練掌握旋轉的性質的基礎上，還要應用了等邊三角形的判定與性質，全等的判定及性質，直角三角形的判定及勾股定理的應用．
三、解答題．（本小題共9小題，滿分72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 解方程：．
【答案】．
【解析】
【分析】利用配方法解方程即可．
【詳解】解：移項，得
，
∴，
∴，
兩邊開平方，得
，
∴．
【點睛】本題考查用配方法解一元二次方程，解答關鍵是根據方程特征選擇適當方法解方程．
18. 如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點C，交弦AB于點D．AB=24 cm，CD=8 cm．
（1）求作此殘片所在圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求（1）中所作圓的半徑．
【答案】（1）作圖見解析；（2）圓的半徑為13 cm．
【解析】
【分析】（1）由垂徑定理知，垂直于弦的直徑是弦的中垂線，故作AC，BC的中垂線交于點O，則點O是弧ACB所在圓的圓心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半徑OA的長．
【詳解】解：（1）作弦AC的垂直平分線與弦AB的垂直平分線交于O點，
以O為圓心OA長為半徑作圓O就是此殘片所在的圓如圖．
（2）連接OA，設OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，
則根據勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13．
答：圓的半徑為13cm．
【點睛】本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應用，垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．
19. 如圖，D為△ABC內一點，AB＝AC，∠BAC＝50°，將AD繞著點A順時針旋轉50°能與線段AE重合．
（1）求證：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度數．
【答案】（1）見解析；（2）50°
【解析】
【分析】（1）根據旋轉的性質，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，從而得到∠BAE=∠CAD，可證得△BAE≌△CAD，即可求證；
（2）根據全等三角形的性質，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性質，可得 ，即可求解．
【詳解】證明（1）∵將AD繞著點A順時針旋轉50°能與線段AE重合，
∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△CAD，
∴EB=DC；
（2）∵△BAE≌△CAD，
∴∠BEA=∠ADC=115°，
∵∠DAE=50°，AD=AE，
∴ ，
∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°．
【點睛】本題主要考查了圖形旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
20. 如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點M，使得△ACM的周長最短？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，M（1，﹣2）
【解析】
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c可求出a、b、c的值，即可確定二次函數關系式；
（2）由對稱可知，直線BC與直線x＝1的交點就是要求的點M，求出直線BC的關系式即可．
【詳解】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得，
，解得，，
∴拋物線的關系式為；
（2）拋物線的對稱軸為，
∵點M在對稱軸x＝1上，且△ACM的周長最短，
∴MC+MA最小，
∵點A、點B關于直線x＝1對稱，
∴連接BC交直線x＝1于點M，此時MC+MA最小，
設直BC的關系式為y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得，，
∴直線BC的關系式為，
當x＝1時，，
∴點M（1，﹣2），
∴在拋物線的對稱軸上存在一點M，使得△ACM的周長最短，此時M（1，﹣2）．
【點睛】本題考查二次函數綜合，解題的關鍵是掌握拋物線解析式的方法和利用軸對稱的性質解決線段和最短問題．
21. 已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根
（1）求的取值范圍；
（2）若此方程的兩實數根滿足，求的值
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用判別式的意義得到△＝（2k?1）2?4k2＞0，然后解不等式即可；
（2）根據根與系數的關系得到x1＋x2＝2k?1，x1x2＝k2，再根據（x1?1）（x2?1）＝5得到k2?（2k?1）＋1＝5，然后解關于k的方程，最后利用k的范圍確定k的值．
【詳解】解：（1）根據題意得△＝（2k?1）2?4k2＞0，
解得k＜；
（2）根據題意得x1＋x2＝2k?1，x1x2＝k2，
∵（x1?1）（x2?1）＝5，
∴x1x2?（x1＋x2）＋1＝5，
即k2?（2k?1）＋1＝5，
整理得k2?2k?3＝0，解得k1＝?1，k2＝3，
∵k＜，
∴k＝?1．
【點睛】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根時，x1＋x2＝?，x1x2＝．也考查了根的判別式．
22. 如圖，已知⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）求DE的長．
【答案】(1)詳見解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）連結OD，由AD平分∠BAC，OA=OD，可證得∠ODA=∠DAE，由平行線的性質可得OD∥AE，再由DE⊥AC即可得OD⊥DE，即DE是⊙O的切線；
（2）過點O作OF⊥AC于點F，由垂徑定理可得AF=CF=3，再由勾股定理求得OF=4，再判定四邊形OFED是矩形，即可得DE=OF=4．
【詳解】（1）連結OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ODA=∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）過點O作OF⊥AC于點F，
∴AF=CF=3，
∴OF=，
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四邊形OFED是矩形，
∴DE=OF=4．
23. 某公司電商平臺，在2021年五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經市場調查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關于售價x（元/件）的一次函數，下表僅列出了該商品的售價x，周銷售量y，周銷售利潤W（元）的三組對應值數據．
（1）求y關于x的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）若該商品進價a（元/件），售價x為多少時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤；
（3）因疫情期間，該商品進價提高了m（元/件）（），公司為回饋消費者，規(guī)定該商品售價x不得超過55（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價仍滿足（1）中的函數關系，若周銷售最大利潤是4050元，求m的值．
【答案】（1）；（2）售價60元時，周銷售利潤最大為4800元；（3）
【解析】
【分析】（1）①依題意設y=kx+b，解方程組即可得到結論；
（2）根據題意得，再由表格數據求出，得到，根據二次函數的頂點式，求出最值即可；
（3）根據題意得，由于對稱軸是直線，根據二次函數的性質即可得到結論．
【詳解】解：（1）設，由題意有
，解得，
所以y關于x的函數解析式為；
（2）由（1），又由表可得：
，，
．
所以售價時，周銷售利潤W最大，最大利潤為4800；
（3）由題意，
其對稱軸，時上述函數單調遞增，
所以只有時周銷售利潤最大，．
．
【點睛】本題考查了二次函數在實際生活中的應用，重點是掌握求最值的問題．注意：數學應用題來源于實踐，用于實踐，在當今社會市場經濟的環(huán)境下，應掌握一些有關商品價格和利潤的知識，總利潤等于總收入減去總成本，然后再利用二次函數求最值．
24. 已知拋物線頂點為P，與y軸交于點A，與直線交于點B．
（1）若點P的橫坐標為1，點B的坐標為．
①求拋物線的解析式；
②若當時，的最小值為2，最大值為6，求m的取值范圍；
（2）若點P在第一象限，且，過點P作軸于D，將拋物線平移，平移后的拋物線經過點A、D，與x軸的另一個交點為C，試探究四邊形的形狀，并說明理由．
【答案】（1）①；②
（2）四邊形是矩形,理由見解析
【解析】
【分析】（1）①根據拋物線的對稱軸公式求出系數b，再將B點的坐標代入解析式中求出系數c即可求出拋物線的解析式；
②根據拋物線的解析式求出頂點P的坐標，得出拋物線的最小值為2，再根據點B的坐標為，在拋物線上找到B點關于對稱軸的對稱點,m的取值范圍就在與P點的橫坐標之間；
（2）根據拋物線的圖象可求出A、P、D的坐標，利用拋物線與直線相交求出B點坐標，然后求出平移后拋物線的解析式，再求出C點坐標，接著求出BC的長度，從而得出四邊形OABC是平行四邊形，再根據得出四邊形OABC是矩形．
【小問1詳解】
解：①∵拋物線的頂點P的橫坐標為1，
∴，
解得：．
∴，
∵拋物線經過點，
∴，
解得：．
∴拋物線的解析式為；
②由知，．
∴點關于對稱軸的對稱點的坐標為，如圖1，
∵當時，的最小值為2，最大值為6，
∴；
【小問2詳解】
解：如圖2，由，可得．
∵拋物線的頂點坐標為，
∴．
∴．
∴拋物線．
可得直線的解折式為．
∵點B是拋物線與直線的圖象的交點，
令．
解得．
可得點B的坐標為．
由平移后的拋物線經過點A，可設平移后的拋物線解折式為．
將點的坐標代入，得．
則平移后的拋物線解析式為．
令，即．
解得．
依題意，點C的坐標為．
則．
則．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是矩形．
【點睛】本題考查一次函數與二次函數的圖象和性質，與幾何圖形相結合的綜合題，有較大難度，解題的關鍵在于熟悉一次函數與二次函數圖象的性質，并能利用待定系數法求解析式，建立方程求交點坐標，同時注重點的坐標與線段長的互相轉化．
25. 問題探究
（1）如圖1．在中，，為上一點，．則面積的最大值是_______．
（2）如圖2，在中，，為邊上的高，為的外接圓，若，試判斷是否存在最小值？若存在，請求出最小值：若不存在，請說明理由．

問題解決：
如圖3，王老先生有一塊矩形地，，，現(xiàn)在他想利用這塊地建一個四邊形魚塘，且滿足點在上，，點在上，且，點在上，點在上，，這個四邊形面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】問題探究：（1）24；（2）存在，的最小值為；問題解決：存在，144
【解析】
【分析】（1）根據三角形的面積公式即可得到結論；
（2）如圖2中，連接，，，作于．設．求出的最小值即可解決問題；
（3）如圖3中，連接，延長交的延長線于，將順時針旋轉得到，作的外接圓．由（2）可知，當的外接圓的圓心在線段上時，的面積最小，此時四邊形的面積最大．
【詳解】解：（1）當時，面積的最大，
則面積的最大值是，
故答案為：24；
（2）如圖中，連接，，，作于．設，
∵，，，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為1，
∵，
∴的最小值為；
（3）如圖中，連接，，延長交的延長線于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
將順時針旋轉得到，作的外接交于，
連接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
由（2）可知，當的外接圓的圓心在線段上時，的面積最小，此時四邊形的面積最大，
設，則，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形的面積的最大值
．
【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了三角形的外接圓，解直角三角形，最值問題等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100

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